CÁC BÀI TOÁN ÔN THI HKII VÀ THI VÀO LỚP 10

43/7/15 LẠC LONG QUÂN CÁC BÀI TOÁN ÔN THI HKII VÀ THI VÀO LỚP 10 Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường kính AC và AD của (O) và (O ). Tia CA cắt đường tròn (O ) tại F, tia DA cắt đường tròn (O) tại E. CE và DF cắt nhau tại M. a) Chứng minh: EFC = EDC. b) Chứng minh tứ giác EOO F nội tiếp. c) Qua A kẻ đường thẳng song song với OO cắt CE và DF lần lượt tại M và K. Chứng minh HEFK nội tiếp. d) Gọi I là trung điểm CD và N là điểm đối xứng của A qua I. Chứng minh N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD. Hướng dẫn giải: a) Chứng minh FED = FCD Ta có: + 0 CED = 90 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) + 0 CFD = 90 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O )) 0 CED = CFD = 90 Suy ra: ( ) Tứ giác CEFD nội tiếp ( đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) EFC = EDC ( góc nội tiếp cùng chắn cung EC của đt (CEFD)) @ b) Chứng minh OEFO nội tiếp Ta có: + O là trung điểm của AC (AC là đk của (O)) + O là trung điểm của AD (AD là đk của (O )) Suy ra OO là đường trung bình của tam giác ACD OO // CD EO O = EDC (đồng vị) Mà EFC = EDC ( cmt), nên EO O = EDC Suy ra tứ giác OEFO nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối diện) @ 1

43/7/15 LẠC LONG QUÂN c) Chứng minh tg HEFK nội tiếp Vì HK // OO (gt) và OO //CD (cmt) nên KH // CD, suy ra EHK = ECD. (1) (đồng vị) Tứ giác EFDC nội tiếp (cmt) ta có: EFK + ECD = 180 o () Từ (1) và (), suy ra: EHK + EFK = 180 o tứ giác EFKH nội tiếp (hai góc đối bù nhau) @ d) Chứng minh N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD Vì N là điểm đối xứng của A qua I nên I là trung điểm của AN. Tứ giác ADNC có hai đường chéo AN và CD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên là hình bình hành. Suy ra ND // CA và NC // AD. Mà o o CA MD CFD = 90, AD MC DEC = 90 ( ) ( ) Nên ta có: ND MD, NC MC MCN = MDC = 90 o Tứ giác MCND có o o o MCN + MDN = 90 + 90 = 180 nên là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau) Suy ra N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD. @ Bài : Cho đường tròn (O; R) có dây BC = R 3. Vẽ đường tròn (M) đường kính BC. Lấy điểm ( M ) A ( A ở ngoài (O)). AB, AC cắt (O) tại D và E. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC, AH cắt DE tại I. a) Chứng minh AD. AB = AE. AC. b) Chứng minh I là trung điểm của DE. c) AM cắt DE tại K. Chứng minh IKMH nội tiếp. d) Tính DE và tỉ số AH theo R. AK e) Tìm vị trí của A để diện tích tam giác ADE lớn nhất. Hướng dẫn giải: a) Chứng minh AD. AB = AE. AC Ta có tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn (O) nên ADE = ACB. Xét Δ ADE và Δ ACB có: + ADE = ACB( cmt)

43/7/15 LẠC LONG QUÂN + Góc A chung. ΔADE ΔACB g. g Suy ra ( ) AD AE AD. AB AEAC. AC = AB =. b) Chứng minh I là trung điểm của DE Ta có : BAC = 90 o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (M)) Và AHB = 90 o ( AH BC) Suy ra DAI = ACB ( cùng phụ với ABC ) Mà ADI = ACB( cmt) Suy ra ADI = DAI tam giác ADI cân tại I. Suy ra ID = IA.(1) Chứng minh tương tự ta cũng có IE = IA. () Từ (1) và () suy ra ID = IE hay I là trung điểm của DE. c) Chứng minh tứ giác IKMH nội tiếp Ta có MA = MC ( A, C thuộc (M)) suy ra tam giác MAC cân tại M MAC = ACM Ta cũng có AEK = ABC. Từ đó: 0 o 90 90 o KAE + AEK = ABC + ACB = AKE = IKM = 90 Xét tứ giác IKMH có 0 90 90 o o IHM + IKM = + = 180 nên là tứ giác nội tiếp ( góc đối bù nhau) d) Tính DE và AK AH Vẽ đường kính CF của đường tròn (O), khi đó ta có FBC = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Trong tam giác vuông BCF ta có: BC R 3 3 sin o BFC = BFC 60 CF = R = = Tứ giác BDCE nội tiếp đường tròn (O) nên ta có ADC = BFC = 60 o. Ta có ΔADE ΔACB( cmt) DE = AD DE = BC. AD BC AC AC AD Trong tam giác vuông ADC có o 1 cot g ADC cot g 60 AC = = = 3 1 1 Suy ra: DE = BC. = R 3. = R. 3 3 Xét tam giác ADK và tam giác ACH có : 3

