+ = k+l thuộc H 2= ( ) = (7 2) (7 5) (7 1) 2) 2 = ( ) ( ) = (1 2) (5 7)

Nhớm 3 Bài 1.3 1. (X,.) là nhóm => a X; ax= Xa= X Ta chứng minh ax=x Với mọi b thuộc ax thì b có dạng ak với k thuộc X nên b thuộc X => Với mọi k thuộc X thì k = a( a -1 k) nên k thuộc ax. Vậy ax=x Tương tự Xa=X Do đó: Xa=aX=X 2. (X,.) là nhóm <= a X; ax= Xa= X Vì a X; ax= Xa= X Do đó X,. là nhóm. Bài 1.7 a) CM: ~ là quan hệ tương đương Tính phản xạ: a~a vì Tính đối xứng: a~b ha b~a Tính truyền: x~y y~z x= x= mà ba x~z b) CM: ~ là quan hệ thứ tự trên G G giao hoán G giao hoán => ~ là quan hệ thứ tự trên G Vì ~ đã có tính phản xạ và truyền nên ta chỉ xét tính phản xứng x~y thì y~x (do tính đối xứng đã cm ở trên) x ~y x= x= ~ có tính phản xứng ~ là quan hệ thứ tự trên G ~ là quan hệ thứ tự trên G => G giao hoán 1

Chọn x bất kì thuộc G Ta có x~y ( do tính đối xứng) vì ~ có tính phản xứng y=x Vậy Do đó: ax=xa Vậy G giao hoán Bài 1.11 a) 1= (1 2 3 5 6) (4 7 8) (9 10) = (6 5) (6 3) (6 2) (6 1) (8 7) (8 4) (9 10) 2= (1 5 2 7) = (7 2) (7 5) (7 1) Sign( 1)= -1 4+2+1 = -1 => 1 là hoán vị lẻ Sign( 2 )= -1 3 = -1 => 2 là hoán vị lẻ Cấp của 1 = [5,3,2] = 30 Cấp của 2 = [4] = 4 b) 1 2= (1 2 3 5 6) (4 7 8) (9 10) (1 5 2 7) = (1 6) (2 8 4 7) (3 5) (9 10) 2) 2 = (1 5 2 7) (1 5 2 7) = (1 2) (5 7) ( 2 ) -1 = (7 2 5 1) ( 2 ) -2 = (1 2) (5 7) ( 1 ) 2 = (1 2 3 5 6) (4 7 8) (9 10) (1 2 3 5 6) (4 7 8) (9 10) = (1 3 6 2 5) (4 8 7) ( 1 ) 2 2= (1 3 6 2 5) (4 8 7) (1 5 2 7) = (2 4 8 7 3 6) 1 ( 2 ) 2 = (1 2 3 5 6) (4 7 8) (9 10) (1 2) (5 7) = (1 3 5 8 4 7 6) (9 10) c) 1 ( 2 ) -2 = ( 1 ) 3 ( 2 ) -2 = ( 1 ) -1 ( 1 ) 3 = ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 = (1 3 6 2 5) (4 8 7) (1 2) (5 7) = (1 5 4 8 7) (2 3 6) Bài 1,15 a) Ta có M(2,Q) chứa H H khác rỗng vì thuộc H Với mọi k, l thuộc H: + = k+l thuộc H 2

-k = => -k thuộc H Vậy H là nhóm con của nhóm (M(2,Q),+) x y b) Ta có GL(2,Q) chứa H, vì với mọi số hữu tỉ x, y thì det 2y x và chỉ khi x 2 = 2y 2 khi và chỉ khi x = y = 0 ( vì x, y hữu tỉ) Vậy H là tập con của G. Với k,l thuộc H: ta có kl= = cũng thuộc H. = 0 khi Với k thuộc H: k -1 = H Vậy H (GL(2,Q),.) i) Un={cos( + isin( C* chứa Un Un vì 1 Lấy z,t thuộc Un, ta có zt = [cos( + isin( ] [cos( + isin( ] = cos( + isin( zt thuộc Un Ta có: z thuộc Un => z n =1 => z -n =1 => z -1 thuộc Un Vậy Un (C*,.) ii) iii) C* chứa U U vì 1 Ta có: z,t thuộc U tồn tại k,l thuộc N sao cho z k =1 và t l = 1 ta có: (zt) kl =(z k ) l.(t l ) k =1 do đó: zt thuộc U Ta có: z thuộc U => k *: z k = 1 => z -k =1 Do đó z -1 thuộc U Vậy U (C*,.) C* chứa T T khác rỗng vì 1 T Với z,t thuộc T: zt = z t = 1 Do đó zt T Cho z T => z = 1 => z -1 = 1=> z -1 T 3

