ΜΜΦ Ι /9-- Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής Ι Το µάθηµα περιλαµβάνει:. Μιγαδικές συναρτήσεις.ανάλυση F ourier α. Σειρές F ourier β. Μετασχηµατισµοί F ourier 3. Συνάρτηση έλτα Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ (Μάθηµα επιλογής. ιαφορικές Εξισώσεις ης τάξης. Ειδικές συναρτήσεις 3. Λογισµός µεταβολών Συνάρτηση δέλτα Οµογενές σχοινί έχει γραµµική πυκνότητα ρ(. Η µάζα του είναι M ρ(d M Στο σηµείο προσθέτουµε τη σηµειακή µά- Ϲα m. Σειρές Fourier: f( ϕραγµένη : (,, f( περιοδική : f( f( +, τότε f( a + a n cos nπ n + b n sin nπ a, a n, b n είναι οι συντελεστές Fourier της f(. Παρατηρούµε την προφανή οµοιότητα (!!! της σειράς Fourier της f( µε την παράσταση του διανύσµατος r ως προς το ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων µε µοναδιαία διανύσµατα,, z : r + + z z. Μετασχηµατισµοί Fourier: f( : (,, f( d υπάρχει, τότε f( F (k F (k e ik dk f( e ik d F (k Μετασχηµατισµός Fourier της f(. Μιγαδικές Συναρτήσεις. Μιγαδικοί Αριθµοί (Μ.Α. - Μιγαδικές Συναρτήσεις (Μ.Σ. -a m a. Παραγώγιση Μ.Σ. - Αναλυτικές Συναρτήσεις (Α.Σ. Η γραµµική πυκνότητα του σχοινιού είναι ρ( ρ( + mδ( όπου δ( για και η µάζα του είναι ρ(d ρ(d +m δ( d }{{} } {{ } M m + M ηλαδή { δ( 3. Ολοκλήρωση Μ.Σ. - Θεωρήµατα auch 4. υναµοσειρές Μ.Σ. - Σειρές Talor και σει- ϱές aurent 5. Λογισµός Υπολοίπων και υπολογισµός ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων 6. Γεωµετρική παράσταση των Μ.Σ. Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. Σηµείωση. Στο κεφάλαιο αυτό που ϑεωρείται γνωστό από το Λύκειο ϑα γίνει µια σύντοµη ανασκόπηση των Μ.Α. Είναι καλό να διαβαστεί πάλι το ϐιβλίο του Λυκείου. Η εξίσωση α έχει λύση για R µόνο όταν α.
Αν ϑέλουµε αυτή να έχει λύση για α και α < τότε πρέπει να επεκτείνουµε το σώµα των πραγµατικών στο σώµα των µιγαδικών αριθµών. Κάθε αλγεβρική εξίσωση : a n n + a n n + + a, (a i Μ.Α. έχει λύσεις στο σώµα των µιγαδικών αριθµών. Ορισµός. Ενας µιγαδικός αριθµός είναι ένα διατεταγµένο Ϲεύγος δύο πραγµατικών αριθµών { α Re z z (a, β, µε α, β R β Im z Ιδιότητες z (α, α (α, β (α, β α α και β β z + z (α, β + (α, β (α + α, β + β (α, β (α, β (α α β β, α β + α β (, (το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης (, (το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού Το διατεταγµένο Ϲεύγος (, το συµβολίζουµε µε i : (, i. Επειδή (β, (, (, β (, β iβ ο Μ.Α. z (α, β γράφεται z (α, β (α, + (, β α + iβ Συµπέρασµα. Ενα µιγαδικό αριθµό µπορούµε να το γράψουµε µε τις µορφές z (α, β α + iβ i (, (, (, n 4k Γενικά ισχύει : i n i n 4k + n 4k + i n 4k + 3 Σηµείωση. Οταν χρησιµοποιούµε τη µορφή : z α+iβ µπορούµε να κάνουµε άφοβα τις πράξεις της άλγεβρας προσέχοντας να ϑέτουµε όπου i. Αν z α + iβ και z α + iβ τότε z + z α + α + i(β + β z z (α α β β + i(α β + α β z α + iβ (α + iβ (α iβ z α + iβ (α + iβ (α iβ α α + β β α + β + i α β α β, z α + β `Ορισµός. Συζυγής του z α + iβ λέγεται ο ΜΑ z α iβ Ιδιότητες: (z ±z z ±z, (z z z z, ( z z z z zz z (α + iβ(α iβ α + β z µέτρο του µιγαδικού αριθµού + α + β Re z (z + z, Im z i (z z Επειδή ένας Μ.Α. είναι ένα διατεταγµένο Ϲεύγος, αυτός µπορεί να παρασταθεί µε ένα ση- µείο του επιπέδου. Το επίπεδο αυτό λέγεται z-µιγαδικό επίπεδο ή z-επίπεδο. β z-επίπεδο r θ z(α,βα + iβ α r z + α + β α r cos θ, cos θ α/r β r sin θ, sin θ β/r Συµπέρασµα: Ενα µιγαδικό αριθµό µπορούµε να τον γράψουµε µε τις εξής µορφές: z (α, β α + iβ r(cos θ + i sin θ re iθ Στην τελευταία µορφή οδηγούµαστε αν ορίσουµε cos θ + i sin θ e iθ Σηµείωση. Αν δοθεί ο µιγαδικός αριθµός z (α, β µπορούν να ϐρεθούν :. Η εικόνα του (το σηµείο στο z-επίπεδο. το µέτρο του, r z, δηλαδή η απόσταση του σηµείου από την αρχή 3. το όρισµά του (arg, δηλαδή η γωνία θ. Είναι ϕανερό ότι το όρισµα του µιγαδικού αριθ- µού δεν ορίζεται µονοσήµαντα. Επειδή arg z arctan β α όρισµα του µιγαδικού αριθµού Αν ορίσουµε όµως Arg z θ µε Arg z < (ή οποιοδήποτε άλλο διάστηµα µήκους τότε arg z θ + kπ, k, ±, ±,...
z- επιπεδο z-επίπεδο z +z zz z z rr r z θθ +θ r z -z z θ r θ z Το Arg του Μ.Α. z είναι απροσδιόριστο. Με τη ϐοήθεια της γεωµετρικής παράστασης του µιγαδικού αριθµού µπορούµε να κάνουµε εύκολα τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης χρησιµοποιώντας τον κανόνα του παραλληλογράµµου. Ορισµός. Απόσταση δύο µιγαδικών αριθµών: κατά γωνία ίση µε το όρισµα του z και πολλαπλασιασµό του µέτρου του z µε το µέτρο του z. Παράδειγµα. Αν κάθε σηµείο του ορθογωνίου OAB πολλαπλασιαστεί µε το Μ.Α. z i e iπ/ ϑα έχουµε ως αποτέλεσµα περιστροφή των σηµείων κατά γωνία π/. ηλαδή ϑα πάρουµε το ορθογώνιο OA B. z-επίπεδο B ρ(z, z z z z z B' A' Με τη ϐοήθεια της γεωµετρικής παράστασης µπο- ϱούν να δειχτούν οι ανισότητες. z z z + z z + z ' O A Σηµείωση. Προσοχή! Μπορούµε να πούµε ότι δύο µιγαδικοί είναι ίσοι (z z αλλά δεν µπο- ϱούµε να πούµε ότι z > z ή z < z. Πολλαπλασιασµός δύο Μ.Α. Επειδή αν z (α, β α + iβ r(cos θ + i sin θ re iθ και τότε z r (cos θ + i sin θ r e iθ z r (cos θ + i sin θ r e iθ Παράδειγµα. Αν z e i3π/4 και z 3e iπ/4, τότε z z z 3e i(3π/4+π/4 6e iπ 6. ηλαδή ο Μ.Α. z έχει περιστραφεί κατά γωνία π/4 και το µέτρο του πολλαπλασιάστηκε επί 3. `Ασκηση. Να δειχτεί ότι αν και τότε z r (cos θ + i sin θ r e iθ z r (cos θ + i sin θ r e iθ z z r r [ cos(θ θ + i sin(θ θ ] r r e i(θ θ ύναµη ενός Μ.Α. z z r r (cos θ + i sin θ (cos θ + i sin θ r r [ cos(θ + θ + i sin(θ + θ ] r r e i(θ +θ z n [ r(cos θ+i sin θ ] n r n (cos nθ+i sin nθ r n e inθ Για z r παίρνουµε τον τύπο του De Moivre Σηµείωση. Ο πολλαπλασιασµός ενός Μ.Α. z µε έναν άλλο Μ.Α. z, παριστάνει στροφή του z (cos θ + i sin θ n (cos nθ + i sin nθ 3
Ασκηση./4 Να ϐρεθεί το µέτρο και το όρισµα του Μ.Α. z ( +i i και να τοποθετηθεί στο z επίπεδο. ος τρόπος - z π z-επιπεδο π/4 π/4 +i -i ( + i ( + i ( + i ( i ( i ( i + i i + + Arg z ( + i ( + i Arg Arg [ i ] i Arg( + i Arg( i [ π ( 4 π ] π 4 Άρα : ( +i z i e iπ ος τρόπος. Επειδή και + i + e iπ/4 e iπ/4 i + e iπ/4 e iπ/4 ϑα έχουµε ( ( + i e iπ/4 z i e iπ/4 ( e iπ/4 e iπ/4 e i(π/4+π/4 e iπ Άρα : z και Arg z π Ρίζα ενός µιγαδικού αριθµού n z z /n εκείνος ο Μ.Α. που όταν υψωθεί στην n-δύναµη δίνει τον αριθµό z. Υπάρχουν n τέτοιοι αριθµοί που ϐρίσκονται από τη σχέση z /n n [ r cos θ + k + i sin θ + k ] n n n r e i(θ+k/n, k,,..., n Παράδειγµα. Να ϐρεθούν οι ϱίζες του i /4. z i, i, θ Argi π, n 4 i /4 i /4 e i(π/+k/4 e iπ/8, k e i(π+k4π/8 e i5π/8, k e i9π/8, k e i3π/8, k 3 Ασκηση. Να δειχτεί ότι για τους µιγαδικούς αριθµούς: z e iπ/8, z e i5π/8 z e i9π/8 και z 4 e i3π/8 ισχύει η σχέση zk 4 i για k,,, 3. Τις ασκήσεις γ,, 6α,β 8β, και 4α του ϕυλλαδίου των ασκήσεων να τις ϕέρετε λυµένες την Παρασκευή 6-- β ΜΜΦ Ι /-- z (α, β α + iβ r(cos θ + i sin θ re iθ z-επίπεδο r θ z(α,βα + iβ α r z + α + β α r cos θ, cos θ α/r β r sin θ, sin θ β/r arg(z arctan β θ + kπ, k, ±, ±, α θ Arg z [, z z r r e i(θ +θ, z n r n e inθ Ασκηση.. Να δειχθεί ότι : ( + i 7 8( + i z-επιπεδο -+i 3π/4 ( i + 7 [ e i 3π 4 z + i z ( + Arg( + i 3π 4 ] 7 8 e i 4 8 e i(5π+ π 4 8 e i5π }{{} 8 e i π 4 8( + i e i π 4 4
