Πειραματικο Λυκειο Ευαγγελικης Σχολης Σμυρνης Ì Ü Å Ñ Ø Ò È Ã Ø Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ º ÅÔÓÖÓ Ò Ò Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð ¹ Ö Ö Ò Ñ Ò ÐÐ Ü ÑÓÖ ØÓÙº ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ ØÛÒ Ò Ô Ù ØÛÒ Ð ôò ÙÔ ÒØ ÙÒ Õ ÓÖ ô º Ò ÑÓÒØ Û ÕÓÙÒ Ó ÙÒØ Ø ØÓÙ Ö Ñ Ù Ò ØÙÕ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÙ Ò ÝÓÙÒ Ô Ø ÕÖ ØÓÙº ½ Ë ÔØ Ñ ÖÓÙ ¾¼½¼ ËØÓ Õ Ó Ø Ò Ñ ØÓ L A TEXº
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ ½ ËÙÒ ÖØ 1.1 Συναρτήσεις:Γενικά 1.Στηνισότητα 2x+3y = 4ναεκφράσετετο yσυναρτήσειτου x. y = 2 3 x + 4 3 2.Στηνισότητα x(y +2) = 2xy 1ναεκφράσετετο yσυναρτήσειτου x. y = 2x+1 x 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: (αʹ) f (x) = (βʹ) f (x) = x 2 x+3 x x 3 2x 2 x+2 µ D f = (, 3) [2,+ ) µ D f = R { 1,1,2} = (, 1) ( 1,1) (1,2) (2,+ ) 4.Γιατηνσυνάρτηση fείναιγνωστόότι Εχει πεδίο ορισμού το R Είναι γνησίως αύξουσα. Να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο από τα <, > τις παρακάτω σχέσεις: (αʹ) f (1)...f (4) (βʹ) f (2)...f ( 2 ) (γʹ) f ( 1 2)...f (0) (δʹ) f (x+1)...f (x+2) ³µ < ³µ > ³µ > ³µ < 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: (αʹ) f (x) = ln 2 x 3lnx+2 (βʹ) g(x) = ln 2ex 1 x+2 µ (0,e] [e 2,+ ) µ (, 2) ( ln2,+ ) 6.Δίνεταιησυνάρτηση f(x) = x 2 +x 1.Ναβρείτεγιαποια xισχύει f(x) = 11. x = 4, x = 3 7. Ενα διαγώνισμα του 2001. Εστω η συνάρτηση f (x) = x+1 x 3 3x 2 +2 (αʹ)νακαθορίσετετοπεδίοορισμούτης D f.
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ¾ (βʹ)ναβρείτετηνεξίσωσητηςευθείαςπουδιέρχεταιαπότασημείαk(2,f(2)), Λ(3,f (3)). 8. Ενα διαγώνισμα του 2001. Εστω η συνάρτηση f (x) = x 2 +4x 1 (αʹ)νακαθορίσετετοπεδίοορισμούτης D f. (βʹ)νααποδείξετεότιγιακάθε x,x+1 D f μεισχύει f 2 (x+1) f 2 (x) = 2x+5 9. Εστωησυνάρτηση g(x) = x 2 x.ναεπαληθεύσετετιςισότητες: (αʹ) xg(x) x 2 = 2 (βʹ) g ( ) 1 x +g(x) = 1 x x 10.Ναβρείτετηνεξίσωσητηςευθείας y = αx+βστιςακόλουθεςπεριπτώσεις: (αʹ)διέρχεταιαπότασημεία A(1,2), B( 3,1) (βʹ)διέρχεταιαπότοσημείο A(1,2)καιείναιπαράλληληπροςτηνευθεία y = 2x+5 (γʹ) Διέρχεταιαπότοσημείο A(1,2)καιείναικάθετηπροςτηνευθεία y = 2x+5 µ y = 1 4 x + 7 4 µ y = 2x µ y = 1 2 x + 5 2 11.Δίνεταιησυνάρτηση f (x) = x+ x. (αʹ)ναβρείτετοπεδίοορισμούτης. (βʹ)ναεπαληθεύσετετηνισότητα f(x2 ) x = x +1. ³µ [0,+ ) 12. Εστωησυνάρτηση f με f (x) = x 2 + x 1. Ναβρείτετηνεξίσωσητης ευθείαςπουδιέρχεταιαπότασημεία A(1,f (1)), B( 3,f ( 3)). y = x + 2 13.Σταεπόμενασχήματαναεκφράσετετο yσυναρτήσειτου x. «««Ý ««Ý «(Ι) Ü «(ΙΙ) Ü «
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È «Ý «Ý «Ü «Ç ««Ü (ΙΙΙ) «(IV) 2αηµx Áµ y = α 2 +x 2 ÁÁµ y = x 2 2αx+2α 2 ÁÁÁµ y = α ηµx (IV) y = 14.Ναβρείτετοπεδίοορισμούτηςσυνάρτησης f (x) = x 3 2x+1. D f = [ 1 2 2 1 5, 1 2 + ] 1 2 5 [1,+ ) 15. Εστω f (x) = x + 1 x. Νααποδείξετεότιαν lna + lnb = 0τότεισχύει f (a) = f (b). 16.Γιατηνσυνάρτηση fείναιγνωστόότι: Είναι γνησίως αύξουσα. Εχει πεδίο ορισμού το R. (αʹ) Εστωότι f (x 1 ) < f (x 2 ).Τότεθαείναικαι x 1 < x 2.Γιατί; ( ) ( ) (βʹ)ναβρείτεόλατα xγιαταοποίαισχύει f < f ³µ x < 7 2 < x < 3 2 º x+1 x+2 x 4 x+7 17. Εστωδύοσυναρτήσεις f, g. Εστωακόμη s,dτοάθροισμακαιηδιαφορά τους.αν s(5) = 3και d(5) = 2βρείτετα f (5),g(5). s(5) = 5 2,d(5) = 1 2 18. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: A(0,1),B ( 3 2, 19 ) 4 f (x) = x 2 +x+1 g(x) = 3x 2 2x+1 19.Γιαποιέςτιμέςτων α,β ηγραφικήπαράστασητηςσυνάρτησης f (x) = αx 2 +βx+2διέρχεταιαπότασημεία A( 1,9)και B(2,6); α = 3,β = 4 20. Μία λίμνη μολύνεται από διαρροή τοξικού υγρού. Η ποσότητα, σε λίτρα, ϕ(t)εισρεύσειστηλίμνημετάπάροδοχρόνου tωρώνείναι: 2t 5 t αν t 4 ϕ(t) = 10t 32 αν t > 4 Η διαρροή διήρκεσε 10 ώρες.
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È (αʹ) Να υπολογίσετε πόσα λίτρα τοξικού υγρού διοχετεύθηκαν στη λίμνη. (βʹ)ναβρείτεποιαχρονικήστιγμή t 0 υπήρχανστηλίμνη8λίτρατοξικού υγρού. µ ÐØÖ µ t 0 = 4 21.Είναι g(x) = x+αlnxκαι g(e) = 7.Ναβρείτετο g ( e 2). e 2 2e + 14 22. Στα παρακάτω σχήματα απεικονίζεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f. Σεποιέςπεριπτώσειςμπορούμεναπούμεότιηf παρουσιάζειτοπικό ακρότατοστο x 0 ; f ( x0) f ( x0) (α ) x 0 (β ) x 0 f ( x0) f ( x0) (γ ) x 0 (δ ) x 0 f ( x0) f ( x0) (ε ) x 0 ËØ ³µ ³µ (ς ) x 0 23. Εστωμίασυνάρτηση fμεπεδίοορισμούτο R. (αʹ)νααποδείξετεότιαν x 1 < x 2 καιοαριθμός λ = f(x1) f(x2) x 1 x 2 είναι θετικόςτότεθαείναικαι f (x 1 ) < f (x 2 ). (βʹ)νααποδείξετεότιανγιακάθεζεύγοςx 1 x 2 ισχύειλ = f(x1) f(x2) x 1 x 2 > 0 τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. 24. Να απλοποιήσετε τους τύπους των παρακάτω συναρτήσεων (αʹ) f (x) = x4 16 x 2 4 (βʹ) g(x) = x2 +x 2 x 2 +2x 3 (γʹ) h(x) = 2x2 2x 12 4x 2 4x+8
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È µ f (x) = x 2 + 4 µ g(x) = x+2 x+3 µ h(x) = x 3 2(x 1) 25. Εστωησυνάρτηση ϕ(x) = ηµx+συν2x. (αʹ)ναυπολογίσετετο ϕ(0) (βʹ)ναυπολογίσετετο ϕ ( ) π 4 (γʹ) Ναυπολογίσετετο ϕ ( π 2 x) ϕ ( π 2 +x) µ 1 µ 2 2 µ 0 26. Εστωησυνάρτηση ϕ(x) = 1 ln(x 2). (αʹ)ναβρείτετοπεδίοορισμούτης f. (βʹ)ναβρείτεγιαποιατιμήτου λτοσημείο M (λ,3)ανήκειστηγραφική παράστασητης f. ( (γʹ) Νααποδείξετεότι ϕ 2+e 1 x2) = x. µ (2,e + 2] µ λ = e 8 + 2 1.2 ΟριαΣυναρτήσεων 27. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: (αʹ) lim x 2 x+1 x+2 (βʹ) lim x 5 x+1 x+2 x+1 (γʹ) lim x 1 x+2 (δʹ) lim x α x+1 x+2 µ 3 4 µ 6 7 µ 0 µ α+1 α+2 28. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: x (αʹ) lim 2 4x+3 x 1 x 2 +2x 3 (βʹ) lim x 1 2x 2 x 1 5x 2 +9x 4 (γʹ) lim 1 x x x 1 3x x 2 2 3x (δʹ) lim 2 + 7 2 x 3 2 x 3 x 2 + 9 2 x+9 2 2 µ 1 2 µ 3 µ 2 µ 11 3 29. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È (αʹ) lim x 1 x 1 x 3 +x 2 (βʹ) lim x 2 x 3 x 2 x 2 x 3 x 2 +2x 8 x (γʹ) lim 5 +3x 4 +x+3 x 3 x 3 x 2 +2x 8 (δʹ) lim (x+1) 3 8 x 1 x 2 1 µ 1 4 µ 7 10 µ 0 µ 6 30. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: ( (αʹ) lim x2 +7 x+1 ) x 3 (βʹ) lim x 9 x 3 x 3 (γʹ) lim x 3 x 9 9 x (δʹ) lim x 9 x 3 x 5 2 µ 2 µ 0 µ 1 6 µ 2 3 31. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: (αʹ) lim (ηµx + 3συνx) x π 2 ηµx+συνx (βʹ) lim x π ηµx συνx 6 µ 1 µ 1+ 3 1 3 32.Γιαποιάτιμήτου αισχύει lim α = 5 ± 2 6 x 2 α 2 = 5; x α x 3 +x αx 2 α 33.Γιατηνσυνάρτησηf (x)είναιγνωστόότιείναισυνεχήςστο2καιότι f (2) = 5.Ναυπολογίσετετοόριο lim ¼ 34.Ναβρείτετοόριο lim 25 7 x 3/2 (f 2 (x) 25)(x 2 4) x 2 (f(x) 5)(x 2). 4x 4 +6x 2 +19x+6x 3 +15 2x 3 +5x 2 +5x+3 35.Γιατιςσυνεχείςσυναρτήσεις f,gείναιγνωστόότι Να υπολογίσετε το όριο: f 2 (3)+g 2 (3) = 2f (3)+4g(3) 5 lim x 3 ( f 2 (x) 1 )( g 2 (x) 4 ) (f (x) 1)(g(x) 2) 8 36. Υποθέτουμε ότι lim x 3 x 3 +4x 2 +αx+β x 3 = 5. (αʹ)ναθέσετε f (x) = x3 +4x 2 +αx+β x 3,x 3καιναεκφράσετετο x 3 +4x 2 + αx+βωςπαράστασητων f (x)και x 3. (βʹ)νααποδείξετεότι β = 63 3α (γʹ) Ναβρείτετα α,β. α = 46 β = 75
