Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής 8, σελ 4-48 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΝΟΣ ΟΧΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΔΙΑΝΕΜΕΙ ΕΝΑ ΠΡΟΪΟΝ ΣΕ ΠΕΛΑΤΕΣ ΜΕ ΜΙΑ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗ ΣΕΙΡΑ ΟΤΑΝ Η ΖΗΤΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΕΧΗΣ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Θεοδόσης Δ. Δημητράκος Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Καρλόβασι, 83, Σάμος, E-mal: dmtheo@aegean.gr Επαμεινώνδας Γ. Κυριακίδης Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Οδός Φωστίνη 3, 8, Χίος, E-mal: kyrak@me.aegean.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Θεωρούμε το πρόβλημα της διανομής ενός προϊόντος σε διάφορους πελάτες με τη βοήθεια ενός οχήματος. Υποθέτουμε ότι η ζήτηση του προϊόντος από τον κάθε πελάτη είναι μία συνεχής τυχαία μεταβλητή και ότι οι πελάτες εξυπηρετούνται από το όχημα με μία προκαθορισμένη σειρά. Το όχημα ξεκινάει τη διαδρομή του από μία αποθήκη με μία συγκεκριμένη ποσότητα του προϊόντος. Θεωρούμε ότι υπάρχει ένα κόστος για την μετακίνηση του οχήματος από τον έναν πελάτη στον άλλον. Μετά από την εξυπηρέτηση του κάθε πελάτη, το όχημα έχει δύο επιλογές: α να ταξιδέψει προς τον επόμενο πελάτη ή β να επιστρέψει στην αποθήκη για να ανανεώσει το α- πόθεμά του και να συνεχίσει τη διαδρομή του. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα κόστος για την επιστροφή του οχήματος στην αποθήκη. Το πρόβλημα είναι η εύρεση εκείνης της πολιτικής που ελαχιστοποιεί το συνολικό αναμενόμενο κόστος. Αποδεικνύουμε ότι, για κάθε πελάτη, η βέλτιστη πολιτική χαρακτηρίζεται από μία κρίσιμη ποσότητα του προϊόντος. Αν, μετά από την εξυπηρέτηση ενός πελάτη, η ποσότητα του προϊόντος που απομένει στο όχημα είναι μεγαλύτερη ή ίση με μία κρίσιμη τιμή, τότε το όχημα ταξιδεύει προς τον επόμενο πελάτη. Διαφορετικά, επιστρέφει στην αποθήκη για να ανανεώσει το απόθεμά του και να συνεχίσει τη διαδρομή του. Κατασκευάζουμε έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό της βέλτιστης πολιτικής και παρουσιάζουμε ένα αριθμητικό παράδειγμα στο οποίο η ζήτηση του προϊόντος κάθε πελάτη ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο πρόβλημα της βέλτιστης δρομολόγησης ενός οχήματος, γνωστό στη βιβλιογραφία ως Sngle ehle Routng Problem SRP, προσδιορίζεται η βέλτιστη διαδρομή ενός οχήματος το οποίο ξεκινά από μία αποθήκη και διανέμει ένα προϊόν σε n πελάτες. Το δεύτερο μέρος του βιβλίου των Bramel and Smh-Lev 997 περιέχει μία αναλυτική - 4 -
παρουσίαση αποτελεσμάτων που σχετίζονται με διάφορες μορφές του προβλήματος. Παρακάτω περιγράφουμε ένα μοντέλο δρομολόγησης στο οποίο ένα όχημα με περιορισμένη χωρητικότητα διανέμει ένα προϊόν σε n πελάτες με μία προκαθορισμένη σειρά. Θεωρούμε ένα σύνολο κορυφών {,, n}, όπου η κορυφή αναπαριστά την αποθήκη και οι κορυφές,, n αντιστοιχούν στους πελάτες. Το σύνολο A {,,, : {n}} περιέχει τα τόξα που συνδέουν τους πελάτες κατά μήκος της διαδρομής n, καθώς επίσης όλους τους πελάτες με την