Ασκηση. Να ϐρεθούν οι τιµές των και που ικανοποιούν τις εξισώσεις: α ( + i ( i, ϐ + + 3 i( + 3 Για την πρώτη εξίσωση έχουµε: + i i 4i ηλαδή. Εποµένως η εξίσωση α ικανοποιείται όταν και όταν. ηλαδή για όλα τα σηµεία του πραγµατικού άξονα και του ϕανταστικού άξονα. Για τη δεύτερη εξίσωση έχουµε: + + 3 και + 3 + 3 και 3 7 και 7 Μιγαδικές Συναρτήσεις w f(z u(, + iv(, όπου u(,, v(, πραγµατικές συναρτήσεις των, w f(z z + i + }{{ } u +i, z + }{{ } v i ( + i( i Η συνάρτηση w f(z ορίζεται για z(z + κάθε z εκτός από τα σηµεία z, ±i. Η παράσταση w z / είναι συνάρτηση ; w z / [ r cos θ + k +i sin θ + k ], k, [ r cos θ + i sin w z / ] θ, k [ r cos( θ + π + i sin( θ + π], k ηλαδή για κάθε z υπάρχουν δύο τιµές w, η w και η w. Εποµένως η παράσταση w z / δεν είναι συνάρτηση µε την αυστηρή έννοια της συνάρτησης. Οι παραστάσεις αυτές λέγονται πλειότιµες συναρτήσεις ή "συναρτήσεις". Οι και w r [ cos θ + i sin θ ], θ < w r [ cos( θ +π+i sin(θ +π], θ < S z f(z T... w είναι συναρτήσεις και λέγονται κλάδοι της πλειότιµης συνάρτησης w z / Γραφική παράσταση µιας Μ.Σ Κάθε συνάρτηση f(z µπορεί να γραφεί µε τη µορφή w f(z u(, + iv(,. Αντίστροφα, αν έχουµε δύο πραγµατικές συναρτήσεις u(, και v(, µπορούµε να ορίσουµε µια µιγαδική συνάρτηση, αφού τα και µπορούν να γραφούν µε τη µορφή (z + z / και (z z /(i Παραδείγµατα w f(z z ( + i + i u, v Η γραφική παράσταση µιας Μ.Σ. δεν µπορεί να γίνει σε ένα επίπεδο όπως γίνεται για µια πραγ- µατική συνάρτηση. Αυτή γίνεται σε δύο επίπεδα, στο z-επίπεδο όπου παίρνει τιµές η ανεξάρτητη µεταβλητή και στο w-επίπεδο όπου παίρνει τι- µές η συνάρτηση. Με αυτόν τον τρόπο σε κάθε σηµείο z (, του z-επιπέδου που ανήκει στο πεδίο ορισµού S της f(z αντιστοιχεί ένα σηµείο w (u, v του w-επιπέδου. Παράδειγµα. Η συνάρτηση w f(z z z για z e iπ/4 γράφεται : w f(z e iπ/4 z e iπ/4 r e iθ w f(z z i u, v r e i(θ+π/4 5
S z z-επιπεδο v. z..... z 3 f(z w w-επιπεδο Ετσι κάθε σηµείο του z-επιπέδου έχει µια εικόνα στο w-επίπεδο που ϐρίσκεται αν πολλαπλασιάσουµε το µέτρο του z επί και προσθέσου- µε στο όρισµα του τη γωνία π/4. ηλαδή έχου- µε µια περιστροφή του σηµείου z κατά π/4 και πολλαπλασιασµό του µέτρου του επί. ηλαδή, όλα τα σηµεία του τετραγώνου του z-επιπέδου του σχήµατος ϑα έχουν µια εικόνα στο τετράγωνο του w-επιπέδου που έχει πλευρά (ΟΑ και έχει περιστραφεί κατά γωνία π/4. z-επιπεδο v w 3 w w-επιπεδο B' T u Για την συνάρτηση e ισχύει e +! +! + 3 + < ( 3! Ορισµός. Την εκθετική συνάρτηση µε εκθέτη ένα ϕανταστικό αριθµό την ορίζουµε µε τη ϐοή- ϑεια της προηγούµενης σχέσης, ϑέτοντας όπου το i. Ετσι e i + i! + (i + (i3 + i <, <! 3! Η σχέση αυτή γράφεται ακόµη e i! + 4 4! 6 6! + }{{} cos ( + i! 3 3! + 5 5! 7 7! + }{{} sin B ' A' ηλαδή O A f(z / e i π/4 z Στοιχειώδεις συναρτήσεις Η συνάρτηση w P (z a n z n + a n z n + + a z + a όπου a n και a, a,... a n µιγαδικές σταθερές και n ϑετικός ακέραιος αριθµός λέγεται πολυωνυ- µική συνάρτηση ή πολυώνυµο n-ϐαθµού. Η w P (z όπου P (z και Q(z πολυώνυµα, λέγεται ϱητή αλγεβρική Q(z συνάρτηση. O' u e i cos + i sin ( Επίσης e i cos i sin Από τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουµε cos (ei +e i, sin i (ei e i (3 Οι σχέσεις (3 λέγονται τύποι του Euler. Ορισµός. Η εκθετική συνάρτηση e z µε z µια µιγαδική µεταβλητή (z + i ορίζεται από τη σχέση e z e +i e e i e (cos + i sin Εκθετικές συναρτήσεις Η εκθετική συνάρτηση e z µπορεί να οριστεί µε διαφορετικούς τρόπους. Με όποιον τρόπο και αν οριστεί ϑα πρέπει όταν z να οδηγεί στην εκ- ϑετική συνάρτηση της πραγµατικής µεταβλητής, e. Θα ορίσουµε πρώτα τη συνάρτηση e i, πραγ- µατικός αριθµός. Παρατήρηση. Το µέτρο της µιγαδικής συνάρτησης e z είναι e z e. Το όρισµα της Μ.Σ. e z είναι arg e z + k, k, ±, ±, Ιδιότητες. e z e z e z +z, e z e z ez z, (e z n e nz Ασκηση. Να αποδειχτούν οι παραπάνω ιδιότητες. 6
. z3 iπ z-επιπεδο z +i(π/. z 5+i(π/4. f(ze z w-επιπεδο w e 5 e iπ/4 w i e. w 3 - v.. Ασκηση. Που ϐρίσκονται στο w-επίπεδο οι τιµές της συνάρτησης f(z e z όταν z z + iπ/, z z 5 + iπ/4, z z 3 iπ. e π/4 e 5 u Ορισµός. cos z (eiz +e iz, sin z i (eiz e iz (4 Παράδειγµα. Για z 5π + i το cos z είναι cos(5π + i [ e i5π }{{} [e i(5π+i + e i(5π+i ] e + e i5π }{{} e ] (e + e cosh f(z e +i π e e i π ie f(z e 5+i π 4 e 5 e i π 4 f(z 3 e +iπ e e iπ Παρατήρηση. Επειδή e z e e i e e i e και επειδή η πραγµατική συνάρτηση e δεν µηδενίζεται πουθενά (εκτός από το, η Μ.Σ. e z δεν έχει καµµία ϱίζα για z <. `Ασκηση 3. Να αποδείξετε αυτήν την πρόταση µε διαφορετικό τρόπο. Ασκηση 4. Να δειχτεί ότι e imz όταν Im z και m. e imz e im(+i e im e m e m Για και m ισχύει e m e m. ηλαδή, όλα τα σηµεία του επάνω z-ηµιεπιπέδου απεικονίζονται στο µοναδιαίο κύκλο του w-επιπέδου. Ορισµοί. z-επιπεδο Im z > f(ze imz m> v w-επιπεδο W < w Που απεικονίζονται τα σηµεία αυτά όταν m < ; Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Οι σχέσεις (3 µας ϐοηθούν να ορίσουµε τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις µιας µιγαδικής µετα- ϐλητής. u cos(5π + i cosh >! Προσοχή! Το µέτρο των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων µπορεί να είναι µεγαλύτερο της µονάδας. Σηµείωση. Για τις Μ.Σ. cos z και sin z ισχύουν όλες οι τριγωνοµετρικές ταυτότητες. Παραδείγµατα. sin z + cos z [ ] [ i (eiz e iz + (eiz + e ] iz [ ] (e iz + e iz e + (e iz + e iz + e 4 4 4e sin(z + π [ e i(z+π e i(z+π] [e iz e iπ e iz e iπ] i i i ( (eiz e iz i (eiz e iz sin z tan z sin z cos z, cos z cot z sin z sinh z (ez e z, cosh z (ez + e z, tanh z sinh z cosh z ez e z + Οι υπερβολικές συναρτήσεις sinh και cosh συνδέονται µε τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις µέσω των σχέσεων sinh z (ez e z (e i(iz e i(iz i i (ei(iz e i(iz i sin(iz cosh z (ez +e z (e i(iz +e i(iz cos(iz 7