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È 1.3 ΥπολογισμοίΠαραγώγων 37. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f(x) = x 3 (βʹ) f(x) = 3x 3 (γʹ) f(x) = x 5 (δʹ) f(x) = x 0,1 (εʹ) f(x) = x 4 (ϛʹ) f(x) = x 11 (ζʹ) f(x) = x 2 3 (ηʹ) f(x) = x 5 6 (θʹ) f(x) = x 2 (ιʹ) f(x) = 2 x (ιαʹ) f(x) = 3 x (ιβʹ) f(x) = 5 x (ιγʹ) f(x) = k x (ιδʹ) f(x) = 3 x 2 (ιεʹ) f(x) = 3 x 2, x > 0 (ιϛʹ) f(x) = 3 5 x (ιζʹ) f(x) = x (ιηʹ) f(x) = 13 x 18 (ιθʹ) f(x) = x e (κʹ) f(x) = x 45 µ f (x) = 3x 2 µ f (x) = 9x 2 µ f (x) = 5x 4 µ f (x) = 0,1x 0,9 =. 1 10 x 9 µ f (x) = 4 x 5 µ f (x) = 11 x 12 Þµ f (x) = 2 3 x 1 3 = 2 3 3 x µ f (x) = 5 6 6 x µ f (x) = 2x 2 1 µ f (x) = 1 x µ f (x) = 1 3 3 x 2 µ f (x) = 1 5 5 x 4 µ f (x) = x 1+k k 1 k = k k x k 1 µ f (x) = 2 3 3 x µ f (x) = 2 3 3 x µ f (x) = 1 15 15 x 14 Þµ f (x) = 1 16 16 x 15 µ f (x) = 18 13 13 x 5 µ f (x) = ex e 1 µ f (x) = 1024x 1023 38. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f(x) = 2ηµx (βʹ) f(x) = 3συνx (γʹ) f(x) = εϕx (δʹ) f(x) = 2συνx (εʹ) f(x) = 11σϕx (ϛʹ) f(x) = 1 4 x44 µ f (x) = 2συνx µ f (x) = 3ηµx µ f (x) = 1 εϕ 2 x µ f (x) = 2ηµx µ f (x) = 11 11σϕ 2 x µ f (x) = 11x 43 39. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È (αʹ) g(x) = x+3 (βʹ) g(x) = x 3 (γʹ) g(x) = 3x (δʹ) g(x) = x 3 (εʹ) g(x) = 3x (ϛʹ) g(x) = 3+x µ g (x) = 1 µ g (x) = 1 µ g (x) = 3 µ g (x) = 1 3 µ g (x) = 3 µ g (x) = 1 40. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) ϕ(x) = 5e x (βʹ) ϕ(x) = e5 x (γʹ) ϕ(x) = ( 1 e (δʹ) ϕ(x) = 4 x ) x (εʹ) ϕ(x) = (e+1) x (ϛʹ) ϕ(x) = 2 x (ζʹ) ϕ(x) = 3 2 x (ηʹ) ϕ(x) = 5 4 x (θʹ) ϕ(x) = 11 12 x µ ϕ (x) = 5e x µ ϕ (x) = e5 x ln5 µ ϕ (x) = e x µ ϕ (x) = (2ln2)4 x µ ϕ (x) = (e+1) x ln(e + 1) µ ϕ (x) = ln 2 2 2 x Þµ ϕ (x) = ln 2 3 µ ϕ (x) = 2 ln2 5 3 2 x 5 2 x2 µ ϕ (x) = (11 ln12)12 x 41. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) h(x) = x+x 2 (βʹ) h(x) = 3x+6x 2 (γʹ) h(x) = αx 2 +βx+γ (δʹ) h(x) = αx 2 βx+γ (εʹ) h(x) = 2x 2 + 3x+ 5 (ϛʹ) h(x) = 6x 3 3x 2 +5x 1 (ζʹ) h(x) = x 11 +x 8 +11 µ h(x) = 5x 5 +4x 4 +3x 3 +2x 2 +1 µ h(x) = 2 3 x3 + 5 2 x2 +x 9 µ h(x) = α 3 x3 + β 2 x2 +γx+δ µ h (x) = 1 + 2x µ h (x) = 3 + 12x µ h (x) = 2αx + β µ h (x) = 2αx β µ h (x) = 2 2x+ 3 µ h (x) = 18x 2 6x + 5 Þµ h (x) = 11x 10 + 8x 7 µ h (x) = 25x 4 + 16x 3 + 9x 2 + 4x µ h (x) = 2x 2 + 5x + 1 µ h (x) = αx 2 + βx + γ 42. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È (αʹ) f(x) = ηµx+e x (βʹ) f(x) = 2ηµx+3συνx (γʹ) f(x) = 2ηµx+3συν π 18 (δʹ) f(x) = 2e x +3e 4 (εʹ) f(x) = ηµ π 5 ηµx+eηµ π 11 (ϛʹ) f(x) = εϕx+ x (ζʹ) f(x) = 4 3 x+ x+x (ηʹ) f(x) = συν 2+συν π 8 (θʹ) f(x) = 2συνx+lnx (ιʹ) f(x) = lnx 3 (ιαʹ) f(x) = 5logx (ιβʹ) f(x) = 3log3x 5log2x (ιγʹ) f(x) = log ( 2x 2) (ιδʹ) f(x) = log(3+x) µ f (x) = συνx + e x µ f (x) = 2συνx 3ηµx µ f (x) = 2συνx µ f (x) = 2e x µ f (x) = ηµ π 5 συνx µ f (x) = 1 + εϕ 2 x+ 1 2 x Þµ f (x) = 4 3 3 x 2 + 1 2 x + 1 µ f (x) = 0 µ f (x) = 2ηµx + 1 x µ f (x) = 3 x µ f (x) = 5 xln10 µ f (x) = 2 xln10 µ f (x) = 2 xln10 µ f (x) = 1 (3+x) ln10 43. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f(x) = (x+1)(x 2) (βʹ) f(x) = (2x+1)(5x 2) (γʹ) f(x) = (x 1) ( x 2 +1 ) (δʹ) f(x) = ( x 3 +x+1 ) (x 1) (εʹ) f(x) = (e x +x)(x+lnx) (ϛʹ) f(x) = ( x x) ( x+x 3) (ζʹ) f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) (ηʹ) f(x) = (x+e x )(x+lnx)(x+1) (θʹ) f(x) = x(x 2 +1)ηµx (ιʹ) f(x) = (ηµx)(συνx)(εϕx) (ιαʹ) f(x) = e x lnxηµx (ιβʹ) f(x) = x 3 x+1 4 x+2 (ιγʹ) f(x) = α 3 α+1 4 x+2 (ιδʹ) f(x) = x ( x 2 +x+1 )( x 2 x+1 ) µ f (x) = 2x 1 µ f (x) = 20x + 1 µ f (x) = 3x 2 2x + 1 µ f (x) = 4x 3 3x 2 + 2x µ f (x) = e x x + e x lnx + 2x + lnx + e x + 1 x ex + 1 µ f (x) = 1 + 7 2 x 5 3 2 x 4x 3 Þµ f (x) = 3x 2 + 12x + 11 µ f (x) = 3x 2 + 3x+2xlnx+lnx+e x x 2 +3e x x+e x xlnx+2e x lnx+1+2e x + 1 x ex µ f (x) = 3x 2 ηµx + ηµx + x 3 συνx + xσυνx µ f (x) = 2συνxηµx µ f (x) = e x lnxηµx + 1 x ex ηµx + e x lnxσυνx µ f (x) = µ f (x) = α 3 α+1 4 4 x+2 3 13x 2 +29x+12 12 x 3 (1+x) 2 4 (2+x) 3 µ f (x) = 5x 4 + 3x 2 + 1 44. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½¼ (αʹ) f(x) = x+1 x 2 (βʹ) f(x) = x2 +1 x 2 2 (γʹ) f(x) = 2x x (δʹ) f(x) = ex x (εʹ) f(x) = ex x 2 (ϛʹ) f(x) = lnx x (ζʹ) f(x) = lnx ηµx (ηʹ) f(x) = ln3x ln5x (θʹ) f(x) = ex x e (ιʹ) f(x) = x x 2 2 (ιαʹ) f(x) = 4 x 2 2 (ιβʹ) f(x) = αx+β γx+δ (ιγʹ) f(x) = x2 +x+1 x 1 (ιδʹ) f(x) = x+ηµx συνx (ιεʹ) f(x) = x+lnx x lnx (ιϛʹ) f(x) = x 1+ 1 x (ιζʹ) f(x) = 1+ 1 1+ 1 x (ιηʹ) f(x) = ex +e x e x e x (ιθʹ) f(x) = x3 1 x 4 1 µ f (x) = 3 (x 2) 2 µ f (x) = 6x (x 2 2) 2 µ f (x) = 2 x xln2 1 x 2 µ f (x) = e x x 1 x 2 µ f (x) = e x x 2 x 3 µ f (x) = 1 lnx x 2 Þµ f (x) = ηµx+(lnxσυνx)x x( 1+συν 2 x) µ f (x) = ln5 ln3 (ln5+lnx) 2 x µ f (x) = e x x e x e 1 e x+1 µ f (x) = x2 +2 (x 2 2) 2 µ f (x) = 8x (x 2 2) 2 µ f (x) = αδ γβ (γx+δ) 2 µ f (x) = x2 2x 2 (x 1) 2 µ f (x) = συνx+xηµx+1 συν 2 x µ f (x) = 2 1 lnx (x lnx) 2 µ f (x) = x(x+2) (x+1) 2 Þµ f (x) = 1 (x+1) 2 µ f e (x) = 4 2x ( 1+e 2x ) 2 ( µ f (x) = x2 x 2 ) +2x+3 (x 3 +x 2 +x+1) 2 45. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) g(x) = (2x) 3 (βʹ) g(x) = (qx) r (γʹ) g(x) = 3x (δʹ) g(x) = (x+1) 11 (εʹ) g(x) = (11x+1) 11 (ϛʹ) g(x) = ηµ 3 x (ζʹ) g(x) = ηµ3x (ηʹ) g(x) = ηµx 3 (θʹ) g(x) = 3 ηµx (ιʹ) g(x) = ηµ 3 x (ιαʹ) g(x) = ηµ x 3 (ιβʹ) g(x) = 1 3 ηµx (ιγʹ) g(x) = e 3x (ιδʹ) g(x) = e x2 +1 (ιεʹ) g(x) = e x2 2 (ιϛʹ) g(x) = ηµ(ωx) (ιζʹ) g(x) = ηµ(3x+4) (ιηʹ) g(x) = εϕ3x (ιθʹ) g(x) = ln(ηµx)
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½½ µ g (x) = 24x 2 µ g (x) = rq r x r 1 µ g (x) = 3 2 x µ g (x) = 11(x + 1) 10 µ g (x) = 121(11x + 1) 10 µ g (x) = 3συνx 3συν 3 x Þµ g (x) = 3συν3x µ g (x) = 3 ( συνx 3) x 2 µ g (x) = συνx 3 3 ηµ 2 x µ g (x) = συν 3 x 3 3 x 2 µ g (x) = 1 3 συν 1 3 x µ g (x) = 1 3 συνx µ g (x) = 3e 3x µ g (x) = 2xe x2 +1 µ g (x) = xe x2 2 µ g (x) = ωσυνωx Þµ g (x) = 3συν (3x + 4) µ g (x) = 3 + 3εϕ 2 3x µ g (x) = συνx ηµx = σϕx 46. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f(x) = ηµ ( συνx 2) (βʹ) f(x) = e lnx2 (γʹ) f(x) = εϕ3x (δʹ) f(x) = 3 lnx 2 (εʹ) f(x) = x x2 (ϛʹ) f(x) = ( x 2) x (ζʹ) f(x) = ηµ x x µ f (x) = 2 ( συν ( συνx 2) ηµx 2) x µ f (x) = 2x µ f (x) = 3 1+εϕ 2 3x 2 εϕ3x µ f (x) = 2 3x 3 lnx 2 µ f (x) = x x2 +1 (2lnx + 1) µ f (x) = ( x 2) x ( lnx 2 + 2 ) Þµ f (x) = 1 2 ( ηµ ( x 1) x ) ln(ηµx)ηµx+2xσυνx x 47. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) g(x) = ηµ(lnx) (βʹ) g(x) = ηµ(ηµx) (γʹ) g(x) = ln(lnx) (δʹ) g(x) = e xηµx ( (εʹ) g(x) = x+1 x 1 ) 4 (ϛʹ) g(x) = (e x 2 lnx) (ζʹ) g(x) = ln ( ) x+ 1 x (ηʹ) g(x) = ηµ ( x 2 +1 ) (θʹ) g(x) = εϕ( πx 4 ) (ιʹ) g(x) = x x (ιαʹ) g(x) = e 0,1x (ιβʹ) g(x) = (x 1) x 1 ) 1+ 1 x (ιγʹ) g(x) = ( 1+ 1 x (ιδʹ) g(x) = ηµ(lnx) µ g (x) = συν(lnx) x µ g (x) = (συνx)συν (ηµx) µ g (x) = 1 xln x µ g (x) = e xηµx (ηµx + xσυνx) µ g (x) = 8 (x+1)3 (x 1) 5 µ g (x) = (e x lnx) 2 2 (lnx)x+1 (ln x)x Þµ g (x) = x2 1 x(x 2 +1)