43/7/15 LẠC LONG QUÂN ADK ACH ( cmt) = DKA = AHC ( = 90 o ) ΔADK ΔACH g. g Suy ra ( ) AK AD AH = AC = 1 3 e) Tìm vị trí của A để diện tích tam giác ADE lớn nhât. Ta có SADE AD 1 1 ΔADE ΔACB = = S ADE = S S AC 3 3 ACB 1 1 1 R 3 3R Mà SABC = AH. BC AM. BC =.. R 3 = 4 1 Nên SADE R. Dấu = xảy ra khi AH = AM H M A là điểm chính giữa cung BC 4 của đường tròn (M) Vậy diện tích tam giác ADE lớn nhất bằng tròn (M). 1 4 ABC R khi A là điểm chính giữa cung BC của đường Bài 3: Cho hình vuông ABCD cố định. E là điểm di động trên cạnh CD ( khác C và D). Tia AE cắt đường thẳng BC tại F. Tia Ax vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng DC tại K. BD cắt KF tại I. a) Chứng minh: CAF = CKF. b) Chứng minh: IDF = IEF. c) Chứng minh tamg giác KAF vuông cân. d) Chứng minh I là trung điểm của KF e) Gọi M là giao điểm của BD và AE. Chứng minh IMCF nội tiếp. f) Chứng minh khi điểm E thay đổi trên cạnh CD thì tỉ số ID không đổi. Tính tỉ số đó. CF Hướng dẫn giải: a) Chứng minh: CAF = CKF. Ta có KAF 90 o ( AK AF ) = và 90 o KCF = (ABCD là hình vuông), 4

43/7/15 LẠC LONG QUÂN suy ra KAF KCF ( 90 o ) = = tứ giác ACFK là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau). Do đó: CKF = CAF b) Chứng minh: IDF = IEF. Tứ giác ACKF nội tiếp nên ta có: AFK = ACK mà vuông) suy ra: AFK BDC ( 45 o ) o 45, o ACK = BDC = 45 (ABCD là hình = =. Do đó tứ giác IDEF là tứ giác nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện), suy ra IDF = IEF c) Chứng minh tamg giác KAF vuông cân. Tam giác AKF vuộng tại A (gt) có o 45 o AFK = AKF = 45 nên là tam giác vuông cân tại A. d) Chứng minh I là trung điểm của KF Xét tứ giác ABFI có: 0 AFI = 45 cmt + ( ) + ABI = 45 o (ABCD là hình vuông) Suy ra ABFI là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) Khi đó: AFI + ABI = 180 o AFI = 180 o ABI = 180 o 90 o = 90 o AI KF Tam giác AKF cân có AI là đường cao nên cũng là trung tuyến, suy ra I là trung điểm của KF. e) Chứng minh IMCF nội tiếp. Xét tam giác BAM và tam giác BCM có: + AB = BC (ABCD là hình vuông) + ABM = CBM (ABCD là hình vuông) + BM chung Suy ra Δ BAM =Δ BCM ( c. g. c) BAM = BCM Mà BAM = BIF (ABFI nội tiếp) Nên BCM = BIF Suy ra tứ giác IMCF nội tiếp (Góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện) f) Chứng minh tỉ số ID CF Ta có: không đổi. 5

43/7/15 LẠC LONG QUÂN o o o ADB = 45 ADI = 180 ADB = 135 o 45 o 180 o ACB = ACF = ACF = 135 ADI = ACF Xét tam giác ADI và tam giác ACF có: + ADI = ACF + AID = AFC (ABFI nội tiếp) DI AD Suy ra ΔADI ~ ΔACF ( g. g ) = CF AC AD Trong tam giác vuông cân ADC có : o 1 sin ACD sin 45 AC = = = Do đó: DI CF 1 = không đổi. Bài 4: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Vẽ CD AB tại D cắt (O) tại E. Vẽ EF BC tại F và EH AC tại H. Gọi M là giao điểm của DF và BE, N là giao điểm của HF và CE. a) Chứng minh tứ giác EFCH, EGBD nội tiếp. b) Chứng minh EF = ED. EH c) Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp. d) Chứng minh MN EF. Hướng dẫn giải: a) Chứng minh tứ giác EFCH, EGBD nội tiếp. Ta có: o EFC 90 ( EF BC ) o EHF = 90 ( EH AC) = o EFC + EHC = 180 Suy ra tứ giác HEFC nội tiếp (hai góc đối bù nhau). Chứng minh tương tự ta cũng có tứ giác EFBD nội tiếp. 6