Παράδειγµα. Για τις υπερβολικές συναρτήσεις ισχύει η ταυτότητα cosh z sinh z. Ξεκινώντας από το πρώτο µέλος έχουµε cosh z sinh z 4 (ez + e z 4 (ez e z Σηµείωση. Οι τριγωνοµετρικές και οι υπερ- ϐολικές συναρτήσεις µιας µιγαδικής µεταβλητής είναι µονότιµες συναρτήσεις. Οι αντίστροφες τριγωνοµετρικές και οι αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις που ορίζονται µε τον ίδιο τρόπο που ορί- Ϲονται και οι αντίστοιχες πραγµατικές συναρτήσεις είναι πλειότιµες συναρτήσεις. Σηµείωση. Οι Μ.Σ. sin z, cos z, e z µπορούν να οριστούν απευθείας από τις σειρές: sin z cos z e z ( n (n +! zn+, z < ( n (n! z n, n! zn, z < z < Η συνάρτηση" ln z. ln, ln δεν υπάρχει ln(?, ln( + i? Ορισµός. Ο ϕυσικός λογάριθµος του Μ.Α. z είναι εκείνη η δύναµη στην οποία πρέπει να υψω- ϑεί το e για να µας δώσει τον αριθµό z w ln z z e w (5 Επειδή z + i r(cos θ + i sin θ re iθ και w u + iv ϑα έχουµε re iθ e u+iv re iθ e u e iv (6 Επειδή δύο Μ.Α. είναι ίσοι όταν τα πραγµατικά µέρη είναι ίσα και τα ϕανταστικά µέρη είναι ίσα, ή ακόµα όταν τα µέτρα τους είναι ίσα και τα ορίσµατα τους είναι ίσα ή διαφέρουν κατά ένα ακέ- ϱαιο πολλαπλάσιο του, η σχέση (6 µας οδηγεί στις σχέσεις και ηλαδή e u r u n r n z v θ + k, k, ±, ±,... Οι ασκήσεις: δ, ε, α, β,, 6γ, 7 του ου κεφαλαίου του ϕυλλαδίου των ασκήσεων πρέπει να παραδοθούν λυµένες την Πα- ϱασκευή 5-3-. ΜΜΦ Ι 3/6-- z (α, β α + iβ r(cos θ + i sin θ re iθ S z f(z.. w f(z u(, + iv(, R(, e iφ(, e z e +i e e i,. T w e i cos + i sin e z e, arg(e z + k, k, ±, ±, cos z (eiz + e iz, sin z i (eiz e iz cosh z (ez + e z, sinh z (ez e z cosh z cos(iz, sinh z i sin(iz w ln z n r + i(θ + kπ, k, ±, ±,... Στις προηγούµενες σχέσεις ϑέσαµε n r και όχι ln r για να δηλώσουµε το λογάριθµο του πραγ- µατικού αριθµού r. Παρατηρούµε ότι σε κάθε Μ.Α. z αντιστοιχούν άπειροι αριθµοί ln z. ηλαδή άπειροι αριθµοί για τους οποίους οι δυνάµεις του e δίνουν ως αποτέλεσµα το Μ.Α. z. Ο λογάριθµος µιας µιγαδικής µεταβλητής είναι πλειότιµη συνάρτηση µε άπειρο αριθµό κλάδων. Αν ϑέσουµε k και θ < τότε η πρωτεύουσα τιµή ή ο πρωτεύων κλάδος της συνάρτησης ln z είναι n z n r + iθ Παράδειγµα. Για z, οπότε θ Arg( π, έχουµε ln( n + i(π + k i(k + π, k, ±, ±... 8
ή διαφορετικά e i(k+π. Για z + i, θ Arg( + i π/4 έχουµε ln( + i n + i + i( π 4 + k Παράδειγµα. Να ϐρεθούν οι τιµές της δύναµης i i. i i e i ln i e i[n i +i( π +k] e (k+ π k, ±, ±, n 8 + i ( k + π, k, ±, ±, 4 Ασκήσεις z-επιπεδο v w-επιπεδο Ασκήση.α του ϕυλλαδίου των ασκήσεων (σελ. 4. i5π i3π n&8+ i(+/4π z + i z ( i - +i iπ n&8+ i π /4 u r z -i lnz iπ i3π n&8 Μη ϱητές δυνάµεις µιας µιγαδικής µεταβλητής Η µη ϱητή δύναµη c µιας µιγαδικής µεταβλητής, όπως και στις πραγµατικές µεταβλητές, ορίζεται µε τη ϐοήθεια του λογαρίθµου Ορισµός. z c e c ln z όπου c και z εν γένει µιγαδικοί αριθµοί. Η σχέση αυτή γράφεται ακόµη z c e c[n z +i(θ+k] e c[n z +iθ] e ick k, ±, ±, Γενικά η σχέση z z R παριστάνει όλα τα σηµεία του z επιπέδου που απέχουν από το ση- µείο z απόσταση ίση µε R. ηλαδή παριστάνει τον κύκλο µε κέντρο το σηµείο z και ακτίνα R. Σηµείωση. Η σχέση z z + R e iθ, θ [, ] παριστάνει επίσης τον ίδιο κύκλο. Ασκήσεις στ, η, ια (σελ. 4 του ϕυλλαδίου και. Argz π 3. (`Ασκηση β Im z < z-επίπεδο (Ασκηση γ z-επίπεδο. Re z > όπου z c e cn z και arg (z c c(θ + k. Μπορεί να δειχτεί σχετικά εύκολα ότι Η δύναµη z c είναι : µονότιµη συνάρτηση όταν c ακέραιος αριθµός πλειότιµη συνάρτηση µε πεπερασµένο αριθµό κλάδων όταν c m/n ακέραιος και m, n ακέ- ϱαιοι αριθµοί πλειότιµη συνάρτηση µε άπειρο αριθµό κλάδων όταν c άρρητος αριθµός (πραγµατικός ή µιγαδικός. (Ασκηση ε z-επίπεδο z - z* i (Ασκηση στ Arg zπ/3 `Ασκήση 3 (σελ. 4 του ϕυλλαδίου. α e z+ki e z e ik e z e z π/3 z-επίπεδο ηλαδή η e z είναι περιοδική µε περίοδο i. ϐ e z e (+i e i και (e z [e +i ] e i 9
Άρα e z (e z. Επίσης, επειδή e iz e i( i e e i και (e iz [e i(+i ] e i( i e e i γενικά ισχύει e iz (e iz. Η ισότητα ισχύει (δηλαδή e iz (e iz όταν και i i + n nπ ηλαδή η ισότητα ισχύει όταν z nπ, n, ±, ±,. Ασκηση 5. e z < z? e z < e e i < z-επίπεδο > e e i < e < > f(ze -z v w-επίπεδο w < u Ασκηση 6 (σελ. 4 του ϕυλλαδίου. Να δειχτεί ότι e z+i + e iz e + e. Γνωρίζουµε ότι ισχύει η ανισότητα e z+i + e iz e z+i + e iz `Αρα i (e e cos + (e + e sin cosh sin + i sinh cos u Re [sin z] cosh sin v Im [sin z] sinh cos Με τον ίδιο τρόπο ϐρίσκεται ότι και cos z cosh cos i sinh sin u Re [cos z] cosh cos v Im [cos z] sinh sin Ασκηση 4. Να δειχθεί ότι : γ cos z cos + sinh δ sin z sin + sinh cos z (cosh cos + ( sinh sin cosh cos + sinh sin cosh cos + sinh ( cos cosh cos + sinh sinh cos sinh + (cosh sinh cos }{{} sinh + cos `Οµοια ϐρίσκεται ότι ισχύει sin z sinh + sin Αλλά e z+i e e i(+ e e i(+ e και e iz e i( +i e e i( e Εποµένως ισχύει η ανισότητα που ϑέλουµε να δείξουµε. Ασκηση. Να ϐρεθούν τα πραγµατικά και τα ϕανταστικά µέρη των συναρτήσεων α f(z sin z ϐ f(z cos z sin z i [eiz e iz ] i [ei e e i e ] i [e (cos + i sin e (cos i sin ] i [(e e cos + i(e + e sin ] Σηµείωση. Επειδή sinh τα µέτρα των συναρτήσεων cos z και sin z µπορούν να παίρνουν τιµές στο διάστηµα [,!!! Ασκηση 5/. sin z, z? sin z i (eiz e iz e iz e iz e iz iz ln iz n + i( + k k, ±, ±, iz ik z kπ, k, ±, ±, Σηµείωση. Ολα τα σηµεία z kπ µε το µετασχηµατισµό f(z sin z απεικονίζονται στο w- επίπεδο στο σηµείο w. Οµοια ϐρίσκεται ότι η συνάρτηση f(z cos z µηδενίζεται στα σηµεία z (k+ π, k, ±,
Σηµείωση. Οι µιγαδικές συναρτήσεις sin z και cos z µηδενίζονται εκεί που µηδενίζονται και οι αντίστοιχες πραγµατικές συναρτήσεις. Ασκηση 5/3-5/4. Να ϐρεθούν οι ϱίζες των εξισώσεων : α sinh z, ϐ cosh z, γ cos z α sinh z (ez e z e z z ln z n + i( + k z ikπ, k, ±, ±, ϐ cosh z (ez + e z e z z ln( z n ( + i(π + k z i(k + π, n, ±, ±,... ε cos z (eiz + e iz e iz + e iz 4 e iz + 4e iz (e iz 4e iz + Με το µετασχηµατισµό e iz ω η τελευταία εξίσωση γράφεται ω 4ω + ω 4 ± 6 4 Για ω + 3 έχουµε ± 3 e iz + 3 iz n + 3 + i( + k z k in( + 3, k, ±, ±,... Για ω 3 έχουµε Σηµείωση 3. Ενώ η πραγµατική συνάρτηση sinh έχει µόνο µια ϱίζα (το σηµείο και η πραγ- µατική συνάρτηση cosh δεν έχει καµµία ϱίζα, οι µιγαδικές συναρτήσεις sinh z και cosh z έχουν άπειρες ϕανταστικές ϱίζες. Ασκηση 6. Να ϐρεθούν οι ϱίζες των εξισώσεων: α e z ϐ e z + i 3 ε cos z α e z z ln( z n + i(π + k z n + i(k + π, k, ±, ±, e iz 3 iz n 3 + i( + k z k in( 3, k, ±, ±,... Ασκηση. Να παρασταθούν οι ϱίζες της εξίσωσης cos z στο z επίπεδο. Ποιές είναι οι εικόνες αυτών των σηµείων στο w επίπεδο όταν επιδράσει ο µετασχηµατισµός f(z cos z; Ασκηση 9γ. i ; i e i ln e i[n +i(+k] e in e k k, ±, ±, ϐ e z + i 3 z ln( + i 3 n + i 3 + i(θ + k Επειδή + i 3 και Arg ( + i 3 π 3 οι ϱίζες της εξίσωσης είναι z n + iπ(k +, k, ±, ±, 3 z-επίπεδο n+i3π n+iπ n-iπ f(ze z v w- w-επίπεδο u z-επίπεδο f(ze z n+i7π/3 n+iπ/3 n-i5π/3 v w-επίπεδο w+i3 / u Ασκηση. Να παρασταθούν οι τιµές της w i στο w επίπεδο. Οι ασκήσεις: δ, ε, α, β,, 6γ, 7 του ου κεφαλαίου του ϕυλλαδίου των ασκήσεων πρέπει να παραδοθούν λυµένες την Πα- ϱασκευή 5-3-. ΜΜΦ Ι 4/5-3- z (α, β α + iβ r(cos θ + i sin θ re iθ S z f(z... T w n-iπ/3 n-i3π w f(z u(, + iv(, R(, e iφ(,
