ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ), 0 i Αν αβ 0 τότε Αν β 0 τότε Αν α 0 τότε v Αν α 0 τότε v Αν α 0 τότε viαν α β > 0 τότε Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις Ο αντίστροφος του είναι ο i Αν <0 τότε: = ( ) v Αν 0 τότε: v Αν 0 τότε: viαν α > 0 και α - a + = 0 τότε α = i) Η ισότητα ( ) ισχύει όταν ) Η ισότητα ισχύει όταν Η ισότητα ( ) ( ) ( ) ισχύει όταν Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) 9
( ) i Aν < τότε: = - Για κάθε 0, ( ) v ο αντίστροφος του - είναι ο + v Αν, y ετερόσημοι τότε: y y ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ Να υπολογίσετε τις ρίζες: 9 i v v vi 0 i) 0000 Να υπολογίσετε τις ρίζες: i 9 9 v v vi i) Να υπολογίσετε τις ρίζες: 9 i ( ) Να υπολογίσετε τις ρίζες: i ( ) Να υπολογίσετε τις ρίζες: i v Να απλοποιήσετε τις ρίζες: 9 i 9 0 0 v Να κάνετε τις πράξεις: i, 0 v v 0 vi 0 0 Να κάνετε τις πράξεις: 90
i 9 v 9 Να κάνετε τις πράξεις: 9 9 9 9 i v 9 0 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i 9 v Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i 9 v Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : i 9 v Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : 9 9 i Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : 9 0 9 9 i 0 9 0 Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : 9 i 9
v 9 α) Nα αναλύσετε τους αριθμούς 9 και σε γινόμενο πρώτων παραγόντων β) Να υπολογίσετε τις ρίζες : 9 9 i Nα αναλύσετε τους αριθμούς και σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Να βρείτε την τιμή της παράστασης 9 Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης: - y + y, για = - και y = + 0 Αν = - και y = + να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: A = y Β = - y + y Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : Α= 0 Β= i Γ= 0 0 0 Δ= ( ) Ε= 0 9 Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : Α= ( ) Β= ( 0 ) i Γ= ( 0 )( 0 ) Δ= ( ) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : A= 00 B= 0 0 i Γ= 0 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 0 A = 0 Β= Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= Β= Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Α= Β= iγ= Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : Α= 9 Β= i Γ= Δ= ( ) 9
Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : Α= Β= 9 9 i Γ= Δ= 9 Να αποδείξετε ότι: 0 i 0 0 0 Να αποδείξετε ότι: 0 Να βρείτε τα εξαγόμενα : ( ) ( ) ( )( ) ( ) Αν A = 0 και B = να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α Β i ΑΒ A B A B Να απλοποιηθεί η παράσταση: Α = 0 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΕ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ Να βρεθεί για ποιες τιμές του R έχουν νόημα οι παραστάσεις : A B i 0 Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις: A B i Δ= Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις: Α = B i Γ = Δ = Να βρεθεί για ποιες τιμές του R έχουν νόημα οι παραστάσεις : A ( ) B i 9
Να βρεθεί για ποιες τιμές του R έχουν νόημα οι παραστάσεις : A B i ( ) 9 Να βρεθεί για ποιες τιμές του R έχουν νόημα οι παραστάσεις : A B i 0 Να βρεθεί για ποιες τιμές του R έχουν νόημα οι παραστάσεις : A B 9 i Να βρεθεί για ποιες τιμές του R έχουν νόημα οι παραστάσεις : A B 9 ΡΗΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΩΝ Να δείξετε ότι, α 0 Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρανομαστή:,, Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρανομαστή (:ρητός) i Να μετατρέψετε την παρακάτω παράσταση σε ισοδύναμη με ρητό παρονομαστή: Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: i Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: 9
v ) v i a vi i) Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: i v 9 Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: 0 i v 0 0 Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: i 0 v v vi i) 9 Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: 0 i ( ) v ( ) ( ) ( ) Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: i Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: i Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: 9
