Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων 05-10-1 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; ( μον.) ii. Πότε μία συνάρτηση f ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; (5 μον.) iii. Πότε μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0 A; (6 μον.) Β. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) Σωστό ή (Λ) Λάθος τις παρακάτω προτάσεις : 2 i. Η εξίσωση 5x 3y 9 είναι γραμμική. Σ Λ ii. Αν ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους έχει μοναδική λύση τότε D 0. Σ Λ 7x 3y 9 iii. Το σύστημα είναι προτιμότερο να το λύσουμε 5x y 11 με τη μέθοδο της αντικατάστασης. Σ Λ f x 5x 9 είναι γνησίως αύξουσα στο. Σ Λ iv. Η συνάρτηση 2 v. Η συνάρτηση f x 2x 3x 7παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Σ Λ (5x2=10 μον.) Θέμα 2 ο : Δίνεται το σύστημα: x 3y 5. 2x 5y 1 Α. Να λύσετε γραφικά το σύστημα. (7 μον.) Β. Να λύσετε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης. (5 μον.) Γ. Να λύσετε το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών. (6 μον.) Δ. Να λύσετε το σύστημα με τη μέθοδο των οριζουσών. (7 μον.) 1
Θέμα 3 ο : A. Να μελετήσετε την 3 1 Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι f x x 7 ως προς τη x μονοτονία. (5 μον.) Β. Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης: gx. ( μον.) x 3 Γ. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα, να μελετήσετε τις συναρτήσεις ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να πείτε αν είναι άρτιες ή περιττές. i. ii. iii. iv. (x=16 μον.) 2
Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι Θέμα ο : 1 x 8y Α. Να λύσετε το σύστημα: για τις διάφορες τιμές x 1 y 2 του λ. (12 μον.) 7 5 Β. Δίνεται η συνάρτηση hx x x x. i. Να μελετήσετε την h ως προς τη μονοτονία. ( μον.) h 2x 3 h 5x 1. ( μον.) ii. Να λύσετε την ανίσωση: iii. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: h201, h2015. (5 μον.) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Ενδεικτικές) Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι Θέμα 1 ο : Α. i. Γραμμική εξίσωση ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής x y με 0 ή 0. ii. Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε x 1,x2 με x1 x2, ισχύει ότι f x1 f x2. iii. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0 A όταν f x f x 0 για κάθε x A. B. i.λ ii.σ iii. Λ iv.σ v.λ Θέμα 2 ο : x 3y 5 Έχουμε το σύστημα 2x 5y 1 Α. Θεωρούμε τις ευθείες : x 3y 5 και 1 2 : 2x 5y 1. Θα κατασκευάσουμε σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων τις δύο ευθείες. Έχουμε τους εξής πίνακες τιμών των δύο ευθειών: ε 1 : x 2 5 y -1 0 ε 2 : x 2 7 y -1-3 Άρα έχουμε: Δηλαδή (x,y)=(2,-1).
Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι Β. x 3y 5 x 5 3y x 5 3y 2x 5y 1 25 3y 5y 1 10 6y 5y 1 x 5 3y x 5 3y x 5 3 1 x 2 6y 5y 110 11y 11 y 1 y 1 Δηλαδή (x,y)=(2,-1). Γ. x 3y 5 22x 6y 10 11y 11 y 1 2x 5y 1 2x 5y 1 x 3y 5 x 3 5 y1 x 2 Δηλαδή (x,y)=(2,-1). x 3y 5. 2x 5y 1 1-3 Είναι: D 5 6 11 0, άρα το (Σ) έχει μοναδική λύση. 2 5 Θα βρούμε και τις άλλες ορίζουσες του (Σ). Έχουμε: 5-3 1 5 Dx 25 3 22 και Dy 110 11 1 5 2-1 Δ. Βρίσκουμε την ορίζουσα των συντελεστών του D 22 11 D D 11 11 Τότε η λύση του (Σ) είναι: x, y D x, y, 2, 1 Θέμα 3 ο : Α. Έχουμε τη συνάρτηση: 3 1 f x x 7 x Για να ορίζεται η f πρέπει x 0 και x 0 οπότε x 0. A 0,. Έστω x 1,x2 Af με x1 x2. Δηλαδή, Τότε: f 1 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 x x x x x x (1) 1 1 1 1 x1 x2 x1 x2 7 7 (2) x x x x 1 2 1 2. 5
Προσθέτοντας τις (1), (2) κατά μέλη έχουμε: 3 1 3 1 x 7 x 7 f x f x x1 x2 Οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι 1 2 1 2 Β. Έχουμε την gx x 3. Η g ορίζεται όταν x 3 0 x 3 που ισχύει για κάθε x. Τότε: 1 1 x 0 x 3 3 g x. x 3 3 x 3 3 3 Δηλαδή η g παρουσιάζει ελάχιστο το για x=0. 3 Γ.i. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο,3 και γνησίως αύξουσα στο 3,. Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το -16 για x=3. Δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή. ii. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, 1, γνησίως αύξουσα στο 1,1 και γνησίως φθίνουσα στο 1,. Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το -0,5 για x=-1 και ολικό μέγιστο το 0,5 για x=1. Είναι περιττή γιατί έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. iii. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο,0 και γνησίως αύξουσα στο 0,. Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το 0 για x=0. Είναι άρτια γιατί έχει άξονα συμμετρίας τον y y. iv. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. Δεν παρουσιάζει ακρότατα. Είναι περιττή γιατί έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. 6
Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι Θέμα ο : 1 x 8y Α. Έχουμε το σύστημα : x 1 y 2 Βρίσκουμε τις ορίζουσες του (Σ). 1 8 2 2 D 1 1 8 1 8 9 3 3 1 λ+1 8 Dx 1 16 16 12 3 2 λ+1 λ-1 Dy 2 1 2 2 2 6 2 3 1 2 Αν D 0 3 3 0 3 το (Σ) έχει μοναδική λύση την D D x y 3 2 3 2 x, y,,, D D 3 3 3 3 3 3 Αν D 0 3 τότε: 2x 8y :2 x y 2 Αν λ=3 το (Σ) γίνεται:. Οπότε το (Σ) x y 2 x y 2 έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x,y)=(2-y,y) με y. x 8y : x 2y 1 Αν λ=-3 το (Σ) γίνεται:. Οπότε το x 2y 2 x 2y 2 (Σ) είναι αδύνατο. 7 5 B. Έχουμε τη συνάρτηση: hx x x x. i. Η h ορίζεται σε όλο το. Έστω 1 2 Τότε: x x x x (1) 7 7 1 2 1 2 5 5 1 2 1 2 x,x με x1 x2. x x x x (2) x1 x2(3) Προσθέτοντας τις (1), (2), (3) κατά μέλη προκύπτει: 7 5 7 5 x1 x1 x1 x2 x2 x2 hx1 hx2. Δηλαδή η h είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. 7
ii. Είναι: h Είμαστε τυχεροί που είμαστε δάσκαλοι h 2x 3 h 5x 1 2x 3 5x 1 2x 5x 13 3x x. 3 iii. Έχουμε ότι: 201 2015 h201 h2015 h. 8