ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 Μάθημ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνί κι ώρ εξέτσης: Δευτέρ, 6/6/16 8: 11: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α Ν λύσετε κι τις 1 σκήσεις του Μέρους Α. Κάθε άσκηση βθμολογείτι με 5 μονάδες. 1. Δίνετι έλλειψη με εξίσωση x 5 + y 16 εκκεντρότητ κι τις εξισώσεις των διευθετουσών της έλλειψης = 1. Ν βρείτε τις συντετγμένες των εστιών, την = 5 κι β =, γ = β γ = 5 γ = 9 γ = ±3 Εστίες: E(3,), E ( 3,) Εκκεντρότητ: ε = γ ε = 3 5 Διευθετούσες x = ε = 5 3. Δίνετι η συνάρτηση f(x) = (x 1), x R. Ν οδείξετε ότι η f στρέφει τ κοίλ ρος τ άνω στο εδίο ορισμού της. f (x) = (x 1) 3 f (x) = 1(x 1) f (x) Άρ στρέφει τ κοίλ ρος τ άνω x R. x R σελίδ 1 ό 1
3. Δίνετι ο ίνκς Α = ( 3 1 ). () Ν οδείξετε ότι A = I (όου Ι είνι ο μονδιίος ίνκς). (β) Ν βρείτε τον ίνκ Β = Α 17 + Α 1 3Α. () Α = ( 3 1 ) ( 3 1 ) = (1 1 ) = I. (β) A = ( ) 3 ( 1) = + 3 = 1 Άρ υάρχει ντίστροφος ίνκς Α 1 Α = Ι Α 1 A = A 1 I (A 1 A) A = A 1 I A = A 1 A = A 1 Α 17 + Α 1 3Α = (A ) 18 A + A 3A = (I) 18 A A = A = A A = (O). Δίνετι η συνάρτηση f(x) = x + x + 5, x [ 1,]. Ν βρείτε κι ν χρκτηρίσετε τ τοικά κρόττ της συνάρτησης f. f(x) = x + x + 5, x [ 1,] df = x + = x = 1 [ 1,] x 1 1 df + f(x) 6 5 Τοικό μέγιστο της συνάρτησης f σε εσωτερικό σημείο είνι το (1,6), Τοικά ελάχιστ εμφνίζοντι στ άκρ του.ο ( 1,) κι (,5) 5. Δίνετι η συνάρτηση f με τύο f(x) = 1 x. () (β) Ν οδείξετε ότι η εξίσωση της εφτομένης της γρφικής ράστσης της f στο σημείο της (,8) είνι (ε): y = x 8. Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης f, την εφτομένη (ε) κι τον ημιάξον Ox. f(x) = 1 x f (x) = x λ εφ = f () = Εξίσωση εφτομένης: y 8 = (x ) y = x 8 E = x E τριγ = x3 6 ] 8 = 6 6 8 = 8 τ. μ. 3 σελίδ ό 1
6. () Ν δώσετε τον ορισμό της ρβολής. (β) Δίνετι η ρβολή y = x με εστί Ε. Σημείο Τ της ρβολής κι σημείο Α της διευθετούσς είνι τέτοι ώστε η ευθεί ΤΑ είνι ράλληλη με τον άξον x x με AE = 6 μονάδες. Αν η ερίμετρος του τριγώνου ΤΑΕ είνι ίση με (1 + 6 ) μονάδες, ν βρείτε το εμβδόν του τριγώνου ΤΑΕ. () Πρβολή είνι ο