Ασκηση 6 (σελ. 4 του ϕυλλαδίου. Να δειχτεί ότι e z+i + e iz e + e. Γνωρίζουµε ότι ισχύει η ανισότητα Αλλά e z+i + e iz e z+i + e iz e z+i e e i(+ e e i(+ e και e iz e i( +i e e i( e Εποµένως ισχύει η ανισότητα που ϑέλουµε να δείξουµε. Ασκηση 5/. sin z, z? sin z i (eiz e iz e iz e iz e iz iz ln iz n + i( + k k, ±, ±, iz ik z kπ, k, ±, ±, Σηµείωση 3. Ενώ η πραγµατική συνάρτηση sinh έχει µόνο µια ϱίζα (το σηµείο και η πραγ- µατική συνάρτηση cosh δεν έχει καµµία ϱίζα, οι µιγαδικές συναρτήσεις sinh z και cosh z έχουν άπειρες ϕανταστικές ϱίζες. Παράγωγος µιγαδικής συνάρτησης Ορισµός. Ο Μ.Α. w λέγεται το όριο της Μ.Σ. f(z στο σηµείο z z και γράφουµε όταν lim z z f(z w ε > δ(z, ε > : z µε z z < δ f(z w < ε z-επίπεδο z δ f(z v w-επίπεδο w ε u Σηµείωση. Ολα τα σηµεία z kπ µε το µετασχηµατισµό f(z sin z απεικονίζονται στο w- επίπεδο στο σηµείο w. Οµοια ϐρίσκεται ότι η συνάρτηση f(z cos z µηδενίζεται στα σηµεία z (k+ π, k, ±, Σηµείωση. Οι µιγαδικές συναρτήσεις sin z και cos z µηδενίζονται εκεί που µηδενίζονται και οι αντίστοιχες πραγµατικές συναρτήσεις. Ασκηση 5/3-5/4. Να ϐρεθούν οι ϱίζες των εξισώσεων : α sinh z, ϐ cosh z, γ cos z α sinh z (ez e z e z z ln z n + i( + k z ikπ, k, ±, ±, ϐ cosh z (ez + e z e z z ln( z n ( + i(π + k z i(k + π, k, ±, ±,... Σηµείωση. Στις πραγµατικές συναρτήσεις το σηµείο µπορούµε να το πλησιάσουµε µε δύο τρόπους, από δεξιά και από αριστερά. Στις Μ.Σ η µιγαδική µεταβλητή z µπορεί να πλησιάσει το σηµείο z µε άπειρους τρόπους. Η ύπαρξη του ορίου απαιτεί όταν το z τείνει στο z, µε οποιονδήποτε τρόπο, η f(z να τείνει στον αριθµό w. Αυτή είναι µια χαρακτηριστική διαφορά µεταξύ των πραγµατικών και µιγαδικών συναρτήσεων και σε αυτήν τη διαφορά οφείλονται ορισµένες χαρακτηριστικές ιδιότητες των Μ.Σ. που δεν υπάρχουν στις πραγµατικές συναρτήσεις.. Σηµείωση. `Οταν λέµε ότι το σηµείο z + i τείνει σε ένα σταθερό σηµείο z + i αυτό σηµαίνει ότι και. Θεώρηµα. Η ύπαρξη του ορίου µιας συνάρτησης f(z u(, + iv(, στο σηµείο z + i, δηλαδή lim z z f(z w u + iv ικανοποιείται εάν και µόνο εάν lim u(, u και lim v(, v (, (, (, (,
Θεώρηµα. Αν lim f(z w z z lim F (z W τότε z z και lim [f(z±f (z] lim f(z± lim F (z w ±W z z z z z z lim [f(z F (z] lim f(z lim F (z w W z z z z z z lim z z f(z F (z lim z z f(z lim z z F (z w, W W Ορισµός. Η συνάρτηση f(z λέγεται συνεχής στο σηµείο z z εάν και µόνο εάν ικανοποιούνται οι παρακάτω τρεις συνθήκες:. Η f(z ορίζεται στο σηµείο z. ηλαδή υπάρχει η f(z..το όριο της f(z στο σηµείο z υπάρχει. ηλαδή lim z z f(z w 3. lim z z f(z w f(z Ορισµός. Η f(z λέγεται συνεχής στο πεδίο ορισµού της S όταν είναι συνεχής z ɛs. Θεώρηµα. Αν η f(z u(, + iv(, είναι συνεχής στο σηµείο z +i τότε οι συναρτήσεις u(, και v(, είναι συνεχείς στο σηµείο (, και αντίστροφα. Ιδιότητες της συνέχειας Αν οι συναρτήσεις f(z και g(z είναι συνεχείς στο z τότε είναι συνεχείς και οι συναρτήσεις f(z ± g(z, f(z g(z και f(z/g(z εφόσον ϐέβαια ισχύει g(z. Αν η f(z είναι συνεχής z του πεδίου ορισµού της S τότε είναι ϕραγµένη στο S. ηλαδή υπάρχει µια σταθερά για την οποία ισχύει : f(z < R z ɛs Αν η f(z είναι συνεχής στο πεδίου ορισµού της, S, τότε είναι οµοιόµορφα συνεχής στο S. Για τον ορισµό της οµοιόµορφης συνέχειας ϐλέπε σελ.74 του ϐιβλίου. Ορισµός της παραγώγου Ας είναι w f(z µια συνεχής συνάρτηση στον τόπο D S του z-επιπέδου µε πεδίο τιµών στον τόπο D T του w-επιπέδου. Τα σηµεία z και z z + z του z-επιπέδου απεικονίζονται στα σηµεία w και w w + w του w-επιπέδου. Στη µεταβολή z αντιστοιχεί η 3 D S z-επίπεδο zz + z z z f(z v ww + w w-επίπεδο µεταβολή w w w f(z + z f(z της συνάρτησης. Ορισµός. Ονοµάζουµε παράγωγο της f(z ως προς την ανεξάρτητη µεταβλητή z στο σηµείο z ɛ D S το όριο του λόγου w w w z f(z + z f(z z (όταν z εφόσον για το σηµείο z το όριο του λόγου w υπάρχει και είναι ένας πεπερασµένος z αριθµός f w (z lim z z lim f(z + z f(z z z (7 Σηµείωση. Το όριο του λόγου w/ z πρέπει να υπάρχει και να είναι ένας πεπερασµένος αριθ- µός ανεξάρτητα µε ποιον τρόπο το z τείνει στο µηδέν. Το z µπορεί να πλησιάσει στο µηδέν κατά µήκος ενός οποιουδήποτε από τους άπει- ϱους δρόµους που ενώνουν τα σηµεία z και z. Η συνθήκη αυτή επιβάλλει αυστηρούς περιο- ϱισµούς στις συναρτήσεις που έχουν παράγωγο. Αυτός είναι ο λόγος που οι παραγωγίσι- µες Μ.Σ. έχουν κάποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες που δεν έχουν οι πραγµατικές συναρτήσεις. Μια Μ.Σ. µπορεί να έχει παράγωγο µόνο σε ένα σηµείο (π.χ. η f(z z έχει παράγωγο µόνο στο σηµείο στο z, κατά µήκος µιας καµπύλης ή σε έναν τόπο. Μια παραγωγίσιµη συνάρτηση είναι συνεχής συνάρτηση. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν συνεχείς Μ.Σ. που δεν είναι παραγωγίσιµες (π.χ. η f(z z Παράδειγµα. Για την συνάρτηση w f(z z i έχουµε : w z z z f(z + z f(z z i + i D T u (z + z z z
Ενα τυχαίο σηµείο z µπορούµε να το πλησιάσου- µε µε άπειρους τρόπους.. Αν z έτσι ώστε και τότε το όριο του λόγου w/ z είναι w lim z lim. Αν z έτσι ώστε και τότε το όριο του λόγου w/ z είναι w lim z lim i i Επειδή για δύο διαφορετικούς τρόπους, για τους οποίους το z, παίρνουµε διαφορετική τιµή του ορίου του λόγου w/ z (ανεξάρτητα από το σηµείο z, η f(z δεν είναι πουθενά παραγωγίσι- µη. Παράδειγµα. Για τη συνάρτηση w f(z z z z έχουµε : w lim z z w f(z + z f(z (z + z(z + z zz z z + z z + z z w z z z z + z + z lim z z + lim z z z z + lim z + z lim z z z z z Αν z έτσι ώστε και, τότε w lim z z lim w z z +z lim z+z Αν z έτσι ώστε και, τότε w lim z z w lim z z + z i z + z lim i 4 Για z η τιµή του ορίου εξαρτάται από τον τρόπο µε τον οποίο το z. Ετσι η f(z z δεν είναι παραγωγίσιµη για z. Το σηµείο z πρέπει να εξεταστεί χωριστά. Για z έχουµε lim z w z w z z z z lim ( i (, ανεξάρτητα από το πως το z. ηλαδή η παράγωγος της f(z z στο σηµείο z υπάρχει. Παράδειγµα 3. Για την συνάρτηση w f(z z n (n ϕυσικός αριθµός έχουµε : w [ f(z + z f(z (z + z n z n ] z n + nz n z + n(n+! z n ( z + + ( z n z n και w z nz n + n(n+! z n ( z + + ( z n Παρατηρούµε ότι εκτός από τον όρο nz n όλοι οι άλλοι όροι µηδενίζονται όταν z. Ετσι : dz n dz lim w z z nzn όπως και στις πραγµατικές συναρτήσεις. Οι Μ.Σ που δεν έχουν παράγωγο ή έχουν πα- ϱαγώγους µόνο σε αποµονωµένα σηµεία του z- επιπέδου παρουσιάζουν µικρότερο ενδιαφέρον σε σύγκριση µε τις συναρτήσεις που έχουν παράγωγο στην περιοχή ενός σηµείου. Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z έχει παράγωγο στο σηµείο z καθώς και σε κάθε σηµείο µιας περιοχής του z λέγεται αναλυτική ή ολόµορφη στο σηµείο z. Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z είναι αναλυτική σε κάθε σηµείο ενός τόπου λέγεται αναλυτική στον τόπο. Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z είναι αναλυτική για κάθε z: z <, λέγεται ακέραια συνάρτηση (π.χ. η συνάρτηση f(z z n. Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z είναι αναλυτική σε ένα σηµείο, το σηµείο λέγεται οµαλό ή κανονικό σηµείο της f(z.
