Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» * Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά Σ Λ * Αν * Αν ΑΒ ΒΓ τότε ΓΔ 4 * Αν λ τότε // Σ Λ 5 * Αν ΑΒ ΒΑ τότε ΑΒ τότε ΑΔ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 6 * Τ δινύσμτ ΑΒ κι ΟΑ - ΟΒ είνι ίσ Σ Λ 7 * Αν ( - y ) κι (- y ) τότε - v Σ Λ 8 * Το διάνυσμ ν (- ) είνι πράλληλο με το ( - ) Σ Λ 9 * Τ ντίθετ δινύσμτ έχουν ίσ μέτρ Σ Λ * Δύο ντίθετ δινύσμτ έχουν ντίθετους συντελεστές διευθύνσεως Σ Λ * Αν * Αν το - τότε ( είνι συρμμικό του * Αν ) ( είνι συρμμικό του ) π Σ Λ τότε το Σ Λ τότε τ κι είνι πάντ συρμμικά Σ Λ 4 * Αν κ λ κι κ λ > τότε τ είνι συρμμικά Σ Λ 5 * Στο ορθοκνονικό σύστημ συντετμένων Οy το διάνυσμ ΟΑ λ i λ j λ R ρίσκετι στη διχοτόμο της ωνίς Oy Σ Λ 6 * Αν > τότε ( ) είνι οξεί Σ Λ 7 * Το ( ) πριστάνει διάνυσμ Σ Λ 8 * Το (λ ) λ R πριστάνει διάνυσμ Σ Λ 9 * Το ( λ) λ R πριστάνει διάνυσμ Σ Λ * Γι οποιδήποτε δινύσμτ ισχύει: Σ Λ * Γι οποιδήποτε δινύσμτ ισχύει: - Σ Λ * Γι τ ομόρροπ δινύσμτ ισχύει: - Σ Λ
* Το διάνυσμ λ 4 * Αν λ 5 * Η ισότητ 6 * Αν κ λ λ R κι λ < είνι συρμμικό του λ R τότε οπωσδήποτε λ λ 7 * Ισχύει η ισοδυνμί: ΑΜ Σ Λ Σ Λ ισχύει ι κάθε λ R Σ Λ τότε κ λ ι κάθε διάνυσμ ΜΒ Σ Λ Μ μέσο του ΑΒ Σ Λ 8 * Αν κ λ κ λ R κι μη συρμμικά τότε λ κ Σ Λ 9 * Αν λ μ κι * Με πλευρές οποιδήποτε δινύσμτ μη συρμμικά τότε λ μ Σ Λ τέτοι ώστε ορίζετι τρίωνο Σ Λ * Αν ΑΜ διάμεσος τριώνου ΑΒΓ τότε ΑΜ AB AΓ * Κάθε διάνυσμ είνι ίσο με τη δινυσμτική κτίν του τέλους του συν τη δινυσμτική κτίν της ρχής του Σ Λ Σ Λ * Αν ΜΑ ΜΒ όπου Α Β στθερά σημεί τότε ο εωμετρικός τόπος του Μ είνι η μεσοκάθετη ευθεί του ΑΒ Σ Λ 4 * Ισχύει η ισοδυνμί: G ρύκεντρο του τριώνου ΑΒΓ GA GB GΓ Σ Λ 5 * Μπορούμε ν ράφουμε: ( ) ( ) Σ Λ 6 * Αν 7 * Αν ( 5) κι 8 * Τ δινύσμτ ( - 5 τότε είνι πάντ ( i j κι ) τότε ) - i π j Σ Λ Σ Λ είνι κάθετ Σ Λ 9 * Δυο δινύσμτ με ίσους συντελεστές διευθύνσεως είνι 4 * Αν ομόρροπ Σ Λ ( - ) (- - ) κι ( - 6) είνι 4 * Τ ζεύη κι - - των δινυσμάτων έχουν ίσ εσωτερικά ινόμεν Σ Λ - Σ Λ