αποθήκη. Το κόστος της διαδρομής για κάθε τόξο, j A είναι ίσο με. Τα κόστη j k j,, j A, ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα, δηλαδή ισχύει ότι kj. Η υπόθεση της τριγωνικής ανισότητας για τα κόστη της διαδρομής του οχήματος φαίνεται διαισθητικά λογική διότι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το κόστος της απευθείας μετάβασης του οχήματος από μία κορυφή σε μία άλλη κορυφή j είναι μικρότερο από το κόστος της ίδιας μετάβασης, όταν το όχημα, ξεκινώντας από την κορυφή και φτάνοντας στην κορυφή j πρέπει να περάσει από την κορυφή k. Υποθέτουμε ότι το όχημα πρέπει να εξυπηρετήσει όλους τους πελάτες σύμφωνα με μία προκαθορισμένη σειρά,, n. Αρχικά, το όχημα βρίσκεται στην αποθήκη και μετά από την εξυπηρέτηση όλων των πελατών επιστρέφει στην αποθήκη. Έστω d,,, n, η ζήτηση του πελάτη για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Θεωρούμε ότι οι απαιτήσεις,,, n, σε προϊόν του κάθε πελάτη είναι ανεξάρτητες συνεχείς τυχαίες μετα- d βλητές με γνωστές συναρτήσεις πυκνότητας, τέτοιες ώστε, όταν, όπου είναι η χωρητικότητα του οχήματος. Μετά την εξυπηρέτηση του κάθε πελάτη, το όχημα έχει δύο επιλογές: α να ταξιδέψει προς τον επόμενο πελάτη, ή β να επιστρέψει στην αποθήκη για να ανανεώσει το απόθεμά του και να συνεχίσει τη διαδρομή του. Θεωρούμε ότι η ζήτηση κάθε πελάτη γίνεται γνωστή λίγο πριν την εξυπηρέτηση του πελάτη. Το πρόβλημα είναι η εύρεση εκείνης της πολιτικής που ελαχιστοποιεί το συνολικό αναμενόμενο κόστος. Ένα ρεαλιστικό παράδειγμα αυτού του μοντέλου μπορεί να είναι η περίπτωση κατά την οποία ένα όχημα διανέμει πετρέλαιο σε συγκεκριμένα βενζινάδικα. Η ζήτηση σε πετρέλαιο από το κάθε βενζινάδικο μπορεί να θεωρηθεί στοχαστική διότι όταν γίνεται η παραγγελία του πετρελαίου από το κάθε βενζινάδικο δεν είναι γνωστή η ποσότητα του πετρελαίου που θα πουληθεί στους καταναλωτές από το κάθε βενζινάδικο στο χρονικό διάστημα που μεσολαβεί ανάμεσα στην παραγγελία και στη διανομή του πετρελαίου από το όχημα. Οι Yang et al. μελέτησαν την περίπτωση κατά την οποία οι απαιτήσεις των πελατών είναι διακριτές τυχαίες μεταβλητές και σχεδίασαν έναν κατάλληλο αλγόριθμο δυναμικού προγραμματισμού για τον υπολογισμό της βέλτιστης πολιτικής. Επιπλέον, απέδειξαν ότι η βέλτιστη πολιτική έχει την ακόλουθη μορφή: Για κάθε πελάτη {,, n } υπάρχει μία κρίσιμη ποσότητα προϊόντος h τέτοια ώστε, μετά από την εξυπηρέτηση του πελάτη, το όχημα ταξιδεύει προς τον j - 4 -
επόμενο πελάτη αν η ποσότητα του προϊόντος που απομένει στο όχημα είναι μεγαλύτερη ή ίση με. Αν η ποσότητα του προϊόντος που απομένει στο όχημα είναι μικρότερη από h, h τότε το όχημα επιστρέφει στην αποθήκη για να ανανεώσει το απόθεμά του. Στο επόμενο εδάφιο αποδεικνύουμε ένα ανάλογο αποτέλεσμα για την περίπτωση κατά την οποία οι απαιτήσεις σε προϊόν από τον κάθε πελάτη είναι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Παρουσιάζουμε επίσης έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό της βέλτιστης πολιτικής και ένα αριθμητικό παράδειγμα στο οποίο η ζήτηση του προϊόντος κάθε πελάτη