Ορισµός. Ανώµαλο σηµείο της f(z λέγεται ένα σηµείο στο οποίο η συνάρτηση δεν είναι αναλυτική, ενώ αυτή µπορεί να είναι αναλυτική σε κάθε άλλο σηµείο µιας περιοχής του ϑεωρούµενου ση- µείου. Για παράδειγµα τα σηµεία z και z i είναι ανώµαλα σηµεία της f(z /[z(z i]. Κανόνες παραγώγισης Για τις αναλυτικές συναρτήσεις ισχύουν οι κανόνες παραγώγισης των πραγµατικών συναρτήσεων... 3. 4. 5. d dz [f(z ± g(z] f (z ± g (z d dz [af(z] af (z a σταθερά d dz [f(z g(z] f (z g(z + f(z g (z d f(z dz g(z f (zg(z g (zf(z [g(z] d dz f( g(z df dg dg dz f(z 6. lim z z g(z lim f (z z z g (z f (z g (z κανόνας Hospital όταν lim f(z και lim g(z είναι και τα δύο ή z z z z και τα δύο είναι. Οι ασκήσεις: 4α,β,γ (f, f, f 3, 5α,γ (f, f 3 και 8 του 3ου κεφαλαίου του ϕυλλαδίου των ασκήσεων πρέπει να παραδοθούν λυµένες τη ευτέρα 5-3-. ΜΜΦ Ι 5/8-3- w f(z u(, + iv(, R(, e iφ(, f w (z lim z z lim f(z + z f(z z z Σηµείωση. Το όριο του λόγου w/ z πρέπει να πάρχει και να είναι ένας πεπερασµένος αριθµός ανεξάρτητα µε ποιον τρόπο το z τείνει στο µηδέν. Το z µπορεί να πλησιάσει στο µηδέν κατά µήκος ενός οποιουδήποτε από τους άπειρους δρόµους που ενώνουν τα σηµεία z και z. Η συνθήκη αυτή επιβάλλει αυστηρούς περιορισµούς στις συναρτήσεις που έχουν παράγωγο. (8 5 Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z έχει παράγωγο στο ση- µείο z καθώς και σε κάθε σηµείο µιας περιοχής του z λέγεται αναλυτική ή ολόµορφη στο σηµείο z. Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z είναι αναλυτική σε κάθε σηµείο ενός τόπου λέγεται αναλυτική στον τόπο. Κανόνες παραγώγισης. d dz [f(z ± g(z] f (z ± g (z. d dz [af(z] af (z a σταθερά 3. d dz [f(z g(z] f (z g(z + f(z g (z 4. d f(z dz g(z f (zg(z g (zf(z [g(z] 5. d dz f( g(z df dg dg dz 6. f(z lim z z g(z lim f (z z z g (z f (z g (z κανόνας Hospital όταν lim z z f(z και lim z z g(z είναι και τα δύο ή. Θεώρηµα auch-riemann Αν µια συνάρτηση f(z είναι αναλυτική στο σηµείο z τότε ισχύουν οι συνθήκες auch-riemann u v και u v Επιπλέον ισχύει και ο τύπος υπολογισµού της f (z ή f (z u + i v v i u f (z f i f (9 (αʹ (βʹ Αντίστροφα. Αν ισχύουν οι συνθήκες auch-riemann και οι πρώτες µερικές παράγωγοι των u(, και v(, ως προς και είναι συνεχείς συναρτήσεις τότε η f(z είναι αναλυτική και η f (z ϐρίσκεται από την (9. Απόδειξη. Θα αποδείξουµε µόνο το πρώτο µέρος του ϑεωρήµατος. Το αντίστροφο υπάρχει στο ϐιβλίο (σελ. 79. Επειδή η f(z είναι αναλυτική υπάρχει η παράγωγός της που είναι f (z w lim z z lim f(z + z f(z z z u( +, + u(, lim z + i v( +, + v(, + i lim z + i (
Οταν z έτσι ώστε και η ( γράφεται f u( +, u(, (z lim + i lim u + i v v( +, v(, ( Οταν z έτσι ώστε και η ( γράφεται f u(, + u(, (z lim i + i lim i u + v v(, + v(, i (3 Επειδή η συνάρτηση είναι αναλυτική, δηλαδή το όριο του λόγου w/ z δεν εξαρτάται από τον τρόπο µε τον οποίο το z, πρέπει να ισχύει f (z u + i v v i u και επειδή τα πραγµατικά µέρη πρέπει να είναι ίσα και τα ϕανταστικά µέρη πρέπει να είναι ίσα, οδηγού- µαστε στις εξισώσεις της (9. d Παράδειγµα. Να δειχθεί ότι dz eaz ae z zɛm. Θα δείξουµε την άσκηση για a πραγµατικός αριθ- µός. f(z e az e a e ia e a cos a + ie a sin a Εποµένως u e a cos a, v e a sin a u aea cos a, u aea sin a, u v, v aea cos a v aea sin a u v Ισχύουν οι συνθήκες auch-riemann και u, v, u, v είναι συνεχείς συναρτήσεις zɛ. Εποµένως η f(z είναι αναλυτική συνάρτηση zɛ (εκτός από το σηµείο z και η παράγωγος της είναι f (z u + i v f aea+ia ae az Παράδειγµα (άσκηση 3β του ϕυλλαδίου. Να δειχτεί ότι dz d sin z cos z. Θα χρησιµοποιήσουµε το παράδειγµα και έναν κανόνα παραγώγισης. d dz cos z d [ dz (eiz + e ] iz [ d dz eiz + d dz e iz] (ieiz ie iz i (eiz e iz sin z `Οµοια ϐρίσκεται ότι d sin z cos z dz Παράδειγµα 3 (άσκηση 4γ του ϕυλλαδίου. d dz tan z d sin z dz cos z (sin z cos z sin z(cos z cos z sin z + cos z cos z cos z Σηµείωση. Για την εύρεση της παραγώγου µιας µιγαδικής συνάρτησης µπορούµε να ακολουθήσουµε τους παρακάτω τρόπους: Από τον ορισµό της παραγώγου (σχέση (8. Από το Θεώρηµα auch-riemann (σχέσεις (9 και (5. Το ϑεώρηµα αυτό είναι πολύ χρήσιµο και στη διαπίστωση της µη αναλυτικότητας µιας µιγαδικής συνάρτησης. Αν γνωρίζουµε τις παραγώγους µερικών ϐασικών συναρτήσεων µπορούµε να ϐρούµε τις παραγώγους άλλων συναρτήσεων που προκύπτουν από αυτές χρησι- µοποιώντας τους κανόνες παραγωγίσεως, όπως ακρι- ϐώς και στις πραγµατικές συναρτήσεις. Αυτός είναι ο λόγος που δε ϑα ασχοληθούµε πάρα πολύ µε την εύρεση των παραγώγων πολλών συναρτήσεων. Αν οι συναρτήσεις f(z και g(z είναι αναλυτικές σε έναν τόπο τότε είναι αναλυτικές και οι συναρτήσεις f(z±g(z, f(z g(z και f(z/g(z εφόσον g(z. Παρακάτω δίνουµε τις εκφωνήσεις δύο ασκήσεων ως συµπλήρωµα της ϑεωρίας. Συµπλήρωµα της ϑεωρίας, (άσκηση 8 του ϕυλλαδίου. Να δειχθεί ότι αν χρησιµοποιήσουµε πολικές συντεταγµένες (z re iθ, η παράγωγος µιας αναλυτικής συνάρτησης µπορεί να ϐρεθεί από τη σχέση f (z f iz θ r f z r (5 6
και οι συνθήκες auch-riemann γράφονται : u r v r θ, v r u r θ (6 Συµπλήρωµα της ϑεωρίας (άσκηση 7 του ϕυλλαδίου. Να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση f(z είναι αναλυτική τότε f z f (z και f z ηλαδή, οι αναλυτικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις µόνο του z και όχι του z. Η παρατήρηση αυτή ϐοηθάει στην εύρεση της µορφής της αναλυτικής συνάρτησης αν είναι γνωστό το πραγ- µατικό και το ϕανταστικό µέρος της f(z. Για παράδειγµα η µορφή της αναλυτικής συνάρτησης f(z + i ( µπορεί να ϐρεθεί ϑέτοντας z (δηλαδή f(z z [ + i ( ] i και στην συνέχεια ϑέτοντας z f( z f(z i z Παράδειγµα 4. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(z e z είναι µη αναλυτική για κάθε τιµή του z. (α Η άσκηση µπορεί να δειχτεί χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα auch-riemann f(z e z e i e cos ie sin Εποµένως u e cos, u e sin, u v, u e cos, v e sin v e cos v e sin u v, για, Επειδή οι συνθήκες auch-riemann ισχύουν µόνο για z (, η f(z δεν είναι πουθενά αναλυτική. (ϐ Η άσκηση µπορεί να δειχτεί χρησιµοποιώντας το παραπάνω συµπλήρωµα της ϑεωρίας. Επειδή e z z ez, η f(z δεν είναι αναλυτική Θεώρηµα. Το πραγµατικό και το ϕανταστικό µέρος µιας αναλυτικής συνάρτησης ικανοποιούν την εξίσωση aplace σε δύο διαστάσεις. Απόδειξη Επειδή η f(z είναι αναλυτική ισχύουν οι συνθήκες auch-riemann u v u v u v u v Αν η συνάρτηση v(, έχει συνεχείς δεύτερες µερικές παραγώγους τότε ισχύει v v. `Ετσι από τις δύο προηγούµενες εξισώσεις έχουµε u + u που είναι η εξίσωση aplace στο επίπεδο. `Οµοια ϐρίσκεται ότι v + v Σηµείωση. Επειδή η εξίσωση του aplace είναι µια από τις σπουδαιότερες εξισώσεις της ϕυσικής, από το προηγούµενο ϑεώρηµα µπορούµε να καταλάβου- µε την χρησιµότητα των µιγαδικών συναρτήσεων στη Φυσική. Βλέπε για µια εφαρµογή στο εδάφιο 3.5 στη σελίδα 85 του ϐιβλίου. Ορισµός. Η πραγµατική συνάρτηση u(, που έχει συνεχείς δεύτερες µερικές παραγώγους σε ένα τόπο και ικανοποιεί την εξίσωση του aplace στο επίπεδο λέγεται αρµονική συνάρτηση. Ορισµός. ύο αρµονικές συναρτήσεις u(, και v(, λέγονται συζυγείς αρµονικές όταν η µιγαδική f(z u(, + iv(, είναι αναλυτική συνάρτηση. Σηµείωση. Αν δοθεί µια αρµονική συνάρτηση, ορισµένη σε ένα τόπο, τότε µπορεί να προσδιοριστεί η αρµονική συζυγής της η οποία ϑα περιέχει µια στα- ϑερά ολοκλήρωσης. Ασκηση (του ϕυλλαδίου. Να δειχθεί ότι κάθε αρµονική συνάρτηση u(, σε έναν απλά συνεκτικό τόπο R έχει µια οικογένεια αρµονικών συζυγών συναρτήσεων που διαφέρουν µεταξύ τους κατά µια στα- ϑερά. Συγκεκριµένα να δειχθεί ότι η οικογένεια των αρµονικών συζυγών δίδεται από την σχέση v(, (, (, u d + u d + c 7