43/7/15 LẠC LONG QUÂN b) Chứng minh EF = ED. EH Ta có: + EFH = ECH (1) (Tứ giác EFCH nội tiếp) + EDF = EBF () (Tứ giác EFBD nội tiếp) + ECH = EBF (3) (Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó) Từ (1), () và (3) ta có: EFH = EDF = EFH = EDF Chứng minh tương tự ta cũng có: ( ) = ( = = ) EFD EHF ECF EBD Xét tam giác EHF và tam giác EFD ta có: EHF = EFD ( cmt ) EFH = EDF ( cmt) EH EF ΔEHF ~ ΔEFD( g. g ) = EF = ED. EH EF ED c) Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp. Theo câu b ta có: EFN = EBC EFM = ECB EFN + EFM + MEN = EBC + ECB + MEN 180 o MFN + MEN = Suy ra tứ giác EMFN nội tiếp (hai góc đối bù nhau) d) Chứng minh MN EF. Tứ giác EMFN nội tiếp nên ta có: EMN = EFN EFN = EBC cmt Mà ( ) EMN = EBC mà hai góc này ở đồng vị nên ta có MN // BC. Mà EF BC ( gt) EF MN Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường kính CD ( không vuông góc với AB). AC và AD cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại M và N. Gọi I là trung điểm AD. a) Chứng minh tứ giác OINB nội tiếp. 7

43/7/15 LẠC LONG QUÂN b) Chứng minh AI. AN= R. c) Chứng minh CDM = CNM. d) Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh AK CD. e) Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. Tính KF theo R. Suy ra F luôn thuộc một đường thẳng cố định khi đường kính CD thay đổi. Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác OINB nội tiếp. Ta có I là trung điểm dây cung AD, suy ra OI AD (liên hệ giữa đk và dây cung) 90 o OIN = MN là tiếp tuyến của (O) tại B, suy ra 90 o OB MN OBN =. Tứ giác OINB có OIN + OBN = 180 o nên là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau). b) Chứng minh AI. AN = R. Xét tam giác AIO và tam giác ABN có: + Góc BAN chung. + AIO = ABN ( = 90 o ) AI AO Suy ra ΔAIO ~ ΔABN = AI. AN = AO. AB = R AB AN c) Chứng minh CDM = CNM. Ta có ACB = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra: ABC = CMN (cùng phụ với CBM ) Mà ABC = ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) Nên ta có: ADC = CMN Do đó tứ giác CDNM nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối diện). d) Chứng minh AK CD.MN. Gọi P là giao điểm của AK và CD. Ta có MAN = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 8

43/7/15 LẠC LONG QUÂN Tam giác AMN vuông tại A ( MAN = 90 o ) có AK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 1 MN nên ta có: AK = MN = KN. Suy ra tam giác KAN cân tại K KAN = ANK Ta cũng có ADC = AMN (cmt) Do đó: KAN + ADC = AMN + ANM = 90 o, suy ra APD = 90 o AK CD e) Tính KF theo R. Suy ra F luôn thuộc một đường thẳng cố định khi đường kính CD thay đổi. Tứ giác CDNM là nội tiếp do đó 4 điểm C, D, N, M cùng nằm trên một đường tròn. Mà (F) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CNM,do đó C, D, N, M cùng thuộc (F). Ta có K là trung điểm của MN, O là trung điểm của CD suy ra FK MN, FO CD Tứ giác AOFK có: + AO// FK (cùng vuông góc với MN) + AK // OF (cùng vuông góc với CD) Suy ra AOFK là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song), suy ra FK = AO = R. Vì KF MH (tại K) và FK = R nên F thuộc đường thẳng d song song với MN và cách MN một khoảng R (d khác phía A đối với đt MN) Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC), đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm B bán kính BA cắt AH tại D. a) Chứng minh BC là trung trực AD. Suy ra CD là tiếp tuyến của (B). b) Gọi I là điểm đối xứng của B qua AH. Đường thẳng AI cắt CD tại E. Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp. c) Gọi F là hình chiếu của A lên BD. Chứng minh BD. DF = DE. DC. Suy ra CEBF là tứ giác nội tiếp. d) Cho AB = a, AC = a. Tính diện tích tam giác DEH theo a. Hướng dẫn giải: a) Chứng minh BC là trung trực AD. Suy ra CD là tiếp tuyến của (B). Ta có BA = BD (A, D thuộc (B)) suy ra tam giác BAD cân tại B. Mà BH là 9

43/7/15 LẠC LONG QUÂN đường cao nên cũng là đường trung trực của AD. Do đó BC là đường trung trực của AD. Xét Δ BDC và Δ BAC có: + BD = BA + BC chung + CD = CA (C thuộc đường trung trực của AD) Suy ra Δ BDC =ΔBAC ( c.. c c) BDC = BAC = 90 o CD BD Ta có: suy ra CD là tiếp tuyến của đường tròn (B) D ( B) b) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp. Xét tứ giác ABDI có: + H là trung điểm của AD + I là trung điểm của BI (I đối xứng với B qua H) Suy ra ABHI là hình bình hành, từ đó ta có AI //BD AEC = BDC = 90 o Tứ giác AHEC có AHC AEC ( 90 o ) = = nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.) c) Chứng minh BD. DF = DE. DC. Suy ra CEBF là tứ giác nội tiếp. Xét ΔDBH và Δ DAF có: + Góc ADB chung BHD = AFD = 90 o + ( ) BD DH Suy ra ΔDBH ~ ΔDAF ( g. g ) = BD. DF = DH. DA (1) DA DF Xét ΔDEA và Δ DHC có: + Góc ADE chung DHC = AED = 90 o + ( ) DE DA Suy ra ΔDEA ~ ΔDHC ( g. g ) = BE. DC = DH. DA () DH DC Từ (1) và () suy ra DB.DF = DE.DC Xét tam giác BDE và tam giác BCF có : + Góc BDE chung. BD DE + = ( DBDF. = DEDC. ) DC BF ΔBDE ~ ΔBCF c. g. c DEB = BFC ( ) 10