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½¾ µ g (x) = 2x ( συν ( x 2 + 1 )) µ g (x) = π 4 ( ) 1 + εϕ 2 πx 4 µ g (x) = x x (lnx + 1) µ g (x) = 0,1e 0,1x µ g (x) = (x 1) x 1 (ln(x 1) + 1) µ g (x) = µ g (x) = συν(lnx) x ( )x+1 x+1 x ln x+1 x +1 x x 2 48. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f(t) = e 3t (βʹ) f(ω) = συν3ω (γʹ) S(ω) = ω+1 ω 1 (δʹ) s(t) = 1 2 t2 +3t 2 (εʹ) P(t) = t2 3t+3 (ϛʹ) V(t) = α lnt (ζʹ) E(r) = π(r +1)(r+2) (ηʹ) V(x) = x 2 +x(x+α)+β 2 (θʹ) I(λ) = λ lnλ (ιʹ) I(ξ) = ξ(ξ +1) µ f (t) = 3e 3t µ f (ω) = 3ηµ3ω µ S (ω) = 2 (ω 1) 2 µ s (t) = t + 3 µ P (t) = 8 1 t 24t8 t ln2 µ V (t) = α tln 2 t Þµ E (r) = 2πr + 3π µ V (x) = 4x + α µ I (λ) = lnλ 1 ln 2 λ µ I (ξ) = 2ξ+1 2 ξ(ξ+1) 49. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω παραστάσεων ως προς την μεταβλητή που σημειώνεται: (αʹ) p = P1V1+P2V2 V 1+V 2 ωςπρος V 2 (βʹ) T = 2π m D ωςπρος D (γʹ) y = y 0 ηµ2π ( t T x λ) ωςπρος t (δʹ) I = I 0 ( 1 e R L t ) ωςπρος t (εʹ) R = R1R2 R 1+R 2 ωςπρος R 1 (ϛʹ) q = N BS(συνθ 1) R Π+R G ωςπρος θ µ dp dv 2 = V 1 P 2 P 1 (V 1 +V 2 ) 2 µ di dt = I0 R R L e L t µ µ dt dd = π D 3 m dy dt = ( ( 2π T y0 συν2π t T )) x λ µ µ dr R dr = 2 2 1 (R 1 +R 2 ) 2 dq ηµθ dθ = NBS R Π +R G 50. Στις παρακάτω σχέσεις να βρείτε την παράγωγο ως προς τις αναφερόμενες μεταβλητές: (αʹ) xy = x+y +1(της yωςπρος x) (βʹ) PV = nrt(του V ωςπρος T) (γʹ) 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 (του R 2 ωςπρος R 1 ) (δʹ) Cp C v = 5 3 (του C vωςπρος C p ) (εʹ) 2x = e y (του xωςπρος y) (ϛʹ) 2x = e y (του yωςπρος x) (ζʹ) x 2 +y 2 = 9(του yότανείναιθετικόωςπρος x) (ηʹ) 2 x +2 y = 10(του yωςπρος x)
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ µ µ dy dx = 2 (x 1) 2 µ dv dt = nr P µ dr 2 dr = 1 µ dcp dcv = 5 3 R2 (R R 1 ) 2 µ µ dx dy = 1 2 ey dy dx = 1 x Þµ f (x) = x 9 x 2 µ dy dx = 2x 2 x 10 51.Ναυπολογίσετετο f (x 0 )στιςπαρακάτωπεριπτώσεις: (αʹ) f(x) = x x+1, x 0 = 1 (βʹ) f(x) = x+ηµx, x 0 = π 4 (γʹ) f(x) = xlnx, x 0 = e 2 (δʹ) f(x) = x+x 2, x 0 = 1 (εʹ) f(x) = x x, x 0 = 1 (ϛʹ) f (x) = xe x, x 0 = 0 µ f (1) = 1 4 µ f ( ) π 4 = 1 + 1 2 2 µ f ( e 2) = 3 µ f (1) = 3 2 4 µ f (1) = 1 µ f (0) = 1 52. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f (x) = x 2 1 x 2 +1 (βʹ) f (x) = x ex 1+xlnx (γʹ) f (x) = ex e x e x +e x (δʹ) f (x) = ln x+1 x 1 µ f (x) = 2x (x 2 +1) 3 x 2 1 µ f (x) = (ex lnx+1)(1 x) (1+xlnx) 2 µ f (x) = µ f (x) = 4e2x (e 2x +1) 2 2 (x+1)( 1+x) 53. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f (x) = αx 3 +βx 2 +γx+δ (βʹ) f (x) = β α α x 2 (γʹ) f (x) = β α x2 α 2 (δʹ) f (x) = (x α)(x β)(x γ) µ f (x) = 3αx 2 + 2βx+γ µ f (x) = βx α α x 2 µ f βx (x) = α x 2 α 2 µ f (x) = 3x 2 2(α + β + γ)x + αβ + βγ + γα 54. Εστω ότι οι f, g είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα. Να επαληθεύσετε τις ισότητες: (αʹ) ( f 2 (x)g(x) ) = 2f (x)f (x)g(x)+f 2 (x)g (x) (βʹ) ) = f(x)f (x)g(x) f 2 (x)g (x) g (x), g(x) 0. ( f 2 (x)+1 g(x) g 2 (x) (f 2 (x)+1) (γʹ) ( f 2 (x+1) g 2 (x+1) ) = 2f (x+1)f (x+1) 2g(x+1)g (x+1)
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ (δʹ) ( f (lnx)g ( x 3)) = 3f(lnx)g (x 3 )x 3 +f (lnx)g(x 3 ) x (εʹ) ( f (x)e f(x) +lng(x) ) = f (x)e f(x) f (x)+e f(x) f (x)+ g (x) g(x), g(x) > 0 ( (ϛʹ) (f (x)) g(x)) = (g (x)f (x)lnf (x)+f (x)g(x))(f (x)) g(x) 1, f (x) > 0 55. Εστω f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει f (3) = 1Αν g(x) = f ( x 2 +x+3 ) ποιάείναιηg (0); ¹½ 56. Εστω f μίασυνάρτησηορισμένηστο Rγιατηνοποίαισχύει f (3) = 10. Ναβρείτετοόριο lim 5 3 1.4 ΕξίσωσηΕφαπτομένης f(x) f(3) x 3 x 2 9. 57. Εστω f (x) = x 3 +x 2 3x+1. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένης της C f στοσημείοτης A(2,f (2)). y = 13x 19 58. Εστω f (x) = 2x 3 9x 2 +12x+6.Σεποιασημείατης C f οιεφαπτομένες τηςείναιπαράλληλεςστονάξονα x x; ËØ A(1,11) B (2,10)º 59. Να βρείτε εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλες στονάξονα x xστιςακόλουθεςπεριπτώσεις: (αʹ) f (x) = lnx x (βʹ) f (x) = x3 +2 x ³µ y = 1 e ³µ y = 3 60. Εστω f (x) = x ( x 2 +1 ). Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C f στοσημείοτηςπουέχειτετμημένηίσημε3. y = 28x 54 61. Εστω f (x) = x x+1. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C f στο σημείοτηςπουέχειτεταγμένηίσημε3. y = 4x + 9 62. Εστω f (x) = ηµx. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C f στο σημείοτηςπουέχειτετμημένηίσημε π 6. y = 1 2 3x 1 12 3π + 1 2 63. Εστω f (x) = x+1+1.ναβρείτετηνγωνίαπουσχηματίζειμετον x x ηεφαπτομένητης C f στοσημείοτηςπουέχειτετμημένηίσημε 3 4. π 4 64. Εστω f (x) = x(x+1)(x+2).ναβρείτετηνγωνίαπουσχηματίζειμετον x xηεφαπτομένητης C f στοσημείοτηςπουέχειτετμημένηίσημε 1. 3π 4
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ 65. Εστω f (x) = e x + 2x 2 x. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C f στοσημείοτης P (0,f (0)). y = 1 66. Εστω f (x) = x+ 1 x. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C fπου διέρχεταιαπότοσημείο A(4,4). y = 3 4 x + 1 67. Εστω f (x) = x 3 + x 2.Ναεξετάσετεανηy = 7 2 x 7 2 είναιεφαπτομένη της C f. Æ ØÓ Ñ Ó Ø T (1,0) 68. Εστω f (x) = lnx+1.ναβρείτεεφαπτομένητης C f πουνασχηματίζειμε τον x xγωνίαίσημε π 3. y = 3x 1 2 ln3 69. Εστω f (x) = x 3 +x+1.γιαποιατιμήτου tηευθεία y = 4x 2t+1είναι εφαπτομένητης C f ; t = 1 t = 1 70. Να βρείτε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (x) = x+1 πουδιέρχεταιαπότοσημείο A(1,1). x 2 +1 y = 1 2 x + 3 2 y = 1 2 x+ 1 2 71. Να βρείτε ευθεία που να εφάπτεται στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) = x 2 +3και g(x) = 3 2x 2. y = 4x 1 y = 4x 1 72. Εστω f (x) = x 2 +x 1. Εστω (ε)ηεφαπτομένητης C f στοσημείοτης A ( 3 4,f ( 3 4)).Ναβρείτεεφαπτομένητης Cf πουείναικάθετηστην (ε). y = 2x 5 4 73.Ναβρείτεεφαπτομένητηςγραφικήςπαράστασηςτηςf(x) = lnx x πουδιέρχεταιαπότηναρχήτωναξόνων. ÌÓ Ñ Ó Ô Õ Ø ØÑ Ñ Ò x 0 = e ÔØÓÑ Ò Ò y = 1 2e x 74.Δίνεταιησυνάρτηση g(x) = αx 2 + βx 1. Ναβρεθούνοιπραγματικοί αριθμοί α,βέτσιώστεηευθεία y = 2x + 5ναεφάπτεταιστηνγραφική παράστασητης gστοσημείο M ( 1,1). α = 2 β = 6 75.Ναβρείτετουςαριθμούς κ,λανείναιγνωστόότιοιγραφικέςπαραστάσεις των y = x 2 +κx+1και y = 2x 2 +x+λέχουνκοινήεφαπτομένηεφάπτονται σε σημείο με τετμημένη 1. κ3 λ = 2 76. Εστωησυνάρτηση h(x) = 3x 3 +12x 2 13x+4και x 0 = 1, (αʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστσης της hστοσημείομετετμημένη x 0. (βʹ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του προηγουμένου ερωτήματος επανατέμνειτηνγραφικήπαράστασητης hσεένασημείοτουοποίουκαινα προσδιορίσετε τις συντεταγμένες. ³µ y = 2x 2 ³µ M (2,2)