Απόδειξη (η απόδειξη είναι εκτός ύλης. Αν u(, είναι αρµονική συνάρτηση και v(, η συ- Ϲυγής αρµονικής της, τότε η f(z u + iv είναι αναλυτική και ισχύουν οι συνθήκες auch-riemann. u v και καθώς και οι εξισώσεις του aplace u v u + u, v + v Το ολικό διαφορικό της v(, είναι από την (9 και ( έχουµε (9 dv v v d + d ( dv u }{{} P (, d + u d ( }{{} Q(, P Λόγω της εξίσωσης aplace ισχύει : Q. Ετσι η εξίσωση ( είναι µια πλήρης εξίσωση διαφορικών και εποµένως v (, (, u d + u d + c ( Το ολοκλήρωµα της ( είναι ανεξάρτητο του δρόµου ολοκλήρωσης αφού οι P (, και Q(, είναι συνεχείς µε συνεχείς πρώτες µερικές παραγώγους (δηλαδή συνεχείς δεύτερες µερικές παραγώγους της u(, στον απλά συνεκτικό τόπο R. Παράδειγµα. Η συνάρτηση u(, είναι αρµονική συνάρτηση αφού u + u. Επειδή u και u η v(,, σύµφωνα µε την προηγούµενη άσκηση, είναι όπου v (, (, u d + u d + c d + + d + c + c ( + ( + c ( + c c c+ + µια νέα αυθαίρετη σταθερά. Η αναλυτική συνάρτηση είναι f(z u + iv + i ( + i c Για z ( f( i + i c. Για z f(z i z + i c. Ασκηση. Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(z z. Λύση. Θα χρησιµοποιήσουµε τις συνθήκες auch - Riemann σε πολικές συντεταγµένες f(z z r e iθ (cos θ i sin θ r u r cos θ, v r sin θ, r u r r cos θ, v r r sin θ, Εποµένως u r v r θ, v θ r cos θ u θ r sin θ v r u r θ, r Ισχύουν οι συνθήκες auch-riemann και οι πρώτες µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς συναρτήσεις για r. Ετσι η παράγωγος είναι f (z f iz ος τρόπος. d dz iz θ iz ( i e iθ r ( θ r e iθ ( r e iθ z z z z z z z Ασκηση. Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(z n z για r και θ < (θ Arg z. Λύση. Η f(z ln z είναι πλειότιµη συνάρτηση. Αν διαλέξουµε όµως τον κλάδο για k και θ < η w n z nr + iθ είναι συνάρτηση. Το πραγµατικό µέρος, το ϕανταστικό µέρος και και οι µερικές παράγωγοι u r, u θ, v v r και θ είναι u(r, θ nr, u r r, u θ, v(r, θ θ v r, v θ Ισχύουν οι συνθήκες auch-riemann σε πολικές συντεταγµένες (σχέσεις (6 και οι µερικές παράγωγοι u r, u θ, v v r και θ είναι συνεχείς συναρτήσεις για 8
r. Εποµένως η παράγωγος τη συνάρτησης nz για r, σύµφωνα µε τη σχέση (5 είναι d dz nz iz nz θ iz i z, r Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε για όλους τους κλάδους της συνάρτησης f(z ln z. Ασκηση (του ϕυλλαδίου. α ίνεται η συνάρτηση u(, 3 +a. Να προσδιοριστεί η παράµετρος a ώστε u(, Ref(z και f(z αναλυτική. ϐ Ποιά είναι η συνάρτηση f(z όταν f( ; (Το ϐ ερώτηµα είναι εκτός ύλης Λύση. α Για είναι η u(, αρµονική πρέπει να ισχύει: Επειδή u 3 + a u 6 u a u a u + u 6 + a a 3 Η συνάρτηση u(, 3 +a για a 3 είναι αρµονική (,. ϐ Οι µερικές παράγωγοι της u είναι u 3 + 3, u 6 Η συζυγής αρµονική συνάρτηση της u σύµφωνα µε την άσκηση είναι µατος v + OA AB 6 d + ( 3 + 3 d }{{}}{{} d 6 d + ( 3 + 3 d +c }{{}}{{} d ( 3 + 3 d + c 3 + 3 + c Η αναλυτική συνάρτηση είναι f(z 3 + 3 + i( 3 + + ic f(z 3 + ic f(z z z 3 + ic Επειδή f(, έχουµε + + ic c i και εποµένως η f(z είναι f(z + z z 3. Ασκηση 4 (του ϕυλλαδίου. Η συνάρτηση f(z u(, + iv(, είναι αναλυτική. Να δειχτεί ότι οι καµπύλες u(, c και v(, c είναι ορθογώνιες εφόσον f (z, όπου z το σηµείο τοµής των u c και v c. Λύση Οι σχέσεις u(, c και v(, c µε c και c δύο σταθερές παριστάνουν δύο καµπύλες στο z- επίπεδο. Στο σηµείο τοµής z τα εφαπτόµενα διανύσµατα αυτών σχηµατίζουν µια γωνία. Πρέπει να δείξουµε ότι αυτά τέµνονται κάθετα. Αρκεί να δείξουµε ότι τα κάθετα διανύσµατα στις εφαπτόµενες, που είναι u και v, τέµνονται κάθετα. z-επιπεδο v (, (, (, (, u d + u d + c 6 d + ( 3 + 3 d + c z uc vc B d d A u v ( u i + u u v + u v ( v j i + v j Το ολοκλήρωµα αυτό είναι ανεξάρτητο του δρόµου ολοκλήρωσης. ιαλέγουµε το δρόµο ΟΑΒ του σχή- Χρησιµοποιούµε τις συνθήκες auch-riemann u v u ( u + u ( u u v 9
Αυτό ισχύει εφόσον στο σηµείο z ισχύει f (z. Αν f (z τότε u u v v u v ζ 3 ζ z ζ z z 3 bz n Οι ασκήσεις: 4α,β,γ (f, f, f 3, 5α,γ (f, f 3 και 8 του 3ου κεφαλαίου του ϕυλλαδίου των ασκήσεων πρέπει να παραδοθούν λυµένες τη ευτέρα 5-3-. ΜΜΦ Ι 6/5-3- Ολοκλήρωση Μιγαδικής Συνάρτησης Επειδή η ολοκλήρωση µιας Μ.Σ. ορίζεται κατά µήκος µιας καµπύλης ϑα αναφέρουµε µερικούς ορισµούς από την ανάλυση. Ενα σύνολο σηµείων (, του επιπέδου λέµε ότι αποτελούν µια συνεχή καµπύλη αν οι συναρτήσεις της πραγµατικής µεταβλητής t(t a t t b (t, (t, t a t t b είναι συνεχείς συναρτήσεις Η συνεχής καµπύλη λέγεται απλά κλειστή καµπύλη αν (t a (t b και (t a (t b και δεν υπάρχουν άλλες τιµές του t που αντιστοιχούν στο ίδιο σηµείο. Η συνεχής καµπύλη λέγεται λεία ή οµαλή όταν οι συναρτήσεις (t, (t και (t, (t είναι συνεχείς και οι παράγωγοι (t, (t δεν µηδενίζονται συγχρόνως για κανένα t. Αν η συνεχής καµπύλη είναι κατά τµήµατα λεία (δηλαδή (t, (t συνεχείς συναρτήσεις και (t, (t κατά τµήµατα συνεχείς τότε λέγεται δρόµος. Το µήκος του δρόµου είναι ta t a [ (t] + [ (t] dt Ορισµός του ολοκληρώµατος Η καµπύλη του σχήµατος είναι ένας δρόµος για τον οποίο γνωρίζουµε τις παραµετρικές του εξισώσεις (t, (t, t a t t b Τα σηµεία (, ((t, (t του δρόµου ορίζουν τη µιγαδική συνάρτηση της πραγµατικής µεταϐλητής t, z z(t (t + i(t az Αυτή είναι συνεχής συνάρτηση του t. Θεωρούµε τη µιγαδική συνάρτηση f(z που ορίζεται zɛ και σχηµατίζουµε το άθροισµα S n n f(ζ j z j, z j z j z j (3 j Τα σηµεία z,..., z n είναι τυχαία σηµεία του δρό- µου που τον χωρίζουν σε τµήµατα και αντιστοιχούν σε αυξανόµενες τιµές της παραµέτρου t(t j+ > t j. Τα σηµεία ζ j είναι τυχαία σηµεία του δρόµου µεταξύ των σηµείων z j και z j. Σηµείωση: Η τιµή του αθροίσµατος S n εξαρτάται από τον τρόπο που χωρίσαµε το δρόµο σε n τµήµατα και από τον τρόπο εκλογής των τυχαίων σηµείων ζ j. Ορισµός: Αν για z j j υπάρχει το όριο του αθροίσµατος S n και είναι ανεξάρτητο του τρόπου µε τον οποίο έχουν εκλεγεί τα σηµεία z j και ζ j, τότε το όριο αυτό λέγεται ολοκλήρωµα της f(z κατά µήκος του δρόµου και συµβολίζεται S lim S n S f(zdz (4 z j Επειδή f(z u + iv και z j ( j j + i( j j j + i j το άθροισµα S n της (3 γράφεται : S n + i n [u(ζ j j v(ζ j j ] j n [v(ζ j j + u(ζ j j ] (5 j Οταν υπάρχει το όριο της (3 για z j υπάρχουν και τα όρια της (5 για j και j j. Ετσι το ολοκλήρωµα της (4 γράφεται S f(zdz ud vd + i vd + ud (6
