ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΕΠΑ.Λ. 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι: ( f (x) + g (x)) = f (x) + g(x) Μονάδες 0 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση µιας ποσοτικής µεταβλητής. (Μον. ) β) Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A λέγεται συνεχής, αν για κάθε x 0 A ισχύει: lim f ( x) = f ( x ) x x0 γ) Το εύρος (R) είναι ένα µέτρο διασποράς. Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες και να τις συµπληρώσετε: α) ( x ρ ) β) (συν x) =... =, όπου ρ ρητός αριθµός. 0 (Μον. ) (Μον. ) Μονάδες 6 (Μον. ) (Μον. ) γ) Αν x, x,..., x ν είναι οι τιµές µιας ποσοτικής µεταβλητής X ενός δείγµατος µεγέθους V και w, w,..., w ν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθµισης (βαρύτητας), τότε ο σταθµικός µέσος βρίσκεται από τον τύπο: x=. (Μον. ) Μονάδες 9
ΘΕΜΑ B Οι βαθµοί ενός φοιτητή σε 0 µαθήµατα είναι: όπου: Β. Να αποδείξετε ότι κ =. 4, κ, 5, 6, κ +, 4, 6, κ +, 6, 4 κ= lim x + x x x Β. Για κ =, να υπολογίσετε τη µέση τιµή ( ) Β. Για κ =, να υπολογίσετε τη διακύµανση ( s ). x των βαθµών του φοιτητή. Β4. Για κ =, να υπολογίσετε τον συντελεστή µεταβολής CV. ίνεται ότι,4,8. ΘΕΜΑ Γ Μονάδες 7 Μονάδες 8 Οι ηλικίες των εργαζοµένων σε µια επιχείρηση ακολουθούν περίπου την κανονική κατανοµή. Εάν το 50% των εργαζοµένων έχουν ηλικία µεγαλύτερη των 40 ετών και το 6% των εργαζο- µένων έχουν ηλικία µικρότερη των 5 ετών, να αποδείξετε ότι: Γ. Η µέση τιµή των ηλικιών των εργαζοµένων είναι x= 40. Γ. Η τυπική απόκλιση είναι s = 5. Εάν οι εργαζόµενοι της επιχείρησης είναι 400, να βρείτε: Γ. Πόσοι εργαζόµενοι έχουν ηλικία µεγαλύτερη των 45 ετών. Μονάδες 0 Γ4. Πόσοι εργαζόµενοι έχουν ηλικία µεγαλύτερη των 0 ετών και µικρότερη των 45 ετών.
ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f : µε τύπο: f ( x) = x + x x+. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία. Μονάδες 8. Να βρείτε τις θέσεις, το είδος και τις τιµές των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f. Μονάδες 6. Να βρείτε το σηµείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο οποίο η εφαπτο- µένη είναι παράλληλη στην ευθεία y = x + 07. Μονάδες 6 4. Εάν τα σηµεία Μ (x, y ), Μ (x, y ), Μ (x, y ), Μ 4 (x 4, y 4 ), Μ 5 (x 5, y 5 ) ανήκουν στη γραφική παράσταση της y = f (x) και η τυπική απόκλιση των τετµηµένων x, x, x, x 4, x 5 των Μ (x, y ), Μ (x, y ), Μ (x, y ), Μ 4 (x 4, y 4 ), Μ 5 (x 5, y 5 ) είναι ίση µε, να βρείτε την τυπική απόκλιση των τεταγµένων y, y, y, y 4, y 5 των σηµείων Μ (x, y ), Μ (x, y ), Μ (x, y ), Μ 4 (x 4, y 4 ), Μ 5 (x 5, y 5 ).
ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία Α. α) Λ β) Σ γ) Σ x = p x p p Α. α) ( ) ΘΕΜΑ B β) (συν x) = ηµ x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) w x + w x +... + w x x = ν γ) ν ν ΕΠΑ.Λ. 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ x + x ( x )( x+ ) Β. Είναι = = x+ x x x + x Άρα κ= lim = lim( x+ ) = + =. x x x Β. Για κ = οι βαθµοί του φοιτητή έχουν τις τιµές: 4,, 5, 6, 7, 4, 6, 5, 6, 4, οπότε η µέση τιµή είναι: 4+ + 5+ 6+ 7+ 4+ 6+ 5+ 6+ 4 50 x= = = 5 0 0 B. B4. ( 5) ( 4 5) ( 5 5) ( 6 5) ( 7 5) s = + + + + = 0 4 [ 4 + + + 4] = =, 4. 0 0 s, 4,8 CV= = = = 0, 6. x 5 5
ΘΕΜΑ Γ Γ. Επειδή το 50% των εργαζοµένων αντιστοιχεί στη µέση τιµή x προκύπτει ότι x= 40. Γ. Σύµφωνα µε το παραπάνω διάγραµµα, είναι: x s= 5 και επειδή x= 40 έχουµε 40 s = 5 s = 5. Γ. Σύµφωνα µε το παραπάνω διάγραµµα οι εργαζόµενοι που έχουν ηλικία µεγαλύτερη των 45 ετών αντιστοιχούν σε ποσοστό 6% του πλήθους των εργαζοµένων οπότε θα είναι 6 400 = 64 εργαζόµενοι 00 Γ4. Σύµφωνα µε το παραπάνω διάγραµµα οι εργαζόµενοι που έχουν ηλικία µεγαλύτερη των 0 και µικρότερη των 45 ετών, αντιστοιχεί σε ποσοστό 8,5%, οπότε θα είναι: 8,5 400 = 6 εργαζόµενοι 00 ΘΕΜΑ f ( x) = x + x ( x) + () = = x + x = x + 4 x = ( x 4x+ ) = ( x )( x ). Προκύπτει έτσι ο επόµενος πίνακας µεταβολής:. Είναι ( ) ( )
ηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήµατα (, ] και [, + ), ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, ].. Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση x = µε τιµή f () =. Η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στη θέση x = µε τιµή f () =.. Το σηµείο στο οποίο η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης είναι παράλληλη µε την ευθεία y= x+ 07 προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης f ( x) = x + 4x = x + 4x 4 = 0 ( x x ) ( x ) 4 + 4 = 0 = 0 x =. 4. Για τη δεύτερη παράγωγο της f είναι f ( x) = x + 4x = x + 4 x + () = x + 4. ( ) ( ) ( ) Μεταξύ των τετµηµένων x και των τεταγµένων y υφίσταται η σχέση y = f ( x) y = x + 4. Έτσι για τις αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις ισχύει s y = s x s y = s y = 6.