4 * Αν είνι ( ) > π τότε < Σ Λ 4 * Ότν οι συντελεστές δυο δινυσμάτων είνι ντίστροφοι 44 * Αν ριθμοί τότε τ δινύσμτ είνι κάθετ Σ Λ τότε είνι 45 * Υπάρχουν R τέτοι ώστε τ δινύσμτ Σ Λ ( ) κι ( ) ν είνι κάθετ Σ Λ 46 * Υπάρχουν θ R τέτοι ώστε τ δινύσμτ ( συνθ ημθ ) κι (ημθ συνθ) ν είνι κάθετ Σ Λ 47 * Ισχύει δ προδ Σ Λ Ερωτήσεις νάπτυξης ** Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ Αν Μ κι Ν είνι τ μέσ των πλευρών ΒΓ κι ΓΑ ν ποδείξετε ότι: ) ΑΜ ( ΑΒ ΑΓ ) ) ΜΝ ΒΑ ** Δίνοντι τ δινύσμτ ΑΒ ποδείξετε ότι: κι Α Β Αν Μ κι Μ είνι μέσ των ΑΒ κι Α Β ν ΑΑ ΒΒ ΜΜ ** Δίνετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ Αν Μ κι Ν είνι ντιστοίχως τ μέσ των διωνίων του ΑΓ κι ΒΔ ν ποδείξετε ότι: ) ΜΝ ( ΑΔ - ΒΓ ) ( ΑΒ ΓΔ ) ) 4 ΜΝ ΑΔ ΑΒ ΓΔ ΓΒ
4 ** Δίνετι πρλληλόρμμο ΑΒΓΔ κι τ σημεί Μ Ν τέτοι ώστε ν είνι: ΔΜ ΑΔ κι ΒΝ ΑΒ Ν ποδείξετε ότι τ σημεί Μ Γ κι Ν είνι συνευθεικά 5 ** Ν ποδείξετε ότι η διάμεσος ορθοωνίου τριώνου είνι ίση με το μισό της υποτείνουσς κι ντιστρόφως: ν η διάμεσος ενός τριώνου είνι ίση με το μισό της πλευράς που ντιστοιχεί τότε το τρίωνο είνι ορθοώνιο με υποτείνουσ την πλευρά υτή
6 ** Δίνετι τρπέζιο ΑΒΓΔ Αν Μ κι Ν είνι τ μέσ των μη πρλλήλων πλευρών του Ν ποδειχθεί ότι: ) Το ευθύρμμο τμήμ ΜΝ είνι πράλληλο προς τις άσεις του ) ΜΝ ( ΑΒ ΔΓ ) 7 ** Αν το τρίωνο ΑΒΓ είνι ορθοώνιο στο Α ν ποδείξετε ότι ισχύει: ΑΒ ΑΓ ΒΓ κι ντιστρόφως: Αν σε τρίωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ ΑΓ ΒΓ ν ποδείξετε ότι το τρίωνο είνι ορθοώνιο στο Α 8 ** Αν ΑΔ είνι ύψος ορθοωνίου τριώνου ΑΒΓ (A 9 ) ν ποδείξετε ότι ισχύει ΑΒ ΒΓ ΒΔ κι ντιστρόφως: Αν ΑΔ είνι το ύψος τριώνου ΑΒΓ κι ισχύει ΑΒ ΒΓ ΒΔ ν ποδείξετε ότι A 9 9 ** Αν ΑΔ είνι ύψος ορθοωνίου τριώνου ΑΒΓ (A 9 ) ν ποδείξετε ότι ισχύει ΑΔ ΓΔ ΔΒ κι ντιστρόφως: Αν ΑΔ είνι το ύψος τριώνου ΑΒΓ κι ισχύει ΑΔ ΓΔ ΔΒ τότε ν ποδείξετε ότι A 9 ** Αν Μ είνι το μέσο της πλευράς ΒΓ τριώνου ΑΒΓ ν ποδειχθεί ότι: ) AB AΓ AΜ ΒΓ ) AB - AΓ ΔΜ ΓΒ όπου Δ η προολή του Α στη ΒΓ ** Ν πλοποιηθεί η πράστση: 5 ( ) - [ - ( - 6 ) 4 ( - - )] - - ** Έστω πρλληλόρμμο ΑΒΓΔ Κ το κέντρο του Μ το μέσον του ΚΓ Δείξτε ότι: ΑΒ ΑΔ 4 ΑΜ - ΑΓ ** Αν ΑΒΓΔΕΖ κνονικό εξάωνο με ΑΒ ) Υπολοίστε τ ΓΔ κι ΑΕ συνρτήσει των κι ΒΓ