43/7/15 LẠC LONG QUÂN Suy ra tứ giác BECD nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối diện) d) Tính diện tích tam giác DEH theo a. Xét tam giác DHE và DCA có : + Góc HDE chung. + DHE = DCA (Tứ giác AHEC nội tiếp) SDHE DH Suy ra ΔDHE ~ ΔDCA = SDAC CD Trong tam giác vuông ABC ta có: BC = AB + AC = a + 4a = 5a + BC = a 5 + + AB. AC a AH. BC = AB. AC AH = = BC 5 AC 4 HC. BC = AC HC = = BC Khi đó ta có Từ đó ta có S S DAC DHE 1 1 4a 4a 8a = CH. AD=. = và 5 5 5 a 5 1 1 8a 8a = SADC =. = 5 5 5 5 a 4a HD =, AD = 5 5 a DH 5 1 = = CD a 5 Bài 7: Cho hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một đường thẳng d quay quanh A (d khác đường thẳng IO) cắt (O) và (I) tại B và C. a) Chứng minh OB // IC. b) Vẽ đường kính BD và CE của (O) và (I). Chứng minh A, D, E thẳng hàng. c) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (I) cắt BD tại F. Chứng minh tứ giác DACF nội tiếp. Xác định tậm K của đường tròn. d) Khi d quay quanh A thì K di động trên đường nào. Hướng dẫn giải a) Chứng minh OB // IC. 11

43/7/15 LẠC LONG QUÂN Ta có OA = OB (A, B thuộc (O)) suy ra tam giác OAB cân tại O OBA = OAB Ta có IC = ID (C, D thuộc (I)) suy ra tam giác ICD cân tại I ICA = IAC Mà OAB = IAC (đối đỉnh) Dó đó: OBA = ICA mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên OB //IC. b) Chứng minh A, D, E thẳng hàng. Ta có: DAB = 90 o (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) o 180 o DAC = DAB = 90 Ta có: CAE = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I)) Từ đó ta có: DAE = DAC + DAE = 90 o + 90 o = 180 o Suy ra 3 điểm D, A, E thẳng hàng. c) Chứng minh tứ giác DACF nội tiếp. Ta có IC CF (CF là tiếp tuyến của (I)) mà IC // OF (cmt) suy ra 90 o CF DF DFC = Tứ giác DFCA có BAD DFC ( 90 o ) = = nên là tứ giác nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối) Vì DFC = 90 o nên DC chính là đường kính của (DFCA) suy ra tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DFCA là trung điểm của CD. d) Khi d quay quanh A thì K di động trên đường nào. Xét tam giác ODK và tam giác OAK có: + OD = OA (D, A thuộc (O)) + KD = KA (A, D thuộc (K)) + OK chung. Suy ra ODK = AKO = 1 DKA Chứng minh tương tự ta cũng có IKA = IKC = 1 CKA 1

43/7/15 LẠC LONG QUÂN ( ) Từ đó ta có: 1 1 OKI = AKO + IKA = DKA + CKA = DKC = 90 Do đó K thuộc đường tròn đường kính OI. o Bài 8: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho ) OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm. a) Chứng minh tứ giác OBAC là một tứ giác nội tiếp. b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn (O) tại điểm D khác B. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E khác D. Chứng minh AB = AE. AD c) Chứng minh: BC. CE = AC. BE (X) d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC theo R. Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác OBAC là một tứ giác nội tiếp. Ta có OB AB, OC AC (AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)) Suy ra: OBA = OCA = 90 o. Tứ giác OBAC có o o o OBA + OCA = 90 + 90 = 180 nên là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau) b) Chứng minh AB Xét Δ ABE và Δ ADB có: = AE. AD 13

43/7/15 LẠC LONG QUÂN + góc BAD chung + ABE = ADB (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó) AB AE Suy ra ΔABE ~ ΔADB = AB = AD. AE AD AB c) Chứng minh: BC. CE = AC. BE Ta có ECB = BDA (góc nội tiếp cùng chắn cung BE) Và EAC = BDA (so le trong) Suy ra EAC = ECB Xét tam giác ACE và tam giác CBE có: + EAC = ECB (cmt) + ACE = CBE (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó) Suy ra Δ AC CE ACE ~ Δ CBE AC. BE CB. CE CB = BE = d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC theo R. Gọi K là giao điểm của CO và BD, H là giao điểm của OA và BC. Ta có BD // AC và BD // AC, OC AC CO BD tại K, do đó CK là khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC. Ta đi tính CK. Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) nên ta có OA vuông góc với BC tại H và H là trung điểm BC. Tam giác ABO vuông tại B có: AB = OA OB = 9R R = 8R AB=. R OB. AB 4 AH. AO= OBAB. AH= = R BC= BH= R OA 3 3 Xét tam giác COH và CBK có: + Góc OCH chung. CHO = CKB = 90 o + ( ) 4 R. R CH CO CH. CB 3 3 16 ΔCHO ΔCBK g g = CK = = = R CK CB CO R 9 Suy ra ~ (. ) Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm K của đường tròn đó. b) Chứng minh OA DE. 14