Vậy T (C*,.) Bài 1.19 a) C(a) là nhóm con của G: e thuộc C(a). Với mọi x, y thuộc C(a) thì (xy)a = x(ya) = x(ay) = xay = axy = a(xy) do đó xy cũng thuộc C(a). Đồng thời xa = ax nên x -1 a = ax -1 do nhân hai vế với x -1 về bên trái và bên phải. Vậy C(a) là nhóm con của G. Ta chứng minh C(G) là nhóm con của G hoàn toàn tương tự, mặt khác dễ thấy C(G) là tập con của C(a) nên nó cũng là nhóm con của C(a). b) Vì C(G) là nhóm con của C(a) với mọi a thuộc G, nên VT là tập con của VP. Mặt khác nếu x thuộc C(a) thì với mọi a thuộc G ta có xa = ax nên a thuộc C(G). Vậy VP là tập con của VT, nên ta có đpcm. c) G giao hoán khi và chỉ khi với mọi x thuộc G, với mọi y thuộc G thì xy = yx khi và chỉ khi x thuộc C(G) với mọi x thuộc G khi và chỉ khi G là con của C(G) mà C(G) là nhóm con của G nên G giao hoán khi và chỉ khi C(G) = G. d) Gọi H là nhóm con của C(G) nên H là nhóm con của G. Mặt khác với mọi x thuộc G và h thuộc H thì xh = hx( do h thuộc C(G) ) nên xhx -1 = h thuộc H. Vậy H là nhóm con chuẩn tắc của G. e) Ta chứng minh C(GL) = { ai n : a là số thực } Các ma trận có dạng ai n đều thuộc nhóm tâm hóa của GL: (ai n )A = a(i n A) = aa = Aa = A(aI n ) Giả sử A là ma trận thuộc C(GL) suy ra AB = BA với mọi B khả nghịch cấp n. Áp dụng kết quả quen thuộc với mọi ma trận P ta có thể biểu diễn P = B + C với B, C là các ma trận khả nghịch. Do AB = BA và AC = CA nên AP = PA. Vậy AB = BA với mọi ma trận B vuông cấp n. + Xét B = E ij với E ij là ma trận chỉ có phần tử thứ ij bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Cho i = j ta được AB là ma trận chỉ có cột thứ i khác không, và có cột thứ I chính là cột thứ i của A. Còn BA là ma trân chỉ có hàng thứ i khác không, và hàng thứ i chính là hàng thứ I của A. AB = BA suy ra A có các phần tử trên hàng i, cột i đều bằng 0, ngoại trừ phần tử thứ ii. Cho i chạy từ 1 đến n, ta suy ra A là ma trận đường chéo. + Ta xét i = 1, j bất kì. AB là ma trận chỉ có phần tử thứ 1j khác 0, và bằng [A] 11. BA là ma trận chỉ có phần tử thứ 1j khác 0, và bằng [A] jj. Vậỵ [A] 11 = [A] jj Cho j chạy từ 1 đến n suy ra A là ma trận ai n. Vậy C(GL) = { ai n : a là số thực } Bài 1.23 a) i) Chứng minh K là nhóm con chuẩn tắc cua G : Chứng minh K là nhóm con của G : 4