) Δείξτε ότι ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ ΑΖ 6 ΒΓ 4 ** Ν ποδείξετε ότι ι οποιδήποτε σημεί Α Β Γ Δ ισχύει: ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΒΔ 5 ** Δίνετι πρλληλόρμμο ΑΒΓΔ κι σημείο Ρ τέτοιο ώστε ΡΓ - ΡΒ Ν ποδειχτεί ότι: ΡΑ ΡΒ ΡΔ ΑΒ 6 ** Δίνετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ κι τ μέσ Κ Λ των ΑΒ ΓΔ ντιστοίχως Ν ποδείξετε ότι: ΑΔ ΒΓ ΚΛ 7 ** Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ Ν προσδιοριστεί σημείο Ρ τέτοιο ώστε ν ισχύει: ΡΑ ΡΒ ΡΓ 8 ** Στο πρλληλόρμμο ΑΒΓΔ πίρνουμε τ σημεί Ε κι Ζ της διωνίου ΑΓ έτσι ώστε: ΑΕ ΖΓ ) Αν ΑΒ κι 4 ΑΓ κι ΒΓ ν εκφράσετε τ δινύσμτ ΔΕ ) Ν δείξετε ότι το ΕΒΖΔ είνι πρλληλόρμμο κι ΔΖ συνρτήσει των 9 ** Αν ισχύει ΡΑ ΡΒ - 5 ΡΓ ν ποδείξετε ότι τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά ** Αν - ( ) κι ( - 7) - 8 (- 5) ν ρεθούν τ δινύσμτ: ** Ν εξετσθεί ν τ σημεί Μ ( - ) Μ ( - ) κι Μ ( - ) είνι συνευθεικά ** Δίνοντι τέσσερ σημεί Ο Α Β Γ τέτοι ώστε τ Ο Α Β δεν είνι συνευθεικά Ν δείξετε ότι ν κι ΟΓ ( - λ) ΟΑ λ ΟΒ λr τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά 4
** Θεωρούμε τ τρίων ΑΒΓ κι Α Β Γ Αν G κι G είνι ντιστοίχως τ ρύκεντρ των τριώνων υτών ν ποδειχθεί ότι: ) ΑΑ ΒΒ ΓΓ GG ) Τ τρίων ΑΒΓ κι Α Β Γ έχουν το ίδιο ρύκεντρο ν κι μόνο ν ΑΑ ΒΒ ΓΓ 4 ** Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ Αν Κ Λ Μ είνι μέσ ντιστοίχως των πλευρών ΑΒ ΑΓ ΒΓ κι Σ σημείο του επιπέδου του τριώνου ν ποδειχθεί ότι: ΣΚ ΣΛ ΣΜ ΣΑ ΣΒ ΣΓ 5 ** Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ κι τ σημεί Δ Ε κι Ζ ώστε ν ισχύει ΑΔ ΑΒ ΑΖ 4 ΑΓ 5 κι ΓΕ ΒΓ ) Ν εκφράσετε τ δινύσμτ ΔΕ κι ΔΖ συνρτήσει των ΑΒ ) Ν εξετάσετε ν τ σημεί Δ Ε κι Ζ είνι συνευθεικά κι ΑΓ 6 ** Ν ποδείξετε ότι ν: (κ ) ΡΑ ΡΒ (κ 5) ΡΓ τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά 7 ** Εάν ΑΛ ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ ν ποδείξετε ότι τ δινύσμτ ΚΛ κι ΜΛ είνι ντίρροπ 8 ** Στο ορθοώνιο σύστημ ξόνων Οψ θεωρούμε τ σημεί Α Β του τ οποί έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης - (λ - 5λ ) - 998 Ν προσδιοριστεί ο λ R ώστε το μέσο του ΑΒ ν έχει τετμημένη 7 9 ** Δίνοντι τ δινύσμτ (- ) κι δινύσμτος w ( y) σε κάθε μι πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) w v ) w v ) v - w δ) w κ λ v με κ λ R v ( - ) Ν ρεθούν οι συνετμένες του 5
** Δίνοντι τ σημεί Α (5 - ) Β ( ) κι Γ ( ) Ν μελετηθεί το είδος του τριώνου ΑΒΓ ** Δίνοντι τ σημεί Α ( ) Β (7-4) Ν ρεθεί σημείο Μ του ώστε το τρίωνο