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ 1.5 Μονοτονία 77. Εστω f (x) = 2x 3 + 3x 2 12x 6. Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίας της f. Ò Û ÜÓÙ ØÓ (, 2] Ò Û ÒÓÙ ØÓ [ 2,1] Ò Û ÜÓÙ ØÓ [1,+ ) 78.Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτηςσυνάρτησης f (x) = 2 3 x 3 x Ò Û ÒÓÙ ØÓ [0,1] Ò Û ÜÓÙ ØÓ [1,+ ) 79.Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτηςσυνάρτησης f (x) = e x (x 1) 2 Ò Û ÜÓÙ ØÓ (, 1] Ò Û ÒÓÙ ØÓ [ 1,1] Ò Û ÜÓÙ ØÓ [1,+ ) 80.Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f (x) = xln 2 x 4xlnx+4x+e Ò Û ÜÓÙ ØÓ (0,1] Ò Û ÒÓÙ ØÓ [1,e 2 ] Ò Û ÜÓÙ ØÓ [e 2,+ ) 81.Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτηςσυνάρτησης f (x) = lnx x Ò Û ÜÓÙ ØÓ (0,e] Ò Û ÒÓÙ ØÓ [e,+ ) 82.Σεποιαδιαστήματαείναιησυνάρτηση f (x) = x 2 ηµx+xσυνxγνησίως αύξουσα; ØÓ [0,+ )º 83.Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f (x) = e x e x είναιγνησίωςαύξουσα. 84.Γιαποιέςτιμέςτου λησυνάρτηση f (x) = x 3 3λx 2 +(9λ 6)x+1είναι γνησίως αύξουσα; 1 λ 2 85. Εστωησυνάρτηση f (x) = 1 3 x3 1 2 (α+β)x2 +αβx+α 2 +β 2 όπου α < β. Ναβρείτετα α,βανείναιγνωστόότιηf: είναι γνησίως αύξουσα στο (, 13] είναι γνησίως φθίνουσα στο [13, 18] είναι γνησίως αύξουσα στο [18, + ) α = 13,β = 18 86.Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f (x) = 1 2 x2 +lnxείναιγνησίωςαύξουσα. 87. Εστω f (x) = e x2 4x+3.Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτης. Ò Û ÒÓÙ ØÓ (,2] Ò Û ÜÓÙ ØÓ [2,+ ) 88.Νααποδείξετεότιησυνάρτησηg(x) = 2x+ 1 2 x(ηµ(lnx) συν(lnx))είναι γνησίως αύξουσα. 89. Εστωησυνάρτηση ϕ(x) = x 4 14x 2 + 24x + 34. Ναβρείτεσεποια διαστήματα είναι γνησίως φθίνουσα. Ø (, 3],[1,2] 90.Νααποδείξετεότιηh(x) = x 3 3x 2 +3x 1είναιγνησίωςαύξουσα.
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ 91.Νααποδείξετεότιηh(x) = 1 3 x3 + 2x 1 x είναιγνησίωςαύξουσαστο διάστημα (0, + ). 92.Νααποδείξετεότιηω(x) = 1 3 συν3x+ηµx 3xείναιγνησίωςφθίνουσα. 93. Να αποδείξετε ότι η g(x) = 2ηµx xσυνx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ 0, π 2]. 94. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f (x) = xln 2 x 7xlnx+13x Ò Û ÜÓÙ ØÓ (0,e 2 ] Ò Û ÒÓÙ ØÓ [ e 2,e 3] Ò Û ÜÓÙ ØÓ [e 3,+ ) 95.Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτηςσυνάρτησης f (x) = logx x+1 Ò Û ÜÓÙ ØÓ (0,e] Ò Û ÜÓÙ ØÓ [e,+ ) 1.6 Μέγιστα- Ελάχιστα 96.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτηςσυνάρτησης f (x) = x+ 1 x μεπεδίοορισμού το (0,+ ). ¾ x = 1 97.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτηςσυνάρτησης f (x) = x 2 + 1 x 3 μεπεδίο ορισμού το (0, + ). À f Ò Ø Ð Õ Ø x 0 = 5 3 2 º À Ð Õ Ø Ø Ñ Ø Ò f (x0) = 5 5 6 3 2 5 2 3 98.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτηςσυνάρτησης f (x) = xlnx 2x. À f Ò Ø Ð Õ Ø x 0 = eº À Ð Õ Ø Ø Ñ Ø Ò f (e) = e 99. Εστω f (x) = 1 4 x4 2x 3 + 11 2 x2 6x+1.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτης f. À f Ô ÖÓÙ Þ ØÓÔ Ð Õ ØÓ Ø x 0 = 1 x 0 = 3º Ò f (1) = f (3) = 5 4 Ð Õ Ø Ø Ñ Ø f Ò 5 4 º 100. Εστω f (x) = (x 1) 2 +(x 2) 2 +(x 3) 2.Ναβρείτετηνελάχιστητιμή της f. ¾ x = 2 101.Γιατουςαριθμούς x,yείναιγνωστόότιισχύει 2x+3y = 1.Ναβρείτετην ελάχιστητιμήτηςπαράστασης x 2 +3y 2 +xy. 11 60 x = 3 10 º 102.Απότιςεξετάσειςτου1977.Γνωρίζουμεότιηεξίσωση 2 x +3 x = 5 x έχειτηνλύση x = 2.Ναδείξετεότιηεξίσωσηαυτήδενέχειάλληλύσηστο σύνολο των πραγματικών αριθμών. 103.Γιατουςαριθμούς x,yείναιγνωστόότιισχύει 2x 3y = 5.Ναβρείτετην ελάχιστητιμήτηςπαράστασης x 2 +3y 2 +xy. 275 25 108 x = 18 y = 20 27 º
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ 104. Εστωησυνάρτησηf (x) = x 2 3x+1μεπεδίοορισμούτοδιάστημα [ 2,4]. Ναβρείτετηνμέγιστηκαιτηνελάχιστητιμήτης f. Å ØÓ f ( 2) = 11 Ð Õ ØÓ f ( 3 2 ) = 5 4 º 105. Εστωησυνάρτησηf (x) = x 3 3x+1μεπεδίοορισμούτοδιάστημα [ 2,4]. Ναβρείτετηνμέγιστηκαιτηνελάχιστητιμήτης f. Å ØÓ f (4) = 53 Ð Õ ØÓ f ( 2) = f (1) = 1º 106.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτηςπαράστασης συν 2 θ+4συνθ+6όταντο θ μεταβάλλεται στο διάστημα [0, 2π]. φ(π) = 3 107.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτηςπαράστασης e x +e y ότανείναιγνωστόότι x+y = 1. 2 e x = y = 1 2 º 108. Εστω g(x) = x lnx g(e) = e, x > 1.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτης g. 109.Δίνεταιησυνάρτηση g(x) = 3x 4 +8x 3 +12x 2 +12x+6 (αʹ)νααποδείξετεότι g (x) = 12 ( x 2 +x+1 ) (x+1) (βʹ) Να αποδείξετε ότι f παιρενι μόνο θετικές τιμές. 110. Μία δεξαμενή πετρελαίου έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις 2m 1m 1m(βλ.σχήμα). Εναβυτιοφόρογεμίζειτηνδεξαμενή μέρυθμό 0,5 lit/sec.μετίρυθμόανεβαίνειηστάθμητηςδεξαμενής; 2 m 0,025 cm/sec 111. Το σημείο M κινείται κατα μήκος της πλευρά Γ του τετραγώνου ABΓ (βλ. σχήμα). x Μ 1- x Γ 1 Α Β
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ (αʹ)νααποδείξετέότιτομήκος s(x)τηςτεθλασμένης AMBείναι s(x) = 1+x2 + 1+(1 x) 2. (βʹ)νααποδείξετεότι s (x) > 0 2x 1 > 0 (γʹ) Νααποδείξετεότι 5 s(x) 1+ 2 112. Ενα διαγώνισμα του 1999 ΖΗΤΗΜΑ1. Εστωησυνάρτηση f(x) = 2 xκαι C f ηγραφικήπαράσταση της. (αʹ) ½ Να βρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C f στοσημείοτης A(4, f(4)). (βʹ)ναβρείτεγιαποιατιμήτου λτοσημείο B(λ, 4)ανήκειστην C f. ΖΗΤΗΜΑ2.Απόόλαταορθογώνιαπαραλληλόγραμμαμεεμβαδόν100 m 2 ποιό είναι εκείνο που: (αʹ) ¾ Εχειτημικρότερηπερίμετρο; (βʹ) i. Εχει τη μικρότερη διαγώνιο; ii.τοτρίγωνοπουορίζεταιαπόμίαδιαγώνιοκαιδύοπλευρέςτου έχει τη μικρότερη περίμετρο; 113. Ενα διαγώνισμα του 1999 ΖΗΤΗΜΑ1. Εστω f(x) = x 3 3x (αʹ) Ναυπολογίσετετιςτιμές f (1), f (2), f ( 1). (βʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της fστοσημείοτης M( 1),f( 1). ΖΗΤΗΜΑ2.Τοάθροισμαδύοαριθμών xκαι yείναιίσομε40 (αʹ) Ναβρείτετημεγαλύτερητιμήπουμπορείναπάρειτογινόμενοτους. (βʹ)ποιαείναιημικρότερητιμήπουμπορείναπάρειηπαράσταση x 2000 + y 2000 ; 114.Γιαποιάτιμήτου αησυνάρτηση f (x) = x 3 + 3x 2 + αx + 1παρουσιάζει ακρότατοστο x 0 = 1;Ποιόείναιτοείδοςτουακροτάτου; α = 9º ÌÓ Ö Ø ØÓ Ò ØÓÔ Ð Õ ØÓº 115.Δίνεταιησυνάρτηση r(x) = x 4 4x 2 3x.Ναβρεθείευθείαπουναείναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της r σε δύο διαφορετικά σημεία. y = 3x 4É Ð Õ ØÓº 116. Εστωησυναρτήση f (x) = x 2 +λx +λ, λ R. Ναβρείτεγιαποιατιμή του ληfέχειτηνμεγαλύτερηελάχιστητιμή. λ = 2 ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ðº ¾ º ii ¾ ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º º ËÕÓÐ ÐÓ Ðº ½ º ½º ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º º
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ¾¼ 117. Εστω f (x) = x 2 13 4.Ναβρείτεποιοσημείοτης C fαπέχειαπότοσημείο A(1, 1) ελάχιστη απόσταση. y 2 13 = x 4 A( 11, ) 4 3 2 1 1 2 3 4 5 ÌÓ M ( 2, 3 ) 4 118. Εστω σ(x) = 2x 3 + 3x 2 + 6x 6. Ναβρείτεσεποιοσημείοτης C σ η εφαπτομένητηςσχηματίζειμετονάξονα x xτηνμικρότερηδυνατήγωνία. ËØÓ P ( 1 ) 2, 17 2 º α 119.Δείξτεότιτοόριο lim 2 x 3 +αx 2 α 2 x 2 αx x 1 x 2 1 είναιπάνταμεγαλύτεροήίσοτου 1 8. 120.Νααποδείξετεότιηγραφικήπαράστασητηςσυνάρτησης f (x) = x 4 +2x 2 8x+5δενέχεισημείακάτωαπότονάξονα x x. 1.7 Ασκήσεις σε όλο το κεφάλαιο 121.Αν lim f(x) 3 x 2 x 2 = 7ναβρείτετοόριο lim f (x). x 2 122. Εναδιαγώνισματου2001. Εστωησυνάρτησηf (x) = x 3lnx 2 x (αʹ)ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτης f. (βʹ)ναβρείτετηνεφαπτομένητης C f στοσημείοτηςμετετμημένη2. 123. Ενα διαγώνισμα του 2001. Εστω η συνάρτηση f (x) = x 3 x+1 (αʹ)ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτης f. (βʹ)ναβρείτετιςεξισώσειςτωνεφαπτομένωντης C f πουσχηματίζουνμε τονάξονα x xγωνία π 4 124. Ενα διαγώνισμα του 2001. ΖΗΤΗΜΑ 1. Εχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 100m, μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος.
