ΣΑΕ Σημειώσεις από τις παραδόσεις Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes Οκτώβριος-Ιανουάριος 207 Τελευταία ενημέρωση: 3 Οκτωβρίου 207 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Υπεύθυνη καθηγήτρια: Ζωή Δουλγέρη, ασκήσεις από τον Παπαγεωργίου Δημήτρη - δεν υπάρχει διαχωρισμός ασκήσεων και θεωρίας. Κεφάλαιο Συστήματα Γνωρίζουμε από τα προηγούμενα μαθήματα τι είναι το σύστημα. Σκοπός του μαθήματος είναι να σχεδιάσουμε έναν "ελεγκτή" ώστε ένα σύστημα να έχει μια επιθυμητή έξοδο. Για παράδειγμα, αν έχουμε έναν κινητήρα που επιθυμούμε να ελέγξουμε, μπορούμε να τον παραστήσουμε με το παρακάτω σχήμα: r E u Σ y όπου: H Σ είναι ο κινητήρας u είναι η τάση εισόδου (που ρυθμίζουμε εμείς) y είναι η έξοδος του συστήματος, εδώ η ταχύτητα του κινητήρα Η ροπή του φορτίου εκφράζει την είσοδο της διαταραχής H είναι ένας μετρητής που μπορούμε να έχουμε για να ελέγχουμε την ταχύτητα του κινητήρα E είναι ο ελεγκτής που θέλουμε να υλοποιήσουμε, ώστε να ρυθμίζει την τάση u εισόδου του κινητήρα για να πετύχουμε την επιθυμητή ταχύτητα. Έχουμε και μία είσοδο αναφοράς που καθορίζει την επιθυμητή έξοδο του συστήματος. Στα πλαίσια των ΣΑΕ βρίσκουμε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος, καθώς και το μαθηματικό μοντέλο του ελεγκτή, και τα υλοποιούμε με φυσικό τρόπο (για παράδειγμα μέσω κυκλωματικών στοιχείων, μικροελεγκτών, arduino κ.ά). Παραδείγματα συστημάτων αυτομάτου ελέγχου είναι: Τα αμορτισέρ του αυτοκινήτου, οι κινητήρες των CD drives, οι κινητήρες των γραμμών παραγωγής (ώστε για παράδειγμα να είμαστε σίγουροι ότι τα υλικά περνάν από έναν κλίβανο ακριβώς για 30 λεπτά, διατηρώντας σταθερή την ταχύτητα μεταφοράς τους), κ.ά.
. Μοντελοποίηση συστημάτων Για το σύστημα ενός σώματος στο οποίο ασκείται δύναμη, έχουμε πολύ απλά: F = mx Για μια δύναμη ελατηρίου, ισχύει F = κ δx, και για μια δύναμη απόσβεσης/ιξώδους: F = dx Ανάρτηση αυτοκινήτου και έναν αποσβεστήρα: Θεωρούμε ότι η ανάρτηση ενός αυτοκινήτου αποτελείται από ένα ελατήριο m x 0 x i ρ Και όπως πριν προκύπτει η σχέση: mx 0 + b( x 0 x i ) + κ(x 0 x i ) = 0 η οποία μπορεί να μετασχηματιστεί κατά Laplace: mx 0 + bx 0 + κx 0 = bx i + κx i ms 2 X 0 (s) + bsx 0 (s) + κx 0 (s) = X (s)bs + κx (s) X 0 (s) X (s) = bs + κ ms 2 + bs + κ Αυτή είναι μία απλή μέθοδος μοντελοποίησης συστημάτων, αλλά η μοντελοποίηση δεν είναι αντικείμενο αυτού του μαθήματος..2 Ορισμοί Ορισμός. Συνάρτηση μεταφοράς: G(s) = Y (s) (έξοδος) U(s) (είσοδος) N(s) (αριθμητής) = D(s) (παρονομαστής) Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: D(s) Θυμόμαστε ότι στα φυσικά συστήματα δεν γίνεται να έχουμε βαθμό του αριθμητή μεγαλύτερο από το βαθμό του παρονομαστή. Ορισμός.2: Μορφές έκφρασης συνάρτησης μεταφοράς H(s) = K(s + z ) (s + z m ) (s + p ) (s + p n ) H(s) = G( + sτ n+) ( + sτ n+m ) ( + sτ ) ( + sτ n ) όπου G = kz z m p p m 2
Ορισμός.3 Πόλοι ονομάζονται οι τιμές p για τις οποίες ισχύει: lim s p H(s) = Μηδενικά ονομάζονται οι τιμές z για τις οποίες ισχύει: lim s z H(s) = 0 Θεώρημα.: Σύνδεση εν σειρά Όταν συνδέουμε δύο απομονωμένα συστήματα εν σειρά, για τις συναρτήσεις μεταφοράς τους ισχύει: G(s) = G (s)g 2 (s) X (s) G (s) X 2(s) G2 (s) X 3(s) Παράδειγμα R R 2 + + u(s) C C 2 y Για το παραπάνω κύκλωμα, αν και έχουμε δύο συστήματα ενωμένα σε σειρά, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα στο παραπάνω κύκλωμα, αφού τα επιμέρους κυκλώματα δεν είναι απομονωμένα και παρουσιάζουν σύνθετες αντιστάσεις εισόδου και εξόδου. Πράγματι, αν επιλύσουμε το κύκλωμα: G (s)g 2 (s) = (R C s + ) (R 2 C 2 s + ) y(s) u(s) = R C R 2 C 2 s 2 + (R C + R 2 C 2 + R C 2 )s + Παρατηρούμε τον όρο R C 2 s που δεν υπάρχει στον απλό πολλαπλασιασμό των δύο συστημάτων..3 Σύστημα κλειστού βρόγχου είσοδος διαταραχής d(s) r(s) w(s) G(s) + y f(s) H(s) 3