Γ. Τόος του σημείου του ειέδου ου κινείτι έτσι ώστε ν ισέχει ό στθερό σημείο Ε κι στθερή ευθεί (δ) του ειέδου. Το σημείο Ε ονομάζετι Εστί κι η ευθεί (δ) ονομάζετι διευθετούσ της ρβολής. (β) ό τον ορισμό της ρβολής ΤΑ = ΤΕ Περίμετρος = 1 + 6 TA + TE + AE = 1 + 6 TA + TA + 6 = 1 + 6 TA = 6 Ισχύει (ΑΕ) = (ΑΤ) + (ΤΕ) άρ το τρίγωνο ΑΤΕ είνι ορθογώνιο τρίγωνο. Ε ΑΤΕ = 1 6 6 ΤΑ TE = = 18 τ. μ. 7. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ x, γι x > χρησιμοοιώντς είτε την 6x+8 ντικτάστση x = 3 + τεμθ, < θ < είτε οοιονδήοτε άλλο τρόο. x = 3 + τεμθ, < θ < = τεμθ εφθ dθ εφ θ = τεμ θ 1 εφθ = + τεμ θ 1 = (x 3) 1 = x 6x + 8 x 6x + 8 τεμθ εφθ τεμθ εφθ = dθ = dθ = τεμθ dθ = εφθ εφθ ln τεμθ + εφθ + c = ln (x 3 + x 6x + 8 ) + c σελίδ 3 ό 1
8. Ν βρείτε όσοι ό τους ενιψήφιους ριθμούς ου σχημτίζοντι χρησιμοοιώντς τους φυσικούς ριθμούς 1,, 3,, 5, 6, 7, 8, 9 χωρίς ενάληψη, έχουν το ριν ό το 3 κι το 8 ριν ό το 9 (.χ. ο 1586973 είνι ένς τέτοιος ριθμός). Α τρόος: Αό τις 9 θέσεις ειλέγοντι οι δύο γι ν τοοθετηθούν ρώτ το κι μετά το 3. Αό τις 7 υόλοιες θέσεις ειλέγοντι οι δύο γι ν τοοθετηθεί το 8 κι μετά το 9 Οι υόλοιοι 5 ριθμοί μορούν ν τοοθετηθούν με διάτξη ( 9 ) (7 ) 5! = 97 Β τρόος: Οι 9 ριθμοί μορούν ν τοοθετηθούν με διάτξη 9! στην συνέχει ό τις διτάξεις,3 κι 3, ειτρέετι μόνο το,3 άρ διιρούμε με! Με όμοιο τρόο γι το 8,9 9!!! = 97 Γ τρόος: Το μορεί ν άρει 8 θέσεις οότε νάλογ το διτετγμένο ζεύγος (,3) έχει 8 + 7 + 6 + + + 1 = 36 Στην συνέχει ό τις 7 υόλοιες θέσεις οότε νάλογ το διτετγμένο ζεύγος (8,9) έχει 6 + + + 1 = 1 Οι υόλοιοι ριθμοί τοοθετούντι με 5! τρόους 36 1 5! = 97 9. Δίνετι κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(1,3) κι με κτίν τέτοι ώστε η ρχή των ξόνων Ο ν βρίσκετι εκτός του κύκλου. Αό το Ο φέρουμε τις εφτόμενες ε 1, ε ρος τον κύκλο. Αν η μι ό τις εφτόμενες έχει εξίσωση x y =, ν βρείτε την εξίσωση της άλλης εφτομένης. Έστω η ζητούμενη εφτομένη έχει εξίσωση y = λx λx y = 1 3 λ 1 3 d(k, ε 1 ) = d(k, ε ) = 1 + ( ) λ + ( 1) 5 λ 3 = 5 λ + 1 5 5 = λ 6λ + 9 λ 5 = λ 6λ + 9 + 1 λ + 1 5λ + 5 = λ 6λ + 9 λ + 6λ = λ + 3λ = λ 1 = 1 κι λ = Άρ η εξίσωση της εφτομένης είνι η y = x σελίδ ό 1