Να μετατρέψετε τις παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: i Δίνεται η παράσταση Να γράψετε την παράσταση Α με τη βοήθεια μίας μόνο ρίζας Να μετατρέψετε το κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : Ν αποδειχτεί ότι : 9 ( ) ( ) 9 Να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω αριθμών και να τους μετατρέψετε σε κλάσματα με ρητό παρονομαστή: i v 0 Αν ο είναι ρητός να μετατρέψετε τα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή 9 A= B= i Γ= Δ= Ε= v Ζ= Αν ο είναι ρητός να μετατρέψετε τα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή A= B= i Γ= Δ= Ε= v Ζ= ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: 9
A= iγ= B = Δ = Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: A= iγ= B = Δ = ( )( 9 ) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: A B ( ) i ( 0 ) 0 ( 0 ) ( )( ) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: A i Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: 0 A ( ) ( ) i ( ) ( ) ( ) ( ) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i 9 A Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i 9 9 A ( ) ( ) B ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9 Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i ( ) ( 0 ) A ( ) ( 0) 0 Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: 0 A B 9
i ( ) ( ) ( ) : Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: A 0 Να βρείτε το ανάπτυγμα B ( ) ( ) Να βρείτε τη ρίζα Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i ii iii iv Να βρείτε το ανάπτυγμα Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : Α= Να βρείτε τα αναπτύγματα και Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : Α= Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: και Απλοποιείστε την παράσταση: Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: και Να απλοποιήσετε την παράσταση A 9 9 Να δείξετε ότι ο αριθμός - είναι η κυβική ρίζα του - 9 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: και Απλοποιείστε την παράσταση: Α = 0 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: και Απλοποιείστε την παράσταση: Α = Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: και Να δείξετε ότι: 0 0 = Να υπολογίσετε την παράσταση: Α = Να υπολογίσετε την παράσταση: Α = Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 9
Α= Να δείξετε ότι: Β= 0 Να δείξετε ότι: 0 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i Να εκτελέσετε τις πράξεις: 9 Να απλοποιηθεί η παράσταση Α = 90 Να δείξετε ότι: ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 Αν οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός,να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : i 9 Αν α,β 0,να απλοποιήσετε τις ρίζες: i 9, 0 v 9 Αν ισχύει <0<y,να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : A = y B= y iγ= y Δ= 9 y Ε= y v Z = y 9 Αν α,β>0,να απλοποιήσετε τις ρίζες: a i 9 0 9 Αν α,β 0,να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α= Δ= Β= 9 Ε= iγ= 9 Αν α,β 0,να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α= Β= v Ζ= 99 v 0 0 9 9 iγ=
Δ= Ε= v Ζ= 0 9 9 9 Αν α,β είναι πραγματικοί αριθμοί να γράψετε χωρίς το σύμβολο της ρίζας τις παραστάσεις: Α= Β= 9 Να γράψετε ως μία ρίζα τις παραστάσεις : a a a a i a a a 9 a a a v a a 99 Να βρεθούν τα εξαγόμενα : i 00 Να γράψετε τις παραστάσεις με τη βοήθεια μιας ρίζας i 0 Να γράψετε τις παραστάσεις με τη βοήθεια μιας ρίζας i 0 Ν απλοποιηθούν οι ρίζες: 9 i y z 0 Αν >0,να απλοποιήσετε την παράσταση : Αν y<0,να απλοποιήσετε την παράσταση : B 9y y 0 Aν ο είναι πραγματικός αριθμός,να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: A 9 B 0 Αν ισχύει 0<<,να απλοποιήσετε την παράσταση: Αν ισχύει <y<,να απλοποιήσετε την παράσταση: B y y y y 9 0 Αν ισχύει -<<,να απλοποιήσετε την παράσταση: 0 Αν ισχύει α<β<0,να απλοποιήσετε την παράσταση: 0 Αν (-,),να απλοποιήσετε την παράσταση: 09 Αν ισχύει α< 0 <β,να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: a B a 9 00
0 Αν ισχύει, να απλοποιήσετε την παράσταση: A Δίνεται η παράσταση : A ( ) ( ) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α Να απλοποιήσετε την παράσταση Α Αν και y είναι πραγματικοί αριθμοί να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : A B i y y y y 9 y Αν 0 και y πραγματικός αριθμός,να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: A y y B y y y Αν,y 0,να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: A y y i B ( y) ( y) y ( y) ( y y ) Aν α,β>0,να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : ( a ) ( ) A ( ) B ( )( ) Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α, β, με α β,να απλοποιήσετε την παράσταση : A ( a ) ( ) B ( )( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ Aν α, β 0,να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) ( ) ( )( ) i ( a ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Αν y,να αποδείξετε ότι : y y 9 9 9 Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι : 0 Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β,ισχύει α β =,να αποδείξετε ότι : 0