Ορίζουμε: συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόγχου: T (s) = y(s) r(s) συνάρτηση μεταφοράς εισόδου διαταραχής: T d (s) = y(s) d(s) Για να υπολογίσουμε την έξοδο του συστήματος, αν δεν λάβουμε υπ' όψιν την είσοδο διαταραχής: y(s) = G(s)w(s) = G(s) (r(s) f(s)) y(s) = G(s) [r(s) H(s)y(s)] y(s) [ + G(s)H(s)] = G(s)r(s) y(s) = G(s)r(s) + G(s)H(s) G(s) T (s) = + G(s)H(s) Αν συμπεριλάβουμε και την είσοδο διαταραχής, το ζητούμενο είναι η είσοδος αυτή να μην επηρεάζει καθόλου (ή όσο το δυνατόν λιγότερο) την έξοδο. Μετά από τις πράξεις: T d (s) = Y (s) d(s) = + G(s)H(s) Παρατηρούμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι το ίδιο στις δύο συναρτήσεις μεταφοράς. Παράδειγμα Θα υπολογίσουμε την έξοδο του συστήματος χωρίς ανάδραση και με ανάδραση σε βηματική είσοδο r(s) u(t). Graph 6 Χωρίς ανάδραση κ y(s) = r(s) s + a y(s) = κ s s + a y(t) = (όπου η σταθερά χρόνου τ = a ) Για t το αποτέλεσμα είναι. Με ανάδραση y(s) = G(s)r(s) + G(s) Παρατηρούμε πως το σύστημα αυτό φτάνει πολύ πιο γρήγορα στην τελική του τιμή..4 Ισοδύναμα λειτουργικά διαγράμματα Για τη διευκόλυνσή της εύρεσης της συνάρτησης μεταφοράς, μπορούμε αντί να βρούμε την έξοδο αλγεβρικά χρησιμοποιώντας ενδιάμεσες συναρτήσεις, να χρησιμοποιήσουμε κανόνες όπως τους παρακάτω: Graph 7 4
Παράδειγμα Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω κανόνες, ή την προηγούμενη μέθοδο, μπορούμε να βρούμε: Graph 8 T (s) = κh 2(s) + H 2 (s)h (s) + H 2 (s).5 Προδιαγραφές Ορίζουμε κάποιες προδιαγραφές που επιθυμούμε να πληροί η έξοδος του συστήματος, όπως η ακρίβεια θέσης, η ταχύτητα της απόκρισης, η ευστάθεια κλπ. Για να μετρήσουμε ποσοτικά αυτά τα κριτήρια, ορίζουμε νέα μεγέθη και χρησιμοποιούμε διάφορες συναρτήσεις ως "εισόδους αναφοράς", όπως την κρουστική δ(t) (για μελέτη ευστάθειας), τη βηματική u(t), την ράμπα, την ημιτονοειδή (για μελέτη απόκρισης συχνότητας και ταχύτητας) κλπ..5. Ακρίβεια Το ζητούμενο της ακρίβειας είναι η τελική έξοδος να είναι κοντά στην επιθυμητή είσοδο. Για να υπολογίσουμε την τελική έξοδο, δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε τον αντίστροφο Μ/Σ Laplace της συνάρτησης για να πάμε στο πεδίο του χρόνου, αλλά αρκεί να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα της τελικής τιμής: f( ) = lim s 0 sf (s) Δηλαδή, για βηματική είσοδο (u(t) den s) σε ένα σύστημα (ss = steady state): y ss = lim s 0.6 Ασκήσεις Άσκηση Ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις μεταφοράς έχουν ρυθμούς (ρίζες του παρονομαστή) που δεν είναι πόλοι; (i) (ii) (iii) (iv) s + 8 (s + 3)(s + 0) s + (s + ) 2 (s + 2) s + 9 (s + 2) 2 + 9 s + (s + )(s + 2) Απάντηση (i) Έχει μηδενικό στο 8 και πόλλους στα 3 και 0. (ii) Έχει μόνο έναν πόλο στο και στο 2. (iii) Έχει μηδενικό στο 9 και πόλους στα 2 + j3 και 2 j3. (iv) Έχει μόνο πόλο στο 2. Η λύση αυτή μπορεί να προκύψει από τους ορισμούς του πόλου και του μηδενικού. 5