1. Σε έν ιχνίδι με ζάρι οι ίχτες Α κι Β ρίχνουν δύο μερόλητ ζάρι ο κάθε ένς κι υολογίζουν κάθε φορά το άθροισμ των ριθμών ου εμφνίζοντι στις άνω έδρες τους. Ο Α κερδίζει το ιχνίδι εάν κτά την ρίψη των δύο ζριών του φέρει άθροισμ ενδείξεων 7 κι ο Β κερδίζει το ιχνίδι εάν κτά την ρίψη των δύο ζριών του φέρει άθροισμ ενδείξεων 1. Οι Α κι Β ίζουν το ιχνίδι, ο ένς μετά τον άλλο, μέχρι ν κερδίσει ο ένς ό τους δύο. Αν ο Α ξεκίνησε ν ίζει ρώτος, () ν βρείτε την ιθνότητ ν κερδίσει ο Β στην ρώτη του ροσάθει. (β) ν βρείτε την ιθνότητ ν κερδίσει το ιχνίδι ο Β. Ορίζουμε τ ενδεχόμεν: Α i : "O A φέρει άθροισμ ενδείξεων 7 στην i του ροσάθει" B i : "O B φέρει άθροισμ ενδείξεων 1 στην i του ροσάθει", i = 1,, 3,, Σύνολο οτελεσμάτων = 36 - Τρόοι γι ν έχουμε άθροισμ 7 είνι {(1,6), (6,1), (, 5), (5,), (3,), (,3)} Η ιθνότητ του Α γι ν κερδίσει σε μι συγκεκριμένη ρίψη είνι, P(A ι ) = 6 36 = 1 6 Η ιθνότητ του Α γι ν μην κερδίσει σε συγκεκριμένη ρίψη, P (A ι ) = 1 1 6 = 5 6 - Τρόοι γι ν έχουμε άθροισμ 1 είνι {(,6), (6,), (5,5)} - Η ιθνότητ του Β γι ν κερδίσει σε μι συγκεκριμένη ρίψη P(B i ) = 3 36 = 1 1 - Η ιθνότητ του Β γι ν χάσει σε συγκεκριμένη ρίψη, P(B i ) = 1 1 1 = 11 1 () P(A 1 ) P(B 1 Α 1 ) = 5 6 1 1 = 5 7 (β) Η ζητούμενη ιθνότητ ισούτι με = P(A 1 ) P(B 1 ) + P(A 1 ) P(B 1 ) P(A ) P(B ) + = 5 6 1 1 + 5 6 11 1 5 6 1 1 + 5 6 11 1 5 6 11 1 5 6 1 1 + = 5 7 1 11 1 5 6 = 5 17 ΤΕΛΟΣ ΜΕΡΟΥΣ Α σελίδ 5 ό 1
ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΤΟ ΜΕΡΟΣ Β ΜΕΡΟΣ Β Ν λύσετε κι τις 5 σκήσεις του Μέρους Β. Κάθε άσκηση βθμολογείτι με 1 μονάδες. 1. Δίνετι η συνάρτηση y = x x+1 Αφού βρείτε το εδίο ορισμού, τ σημεί τομής της με τους άξονες, τ διστήμτ μονοτονίς, τ κρόττ κι τις σύμτωτες, ν την ρστήσετε γρφικά. y = x. Πεδίο ορισμού, R { 1} Σημείο τομής της με τους άξονες, (,). x+1 dy = x(x+), dy = x =, x = (x+1) Διστήμτ Μονοτονίς x 1 + dy + + y 8 Τ. Μ(, 8) Τ. Ε(,) Αύξουσ στ διστήμτ ( -,-), (,+ ), φθίνουσ (-,-1), (-1,) Κτκόρυφες Aσύμτωτες (K.A.): x lim x 1 x + 1 =, Οριζόντιες Aσύμτωτες (O.A.): lim x x x + 1 =, lim x = + x = 1 x 1 + x + 1 lim x + y = x = (x 1) + x + 1 x + 1 Πλάγιες Ασύμτωτες (Π.Α.) im (x ((x 1))) = lim x+1 im + (x ((x 1))) = lim x+1 y = (x 1) Π. A. x x + K. A. x = + Δεν έχει O. A. x + 1 x+1 = x+1 = Γρφική Πράστση σελίδ 6 ό 1