Τα δύο ολοκληρώµατα της σχέσης (6 υπάρχουν όταν οι πραγµατικές συναρτήσεις και u(, u((t, (t u(t v(, v((t, (t v(t της πραγµατικής µεταβλητής t είναι κατά τµήµατα συνεχής. Εποµένως το ολοκλήρωµα της f(z κατά µήκος του δρόµου υπάρχει όταν η f(z είναι κατά τµήµατα συνεχής επάνω στο δρόµο. Μια άλλη µορφή του ολοκληρώµατος Επειδή z z(t (t + i(t dz dt d dt + id dt η (6 γράφεται S ηλαδή tb t a tb t a (u d dt v d dt dt + i tb t a (u + iv( d dt + id dt dt S tb t a (v d dt + ud dt dt f ( z(t dz(t dt (7 dt Η µορφή αυτή του ολοκληρώµατος είναι πολύ χρήσι- µη επειδή µπορούµε να ολοκληρώσουµε µια Μ.Σ. κατά µήκος ενός δρόµου όπως και τα ορισµένα ολοκλη- ϱώµατα των πραγµατικών συναρτήσεων, αφού ϐρούµε πρώτα τις παραµετρικές εξισώσεις του δρόµου. Σηµείωση. Οταν η παράµετρος t αυξάνει από µια αρχική τιµή t a στην τελική τιµή t b ο δρόµος πρέπει να διαγράφεται από το σηµείο a στο σηµείο b Παράδειγµα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα (z z n dz όταν ο δρόµος ολοκλήρωσης είναι ο κύκλος : z z + re iθ, θɛ[, ] και όταν n. z re iθ z Επειδή dz dθ ireiθ το ολοκλήρωµα γράφεται (z z n dz [re iθ ] n ire iθ dθ ir n+ e i(n+θ dθ ir n+ i(n + ei(n+θ r n+ (n + [ei(n+ e ] Το ολοκλήρωµα αυτό για n δίνει (z z dz i r e iθ ire iθ dθ dθ i Η τιµή του ολοκληρώµατος για n και για n και για το δοσµένο δρόµο είναι { (z z n n dz i n Σε επόµενο µάθηµα ϑα δούµε ότι το αποτέλεσµα αυτό ισχύει για κάθε κλειστό δρόµο που περικλείει το σηµείο z z. Παράγουσα συνάρτηση Το ολοκλήρωµα της f(z κατά µήκος ενός δρόµου µπορεί να υπολογιστεί όπως και ένα ολοκλήρωµα µιας πραγµατικής συνάρτησης όταν σε έναν τόπο του z επιπέδου, που περιέχει το δρόµο, η f(z µπορεί να εκφραστεί ως η παράγωγος µιας άλλης συνάρτησης F (z. ηλαδή f(z F (z. Η F (z λέγεται παράγουσα συνάρτηση της f(z. Ετσι αν f(z F (z f(z dz dt df (z dz dz dt df (z(t dt η σχέση (7 γράφεται tb ( df z(t S dt F (b F (a (8 dt t a ηλαδή, όταν υπάρχει η παράγουσα συνάρτηση της f(z επάνω στο δρόµο, το ολοκλήρωµα εξαρτάται µόνο από τα σηµεία a και b που ενώνουν το δρόµο. Παράδειγµα. Να υπολογιστεί πάλι το ολοκλήρωµα (z z n dz όταν ο δρόµος ολοκλήρωσης είναι το τόξο του κύκλου : z z + re iθ, θɛ[, π] και όταν n.
[ ] Επειδή (z z n d dz n+ (z z n+ και z z r e iθ το ολοκλήρωµα γράφεται (z z n dz (z z n+ ( π r e iθ n+ n + π n + rn+ ( e i(n+π e n + rn+ n + (( n+ r n+ όταν n k + n + όταν n k Ποιά είναι η τιµή του ολοκληρώµατος όταν n ; Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες του ολοκληρώµατος µιας Μ.Σ κατά µήκος ενός δρόµου. Η απόδειξη των ιδιοτήτων είναι απλή και στηρίζεται στον ορισµό του ολοκληρώµατος. b a f(zdz f(z dz a b af(zdz a f(zdz, (a σταθερά f(zdz + f(zdz f(z dz + [f(z + g(z]dz f(zdz + g(z dz b f (zg(zdz f(zg(z b b f(zg (zdz a a (οι συναρτήσεις f(z, g(z είναι αναλυτικές f(zdz f(z dz M M ma z f(z και το µήκος του δρόµου Η τελευταία σχέση λέγεται ανισότητα του Darbou και χρησιµοποιείται στον εύρεση ενός άνω ϕράγµατος του ολοκληρώµατος. Σηµείωση. Η τιµή ενός ολοκληρώµατος εξαρτάται από τη ϕορά διαγραφής του δρόµου. Αν αλλάξουµε τη ϕορά διαγραφής του δρόµου το ολοκλήρωµα αλλάζει πρόσηµο. Οταν ο δρόµος είναι κλειστός λαµβάνεται ως ϑετική ϕορά η ϕορά διαγραφής του δρόµου που είναι αντίθετη µε την κίνηση των δεικτών του ϱολογιού. Το ολοκλήρωµα a τότε το συµβολίζουµε f(zdz ή πιο απλά + f(zdz Την ολοκλήρωση κατά την αρνητική ϕορά τη συµβολίζουµε f(zdz `Ασκηση 3. (4ο κεφάλαιο του ϕυλλαδίου. Να υπολογιστεί ένα άνω ϕράγµα για το µέτρο του ολοκληρώ- µατος nz z dz όπου nz n z + iθ, θ [, και : z re iθ, θ (,. Λύση Επειδή f(z n z + iθ z (nr + θ η µέγιστη τιµή της ολοκληρωτέας συνάρτησης για z είναι (nr M + 4π r Σύµφωνα µε την ανισότητα του Darbou και επειδή το µήκος του δρόµου είναι r, ένα άνω ϕράγµα του µέτρου του ολοκληρώµατος είναι nz z dz (nr + 4π r r (nr r + 4π `Ασκηση 7α (4ο κεφάλαιο του ϕυλλαδίου. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα S z dz όπου ο κλειστός δρόµος του σχήµατος. Λύση S Επειδή : : 3 : 3 + + 3 r z dz z dz + z dz + z dz 3 z, ɛ[, ], dz d z e iθ, θɛ[, π ], dz dθ ieiθ z i, ɛ[, ], dz id
ϑα έχουµε: b z dz z dz 3 z dz π i4 Εποµένως S d (e iθ ie iθ dθ π e iθ e iθ dθ i (i id d z dz + i i Παράδειγµα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα z dz όταν : z re iθ, θ [, ]. z re iθ, z re iθ, dz dθ ireiθ a + (, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του auch ϑα έχουµε : f(zdz f(zdz + f(zdz f(zdz f(zdz f(zdz f(zdz ανεξάρτητο του δρόµου Παράδειγµα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα ez dz όταν + + 3 + 4. S ir z dz re iθ ire iθ dθ ir dθ Από το παράδειγµα και την άσκηση 6 ϐλέπουµε ότι η τιµή ενός ολοκληρώµατος εξαρτάται από το δρόµο ολοκλήρωσης. Θεώρηµα του auch για απλά συνεκτικό τόπο. Αν µια συνάρτηση είναι αναλυτική επάνω στον κλειστό δρόµο και σε κάθε σηµείο του απλά συνεκτικού τόπου που περικλείεται από το δρόµο, τότε f(zdz (9 Η απόδειξη" του ϑεωρήµατος υπάρχει στο ϐιβλίο. Το ϑεώρηµα αυτό είναι πολύ ϐασικό στη ϑεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων. Άµεση συνέπεια του ϑεω- ϱήµατος είναι το παρακάτω πόρισµα. Πόρισµα. Το ολοκλήρωµα της f(z µεταξύ δύο ση- µείων a και b είναι ανεξάρτητο από το δρόµο ολοκλήρωσης, εφόσον η f(z είναι αναλυτική στον τόπο που περικλείεται από δύο διαφορετικούς δρόµους που ενώνουν τα σηµεία a και b και επάνω στους δρό- µους αυτούς. Αν η f(z είναι αναλυτική επάνω στους δρόµους και και σε κάθε σηµείο του τόπου που περικλείεται από αυτούς, τότε αν ορίσουµε τον κλειστό δρόµο 3 4 4 5 Επειδή η f(z e z είναι αναλυτική z (z, η τι- µή του ολοκληρώµατος είναι ανεξάρτητη του δρόµου που ενώνει τα σηµεία z και z 5. Μπορεί εποµένως να υπολογιστεί όπως το ολοκλήρωµα της αντίστοιχης πραγµατικής συνάρτησης αν διαλέξουµε ως δρό- µο ολοκλήρωσης το ευθύγραµµο τµήµα του άξονα που ενώνει τα σηµεία και 5. e z dz 5 5 e d e e 5 Σηµείωση. Πριν από τον υπολογισµό ενός ολοκληρώµατος πρέπει να εξετάζουµε που είναι και που δεν είναι αναλυτική η ολοκληρωτέα συνάρτηση. Αν υπάρχει κάποιος τόπος που περικλείει το δρόµο ολοκλήρωσης και στον οποίο η ολοκληϱωτέα συνάρτηση είναι αναλυτική, τότε διαλέγουµε ως δρόµο ολοκλή- ϱωσης τον πιο απλό δρόµο του τόπου (που έχει τα ίδια οριακά σηµεία, όπως έγινε στο προηγούµενο παράδειγµα. Ασκηση. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα dz z όταν ο δρόµος είναι το τόξο του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων, ακτίνα r και που 3