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ¾½ Ü Ü Αντομήκοςτουτοίχουπουθαχρησιμοποιηθείείναι x: (αʹ) Ναεκφράσετετοεμβαδόντηςπεριοχήςωςσυνάρτησητου x. (βʹ) Να βρείτε ποιο είναι το μέγιστο δυνατό εμβαδόν της περιοχής. ΖΗΤΗΜΑ2. Εστω f (x) = ex e x +e x. (αʹ) Ναβρείτετηνπαράγωγοτης f(x) (βʹ)νααποδείξετεότιαν α < βτότεισχύει e α e α +e α < eβ e β +e β 125. Ενα διαγώνισμα του 2001. ΖΗΤΗΜΑ1 Εστω f (x) = x 2 +5+ 5 x, x > 0. (αʹ) Ναβρείτετηνπαράγωγοτης f. (βʹ)νααποδείξετεότιγιακάθε x > 0ισχύει f (x) 3 4 20 2 3 +5. ΖΗΤΗΜΑ2 Εστωησυνάρτηση f (x) = x 3 +3x+1. (αʹ) Ναβρείτεταακρότατατης f. (βʹ)γιατουςθετικούςαριθμούς xκαι yισχύει: x 2 +y = 3 Ναβρείτετημέγιστητιμήπουμπορείναπάρειηπαράσταση: A = xy +1 126.Γιατηνσυνάρτηση f (x) = 2x 2 αx + βμε α,β Rείναιγνωστόότιη εφαπτομένητηςγραφικήςτηςπαράστασηςτης fστοσημείοa(1,f (1))είναι ηευθεία (ε 1 ): y = 3x 1. (αʹ)ναβρεθούνοιτιμέςτων α,β. (βʹ) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης στο οποίο η εφαπτομένη (ε 2 )είναικάθετηστην (ε 1 ). µ α = 1,β = 1 µ ÈÖ Ø ØÓ Ñ Ó M ( 1 6, 8 9) º 127.Ναβρείτεγιαποιατιμήτου λισχύει lim 3x 2 2x 1 = 1 4. λ = 3 x 1 x 2 3x+2 128. Ενα διαγώνισμα του 2002. ΖΗΤΗΜΑ1 Εστωησυνάρτηση f (x) = x2 +2x 1 x. ËÕÓÐ ÐÓ Ðº ½ º ¾º ËÕÓÐ ÐÓ Ðº ½ º ½ ivº ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º iiiº ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º ¾ iiº
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ¾¾ (αʹ) Ναβρείτετηνπαράγωγοτης f. (βʹ)ναμελετήσετετην fωςπροςτημονοτονία. ΖΗΤΗΜΑ2Τοάθροισμαδύοαριθμών x, yείναιίσομε40. (αʹ) ½¼ Ναβρείτετηνμεγαλύτερητιμήπουμπορείναπάρειτογινόμενοτους. (βʹ)νααποδείξετεότι x 2 +y 2 800. 129.Απότιςεξετάσειςτου2001. Δίνεταιησυνάρτηση f (x) = συνx+ ηµx. (αʹ)νααποδείξετεότι f (x)+f (x) = 0. (βʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της fστοσημείο A(0,1). (γʹ) Ναβρείτετηντιμή λ Rγιατηνοποίαισχύειησχέση: λf ( π ) ( π 2f = 2 2 2) ³µ y = x + 1 ³µ λ = 4 130.Απότιςεξετάσειςτου2002.Δίνεταιησυνάρτηση f (x) = 2x x+1. (αʹ)ναβρείτετοπεδίοορισμούτηςσυνάρτησης f. (βʹ) Να υπολογίσετε το όριο lim x 3 f (x). (γʹ) Ναβρεθείηπρώτηπαράγωγοςτης f. (δʹ) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της καμπύλης της συνάρτησης f ου είναι παράλληλεςστηνευθεία y = 2x+5. ³µ (, 1) ( 1,+ ) ³µ 3 2 ³µ f 2 (x) = (1+x) 2 ³µ y = 2x y = 2x + 8 131. Ενα διαγώνισμα του 2003. ΖΗΤΗΜΑ 1 Εστω η συνάρτηση f (x) = (αʹ) ½½ Ναβρείτετηνπαράγωγοτης f. 1 1+συνx (βʹ)ναμελετήσετεωςπροςτηνμονοτονίατην fστοδιάστημα ( π,π). ΖΗΤΗΜΑ 2 Εστω υ = 100p(1+lnr) 100qr συνάρτηση του r, όπου p, q είναι θετικές σταθερές. (αʹ) ½¾ Νααποδείξετεότιτο υγίνεταιμέγιστοόταν r = p q. (βʹ) i.ναβρείτετηνμέγιστητιμήτου υ. ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º iiiº ½¼ ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º º ½½ ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º ½¾ iº ½¾ ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º ½º
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ¾ ii.νααποδέίξετεότιαν p < qτότεθαείναι υ < 0 132. Εστωησυνάρτηση f (x) = αx 3 +βx 2 +12x+1γιατηνοποίαείναιγνωστό ότιπαρουσιάζειακρόταταστα x = 1, x = 2. (αʹ)ναβρείτετα α,β. (βʹ)γιατιςτιμέςτων α,βπουβρήκατεστοερώτημα(α )ναπροσδιορίσετε το είδος των ακροτάτων. µ α = 2,β = 9 µ ÌÓÔ Ñ ØÓ ØÓ ½ ØÓÔ Ð Õ ØÓ ØÓ ¾ 133.Γιαμίαπαραγωγίσιμησυνάρτηση fισχύει f (x+y) = f (x)+f (y)γιαόλα τα x,y.νααποδείξετεότιγιακάθε xισχύει f (x) = f (0). 134. Ενα διαγώνισμα του 2004. Αν h(θ) = ηµθ συνθ: ΖΗΤΗΜΑ 1 (αʹ) ½ i.ναυπολογίσετετιςτιμές h(0)και h ( ) π 2 ii.γιαποιεςτιμέςτηςγωνίας θείναι h(θ) = 0; (βʹ)νααποδείξετεότιστοδιάστημα [ 0, π 2] η hείναιγνησίωςαύξουσα. Εστω f (x) = x 2 +5+ 3 x. ΖΗΤΗΜΑ 2 (αʹ) ½ Ναβρείτετηνπαράγωγοτης f. (βʹ) i.ναβρείτεταακρότατατης f. ii. Να βρείτε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που σχηματίζειμετον x xγωνία 135. 135. (αʹ)νααποδείξετεότιγιαόλατα xισχύει e x + e x 2καιότιτο = ισχύειγια x = 0. (βʹ)νααποδείξετεότιαν α > βτότεισχύει e α e α 2α > e β e β 2β 136. Εστωότι f(1) = 3, f (1) = 1, h(3) = 2και h (3) = 5. Ανείναι g(x) = h(x 2 f(x))ποιόείναιτο g (1) 10 137.Γιατουςθετικούςαριθμούς x, yείναιγνωστόότι x+y = 2.Ναβρείτετην ελάχιστητιμήτηςπαράστασης 1 x + 1 y. ¾ x = y = 1 ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ðº ½ º º ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º ii)
½ ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ¾ 138.Γιατηνσυνάρτηση f (x) = e λx είναιγνωστόότιισχύει γιαόλατα x.ναβρείτετο λ. ½ λf (x)+2f (x) 3f (x) 139.Γιατηνσυνάρτηση f (x) = e λx είναιγνωστόότιισχύει γιαόλατα x.ναβρείτετο λ. ½ λf (x)+2f (x) 3f (x) 140.Ναβρείτεόλατασημεία Mτηςγραφικήςπαράστασηςτης f (x) = x 2 + 3 4 πουέχουντηνιδιότηταηεφαπτομένηστο M ναδιέρχεταιαπότοσημείο K ( 1 2,0). M ( 1 2,1) M ( 3 2,3) 141.Γιαποιέςτιμέςτουαηευθείαy = 3x+1εφάπτεταιστηνγραφικήπαράσταση της y = αx 2 +4x; α = 1 4 142. Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των εφαπτομένων της γραφικής παράστασηςτης f(x) = x 2 στασημείατης M 1 (x 1,f (x 1 ))καιm 2 (x 2,f (x 2 ))είναι M ( x 1+x 2 2,x 1 x 2 ). 143. Εστω ϕ(x) = e 2x e x +2. (αʹ)ναβρεθείηϕ (x). (βʹ)ναβρεθείηϕ (x). (γʹ) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της ϕ. (δʹ) Ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της ϕ έχει τεταγμένη 10; (εʹ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ϕ στο σημείο της R(0,ϕ(0)). µ ϕ (x) = 2e 2x e x µ ϕ (x) = 4e 2x e x µ Ò Û ÒÓÙ ØÓ (, ln2] Ò Û ÜÓÙ ØÓ [ ln2,+ )º ( ( 1 µ ÌÓ M ln 2 ) ) 1 2 33,10 º µ y = x + 2 144.Απότιςεξετάσειςτου2007.Δίνεταιησυνάρτησημετύπο όπου x πραγματικός αριθμός. f(x) = xe x +3 (αʹ)νααποδείξετεότι f (x) = f(x)+e x 3. f (βʹ)ναβρεθείτο lim (x) e x x 0 x 2 x 145.Νααποδείξετεότιγιακάθε x > 0είναιx 3 + 1 x 4 3 4 3.