43/7/15 LẠC LONG QUÂN c) Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) tại M và N, cắt đường thẳng BC tại F (D nằm giữa E và M). Chứng minh FE. FD = FN.FM. d) Cho BAC = 60 o. Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R. Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp được đường tròn. Xét tứ giác BEDC có: BEC = BDC (90 o vì CE và BD là hai đường cao của tam giác ABC) nên BEDC là tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) b) Chứng minh OA DE. Vẽ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Khi đó ta có: xab = ACB (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó). Mặt khác AED = ACB (BEDC nội tiếp) Do đó xab = AED mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên Ax//ED. Hơn nữa OA Ax (Ax là tiếp tuyến của (O)) Suy ra OA DE c) Chứng minh FE. FD = FN.FM. Xét Δ FBE và Δ FDC có: + AEB = ACD (tứ giác BEDC nội tiếp) + Góc BFE chung Suy ra FB FE ΔFBE ~ ΔFDC ( g. g ) = FE. FD = FB. FC (1) FD FC Vì tứ giác BNMC nội tiếp (O) nên ta có FBN = FMC Xét Δ FBN và FMC có: + Góc BFN chung + FBN = FMC (cmt) FB FN Suy ra ΔFBN ~ ΔFMC ( g. g ) = FM. FN = FB. FC () FM FC Từ (1) và () ta có FE. FD = FN. FM d) Cho BAC = 60 o. Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R. 15

43/7/15 LẠC LONG QUÂN Tứ giác ADHD có: o EHD + AEH + ADH + EAD = 360 o o o EHD + 60 + 90 + 90 o 360 o = EHD = 10 10 o BHC = EHD = Ta cũng có: BOC =. BAC (góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn một cung) = 10 o Tứ giác BHOC có BHC BOC ( 10 o ) = = nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) Suy ra hình tròn ngoại tam giác BHC cũng là hình tròn ngoại tiếp tam giác BOC. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp (BHOC). Ta có IO = IB = IC suy ra Δ IBO=ΔICO( ccc..) IOB = IOC Mà o 10 o IOB + IOC = BOC = IOB = 60. Tam giác BIO cân tại I có góc IOB = 60 o nên là tam giác đều.suy ra IB = OB = R. Vậy diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng: S( I ) = π IB = π R Bài 10: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó. b) Hai tia BE và CF cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và D. Chứng minh OA NM và EF //MN. c) Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. chứng minh D thuộc đường tròn (O). d) Chứng minh diện tích tam giác AHI bằng hai lần diện tích tam giác AOI. Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp được đường tròn. Tứ giác BFEC có BFC = BEC (BE và CF là hai đường cao của tam giác ABC) nên là tứ giác nội tiếp(hai đĩnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) Ta có BEC = 90 o nên suy ra BC chính là đường kính của (BFCE), do đó tâm I của đường tròn này chính là trung điểm của BC. 16

43/7/15 LẠC LONG QUÂN b) Chứng minh OA NM và EF //MN. Vẽ tia tiếp tuyến Ax của (O)suy ra OA Ax. và xan = ACN (1)(góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó) Ta có ANM = ABM (góc nội tiếp cùng chắn cung AM) Và ABM = ACN (góc nội tiếp cùng chắn cung EF của (BFEC)) Suy ra ANM = ACN (). Từ (1) và () ta có xan = ANM mà hai góc này ở vị trí so le trong nên Ax // MN, hơn nữa OA Ax nên suy ra OA MN. Ta có MNC = MBC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) Và EFC = MBC (tứ giác BFEC nội tiếp) Suy ra MNC = EFC mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ta có MN//EF. c) Chứng minh D thuộc đường tròn (O). Tứ giác HCDB có I là trung điểm của BC (cmt) và I cũng là trung điễm của HD (D là điểm đối xứng của H qua I) nên HCDB là hình bình hành. Do đó: CD //BH và BD //CE Suy ra ACD = AEB (đồng vị) = 90 o Và ABD = AFC (đồng vị ) = 90 o Tứ giác ABDC có 0 0 ABD + ACD = 90 o + 90 = 180 nên là tứ giác nội tiếp (Hai góc đối bù nhau) Do đó D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay D thuộc (O). d) Chứng minh diện tích tam giác AHI bằng hai lần diện tích tam giác AOI. Ta có ACD = 90 o nên AD là đường kính của (O) suy ra O là trung điểm của AD. SAID AD Ta có = (cùng chiều cao hạ từ I) SAIO AO = Và SAHI = SADI (cùng chiều cao hạ từ A và đáy HI = IH) Do đó ta có S = S AHI AIO Bài 11: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn. b) Chứng minh AE. AB = AD. AC. 17