ενώνει τα σηµεία z + i και z i. Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα σηµεία z και z ; ΜΜΦ Ι 7/9-3- Ολοκλήρωση Μιγαδικής Συνάρτησης z z(t (t + i(t, t a t t b, συνεχής συνάρτηση z και f(z ορίζεται πάνω στον δρόµο. ζ ζ 3 z ζ z az z 3 bz n Αν το όριο του αθροίσµατος S n n f(ζ j (z j z j j υπάρχει ανεξάρτητα από τον τρόπο εκλογής των z j και ζ j, όταν z j z j j, το όριο αυτό λέγεται ολοκλήρωµα της f(z κατά µήκος του δρόµου και συµβολίζεται S lim S n f(z dz z j z j Η τιµή του ολοκληρώµατος εξαρτάται από τη συνάρτηση, το δρόµο και τη ϕορά διαγραφής του. Το ολοκλήρωµα της f(z κατά µήκος του δρόµου µπορεί να γραφεί µε τις µορφές S tb t a f(zdz f ( z(t dz(t dt ud vd + i vd + ud dt (3 Το ολοκλήρωµα της f(z υπάρχει όταν η f(z είναι συνεχής ή κατά τµήµατα συνεχής επάνω στο δρόµο. Αν f(z F (z τότε: tb ( df z(t S dt F (b F (a (3 dt t a ηλαδή, όταν υπάρχει η παράγουσα συνάρτηση της f(z, το ολοκλήρωµα της f(z κατά µήκος του δρόµου εξαρτάται από τα οριακά σηµεία a και b του. Θεώρηµα του auch για απλά συνεκτικό τόπο. Αν µια συνάρτηση είναι αναλυτική επάνω στον κλειστό δρόµο και σε κάθε σηµείο του απλά συνεκτικού τόπου που περικλείεται από το δρόµο, τότε f(zdz (3 Πόρισµα. Το ολοκλήρωµα της f(z µεταξύ δύο ση- µείων a και b είναι ανεξάρτητο από το δρόµο ολοκλήρωσης, εφόσον η f(z είναι αναλυτική στον τόπο που περικλείεται από δύο διαφορετικούς δρόµους που ενώνουν τα σηµεία a και b και επάνω στους δρό- µους αυτούς. Σηµείωση. Πριν από τον υπολογισµό ενός ολοκληρώ- µατος πρέπει να εξετάζουµε που είναι και που δεν είναι αναλυτική η ολοκληρωτέα συνάρτηση. Αν υπάρχει κάποιος τόπος που περικλείει το δρόµο ολοκλήρωσης και στον οποίο η ολοκληϱωτέα συνάρτηση είναι αναλυτική, τότε διαλέγουµε ως δρόµο ολοκλήρωσης τον πιο απλό δρόµο του τόπου (που έχει τα ίδια οριακά σηµεία. Ασκηση. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα dz z όταν ο δρόµος είναι το τόξο του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων, ακτίνα r και που ενώνει τα σηµεία z + i και z i. Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα σηµεία z και z ; Λύση. ος τρόπος. Η η παράγουσα συνάρτηση της f(z z επάνω στο δρόµο είναι : f(z z d ( dz z Εποµένως η τιµή του ολοκληρώµατος εξαρτάται µόνο από τα σηµεία z + i και z i. Το ίδιο ισχύει κατά µήκος οποιουδήποτε δρόµου που ενώνει τα σηµεία αυτά και ϐρίσκεται µέσα στον τόπο. ηλαδή i z dz ( d dz z ( i + i +i --I z i +i + i + + i + i i +i 4
ος τρόπος. z e it, t [ π 4, 5π 4 ], dz dt i e it. 5π/4 z dz π/4 e it i e it dt i 5π/4 e it dt π/4 i i e it 5π/4 π/4 [ e i5π/4 e iπ/4] [ e i4π/4 e iπ/4 e iπ/4] (e iπ }{{} e iπ/4 ( ( cos π 4 i sin π 4 ( i i εν µπορούµε να να χρησιµοποιήσουµε το ευθύγραµ- µο τµήµα που ενώνει τα σηµεία z και z επειδή η συνάρτηση f(z z δεν είναι ϕραγµένη στο σηµείο z του ευθυγράµµου τµήµατος. Σηµείωση : Οταν η ολοκληρωτέα συνάρτηση έχει παράγουσα συνάρτηση ο υπολογισµός του ολοκληϱώ- µατος γίνεται όπως και στα ολοκληρώµατα των πραγ- µατικών συναρτήσεων. Ασκηση 4 (4ο κεφάλαιο του ϕυλλαδίου. Η άσκηση αυτή Ϲητάει τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος +4i +i z dz κατά µήκος τριών δρόµων (ϐλέπε εκφώνηση του ϕυλλαδίου. Λύση Επειδή η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι αναλυτική z (z, η τιµή του ολοκληρώµατος ϑα είναι µόνο µια, όποιο δρόµο και αν χρησιµοποιήσουµε. Ετσι +4i +i z dz +4i 3 z3 [( + 4i 3 ( + i 3] +i 3 86 3 i6 Προσπαθήστε να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα κατά µήκος των τριών δρόµων της εκφώνησης και ελέγξτε ότι παίρνετε το ίδιο αποτέλεσµα. Ασκηση 5 (4ο κεφάλαιο του ϕυλλαδίου. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα zeiz dz, όπου η ευθεία που ενώνει τα σηµεία z i και z i. Λύση Επειδή οι συναρτήσεις z και e iz είναι αναλυτικές z και υπάρχουν οι παράγουσες συναρτήσεις αυτών, µπο- 5 ϱούµε να εφαρµόσουµε τον κανόνα της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης ze iz dz z d i dz (eiz dz (ze iz i i i z e iz dz i i ( i ie + ie e iz dz i i (ie + ie i i i eiz i e + e + (e e e Θεώρηµα του auch για πολλαπλά συνεκτικό τόπο. Αν η f(z είναι αναλυτική συνάρτηση σε έναν κλειστό πολλαπλά συνεκτικό τόπο, που περιορίζεται εξωτερικά από το δρόµο και εσωτερικά από τους δρόµους,,..., n τότε f(zdz f(zdz + + f(zdz (33 n Η απόδειξη ϐρίσκεται στο ϐιβλίο. Παράδειγµα. Να δειχτεί ότι { (z z n n dz όταν n ακέραιος i n και ένας δρόµος που περικλείει το σηµείο z. Λύση Οταν n η f(z (z z n είναι αναλυτική επάνω στο δρόµο και στο εσωτερικό του και σύµφωνα µε το Θεώρηµα του auch για απλά συνεκτικό τόπο έχουµε (z z n dz για n Οταν n < περικλείουµε το σηµείο z µε τον κύκλο : z z r. Σχηµατίζεται ο διπλά συνεκτικός τόπος στον οποίο η f(z (z z n είναι η αναλυτική. Το µόνο ανώµαλο σηµείο της f(z είναι το σηµείο z z που δεν ανήκει στον τόπο. Ετσι σύµφωνα µε το n
z r Θεώρηµα του auch για πολλαπλά συνεκτικό τόπο έχουµε (z z n dz (z z n dz Το τελευταίο ολοκλήρωµα το υπολογίσαµε στο προηγούµενο µάθηµα και είδαµε ότι για : z z +re iθ, θ [, ] ισχύει { (z z n n dz i n Ετσι για κάθε δρόµο που περικλείει το σηµείο z και για n ακέραιος ισχύει η σχέση { (z z n n dz (34 i n Ασκηση. Ποιά είναι η τιµή του ολοκληρώµατος (z z n dz όταν ο δρόµος δεν περικλείει το σηµείο z z ; Θεώρηµα - Τύπος του auch. Αν η f(z είναι µια αναλυτική συνάρτηση επάνω σε έναν κλειστό δρόµο και σε κάθε σηµείο του τόπου που περικλείεται από το δρόµο, τότε για κάθε εσωτερικό σηµείο z του δρόµου ισχύει f(z i Η απόδειξη ϐρίσκεται στο ϐιβλίο. f(z z z dz (35 Παρατήρηση. Σύµφωνα µε τον τύπο του auch, αν µια συνάρτηση είναι αναλυτική σε έναν τόπο και οι τιµές της είναι γνωστές στο σύνορο του τόπου τότε οι τιµές της συνάρτησης στο εσωτερικό του τόπου µπο- ϱούν να ϐρεθούν µέσω του τύπου (35 από τις τιµές της στο σύνορο του τόπου. Με άλλα λόγια αν η f(z είναι αναλυτική σε έναν τόπο, τότε οι τιµές της f(z στο σύνορο του τόπου κα- ϑορίζουν πλήρως τις τιµές της σε όλα τα σηµεία του τόπου. ηλαδή, δεν υπάρχουν περιθώρια εκλογής στον καθο- ϱισµό της f(z στο εσωτερικό του τόπου όταν δοθούν οι τιµές της στο σύνορο του τόπου. Ασκηση (του ϕυλλαδίου. Να δειχθεί ότι z dz, : z R > + z Η f(z z +z z(z+ είναι παντού αναλυτική εκτός των σηµείων z και z. Αποµονώνουµε τα σηµεία z και z µε τους κλειστούς δρόµους και. Στον πολλαπλά συνεκτικό τόπο, µε σύνορα τους δρόµους,, η f(z είναι αναλυτική. Ετσι z + z dz z z z(z + dz + z z + dz + z(z + dz z+ dz (36 z Τα δύο ολοκληρώµατα είναι της µορφής του τύπου του auch. Η συνάρτηση f (z z είναι αναλυτική επάνω και µέσα στο δρόµο. Ετσι z z + dz i i (37 z z Η συνάρτηση f (z z+ είναι αναλυτική επάνω και µέσα στο δρόµο. Ετσι z+ z dz i i (38 z + z Από τις σχέσεις (37 και (38 έχουµε z dz i + i + z Ερώτηση: Ποια είναι η τιµή του ολοκληρώµατος dz z όταν : z R < ; +z Ασκηση β (του ϕυλλαδίου. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα dz, : z. e z z + Η f(z e z z+ είναι αναλυτική z (z. Άρα είναι αναλυτική επάνω και µέσα στο δρόµο. Εποµένως e z z + dz i z e z i e 6