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¾ ¾ ËØ Ø Ø 146. Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται οι βαθμοί σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών ενός σχολείου. Βαθμός Μαθητές 1 2 3 1 4 1 8 2 10 1 12 2 14 3 15 5 19 2 20 7 (αʹ) Να ομαδοποιήσετε αυτά τα δεδομένα σε κλασεις πλάτους 2,5 ώστε η κεντρική τιμή της πρώτης κλάσης να είναι 0. (βʹ) Να παραστήσετε τα ομαδοποιημένα δεδομένα σε ένα διάγραμμα. (γʹ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των βαθμών πρίν και μετά την ομαδοποίηση. ³µ 10 8 ËÙÕÒ Ø Ø 6 4 2 0 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 Ñ ³µ ½ ½ 147.ΣεμίαέρευναπουδιεξήγαγεηεταιρείαΚΑΠΑ RESEARCHσεέναδείγμα γονέωντο2001διαπιστώθηκεότιτο 51,7%δηλώνειότιηπαρουσίατων μεταναστών στην ελληνική κοινωνία τους προκαλεί ανησυχία και το 16, 2% δηλώνει ότι η παρουσία των ξένων τους ενοχλεί. Αδιάφορο εμφανίζεται το 17,1%ενώτο 11,6%δηλώνει ότιηνέααυτήπολυπολιτισμικήπραγματικότητα του φαίνεται ενδιαφέρουσα. (αʹ) Βρείτε τι ποσοστό του δείγματος έδωσε άλλη απάντηση εκτός των αναφερομένων. (βʹ) Αν παραστήσουμε τα δεδομένα σε κυκλικό διάγραμμα τι γωνία θα αποδώσουμε στην πρώτη απάντηση; Στην δεύτερη; ³µ 3,4% ³µÈ ÖÔÓÙ 186 58 º
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¾ 148. Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται τα πλήθη των τροχαίων ατυχημάτων ενόςέτουςσεμίαπόλη. Μήνας Αριθμός Ατυχημάτων Ιανουάριος 125 Φεβρουάριος 150 Μάρτιος 80 Απρίλιος 50 Μάιος 40 Ιούνιος 43 Ιούλιος 80 Αύγουστος 75 Σεπτέμβριος 80 Οκτώβριος 65 Νοέμβριος 50 Δεκέμβριος 95 Να παραστήσετε τα δεδομένα σε ένα ραβδόγραμμα. ³µ 160 140 120 100 ÈÐ Ó ØÙÕ Ñ ØÛÒ 80 60 40 20 0 ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ Å Ò 149. Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζεται μία αθροιστική ομαδοποιημένη κατανομή.
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¾ Να βρείτε τις συχνότητες των κλάσεων. ÃÐ ν i [α 1,α 2) ½ [α 2,α 3) ½ [α 3,α 4) ½ [α 4,α 5) [α 5,α 6) ½ 150. Παρακάτω παρουσιάζεται το κυκλικό διάγραμμα της κατανομής ενός δείγματοςμεγέθους N = 1800. ¼ Æ ½ Æ Æ ½¼¼ Æ ½¼Æ ½ ¼ Æ Να βρείτε τις συχνότητες που αντιστοιχούν σε κάθε τομέα. 45 225 15 75 60 300 100 500 10 50 130 650 151. Να βρείτε την διάμεσο και την μέση τιμή στις παρακάτω σειρές δεδομένων: (αʹ) 1,2,3,4,250 (βʹ) 1,2,3,4,250,250 (γʹ) 1,2,3,4,250,250,250 µ δ = 3 x = 52 µ δ = 7 760 2 x = 85 µ δ = 4 x = 7 152. Η μέση τιμή της βαθμολογίας στα Μαθηματικά της Α τάξης ενός Λυκείου είναι 10. Στο Λύκειο αυτό μεταγράφεται ένας μαθητής με βαθμολογία στα Μαθηματικά18καιημέσητιμήγίνεται 10,1. Ναβρείτετοαρχικόπλήθος των μαθητών. 153.Ημέσητιμή,ωςπροςμίαμεταβλητήενόςπληθυσμού Aμε νάτομαείναι α ενώημέσητιμή,ωςπροςτηνίδιαμεταβλητήενόςπληθυσμού Bμε µάτομα είναι β. Ποιαθαείναιημέσητιμήτουπληθυσμούπουπροκύπτειαπότην ένωση των δύο παραπάνω πληθυσμών; να+µβ ν+µ
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¾ 154. Να βρείτε την διάμεσο της παρακάτω κατανομής: 2,4,-1,5,5,6,7,7,1,2,11,12. Ποιαθαείναιηδιάμεσοςανητιμή12γίνει13; À Ñ Ó Ø Ó Ô Ö ÔØô Ò º 155. Σε μία επιχείρηση η μέση τιμή των ετησίων αποδοχών των εργαζομένων είναι 11800ευρώ.Πωςθαδιαμορφωθείημέσητιμήαν: (αʹ)σεόλουςτουεργαζόμενουςδοθείωςδώροτοποσότων1000ευρώ; (βʹ) Σε όλους του εργαζόμενους δοθεί αύξηση 5%; (γʹ) Σεόλουςτουεργαζόμενουςδοθείαύξηση 5%καιτοποσότων1000 ευρώ; µ 12800 ÙÖôº µ 12390 ÙÖôº µ 13390 ÙÖôº 156. Εστω η παρακάτω σειρά δεδομένων: Ναβρεθείοxώστε: (αʹ)ημέσητιμήναείναι6. (βʹ) Η διάμεσος να είναι: i.6 ii.5 ³µ ³µ i. x 7 ii. 2,4,2,x,11,16,7,7,2,5 157. Να βρείτε τη μέση τιμή και την διάμεσο στην παρακάτω κατανομή: Βαθμός Μαθητές 2-5 12 5-8 17 8-11 22 11-14 19 Ν 70 x = 8,6 δ = 97 11 = 8,8 158. Εστω η παρακάτω σειρά δεδομένων: 3,4,5,5,6,7,7,8,8,8 Να υπολογίσετε το εύρος, την διακύμανση και την τυπική απόκλιση. R = 5 s 2 = 2,89 s = 1, 7º 159.Ητυπικήαπόκλισημίαςκατανομήςείναι3καιημέσητιμή12. Ποιόςθα είναι ο συντελεστής μεταβλητότητας; 25% 160.Ητυπικήαπόκλισητωνδεδομένων 2,3,4,5,xείναι1.Ποιοςείναιοx; Απαντηση: x = 7 2
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¾ 161. Το ημερομίσθιο των εργαζομένων σε ένα εργοτάξιο παρουσιάζει τυπική απόκλιση 3. Τι τυπική απόκλιση παρουσιάζουν οι εβδομαδιαίες αποδοχές τους;(υπολογίστε 5 ημέρες εργασίας ανά εβδομάδα). ½ 162. Η παρακάτω κατανομή 2,3,4,4,5,6,7,2,3,4,5,1,2,3,0 έχειμέσητιμή x = 17 2 5 = 3, 4καιτυπικήαπόκλιση s = 15 186 = 1, 8.Να βρείτετοποσοστότωνστοιχείωνπουέχειτιμήμεταξύ xκαι x+s. 33,3% 163.Ημέσητιμήτωναριθμών 1,2,...,nείναι7.Ποιοςείναιοn; ½ 164.Νααποδείξετεότιισχύει s R. 165.Νααποδείξετεότιαν s = 0τότε x = δ. 166. Στο σχήμα που ακολουθεί παριστάνεται μία κανονική κατανομή με μέσο x = 3καιτυπικήαπόκλιση s = 0,2. ± ± ½ ± ½ ± ¾ ± ¾ ± ¼ ½ ± ¼ ½ ± Ü Ü ¾ Ü Ü Ü Ü ¾ Ü Να βρείτε το ποσοστό του πληθυσμού που έχει τιμη:
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¼ (αʹ)μεταξύ3και3,2. (βʹ)μεταξύ2,8και3,4. (γʹ) Τοπολύ3,6. (δʹ) Τουλάχιστον 2,4. ³µ 34% ³µ 81,5% ³µ 99,85% ³µ 99,85% 167. Ο συντελεστής μεταβλητότητας της μεταβλητής X είναι 30%, και της μεταβλητής X +1είναι20%.Ναβρείτετο x x = 2 168. Αφου συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση: ÃÐ Ã ÒØÖ Ì Ñ ËÙÕÒ Ø Ø [3,7) x 2 i ν i x i ν i x 2 i [7,11) [11,15) [15, 19) ¾ N = νi x i = νi x 2 i = s = 4 5 21 169. Να βρείτε την τυπική απόκλιση των παρακάτω δεδομένων: Κλάση Συχνότητα 1-4 6 4-7 17 7-10 30 10-13 27 13-16 12 16-19 8 s = 3 50 4171 170. Από τις εξετάσεις του 2000. Α.Ναγράψετεστοτετράδιοσαςτονπίνακατωντιμώντηςμεταβλητής X σωστά συμπληρωμένο: Ì Ñ ËÙÕÒ Ø Ø ËÕ Ø ËÕ Ø ÖÓ Ø Ñ Ø Ð Ø x i ν i f i ËÙÕÒ Ø Ø f i% ËÙÕÒ Ø Ø N i ËÙÕÒ Ø Ø x iν i x 2 i x 2 i νi ½ ½¼ ½ ½¼ ¾ ËÍÆÇÄÇ ¼ ½ ½¼¼ ¹ ¹ Β.Ναυπολογίσετετημέσητιμήκαιτηδιάμεσο. Γ.Ναδείξετεότιηδιακύμανσηείναι s 2 = 0,49. Δίνεται ότι: ( k ) 2 s 2 = 1 k x i ν i x 2 i=1 ν iν i ν i=1
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ½ 171. Ενα διαγώνισμα του σχολικού έτους 2000. ΖΗΤΗΜΑ 1ο Ημέσητιμήκαιηδιάμεσοςπέντεαριθμώνείναι6.Οιτρειςαπόαυτούςείναι οι5,8,9. (αʹ) ½ Ναβρείτετουςάλλουςδύο. (βʹ) Να βρείτε τον συντελεστή μεταβλητότητας του δείγματος που απαρτίζουν οι πέντε αυτοί αριθμοί. ΖΗΤΗΜΑ 2ο (αʹ) ½ Ναδείξετεότιαναπόόλεςτιςτιμές0,2,4,6,8,10και12ενός δείγματος αφαιρέσουμε τη μέση τιμή τους και διαιρέσουμε με την τυπική απόκλιση,τότεοιτιμέςπουθαπροκύψουνθαέχουνμέσητιμή0και διασπορά 1. (βʹ) i. Να διατυπώστε ένα ανάλογο συμπέρασμα με εκείνο του του ερωτήματος 1. για τυχόν δείγμα. ii. Να αποδείξετε το συμπέρασμα που διατυπώσατε στο ερώτημα ερώτημα(α ). 172. Ενα διαγώνισμα του 2003. ΖΗΤΗΜΑ 1 (αʹ) ½ Νασυμπληρώσετετονπαρακάτωπίνακα: x i ν i f i N i F i f i % F i % 1 10 2 4 0,20 6 3 0,60 4 25 5 2 6 Σύνολο (βʹ) Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής για τα δεδομένα του προηγούμενου πίνακα. ΖΗΤΗΜΑ 2 ½ Ημέσηηλικία13αγοριώνκαι12κοριτσιώνμίαςτάξηςείναι15,4χρόνια. Η μέση ηλικία των αγοριών είναι 15,8 χρόνια. (αʹ) Να βρείτε την μέση ηλικία των κοριτσιών. (βʹ) Εστω ότι: τυπική απόκλιση της ηλικίας των κοριτσιών= τυπική απόκλιση τηλ ηλικίας των αγοριών=α ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼½ ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼ ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼¼
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¾ Να συγκρίνετε την τυπική απόκλιση της ηλικίας των μαθητών όλης της τάξης μετο α. Ò Ø Ø ( ) 2 k s 2 = 1 x iν i k x 2 i ν νi i=1 ν i=1 173. Ενα άλλο διαγώνισμα του 2003 (των απόντων του προηγουμένου). ΖΗΤΗΜΑ 1 (αʹ) ½ Χρησιμοποιώνταςτονπαρακάτωπίνακασυχνοτήτων,πουδίνειτην κατανομή του αριθμού των ημερών απουσίας από την εργασία τους λόγωασθενείας50εργατών,ναβρεθείοαριθμόςκαιτοποσοστότων εργατών που απουσίασαν: i. τουλάχιστον 1 ημέρα ii.πάνωαπό5ημέρες iii.από3έως5ημέρες iv.τοπολύ5ημέρες v. ακριβώς 5 ημέρες Αριθμός Ημερών Συχνότητα Αριθμός Ημερών Συχνότητα 0 12 5 8 1 8 6 0 2 5 7 5 3 4 8 2 4 5 9 1 (βʹ) Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής για τα δεδομένα του προηγούμενου πίνακα. ΖΗΤΗΜΑ 2 Εχουμε ένα δείγμα ν = 10 παρατηρήσεων, όπου κάθε παρατήρηση μπορεί ναείναι1,2ή3. (αʹ) ¾¼ Είναιδυνατόνημέσητιμήναείναι: i.1 ii. 4 iii. 1,8 (βʹ)ναεξετάσετεανείναιδυνατόνημέσητιμήναείναι1,9. Δίνεται ότι: ( k ) 2 s 2 = 1 k x i ν i x 2 i ν ν i=1 i ν i=1 ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ¾¼ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼¼ ¾
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È 174. Μία κανονική κατανομή έχει τυπική απόκλιση 4. Ποιο είναι το εύρος της; È ÖÔÓÙ ¾ º 175. Εστωότιδύοδείγματα A,B έχουνπλήθη µ,ν. Ωςπροςμίαμεταβλητή έχουνμέσεςτιμές α,β καιαποκλίσεις p,q. Νααποδείξετεότιτοδείγμα A Bέχειτυπικήαπόκλιση µ ( α 2 +p 2) +ν ( β 2 +q 2) µ+ν ( ) 2 µα+νβ µ+ν 176.Απότιςεξετάσειςτου2001.Σεμίαέρευναπουέγινεστουςμαθητές μίαςπόλης,γιατονχρόνοπουκάνουνναπάνεαπότοσπίτιστοσχολείο διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από 12 λεπτά, ενώ το 16% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του χρόνου της διαδρομής είναι κατά προσέγγιση κανονική. Α.Ναβρείτετομέσοχρόνοδιαδρομήςτωνμαθητώνκαιτηντυπικήαπόκλιση του χρόνου διαδρομής τους. Β. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Γ.Ανοιμαθητέςτηςπόληςείναι4.000,πόσοιμαθητέςθακάνουνχρόνο διαδρομήςαπό14έως16λεπτά; Δ. Μία μέρα, λόγω έργων στον κεντρικό δρόμο της πόλης, κάθε μαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρείτε κατά πόσο μεταβάλλεται ο συντελεστής μεταβολής CV. 177. Από τις εξετάσεις του 2000. Στα σχολεία ενός Δήμου υπηρετούν συνολικά 100 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Χρόνια υπηρεσίας Σχετική Συχνότητα [ ) f i % 0-5 10 5-10 15 10-15 12 15-20 15 20-25 18 25-30 18 30-35 12 Α. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας; Β. Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί, όταν συμπληρώσει 35 χρόνια: α) πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν στα επόμενα 12,5 χρόνια; β) πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν μέσα στα επόμενα πέντε χρόνια, ώστε ο αριθμός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του Δήμου να παραμείνει ο ίδιος; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 178. Από ένα διαγώνισμα του 2001. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι τιμές μίας μεταβλητής X με τις αντίστοιχες συχνότητες τους εκτός της πέμπτης.
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È x i ν i 2 1 3 3 4 1 5 2 6 ; 7 1 (αʹ) ¾½ Ναβρείτετηνπέμπτησυχνότηταανγνωρίζετεότιημέσητιμήείναι 4,4. (βʹ)νααποδείξετεότιόποιατιμήκαιναπάρειηπέμπτησυχνότηταθαείναι πάντα 4 x 6. 179.Από ένα διαγώνισμα του 2002. Ημέσηηλικία18αγοριώνκαι12 κοριτσιών μίας τάξης είναι 15,4 χρόνια. Εάν η μέση ηλικία των αγοριών είναι 15,8 χρόνια: (αʹ) ¾¾ Ναβρείτετηνμέσηηλικίατωνκοριτσιών. (βʹ)νααποδείξετεότιανκανέναςμαθητήςήμαθήτριαδενείναικάτωτων 15ετώντότετοπολύ6άτομαμπορούνναείναι17ετών. 180. Από τις εξετάσεις του 2003(Εσπερινά Λύκεια). Ενα δείγμα εργαζομένων μιας εταιρείας εξετάστηκε ως προς το χρόνο(σε ώρες) υπερωριακής απασχόλησης κατά τη διάρκεια ενός μηνός και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας. Να βρείτε: ÏÖ ÙÔ ÖÛÖ Ô Õ Ð ÃÐ ¹µ ÖÓ Ø ÙÕÒ Ø Ø N i ¼¹¾ ¾¹ ½ ¹ ¾¼ ¹ ¹ ½¼ ¼ (αʹ) το μέγεθος του δείγματος, (βʹ) τις συχνότητες και τις σχετικές συχνότητες των κλάσεων και (γʹ) τημέσητιμή. 181. Από τις εξετάσεις του 2002. Ενα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματαστιςπαρακάτωτιμές,σεευρώ: 8,10,13,13,15,16,18,14, 14,9. (αʹ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. (βʹ) Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής. (γʹ) Αν οι τιμές του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα υποστούν έκπτωση 10%, να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής. ¾½ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼½ º ½¼ ¾¾ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼¼ º
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È 182. Από τις εξετάσεις του 2003. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η χρηματική παροχή από τους γονείς, σε Ευρώ, δείγματος έξι μαθητών τηςπρώτηςτάξης(ομάδαα)καιέξιμαθητώντηςδεύτερηςτάξης(ομάδαβ) ενός Γυμνασίου. ΟμάδαΑ ΟμάδαΒ 1 7 8 14 9 6 5 4 3 12 4 5 (αʹ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων κάθε ομάδας. (βʹ) Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ομάδες. (γʹ) ΑνσεκάθεπαρατήρησητηςομάδαςΑγίνειαύξηση20%καιοιπαρατηρήσειςτηςομάδαςΒαυξηθούνκατά5Ευρώηκάθεμία,πώςδιαμορφώνονταιοινέεςμέσεςτιμέςτωνδύοομάδων (δʹ) Νασυγκρίνετεμεταξύτουςωςπροςτηνομοιογένειατιςδύοομάδεςμε τα νέα δεδομένα. 183.Σταδεδομένα 1,2,x,yέχουμεμέσητιμή 5 2 καιτυπικήαπόκλιση 5 2.Βρείτε τα x,y. x = 3,y = 4 x = 4,y = 3 184. Να αποδείξετε ότι ο σταθμικός μέσος κάποιων τιμών βρίσκεται μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής. 185. Μια βιομηχανία κάνει συσκευασία γάλακτος σε 4 μεγέθη κουτιών και σε ποσοστά: 10%,20%,30%40%μεαντίστοιχοκόστοςσυσκευασίας16,12,8,4 λεπτά ανά κουτί. (αʹ) Να βρεθεί το μέσο κόστος συσκευασίας και η τυπική απόκλιση του κόστους αυτού. (βʹ)αντοκόστοςκάθεσυσκευασίαςαυξηθείκατά 10%ναβρεθείηνέα τυπική απόκλιση του κόστους συσκευασίας. À Ñ Ø Ñ Ò ØÙÔ Ô Ð Ò º Å Ø Ø Ò Ü ØÓÙ ½¼± ÒÓÙÒ º 186. Εναδείγμααποτελείταιαπό5αριθμούς.Οι4απόαυτούςείναιοι1,2,3,4. Πωςπρέπειναεπιλεγείο5οςώστετοδείγμαναπαρουσιάζειτηνμικρότερη δυνατή τυπική απόκλιση; x = 5 187.Κατάμίαμέτρησητουαναστήματοςτων10αθλητώνβρέθηκεότιημέσητιμή του ήταν 1,71. Ωστόσο στη συνέχεια βρέθηκε ότι οι υπολογισμοί έγιναν με μία λάθος τιμή: Αντί του πραγματικού αναστήματος 1,87 ενός αθλητή είχε δοθέι η τιμή 1,78. Ποιά είναι η πραγματική μέση τιμή του αναστήματος; 1,72
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È 188. Στην παρακάτω κατανομή ηδιάμεσοςείναι 40.Ναβρεθείτο x. x = 9 9 [2, 3) 5 [3, 4) 6 [4, 5) x [6, 7) 10 189. Από τις εξετάσεις του 2003(Εσπερινά Λύκεια). Οι χρόνοι σε ώρες(παρατηρήσεις) που έξι από τους επίγειους σταθμούς δεν είχαν επαφή με τον Ελληνοκυπριακό δορυφόρο είναι: t 1 = 0, t 2 = 0, t 3 = 1, t 4 = 2, t 5 = 4, t 6 = 5 (αʹ)ναβρείτετημέσητιμή xκαιτηδιάμεσο δτωνπαρατηρήσεων. (βʹ)αν f (x) = (t 1 x) 2 +(t 2 x) 2 +(t 3 x) 2 +(t 4 x) 2 +(t 5 x) 2 + (t 6 x) 2 τότε: i.νααποδείξετεότι f ( x) = 0 ii.νααποδείξετεότι f ( x) = 6s 2,όπου s 2 είναιηδιακύμανσητων παρατηρήσεων και iii. να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης τηςσυνάρτησης fστοσημείο A( x,f ( x)). 190. Να βρείτε την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο συντελεστής μεταβολής τωνπαρακάτωδεδομένων 1,2,3,x(x > 0). s Ò x = 3x 2 12x+20 x+6 ØÓ ÓÔÓÓ x = 7 3 1 5 3 = 0, 35º ³ Ö Ñ Ø Ø Ñ ØÓÙ CV Ò 35%º Ô ÖÒ Ø Ò Ñ Ø Ø Ñ ØÓÙ 191.Νααποδείξετεότιανέχουμε rπληθυσμούςμε n 1,...,n r οιοποίοι,ωςπρος μίαμεταβλητή X,έχουνμέσεςτιμές α 1,...,α r τότεηένωσητουςέχειμέση τιμήτονσταθμικόμέσοτων α 1,...,α r μεβάρη n 1,...,n r. ÍÔÓ Ü Ò Õ Ø Ð Ø Ò ½ Õ Ø Ð ØÓ ÔÖ Ð Ñ r = 2º 192. Εστω ότι σε μία κατανομή ένός δείγματος μεγέθους ν εμαφνίζονται οι τιμές: t 1 t 2... t ν να αποδείξετε ότι για η διάμεσος είναι: δ = { tν+1 2 193. Ενα διαγώνισμα του 2004., ν = περιττȯς tν 2 +t ν+2 2 2, ν = αρτιoς ΖΗΤΗΜΑ 1 Εξη διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί έχουν μέση τιμή 15.