Αν α,β,γ,,y,ω>0 και ισχύει : y,να αποδείξετε ότι: y ( )( y ) Αν ισχύει 0<<α,να αποδείξετε ότι: ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ a a a a a Αν a, 0,να αποδείξετε ότι : 9 i ( a )( ) Αν a, 0,να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) i ( ) ( ) ( ) a Αν α,β θετικοί αριθμοί,να αποδείξετε ότι : Αν,y >0,,να αποδείξετε ότι : ( y) y y y y y Αν a 0, 0 να δειχτεί ότι: 9 a Να δείξετε ότι για κάθε R : - > 0 0 9 Αν α, β > 0 να δείξετε ότι: a 0 Να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό α ισχύει : Αν α, β > 0 να δείξετε ότι: a a Αν α, β > 0 να δείξετε ότι: 0
( )( ) Να δείξετε ότι, α, β 0, 0 i ( a )( )( ), α, β, γ 0 Αν (α-) + αβ + a =0, Να βρείτε τους α, β, γ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΡΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Να συγκριθούν οι αριθμοί : και και 0 i και και Να συγκριθούν οι αριθμοί : και Να συγκρίνετε τους αριθμούς - και - ii και Να συγκρίνετε τους αριθμούς: και και i και και 9 Να συγκρίνετε τους αριθμούς: και και i και και 0 και v και 0 Να αποδείξετε ότι: i 0 Να αποδείξετε ότι: i 0 Να αποδείξετε ότι: Να αποδείξετε ότι: 0
i Να αποδείξετε ότι: 0 i 0 v Να αποδείξετε ότι: i 0 9 Να αποδείξετε ότι: ( ) i 0 ΡΙΖΑ ΩΣ ΥΠΟΡΡΙΖΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας : A B i v Αν α 0,να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας : A B i v 9 Αν α 0,να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας : A B i 0 Αν >0,να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας : A B i 9 v 0
Αν α,β 0,να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας : A B i v Αν α,β >0,να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας : A B i v Αν α,β >0,να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας : A B i v Αν α 0,να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας : A i Αν α,β>0,να απλοποιήσετε την παράσταση: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Δίνονται οι αριθμοί 0 και Να βρείτε τους αριθμούς α και β Να υπολογίσετε την παράσταση : Δίνονται οι αριθμοί και Να βρείτε τους αριθμούς α και β Αν, y και,να υπολογίσετε το γινόμενο y ω 0 Δίνονται οι αριθμοί και Να βρείτε τους αριθμούς α και β 0
Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητούς παρονομαστές: 0 9 iνα δείξετε ότι:, νn * iiνα υπολογίσετε την παράσταση: 99 00 0 0 Δίνονται οι αριθμοί 0 και : 9 Να βρείτε τους αριθμούς α και β Να υπολογίσετε την παράσταση iνα λύσετε την εξίσωση β=α και να γράψετε τη λύση της σαν κλάσμα με ρητό παρονομαστή Έστω η παράσταση Α = a με α Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση Α Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της παράστασης Α και τις τιμές του α που τις παρουσιάζει Έστω η παράσταση Α = a και α Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση Α Nα βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της παράστασης Α και τις τιμές του α που τις παρουσιάζει Δίνεται ο αριθμός Nα αποδείξετε ότι <0 Να βρείτε τον αριθμό iνα βρείτε τον αριθμό Έστω α = Να δείξετε ότι: α > 0 Να βρείτε το α iνα βρείτε τον αριθμό α Έστω = Να δείξετε ότι: < 0 Να δείξετε ότι: = i Να βρείτε τον Έστω α = ( ) Να βρείτε τον αριθμό α Να βρείτε τον αριθμό 0
iνα υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : ( )( ) y Να λύσετε τις εξισώσεις : και Για τις τιμές των,y που βρήκατε στο ερώτημα(,να αποδείξετε ότι οι αριθμοί : y y και y είναι αντίστροφοι Αν οι αριθμοί και είναι αντίθετοι είναι αντίστροφοι,να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β 9 Έστω Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω,ώστε να ισχύουν : Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α,Β είναι Οι πιθανότητες Ρ(Β),Ρ(ΑΒ) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο : α) Να βρείτε το κ β) Να βρείτε τα Ρ(Β), Ρ(ΑΒ) και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας γ) Να βρείτε τις πιθανότητες: να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α,,,όπου 0