. Σε έν κουτί Κ 1 υάρχουν ράσινες κι 5 μύρες φνέλες κι σε έν άλλο κουτί Κ υάρχουν 3 γλάζιες κι μύρες φνέλες. Αό μί ομάδ 1 κοριτσιών κι 8 γοριών, ειλέγετι τυχί έν ιδί. Αν είνι κορίτσι θ άρει φνέλες ό το κουτί Κ 1 ενώ ν είνι γόρι θ άρει φνέλες ό το κουτί Κ. Η ειλογή των δύο φνελών θ γίνει τυχί χωρίς εντοοθέτηση. Ν υολογίσετε τις ιθνότητες των ενδεχομένων: () Ε 1 : ν ειλεγεί γόρι κι ν ειλέξει φνέλες διφορετικού χρώμτος. (β) Ε : οι δύο φνέλες ου θ ειλεγούν ν είνι διφορετικού χρώμτος. (γ) Ε 3 : ν έχει ειλεγεί γόρι δεδομένου ότι οι δύο φνέλες ου έχουν ειλεχθεί είνι διφορετικού χρώμτος. (δ) E : ν έχει ειλεγεί γόρι δεδομένου ότι οι φνέλες ου έχουν ειλεχθεί είνι κι οι δύο γλάζιες. Έστω Α ειλέχθηκε γόρι, Δ ειλέχθηκν φνέλες διφορετικού χρώμτος, Γ ειλέχθηκν δύο γλάζιες P(A) = 8 = 5 P(Δ Α) = (3 1 )( 1 ) ( 7 ) = 1 1 = 7 P(A ) = P(Κ) = 3 5 P(Δ Α ) = ( 1 )(5 1 ) ( 7 ) = 1 1 () Ρ(Ε 1 ) = Ρ(Α Δ) = P(Α) P(Δ Α) = 5 7 = 8 35 (β) P(Ε ) = P(Δ) = P(A) P(Δ A) + P(Α ) P(Δ Α ) = 8 + 3 1 = 18 35 5 1 35 (γ) P(Ε 3 ) = P(Α Δ) = P(A Δ) P(Δ) = P(A) P(Δ A) P(Δ) = 5 7 18 = 9 35 (δ) P(E ) = P( A Γ) =1 3. Δίνετι ισοσκελής υερβολή xy = c με εστίες Ε κι Ε. Τ Β (ct, c ) κι Γ (cρ, c ) με t, ρ, κι t, ρ ±1, είνι τυχί σημεί της υερβολής. t ρ () Ν οδείξετε ότι η ευθεί ΒΓ έχει εξίσωση tρy + x = c(t + ρ). (β) Φέρουμε τις εφτόμενες της υερβολής στ σημεί B κι Γ. Ν οδείξετε ότι οι συντετγμένες του σημείου τομής Σ των εφτομένων είνι ( ctρ t+ρ, c t+ρ ). (γ) Αν η ευθεί ΒΓ ερνά ό την εστί Ε, ν βρείτε την εξίσωση της κμύλης άνω στην οοί βρίσκετι ο γεωμετρικός τόος του σημείου Σ. σελίδ 7 ό 1
