10.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Transcript

1 0.4 σκήσεις σχολικού ιλίου σελίδς 0 Ερωτήσεις κτνόησης. Με την οήθει του τύπου Ε = ηµ, ν ποδείξετε ότι Ε Ε = ηµ = Η ισότητ ισχύει ότν ηµ =, δηλδή ˆ = 90 ο, δηλδή σε ορθοώνιο τρίωνο. Σε τρίωνο είνι () = 9 κι ρ =,5. Ποι είνι η περίµετρος του τριώνου; Ε = τ ρ 9 =,5 τ τ = 6 τ = 3. Ποιοι είνι οι τύποι υπολοισµού του εµδού ενός τριώνου; πάντηση i) Ε = υ = υ = υ ii) Ε = ηµ = ηµ = ηµ iii) Ε = τ ρ iν) Ε = 4R ν) Ε= τ( τ )( τ )( τ )

2 σκήσεις Εµπέδωσης. Σε πρλληλόρµµο είνι = 8, = 0 κι = 34. Ν ρείτε το εµδόν του. Με τον τύπο Ε = τ( τ )( τ )( τ ) ρίσκουµε το εµδόν (). τ = ( + + ) = ( ) = 36 τ = 36 0 = 6 τ = = τ = 36 8 = 8 () = = = = 44. ( ) = () = 44 = 88.. ίνετι τρπέζιο ( ) µε = 5, =, = 3 κι = 5. Ν ρείτε το εµδόν του κι το ύψος του. 3 3 Λ 5 Κ 4 5 Με τον τύπο υ = τ( τ )( τ )( τ ) τρίωνο Λ = Λ = 4, = = 5, = Λ = 3 τ = ( ) = 4 = τ = 4 = 7 τ = 5 = 6 τ = 3 = 8 Κ = = = 7 Φέρουµε Λ κι το ύψος Κ. Τότε Λ πρ/µµο. Άρ Λ = = 3 κι Λ = Λ = 5 = 5 = 4. υπολοίζουµε το ύψος Κ στο = 7 ( ) = ( + ) Κ = (5 + ) = 36 6 = =

3 3 3. ίνετι τρίωνο µε = 4, = 7 κι ˆ = 60 ο. Ν ρείτε το εµδόν του. Ε = ηµ = 7 4 ηµ60ο = 7 3 = ίνετι ορθοώνιο τρίωνο ( ˆ = ) µε = 6 κι = 8. Ν ρείτε i) το εµδόν ii) το ύψος υ iii) την κτίν ρ του εερµµένου κύκλου. i) Ε = = 6 8 = 4 ii) Πυθόρειο: = + = Ε = 4. υ = 4 iii) τ = ( ) = 4 = = = 00 = 0 0 υ = 4 υ = 4 5 Ε = τρ ρ = Ε τ ρ = 4 =. σκήσεις ποδεικτικές. ν σε τρίωνο ισχύει = υ, ν ποδείξετε ότι ˆ =. Είνι Ε = ηµ κι Ε = υ ηµ = υ ηµ = ˆ =.

4 4. ν Ε το εµδόν του τριώνου µε πλευρές,,, ν ποδείξετε ότι: i) E < τ(τ ) < ii) E = τ(τ ) = iii) E > τ(τ ) > i) E < τ(τ ) τ( τ )( τ )( τ ) < τ(τ ) ii) τ( τ )( τ )( τ ) < τ ( τ ) ( τ )( τ ) < τ ( τ ) τ τ τ+ < τ τ < τ + τ τ < τ ( + ) < ( + + ) ( + ) < < + = Ίδι κτρφή (ντί ι νισότητες θ έχουµε ισότητες). iii) Ίδι κτρφή. 3. ν δύο τρίων κι είνι εερµµέν στον ίδιο κύκλο, ν ποδείξετε ότι = E πό τον τύπο Ε = έχουµε = 4R = 4R E 4R

5 5 4. Σε τρίωνο µε ˆ φέρουµε τ ύψη Ζ κι Η. Ν ποδείξετε ότι (ΖΗ) = () Ότν ˆ < (ΖΗ) = συν. Η Ζ ηµ () Στο ορθοώνιο τρίωνο Η είνι Η = συν κι στο ορθοώνιο τρίωνο Ζ είνι Ζ = συν () (ΖΗ) = συν συν ηµ = ηµ συν () H Z λλά () = ηµ () (ΖΗ) = () συν Ότν ˆ > Η Ζ ηµ (3) (ΖΗ) = Στο ορθοώνιο τρίωνο Η είνι Η = συν κι στο ορθοώνιο τρίωνο Ζ είνι Ζ = συν Ζ (3) (ΖΗ) = συν συν ηµ = ηµ συν (4) Η λλά () = ηµ κι συν = συν (4) (ΖΗ) = () συν = () συν 5. Σε τρίωνο ν ποδείξετε ότι: Είνι Ε = υ. E = υ. υ + υ + υ = Ε + Ε + Ε = ++ Ε υ + υ + υ = ρ υ = Ε κι κυκλικά. Άρ = τ Ε = τ τρ = ρ