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È (αʹ) ¾ i.τουςαριθμούς ii. Τη διάμεσο τους (βʹ) Να βρείτε την διασπορά τους. ΖΗΤΗΜΑ 2 Στον διπλανό πίνακα δίνονται οι τιμές μίας μεταβλητής X με τις αντίστοιχες συχνότητες τους εκτός της πέμπτης. x i ν i 2 1 3 3 4 1 5 2 6 n 7 1 (αʹ)ναβρείτετηνπέμπτησυχνότηταανγνωρίζετεότιημέσητιμήείναι 4,4. ¾ (βʹ) i. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής μεταβολής είναι 50 25n+72 2 16+3n % ii.γιαποιατιμήτου nοσυντελεστήςμεταβολήςείναι 14 2 3%; 194. Ενα άλλο διαγώνισμα του 2004 (των απόντων του προηγουμένου). ΖΗΤΗΜΑ 1 Ημέσητιμήκαιηδιάμεσοςπέντεαριθμώνείναι6.Οιτρειςαπόαυτούςείναι οι5,8,9. ¾ (αʹ) Να βρείτε τους άλλους δύο αριθμούς. (βʹ) Να βρείτε την διασπορά τους. ΖΗΤΗΜΑ 2 Σε μία κάλπη υπάρχουν άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες σε αναλογία 10%, 20%, 30% και 40% αντιστοίχως. Μία άσπρη μπάλα έχει βάρος 10gr,μίαμαύρη 11grμίακόκκινη 12grκαιμίαπράσινη 13gr. (αʹ)ναβρείτετημέσητιμήτουβάρουςγιαόλεςτιςμπάλες. ¾ (βʹ) Είναι το δείγμα που περιέχεται στην κάλπη ομογενές; ¾ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼¼ º ½ ¾ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼½ º ½¼ ¾ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼½ º ¾ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼¼ º
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È 195. Από τις εξετάσεις του 2004. Στην Ἁττική οδό εξυπηρετούνται καθημερινά 200 χιλιάδες οχήματα, τα οποία διανύουν από 5 έως 45 χιλιόμετρα. Η διανυόμενη απόσταση σε χιλιόμετρα από τα οχήματα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα: ÃÐ Ã ÒØÖÓ ËÙÕÒ Ø Ø ËÕ Ø ÖÓ Ø Öº ËÕ Øº Ð ËÙÕÒ Ø Ø ÙÕÒ Ø Ø ÙÕÒ Ø Ø ÕÐÑ x i ν i f i% N i ÕÐÑ F i% [5,15) ¼ [15,25) [25,35) ½ ¼ [35, 45) Ë ÒÓÐÓ ¾¼¼ (αʹ) Να μεταφέρετε στο τετράδιο σας τον παραπάνω πίνακα και να συμπληρώσετε τις τιμές των αντιστοίχων μεγεθών (βʹ)να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα (x i,f%) και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. (γʹ) Ναβρείτετημέσητιμή x. (δʹ) Να βρείτε το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 25 χιλιομέτρων.
¾ ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ³µ [5,15) ½¼ ¼ ¼ ¼ ¼ [15,25) ¾¼ ½ [25,35) ¼ ¾¾ ½ ¼ ¼ [35,45) ¼ ¾¼ ½¼ ¾¼¼ ½¼¼ Ë ÒÓÐÓ ¾¼¼ ½¼¼ ³µ µ x = 21,2 µ Õ Ð ÙØÓ Ò Ø 196. Για τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα ημέσητιμήείναι8,2. (αʹ)ναβρείτετιςσυχνότητες κ, λ. (βʹ) Να βρείτε τη διάμεσο. (γʹ) Να βρείτε τη διάσπορά. Κλάσεις Συχνότητες ν i [0,4) 35 [4,8) κ [8,12) 28 [12,16) λ [16,20) 12 ΣΥΝΟΛΟ 100 ³µ κ = 12 λ = 13 ³µ δ = 8 + 3 25 4 = 212 25 = 8,48 µ s2 = 30,84 197.Σεμίακανονικήκατανομήτοεύροςείναι18καιτοκατώτερο 16%φθάνει μέχριτηντιμή10.ποιαείναιημέσητιμή; ½ 198. Ενα διαγώνισμα του 2005. ΖΗΤΗΜΑ 1 Ομέσοςχρόνοςπουχρειάζονταιοιμαθητέςενόςσχολείουναπάνετοπρωί απότοσπίτιτουςμέχριτοσχολείοείναι10λεπτάμετυπικήαπόκλιση2 λεπτά. Υποθέτοντας ότι έχουμε περίπου κανονική κατανομή: (αʹ) Να βρείτε κατά προσέγγιση το ποσοστό των μαθητών που χρειάζονται: i.κάτωαπό8λεπτά ii.πάνωαπό14λεπτά iii.τοπολύ10λεπτά iv.από6έως12λεπτά γιαναπάνεστοσχολείοτους. (βʹ) Να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής του παραπάνω δείγματος.
È Ò Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¼ ΖΗΤΗΜΑ 2 Σε μια κάλπη υπάρχουν άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες σε αναλογία 10%, 20%, 30% και 40% αντίστοιχα αλλά δε γνωρίζουμε πόσες μπάλεςυπάρχουνστηνκάλπη. Μιαάσπρημπάλαέχειβάρος10 gr, μια μαύρη11 gr,μιακόκκινη12 grκαιμιαπράσινη13 gr. (αʹ) Να βρείτε i.τημέσητιμήκαι ii. τη διάμεσο του βάρους όλων των μπαλών (βʹ) i.ναβρείτετηνδιασποράτουβάρουςόλωντωνμπαλών. ii.αφαιρούμεαπότηνκάλπημίαμπάλααπόκάθεείδος.ημέσητιμή άραγε θα αυξηθεί, θα ελαττωθεί ή θα παραμείνει ίδια; (Δεκτές μόνο αιτιολογημένες απαντήσεις). 199. Σε μία επιχείρηση ο μέσος μηνιαίος μισθός του προσωπικού είναι 1200 ευρώ. Ομέσοςμισθόςτωνανδρώντηςεπιχείρησηςείναι1250ευρώκαιτωνγυναικών 1100 ευρώ. Αν οι γυναίκες πάρουν αύξηση 5% πως θα διαμορφωθεί ό μέσος μηνιαίος μισθός των εργαζομένων; 1241,7 ÙÖô 200.Οιτιμέςενόςδείγματοςείναι5, 4,3, 6, 12καιοιαθροιστικέςσχετικέςσυχνότητεςτουςείναιαντιστοίχως 0,2, 0,3, 0.4 0,8και1.Βρίτετημέσητιμήτους. 4,14 201.Ομέσοςμισθόςτωνεργαζομένωνσεμίαεπιχείρησηείναι m.ανόλοιοιμισθοίαυξηθούνκατάποσοστό a% 0 < a < 100καιμετάαπόκάποιοδιάστημα μειωθούν κατά a% ποιός θα είναι ό μέσος μισθός των εργαζομένων m ( 1 α2 10 000 È Ò Ø Ø ) 202. Εστωοδειγματικόςχώρος Ω = {x,y,z,t,s,k}καιταενδεχόμενατου A = {x,y,s,k}, B = {y,t,s}.νασυμπληρώσετετιισότητες: (αʹ) A B = (βʹ) A B = (γʹ) A B = (δʹ) A = A B = {s,y} A B = {x,t,s,y,k} A B = {x,k} A = {z,t} 203.Σεκάθεένααπόταπαρακάτωδιαγράμματατου Vennείναι P (A) = 0,4, P (B) = 0,2και P (A B) = 0,1. Ναβρείτετηνπιθανότητατουγραμμοσκιασμένου ενδεχομένου.
xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxx taexeiola.gr È Ò Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ½ Α Α A B A B A B 0,4 0,5 0,6 204. Εστωοδειγματικόςχώρος Ω = {ω 1,ω 2,ω 3,ω 4 }.Ναβρείτετηνπιθανότητα τουενδεχομένου A = {ω 1,ω 2 }στιςακόλουθεςπεριπτώσεις: (αʹ) P (ω 1 ) = P (ω 2 ) = P (ω 3 ) = P (ω 4 ) (βʹ) P (ω 1 ) = 2P (ω 2 ) = 3P (ω 3 ) = 4P (ω 4 ) (γʹ) P (ω 1 )+P (ω 3 ) = 0,2, P (ω 1 )+P (ω 4 ) = 0,3, P (ω 3 ) = 2P (ω 1 ) ³µ 1 2 ³µ18 17 25 ³µ 30 205.ΓιαταενδεχόμεναX,YενόςδειγματικούχώρουΩείναιγνωστόότιP (X) = 2P (Y)καιότι P (X Y) = 1 4P (X). Εστωότι P (X) = λ.ναεκφράσετε συναρτήσει του λ τις παρακάτω πιθανότητες: (αʹ) P (Y ) (βʹ) P ((X Y) (Y X)) ³µ1 λ 2 ³µ λ 2 206. Να επαληθεύσετε τις ισότητες (αʹ) (A B) = A B (βʹ) (A B) = A B (Νόμοιτου de Morgan) 207.Ναβρεθείηπιθανότητα P (A)αν,κατάπερίπτωση,είναιγνωστόότι: (αʹ) P (A ) = 3 4 P (A) (βʹ) 5P (A)+2P (A ) = 4 ³µ 4 7 ³µ 2 3 208.Μίατάξηέχει30παιδιά.Είναιγνωστόότιηπιθανότητασετυχαίαεπιλογή ενόςπαιδιούναείναιαγόριείναι 2 5. Πόσακορίτσιαέχειητάξη; ½ 209. Να αποδείξετε ότι για κάθε ενδεχόμενο ισχύει πάντα 0 P (X)P (X ) 1 4