43/7/15 LẠC LONG QUÂN c) Vẽ phân giác của BAC cắt BC tại F, cắt (O) tại M. Chứng minh AH // OM. d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh: KF = KB. KC. e) Đường thẳng DE cắt KC tại N. Chứng minh CN. AK = CK.ND. f) Cho BAC = 60 o và ACB = 45 o. Tính AD, AC theo R. Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp. Tứ giác BEDC có BEC = BDC (BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC) nên là tứ giác nội tiếp(hai đĩnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) Ta có BEC = 90 o nên suy ra BC chính là đường kính của (BEDE), do đó tâm I của đường tròn này chính là trung điểm của BC. b) Chứng minh AE. AB = AD. AC. Xét Δ AEC và Δ ADB có: + Góc BAC chung AEC = ADB = 90 o + ( ) AE AB Suy ra ΔAEC ~ ΔADB( g. g ) = AE. AB = AD. AC AD AC c) Chứng minh AH // OM. Ta có BAM = CAM ( gt) BM = CM MB = MC Hơn nữa ta có OB = OC. Do đó OM là đường trung trực của BC, suy ra OM BC (1) Vì H là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm của tam giác ABC, suy ra AH cũng là đường cao của tam giác ABC, do đó: AH BC () Từ (1) và () ta có AH//OM d) Chứng minh: KA = KB. KC. Xét tam giác KAB và tam giác KCA có: + Góc AKC chung. 18

43/7/15 LẠC LONG QUÂN + KAB = KCA (Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BC) KA KB Suy ra: ΔKAB ~ ΔKCA( g. g ) = KA = KB. KC KC KA e) Chứng minh CN. AK = CK.ND. Ta có AED = ABC (tứ giác BEDC nội tiếp) và KAB = ACB (cmt) suy ra AED = KAB mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó ta có AK // ND. Ta có DN //AK, áp dụng hệ quả định lý Thalet cho tam giác CAK ta có: CN DN = CN. AK = DN. CK CK AK f) Cho BAC = 60 o và ACB = 45 o. Tính AD, AC theo R. Ta có AOB = ACB = 90 o (góc ở tâm bằng lần góc nội tiếp cùng chắn một cung) Suy ra tam giác AOB vuông cân tại O AB = OA + OB = R AB = R Tam giác ADB vuông cân tại D nên ta có: AD o 1 1 R cos BAD cos 60 AD AB AB = = = BD o 3 AB 3 R 6 sin BAD sin 60 BD AB = = = Tam giác BDC có BDC = 90 o và DCB = 45 o suy ra DBC = 45 o Từ đó ta có: Δ BDC vuông cân tại D. DC = DB = R 6 ( + 6) R R 6 R AC = AD + DC = + = Bài 1: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. C là điểm chính giữa cung AB, M là điểm di động trên cung BC. AM cắt BC tại K. Vẽ CI vuông góc với AM tại I cắt AB tại D. a) Chứng minh tứ gíc ACIO nội tiêp. Suy ra số đo góc OID. b) Chứng minh OI là tia phân giác của góc COM. c) Chứng minh hai tam giác CIO và CMB đồng dạng. Tính tỉ số: OI MB d) Khi M là điểm chính giữa cung BC. Tính diện tích tứ giác ACIO theo R. e) Nếu K là trung điểm của BC. Tính AM BM. 19

43/7/15 LẠC LONG QUÂN Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ gíc ACIO nội tiếp Ta có AC BC ( gt) = suy ra CA = CB, do đó tam giác ACB cân tại C. Mặt khác có CO là trung tuyến nên cũng là đường cao, suy ra COA = 90 o. Xét tứ giác ACIO có COA CIA ( 90 o ) = = nên là tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh kể cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông). Suy ra OID = CAO Ta giác OAC có OC = OA và COA = 90 o nên là tam giác vuông cân, suy ra CAO = 45 o. Vậy OID = 45 o. b) Chứng minh OI là tia phân giác của góc COM. Ta có: COI = CAI (tứ giác ACIO nội tiếp) Và CAI = 1 COM (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung CM) Suy ra: COI = 1 COM, do đó OI là phân giác của góc COM. c) Chứng minh hai tam giác CIO và CMB đồng dạng. Tính tỉ số: OI MB Ta có CBM = CAM ( góc nội tiếp cùng chắn cung CM) Và CAI = COI (ACIO nội tiếp) Suy ra CBM = COI Chứng minh tương tự ta có: BCM = OCI. Xét Δ CIO và Δ CBM có: COI CBM ( cmt ) OCI = BCM ( cmt ) CIO ~ CMB( g. g ) = Δ Δ d) Khi M là điểm chính giữa cung BC. Tính diện tích tứ giác ACIO theo R. 0