6 6 Σύνθετ Θέµτ. i) ίνετι ωνί xoy ˆ κι στθερό σηµείο Κ στο εσωτερικό υτής. πό το Κ φέρουµε µετλητή ευθεί ε, που τέµνει τις πλευρές Ox, Oy στ σηµεί Μ, Ν OKM + είνι στθερό. ΟΚΝ ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι το άθροισµ ii) Θεωρούµε τρίωνο, σηµείο Κ στο εσωτερικό του κι τ τµήµτ, κι που διέρχοντι πό το Κ. ν Ε, Ε,..., Ε είνι ντίστοιχ τ 6 εµδά των τριώνων Κ, Κ, Κ, Κ, Κ κι Κ, ν ποδείξετε ότι A O Ε + 3 B Ε + Ε = Ε + Ε + Ε i) Κτ ρχήν, µε ορικές θέσεις της ευθείς ε µπορούµε ν εντοπίσουµε την ποσότητ του θροίσµτος. ε x M K N y Μι ορική θέση της ε είνι ν ίνει Κ Oy. Τότε το εµδόν (ΟΚΜ) ίνετι (ΟΚ) κι το ΟΚΝ µηδενίζετι, (ΟΚΝ) πειρίζετι, οπότε το φού το Ν εξφνίζετι στο άπειρο. ντίστοιχ σκεπτόµστε, ότν η ε ίνει Κ Ox. Εδώ ν πρτηρήσουµε ότι το ΟΚ είνι πρ/µµο, άρ (ΟΚ) = (ΟΚ) Θ ποδείξουµε, λοιπόν, ότι ( OKM ) + ( ΟΚΝ ) = ( ΟΚ) ( ΟΚ) + = ( OKM) ( ΟΚΝ ) ΟΚ ή ότι Τ τρίων ΟΚ, ΟΚΜ έχουν κοινό ύψος πό το Κ, άρ ( ΟΚ) ΟΚΜ = Ο ΟΜ = Κ ΟΜ = ΝΚ ΝΜ Οµοίως Άρ ( ΟΚ) ( OKM) ( ΟΚ) ( ΟΚ) + ΟΚΝ = ΟΚΝ = Ο ΟΝ = Κ ΟΝ = ΜΚ ΜΝ ΝΚ ΝΜ + ΜΚ ΜΝ = ΝΚ+ΜΚ ΜΝ = ΜΝ ΜΝ =

7 7 ii) πό το i), µε τέµνουσ Κ, έχουµε Ε + Ε +Ε = c 5 6 κι µε τέµνουσ Κ, έχουµε 6 Κ 5 Ε + Ε +Ε = c Άρ Ε + Ε +Ε = Ε + Ε +Ε Κυκλικά νά δεύτερο δείκτη είνι Ε + Ε +Ε = Ε + Ε +Ε κι Ε + Ε +Ε = Ε + Ε +Ε () + () + (3) Ε + Ε + Ε = Ε + Ε + Ε () () (3). ν ρ, ρ, ρ είνι οι κτίνες των πρεερµµένων κύκλων τριώνου, ν ποδείξετε ότι () = ( τ ) ρ = ρ = τ τ ρ. () = (Ι ) + ( Ι ) ( Ι ) = ρ + ρ ρ ρ ρ Ι ρ = ρ ( + ). () λλά + + = τ + + = τ + = (τ ) () () = ρ (τ ) = ( τ ) ρ Οµοίως οι άλλες δύο ισότητες.

8 8 3. Έστω τετράπλευρο εράψιµο σε κύκλο. ν θέσουµε =, =, δ+ = κι = δ, ν ποδείξετε ότι = +δ ( ο Θεώρηµ Πτολεµίου) δ Έστω R η κτίν του κύκλου. Εφρµόζοντς τον τύπο Ε = έχουµε 4R ( ) = ( ) + ( ) = δ.. = + = ( δ+ ) () 4R 4R 4R ( ) = () + ( ) =. δ. = + = ( +δ ) () 4R 4R 4R () κι () (δ + ) = ( + δ) δ+ = +δ