ii) Với mọi a, b thuộc K, tồn tại các số tự nhiên p,q sao cho a p, b q đều thuộc H. Khi đó a pq, b pq cũng thuộc H, do đó đặt n = pq thì a n, b n đều thuộc H. Ta có : ( ab) n = a n b n thuộc H (a -1 ) n = (a n ) -1 thuộc H Do đó ab và a -1 đều thuộc K. Mặt khác K khác rỗng do e thuộc K. => K là nhóm con của G Mà G là nhóm Abel => K là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh H là tập con của K Lấy x thuộc H ta cm x thuộc K tức là tồn tại m thuộc N* sao cho x m thuộc K Chọn m =1 => x thuộc K Vậy H là tập con của K b) Giả sử G/K có 1 phần tử yk có cấp hữu hạn n>1, suy ra yk khác K. nên (yk) n = K => y n K = K Vậy y n thuộc K Do đó tồn tại một số tự nhiên m sao cho (y n ) m thuộc H, hay y mn thuộc H trong đó mn là số tự nhiên. Nên y thuộc K, khi đó thì yk cũng chính là K( vô lí) Vậy trong G/K không có phần tử nào có cấp hữu hạn lớn hơn 1. Bài 1.27. Nhắc lại kết quả bài 1.26. cấp của tích các chu trình rời nhau bằng bội số chung nhỏ nhất của cấp của các chu trình này. a) 20 = 4.5 Suy ra phần tử σ có cấp 20 trong S 9 là tích các chu trình rời nhau, sao cho có một chu trình có độ dài chia hết cho 5, mà độ dài chu trình nhỏ hơn 9, suy ra σ phải chứa một chu trình có độ dài 5. Trừ 5_ chu trình này ra thì chỉ còn lại tối đa 4 phần tử cho các chu trình còn lại, mà bội chung nhỏ nhất của tích các chu trình này phải bằng 4, suy ra đó phải là 4_ chu trình. Vậy các phần tử có cấp 20 trong S 9 phải là tích của hai chu trình rời nhau có độ dài là 4 và 5. b) 18 = 2.3.3. Giả sử phần tử σ có cấp 18 trong S 9 suy ra trong dạng phân tích thành các chu trình rời nhau của σ phải có một chu trình có cấp là bội số của 3. Hơn nữa nếu gọi a là chu trình trong σ có cấp có lũy thừa của 3 trong phân tích thành nhân tử cao nhất so với các chu trình khác trong σ thì cấp của a phải chia hết cho 9 nếu không thì BCNN của các chu trình trong σ không thể chia hết cho 9 được. Vậy σ chứa một chu trình cấp 9, suy ra σ chính là 9_ chu trình, vô lí. Bài 1.31. Giả sử G chỉ có hai nhóm con tầm thường, xét <a> với a khác e thuộc G thì G = <a> do đó G là nhóm cyclic. <a 2 > = <a> do đó tồn tại n nguyên sao cho a 2n = a, hay a 2n 1 = e, dĩ nhiên 2n 1 khác 0, suy ra a có cấp hữu hạn, tức G có cấp hữu hạn là n. 5

Mà nhóm cyclic cấp n có số nhóm con bằng số ước số của n( theo bài 1.34), do đó G phải có cấp nguyên tố. Nếu không dùng kết quả của bài toán 34 thì ta thấy < a d > với d là ước không tầm thường của n( giả thiết n không nguyên tố) không trùng với G. Vì với mọi h nguyên thì (dh,n) chia hết cho d nên dh không thể đồng dư 1 mod n, suy ra a không thuộc < a d >. Vậy n phải nguyên tố. Bài 1.35. a) Nếu G 1, G 2 là các nhóm cyclic có cấp nguyên tố cùng nhau thì G = G 1 x G 2 cyclic. Giả sử G 1 = <a> với a có cấp p, G 2 = <b> với b có cấp q, và (p,q) = 1. Khi đó ta cm G = < (a,b)>. Với mọi x thuộc G, x có dạng ( a h, b k ), vì p, q nguyên tố cùng nhau nên tồn tại m,n để pm qn = k h Dặt t = pm + h = qn + k thì (a,b) t = (a t, b t ) = ( a h, b k ) = x. Vậy G là nhóm cyclic. b) Nếu G cyclic thì G 1, G 2 là các nhóm cyclic có cấp nguyên tố cùng nhau. Giả sử G = < (a,b)>. Khi đó với mọi x thuộc G 1 và y thuộc G 2 thì tồn tại số nguyên n sao cho a n = x và b n = y. Do đó G 1 = <a>, G 2 = <b> Vì G 1, G 2 có tối thiểu 2 phần tử nên a, b đều khác e. Xét (e, b) thuộc G, tồn tại n nguyên sao cho (a,b) n = (e,b), suy ra n khác 0 và a n = e, do đó n chia hết cho cấp a, suy ra G 1 có cấp hữu hạn giả sử là p, tương tự G 2 có cấp q. Giả sử (p, q) = d. Khi đó xét ( a 2, b) = (a,b) h = (a h, b h ) Nên h 2(mod p) 1( mod q) do đó h 2(mod d) 1( mod d) vậy d = 1. Bài 1.39. Với mọi x thuôc H và y thuộc K thì yx -1 y -1 thuộc H nên x yx -1 y -1 thuộc H. x yx -1 thuộc K nên x yx -1 y -1 thuộc K. mà H K = {e} nên x yx -1 y -1 = e hay xy = yx. Bài 1.43. a) Để cm nhóm sinh bởi S là nhóm con chuẩn tắc của G ta chỉ cần cm xsx -1 thuộc <S> với mọi s thuộc S và x thuộc G. Đặc biệt khi đã biết một số phần tử sinh của G thì ta chỉ cần kiểm tra đối với x là phần tử sinh. [G, G] sinh bởi các hoán tử. Do đó ta chỉ cần xét x, y, z bất kì thuộc G và cm z -1 ( x -1 y -1 xy) z thuộc [G, G]. Ta có z -1 x -1 y -1 xy z = (z -1 x -1 zx)(x -1 z -1 y -1 xy z) = (z -1 x -1 zx)[x -1 (yz) -1 x(yz)] thuộc [G, G]. Vậy [G, G] là nhóm con chuẩn tắc của G. b) G/H giao hoán khi và chỉ khi với mọi x, y thuộc G thì xh. yh = yh. xh hay xyh = yxh hay (yx) -1 xy thuộc H. Vậy G/H giao hoán khi và chỉ khi [G, G] chứa trong H. Nói riêng G/ [G, G] giao hoán. Bài 1.47. Áp dụng bài 1.51 suy ra nếu ánh xạ đã cho mà ta đặt là f là đồng cấu thì G abel. 6