43/7/15 LẠC LONG QUÂN Gọi H là trung điểm của OM và BC. Ta có MB = MC, OB = OC suy ra OM là đường trung trực của BC. Khi đó OM BC tại H và H là trung điểm của BC. OB R Trong tam giác vuông cân OBC có: BC = = = R sin o OBC sin 45 OA OB R R AH. BC = OA. OB AH = BC = R = Do đó Khi đó Ta có:. ( ) R R MH = OM OH = R = ( ) R ( 1 ) 1 1 R SMCB = MH. BC = R. = ( ) R 1 SCIO OC R 1 1 ΔCIO ~ ΔMCB( cmt) = = SCIO SMCB S BC = = = R 4 Và S Từ đó ta có: AOC 1 R = OAOC. = MCB ( ) R ( + ) 1 R 1 R SACIO = SAOC + SCIO = + = 4 4 e) Nếu K là trung điểm của BC. Tính AM BM. Gọi G là giao điểm của AM và CO. Trong tam giác ABC có AK và CO là trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ACB. Do đóco = 3GO. Ta có AMB = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tam giác Δ MAB và Δ OAG có: MAB chung AMB = AOG ( = 90 o ) MA MB MA AO CO ΔMAB ~ ΔOAG ( g. g ) = = = = 3 OA OG MB GO GO Bài 13: Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). a) Chứng minh OA vuông góc với BC. 1

43/7/15 LẠC LONG QUÂN b) Vẽ cát tuyến AMN của đường tròn (O) (M nằm giữa A và N). Gọi E là trung điểm của NM. Chứng minh 4 điểm A, O, E, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm K của đường tròn đó. c) Tia CE cắt (O) tại I. Chứng minh BI // MN. d) Tìm vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Hướng dẫn giải a) Chứng minh OA vuông góc với BC. Ta có OB = OC (B, C thuộc (O)) và AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), suy ra OA là đường trung trực của BC, do đó OA BC b) Chứng minh 4 điểm A, O, E, C cùng thuộc một đường tròn. Vì E là trung điểm của MN nên OE MN (liên hệ giữa đường kính và dây cung) Xét tứ giác AEOC có: AEO = 90 o OE AE + ( ) + ACO = 90 o (AC là tiếp tuyến của (O)) Suy ra o o o AEO + ACO = 90 + 90 = 180 nên AEOC là tứ giác nội tiếp. Vậy 4 điểm A, E, O, C cùng thuộc một đường tròn. Hơn nữa AEO = 90 o nên AO là đường kính và trung điểm K của AO chính là tâm của (AEOC). c) Chứng minh BI // MN. Ta có ABO = 90 o ( AB là tiếp tuyến của (O)) do đó B cũng thuộc đường tròn đường kính AO. Từ đó ta có ABC = AEC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (K))

43/7/15 LẠC LONG QUÂN Mặt khác ABC = BIC (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung) Do đó BIE = AEC, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ta có BI//AN d) Tìm vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Vẽ BE, IF vuông góc với AN. Khi đó ta có BIFE là hình chữ nhật, suy ra BE = IF. Khi đó 1 1 SAIN = IF. AN = BE. AN = SABN. (1) Vẽ NH vuông góc với AB (H thuộc AB). Khi đó SABN Vẽ đường kính BN, khi đó ta có NH NB NB. (3) 1 = NH. AB () 1 Từ (1), () và (3) ta có SAIN ABBN. không đổi. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi N N. Vậy khi AN AN thì diện tích tam giác AIN đạt giá trị lớn nhất. Bài 14: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Đường cao BE của tam giác kéo dài cắt đường tròn (O) tại K. Kẻ KD vuông góc với BC tại D. a) Chứng minh 4 điểm K, E, D, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn. b) Chứng minh KB là phân giác của góc AKD. c) Tia DE cắt đường thẳng AB tại I. Chứng minh KI AB. d) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA, đường thẳng này cắt AB tại H. Chứng minh CH // KI. a) Chứng minh 4 điểm K, E, D, C cùng thuộc một đường tròn. Xét tứ giác KEDC có: + KEC = 90 o (BE là đường cao của tam giác ABC) + KDC = 90 o ( KD CD) Suy ra KEC = KDC tứ giác KEDC nội tiếp hay 4 điểm K, E, D, C cùng thuộc một đường tròn. Hơn nữa KEC = 90 o nên CK là đường kính 3