()λ ΒΓ = (c t c ρ ) ct cρ = 1 tρ Εξίσωση ΒΓ: y c = 1 (x ct) t ytρ cρ = x + ct tρy + x = c(t + ρ). tρ (β) y + xy = y = y x λ εφ = y B = 1 t εξίσωση εφτομένης στο Β y c t = 1 t (x ct) t y + x = ct (1) Ομοίως η εφτομένη στο Γ ρ y + x = cρ () Αό τις (1) κι () έχουμε (t ρ )y = c(t ρ) y = c Σ ( ctρ t + ρ, c t + ρ ) t+ρ ctρ x = t+ρ (γ) Η ΒΓ ερνά ό την εστί τότε οι συντετγμένες της εστίς εληθεύουν την εξίσωση της ΒΓ. Ε(c, c ) tρy + x = c(t + ρ) tρc + c = c(t + ρ) tρ + = t + ρ (3) y = c t+ρ c t + ρ = () y Αντικθιστώντς την () κι (5) στην (3) ροκύτει x c + = y y x + y = c ctρ x(t+ρ) x = ctρ = x(t + ρ) tρ = tρ = x (5) t+ρ c y. Δίνετι κύκλος κ 1 με εξίσωση κ 1 : x + y = 1 ο οοίος τέμνει τον άξον των τετμημένων x x στ σημεί Γ κι Δ. Ένς άλλος κύκλος κ με κέντρο το σημείο Δ κι κτίν ρ με < ρ <, τέμνει τoν κύκλο κ 1 στ σημεί Ζ κι Ζ. Έστω Ζ το σημείο με θετική τετγμένη (y > ) κι Σ το σημείο τομής του κ με το ευθύγρμμο τμήμ ΓΔ. () Ν οδείξετε ότι το εμβδόν του τριγώνου ΔΣΖ δίνετι ό τον τύο Ε(ρ) = ρ ρ (β) Ν βρείτε την κτίν ρ ώστε το εμβδόν του τρίγωνου ΔΣΖ ν είνι μέγιστο. σελίδ 8 ό 1
() x + y = 1 (1) Σημεί τομής με ΟΧ Γ( 1,) Δ(1,) κ : (x 1) + y = ρ () Αφιρώντς την (1) ό την () x + 1 = ρ 1 x = ρ Τότε ( ρ ) + y = 1 τότε y = 1 ( ρ ) = ( ρ ) y = ρ ( ρ ) ρ ρ y = β) Ε(ρ) = ρ ρ Ε(ρ) = (ΣΔ) y z = τότε Ε (ρ) = ρ ρ ρ ρ ρ + ρ ( ρ) ρ = ρ ρ Ε (ρ) = 8ρ 3ρ3 ρ ρ 8 3 Ε + Ε Ε (ρ) = 8ρ 3ρ 3 ρ = ρ = 8 3 Το εμβδόν του τρίγωνου ΔΣΖ είνι μέγιστο ότν ρ = 8 3 5. Έστω δύο συνεχείς συνρτήσεις, f: R R με f( x) = f(x) κι g: R R με g( x) = g(x). () (β) Ν δείξετε ότι: Ν υολογίσετε το: f(x) e g(x) = f(x) + 1 συν x + 5 e ημx + σελίδ 9 ό 1
() f(x) e g(x) = f(x) + 1 e g(x) + 1 + f(x) e g(x) = + 1 f( u) e g( u) + 1 du + f(x) e g(x) = f( x) + 1 e g( x) + 1 du + f(x) e g(x) + 1 f(x) e g(x) + 1 + f(x) e g(x) = f(x)eg(x) + 1 1 + e g(x) + f(x) e g(x) = + 1 ( f(x)eg(x) f(x) + 1 + eg(x) e g(x) + 1 ) = f(x)(eg(x) + 1) 1 + e g(x) = f(x) Θέτουμε u = x, du = x u (β) Αν f(x) = συν x + 5 τότε κι f( x) = συν ( x) + 5 = συν x + 5 = f(x) Αν g(x) = ημx τότε κι g( x) = ημ( x) = ημx = g(x) Αν = Τότε βάσει του () συν x + 5 e ημx + = συν x + 5 (e ημx + 1) = 1 (συν x + 5) = = 1 (ημx + 11x )] 11 = 8 1 (συνx + 1 + 5) ------ Τ Ε Λ Ο Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Η Σ ------ σελίδ 1 ό 1