Khi G abel ta cm f không những là đồng cấu mà còn là đẳng cấu suy ra f là tự đẳng cấu cảu G. Mà f là đẳng cấu là hiển nhiên do mỗi phần tử của G có 1 phần tử nghịch đảo duy nhất, và quan hệ nghịch đảo có tính chất đối xứng. Bài 1.51. f đồng cấu khi và chỉ khi f(a)f(b) = f(ab) hay a -1 b -1 = (ab) -1 = b -1 a -1. Vậy f là đồng cấu khi và chỉ khi ab = ba với mọi a, b thuộc G -1 mà G -1 = G nên f đồng cấu tương đương G abel. Bài 1.55. 0 1 ς 0 a) Xét nhóm con H của nhóm GL(2, C) sinh bởi a =, b =, trong 1 1 0 0 ς đó ς là căn nguyên thủy bậc n của 1( tức là ς n = 1, và ς k 1 với mọi số nguyên dương k nhỏ hơn n. Ta có a 2 = I n = e, b -1 1 1 ς 0 0 ς =, ab = 0 ς = b -1 a. ς 0 b n n ς 0 = n = e. 0 ς Ta cm các phần tử sau thuộc H là đôi một khác nhau e, a, b, b 2,..., b n-1, ab, ab 2,..., ab n-1 Ta có b k k ς 0 = k, ab k k 0 ς = 0 ς với k chạy từ 1 đến n-1. k ς 0 Vì ς là căn nguyên thủy bậc n của 1 nên ς k 1 do đó ς k ς l và ς -k 1với mọi số dương k, l nhỏ hơn n, Do đó các phần tử kể trên là khác nhau đôi một. b) Ta chứng minh nếu K là nhóm sinh bởi hai phần tử a, b sao cho a, b thỏa mãn các điều kiện a 2 = b n = e, ab = b -1 a thì K chỉ gồm các phần tử e, a, b, b 2,..., b n-1, ab, ab 2,..., ab n-1 mà thôi. n1 n2 n3 Mọi phần tử của nhóm con sinh bởi a, b đều có dạng a b a...(tích hữu hạn) trong đó n i là các số tự nhiên hoặc bằng 0. Nhận xét a k = e nếu k chẵn và a k = a nếu k lẻ( do cấp của a bằng 2) nên trong biểu thức trên có thể giả sử các số mũ n i của a đều là 1( riêng n 1 có thể bằng 1 hoặc 0) n2 n3 nk tức là phần tử tổng quát của K có dạng (a) b ab a... b (a) ( số trong dấu ngoặc nghĩa là có thể có hoặc không) Ta cm b k a = ab -k, hay ab k ab k = e. Ta có với k dương thì ab k a = (aba) k = b -k ( vì (aba)(aca) = abaaca = abca, suy ra dấu bằng đầu tiên trong dãy đẳng thức vừa nêu) Nếu k âm thì cũng từ ab l a = b -l với l = -k, ta có ab -k a = b k nên ab -k = b k a. Vậy là b k a = ab -k với mọi k nguyên. n2 n3 n 2 Áp dụng vào dạng khai triển tổng quát, ta có b ab = a 3 n b, khi đó ta đã làm giảm số lần xuất hiện của b đi 1, áp dụng nhiều lần ta sẽ đưa là dạng tổng quát của n một phần tử thuộc K là (a) b (a).cũng từ công thức b k a = ab -k suy ra dạng trên cũng đưa được về dạng e,a, b k, ab k. 7