43/7/15 LẠC LONG QUÂN của đường tròn suy ra tâm là trung điểm của CK. b) Chứng minh KB là phân giác của góc AKD. Ta có AKB = ACB ( góc nội tiếp cùng chắn cung AB của (O)) Và BKD = ACB ( góc nội tiếp cùng chắn cung DE của (EKCD)) Suy ra AKB = BKD DB là phân giác của góc AKD c) Chứng minh KI AB. Ta có IAK = KCB (tứ giác AKCB nội tiếp trong (O)) Và IEK = KCD (tứ giác EKCD nội tiếp) Suy ra IAK = IEK tứ giác IAEK nội tiếp Khi đó ta có: AIK + AEK = 180 o ΑΙΚ = 180 o AEK = 90 o KI AB. d) Chứng minh CH // KI. Vẽ tiếp tuyến Ax của (O), khi đó ta có: OA Ax (1) và xab = ACB () (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó) Mà OA EH nên từ (1) ta có Ax // EH xah = AHE (3) (so le trong) Từ () và (3) ta có AHE = ACB suy ra tứ giác HECB nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối diện) 90 o BHC = BEC = CH AB Bài 15: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc cung nhỏ AC. Vẽ MH BC tại H, vẽ MI AC tại I. a) Chứng minh IHM = ICM. b) Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh MK BK. c) Chứng minh hai tam giác MIH và MAB đồng dạng. d) Gọi E là trung điểm IH và F là trung điểm AB. Chứng minh KMEF nội tiếp. Suy ra ME EF Hướng dẫn giải: a) Chứng minh IHM = ICM Tứ giác MIHC có MIC MHC ( 90 o ) = = nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) Suy ra IHM = ACM 4

43/7/15 LẠC LONG QUÂN b) Chứng minh MK BK. Ta có KAM = MCB (tứ giác AMCB nội tiếp trong (O)) Và MIK = MCB (tứ giác MIHC nội tiếp) Suy ra KAM = KIM tứ giác KAIM nội tiếp Khi đó ta có: AKM + AIM = 180 o ΑΚ M = 180 o AIM = 90 o MK AK. c) Chứng minh hai tam giác MIH và MAB đồng dạng. Ta có MAB + MCB = 180 o (AMCB nội tiếp) Và 180 o MIH + MCB = (MIHC nội tiếp) Suy ra MAB = MIH Ta có MBA = ACM (góc nội tiếp cùng chắn cung AM của (O)) Mà IHM = ACM (cmt) nên MBA = MHI Xét tam giác MAB và tam giác MIH ta có: MAB = MIH ( cmt ) MBA = MHI ( cmt) Suy ra ΔMAB ~ Δ MIH ( g. g ) d) Chứng minh KMEF nội tiếp. Suy ra ME EF MA AB Ta có ΔMAB ~ ΔMIH = MI IH Mà AB = AF (F là trung điểm AB) và IH = IE (I là trung điểm IH) Nên MI = AF = AF MA IE IE ( ) ΔMAF ~ ΔMIE c. g. c MEI = MFA Xét tứ giác MKFE có MFK = MEK nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) Suy ra MEF + MKA = 180 o MEF = 180 o MKF = 90 o ME EF Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). D là điểm thuộc cạnh AC. Vẽ DE BC tại E. a) Chứng minh tứ giác ADEB nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. b) Vẽ đường tròn tâm D bán kính DE cắt (O) tại F, BF cắt AD tại I, BD cắt AE tại K. Chứng minh tứ giác AKIB nội tiếp. c) Chứng minh: BI.BF = BK.BD 5

43/7/15 LẠC LONG QUÂN d) Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BF tại N. Chứng minh NA = NF. Hướng dẫn giải (J)) Xét tam giác BDF và BDE có: BFD = BED = 90 o + ( ) a) Chứng minh tứ giác ADEB nội tiếp. Xét tứ giác ADEB có 90 o 90 o 180 o BAD + BED = + = nên là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn (hai góc đối bù nhau) Hơn nữa do BAD = 90 o nên BD là đường kính của đường tròn và trung điểm J của BD là tâm. b) Chứng minh tứ giác AKIB nội tiếp. Ta có BFD = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn + BD chung + DF = DE. Suy ra Δ BDF =Δ BDE (cạnh huyền góc nhọn) BDF = BED Mà BED = DAE (góc nội tiếp cùng chắn cung DE của (I)) Nên ta có: DAE = DBF tứ giác AI KB nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) c) Chứng minh: BI.BF = BK.BD Vì tứ giác AIKB nội tiếp nên o 180 o 180 o BAI + BKI = BKI = BAI = 90 Xét tam giác BKI và tam giác BFD có: ( o BKI = BFD = 90 ) IBD chung BK BI ΔBKI ~ ΔBFD = BK. BD = BI. BF BF BD d) Chứng minh NA = NF. Tứ giác AFDB có BAD = BFD = 90 o nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhình một cạnh dưới hai góc bằng nhau) AFN = ADB 6

43/7/15 LẠC LONG QUÂN Mà ADB = DBC + ACB (góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề của tam giác DBC) AFN = DBC + ACB = FBD + ACB 1 (vì DBC = FBD ) Suy ra ( ) Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên ta có Suy ra tam giác MAC cân tại M MAC = ACB () Tứ giác AFDB nội tiếp nên ta có FAD = FBD (3) Từ () và (3) suy ra MAC + FAD = ACB + FBD FAN = ACB + FBD ( 4) Từ (1) và (4) ta có AFN = FAN Δ NAF cân tại N. 1 AM = BC = MC 7