ΜΑΒ ν είνι: ) ισοσκελές με κορυφή το Μ ) ορθοώνιο στο Μ ** Ν εξετάσετε ν τ σημεί Α (- 6 ) Β (- ) κι Γ (- - ) είνι συνευθεικά ** Δίνοντι τ δινύσμτ έτσι ώστε ν είνι: ) ) ) δ) ε) 4 ** Αν κ κ ) - κr λ ( ) κ λ R (- ) κι ) (- 4) κι ( - ) Ν ρεθεί διάνυσμ (- ) ν υπολοιστούν τ: (χ ψ) 5 ** Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ με Α ( ) κι Β ( ) κι G ( ) όπου G το ρύκεντρό του Ν ρείτε τις συντετμένες του Γ 6 ** Ν υπολοιστεί το ινόμενο ) κι ( ) π 6 ) κι ( ) 75 ) κι ( ) 5 στις πρκάτω περιπτώσεις: 7 ** Δίνοντι τ δινύσμτ κι με ( ) π 6 Αν κι 6
) δ) ν ρεθούν: ) ε) ( ) ( ) (4-5 ) ) 8 ** Ν ρεθεί το μέτρο του δινύσμτος ν ( ) ( ) π 4 κι κι ( μη συρμμικά) 9 ** Ν ρεθεί το συνημίτονο της ωνίς των δινυσμάτων: (- 4) κι ( -) 4 ** Αν ( ) 45 ν ρείτε τη ωνί ( - ) 4 ** Αν είνι μονδιί δινύσμτ κι θ η μετξύ τους ωνί ν ποδείξετε ότι: θ συν 4 ** Αν ( ) ( - ) κι - δείξτε ότι κι 4 ** Αν v ) < π ν ποδείξετε ότι: ( (- - v ) - - π ) κι v (- - - - ) κι ο < ( 44 ** Δίνοντι τ δινύσμτ ν είνι w ( v - 5 ) (- ) κι v (4 - ) Ν ρείτε το διάνυσμ w ώστε 45 ** Δίνοντι τ μονδιί δινύσμτ κι με ( ) π Ν ρείτε διάνυσμ τέτοιο ώστε //( ) κι ( ) 46 ** Δίνοντι τ δινύσμτ ( ) κι (5 ) Ν νλύσετε το διάνυσμ σε δύο κάθετες μετξύ τους συνιστώσες πό τις οποίες η μί ν είνι πράλληλη προς το 7
47 ** Αν ( ) με ν ποδείξετε ότι 48 ** ) Αποδείξτε ότι ι οποιδήποτε δινύσμτ κι ισχύει: ) Χρησιμοποιώντς το () ερώτημ ν ρείτε την ελάχιστη κι τη μέιστη τιμή της πράστσης Α 6-8ψ ν ψ 6 ) Με τη οήθει του () ερωτήμτος ποδείξτε ότι: 6ημ - 8συν 49 ** Θεωρούμε το τρίωνο ΑΒΓ Ν ρεθεί ο τ των σημείων Μ του επιπέδου του ι τ οποί ισχύει: ΑΒ ΑΜ ΑΓ ΑΜ 5 ** Ν δείξετε ότι το διάνυσμ - είνι κάθετο στο ι κάθε διάνυσμ 5 ** Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν εξετάσετε ν τ δινύσμτ που δίνοντι είνι κάθετ μετξύ τους ) - ( ) κι ) ( ) - ( ) κι ) - ( ) κι 8
5 ** Αν συχρόνως: ) p q ) p // ( ) κι ( 4) ν ρεθούν τ δινύσμτ p κι q ώστε ν ισχύουν ) q 5 ** Αν ) p ) q κι p q με p // - κι q ν ποδειχθεί ότι ισχύουν οι σχέσεις: 54 ** Δίνοντι τ δινύσμτ (λ κ ) (κ ) Ν ποδείξετε ότι ) Ν ρεθεί το - λ κι ) ι κάθε κ λr στην περίπτωση που είνι τέτοι ώστε ν είνι: 55 ** Αν ισχύει τότε ν δείξετε ότι: - 56 ** Θεωρούμε τ δινύσμτ με Αν κι 5 υπολοίστε το: 9