Mà a 2 = b n = e Vậy K chỉ có tối đa là 2n phần tử e, a, b, b 2,..., b n-1, ab, ab 2,..., ab n-1. Ta có K đẳng cấu với nhóm thương của nhóm tự do sinh bởi 2 phần tử x,y( mà ta đặt là nhóm G) trên nhóm con chuẩn tắc sinh bởi các phần tử x 2, y n, yxyx mà ta đặt là nhóm chuẩn tắc R. c) Theo hai câu a, b ở trên ta thấy H chính là một trong các nhóm K, vì nếu H đẳng cấu với nhóm thương G / T thì hiển nhiên là R là nhóm con của T, khi đó thì nhóm G/T phải có số phần tử nhỏ hơn hoặc bằng số phần tử của nhóm G/R, do đó T = R. Vậy H chính là nhóm nhị diện D n, và theo chứng minh trên thì các nhóm nhị diện D n đều đẳng cấu với nhau, cùng đẳng cấu với nhóm thương của nhóm tự do sinh bởi 2 phần tử x,y( mà ta đặt là nhóm G) trên nhóm con chuẩn tắc sinh bởi các phần tử x 2, y n, yxyx. Bài 1.59. a) f(e) = f(x n ) = ( f(x)) n = y n nên y có cấp là ước số của n. b) Mỗi ánh xạ f từ G vào G hoàn toàn được xác định khi biết f(x), theo câu a, thì f(x) có cấp là ước số của n nên tương ứng đã cho là đơn ánh. Với y thuộc G có cấp là ước số của n xét ánh xạ f từ G vào G biến x k thành y k với mọi số nguyên k. Ta cm f xác định. Vì với t = x k = x l thì k l là bội của n do đó y k = y l, suy ra f(t) luôn nhận một giá trị duy nhất. Việc kiểm tra tính đồng cấu của f khá dễ dàng do cách xác định ở trên. Vậy tương ứng đã cho là song ánh. Bài 1.63. Ta có với mọi (a,b), (x,y) thuộc G 1 x G 2 thì p 1 (a,b)p 1 (c,d) = ac = p 1 ((a,b)(c,d)) = p 1 (ac,bd). Do đó p 1 là đồng cấu. Mặt khác với mọi a thuộc G 1 p 1 (a,e) = a. Vậy p 1 là toàn cấu. Ker(p 1 ) = { (e,b), b thuộc H 2 } = H 2. Tương tự cho p 2. b) Cm hoàn toàn tương tự câu a. c) Theo câu a, G/H 1 đẳng cấu G 2, mà G 2 đẳng cấu với H 2 qua đẳng cấu biến a thuộc G 2 thành (e, a). Suy ra G/H 1 đẳng cấu với H 2. d) (a,b) = (a,e)(e,b) suy ra G = H 1.H 2. Bài toán tổng quát: cho G i là nhóm với i từ 1 đến n. G = G 1 x G 2 x... x G n. H i = {e} x {e} x.. x G i x {e} x... x {e}. Ta có H i đẳng cấu G i, và là các nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó phép chiếu p i : G G i (a 1,..., a n ) a i. Là toàn cấu và ker p i = H 1 H 2...H i-1 H i+1...h n. Suy ra G/ H 1 H 2...H i-1 H i+1...h n đẳng cấu H i. Phép nhúng П i : G i G a i ( e,e..., a i, e,..,e). Là đơn cấu và im П i = H i. 8

Nhận xét các nhóm con chuẩn tắc H i của G giao nhau chỉ có e nên chúng giao hoán nhau từng đôi một. G = H 1 H 2...H n Bài 1.67. Trước hết ta kiểm tra rằng ánh xạ f x đã cho là xác định và thuộc vào S(G): Nhận xét từ tính chất giản ước của nhóm ta suy ra ngay ánh xạ f x trên G biến y thành xy là một đơn ánh. Do G hữu hạn nên suy ra f x là song ánh trên G nên thuộc S(G). Ta chứng minh ánh xạ( mà ta đặt là f) biến x thuộc G thành f(x) = f x là một đơn cấu. + f là một đồng cấu: Với mọi x, y,z thuộc G thì f xy (z) = xyz = f x (yz) = f x (f y (z)) = f x f y (z). Vậy f là đồng cấu. + f là một đơn cấu : f(x) = f(y) thì f x (e) = f y (e) hay x=y. Do đó G đẳng cấu với imf mà imf là nhóm con của S(G), do đó mọi nhóm hữu hạn đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm hoán vị. 9