είναι μία συνεχής τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή. Οι Tsrmpas et al. 8 μελέτησαν την περίπτωση κατά την οποία οι απαιτήσεις,,, n, σε προϊόν του κάθε πελάτη δεν είναι τυχαίες μεταβλητές αλλά d σταθεροί αριθμοί. Επισημαίνεται ότι μία περίληψη του περιεχομένου της παρούσας εργασίας έχει δημοσιευτεί στην εργασία των Kyrakds & Dmtrakos 8.. Η ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ Έστω, [, ], το ελάχιστο συνολικό αναμενόμενο κόστος από τον πελάτη μέχρι το τέλος της διαδρομής, αν ο πελάτης έχει εξυπηρετηθεί και η ποσότητα του προϊόντος που έχει απομείνει στο όχημα είναι ίση με. Αυτή η ποσότητα ικανοποιεί την ακόλουθη εξίσωση του δυναμικού προγραμματισμού βλέπε π.χ. Κεφάλαιο Ι του βιβλίου του Ross 983: mn{, },,, n, όπου,, [, ] d d, και, d. Η οριακή συνθήκη είναι: 3 n n, [, ]. Αν, τότε η βέλτιστη απόφαση είναι η επιστροφή του οχήματος στην αποθήκη έτσι ώστε το όχημα να ανανεώσει το απόθεμά του και εν συνεχεία να εξυπηρετήσει τον πελάτη. Αν, η βέλτιστη απόφαση είναι τέτοια ώστε - 43 -
το όχημα να ταξιδέψει κατευθείαν προς τον επόμενο πελάτη. Σε αυτήν την περίπτωση, αν η ζήτηση του πελάτη είναι μεγαλύτερη από, τότε το όχημα τροφοδοτεί τον πελάτη με την ποσότητα, επιστρέφει στην αποθήκη για να ανανεώσει το απόθεμά του και εν συνεχεία επιστρέφει στον πελάτη για να τον τροφοδοτήσει με την υπόλοιπη ποσότητα. Σύμφωνα με την ακόλουθη Πρόταση, για κάθε πελάτη, n, υπάρχει μία κρίσιμη ποσότητα h τέτοια ώστε, η βέλτιστη απόφαση για το όχημα είναι να ταξιδέψει κατευθείαν προς τον πελάτη αν και μόνο αν η ποσότητα που έχει απομείνει στο όχημα μετά από την εξυπηρέτηση του πελάτη είναι μεγαλύτερη ή ίση με. Το αποτέλεσμα του Λήμματος που ακολουθεί, θα χρησιμοποιηθεί στην απόδειξη της Πρότασης. Λήμμα.,,, n, [, ]. Απόδειξη. Από τις εξισώσεις και 3 έχουμε ότι: h, d. Από τις εξισώσεις,, 3 προκύπτει ότι 4, d, 5 διότι τα κόστη 5 έχουμε ότι: j ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα. Από τις εξισώσεις 4 και,,,,, όπου η δεύτερη ανισότητα προκύπτει από την τριγωνική ανισότητα. Πρόταση. Έστω ότι n n, [, ]. Οι συναρτήσεις και είναι φθίνουσες ως προς,,, n. n. Απόδειξη. Θα αποδείξουμε την πρόταση με επαγωγή ως προς. Για n οι ποσότητες n και είναι σταθερές ως προς Έστω ότι για n οι ποσότητες και είναι φθίνουσες ως προς. Θα αποδείξουμε ότι οι ποσότητες και είναι επίσης φθίνουσες ως προς. Έστω. Η διαφορά μπορεί να γραφεί ως εξής: - 44 -
d d ] [ ] [,,, ] [ d d. d d Από την μονοτονία της ως προς προκύπτει ότι, d d ] [ ] [,, και. d d Από τις παραπάνω ανισότητες, συμπεραίνουμε ότι η ανισότητα ισχύει αν. ] [, d Επίσης, ισχύει ότι, ] [ ] [,, d d όπου, η πρώτη ανισότητα προκύπτει από την μονοτονία της και η δεύτερη ανισότητα προκύπτει από το Λήμμα. Συνεπώς, η συνάρτηση είναι φθίνου- συνάρτηση σα ως προς Από την εξίσωση, συμπεραίνουμε ότι η είναι. - 45 -
φθίνουσα ως προς διότι η δεν εξαρτάται από την ποσότητα. Η απόδειξη της πρότασης είναι πλήρης. Για κάθε,, n, ισχύει ότι και, διότι τα κόστη ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα. Από την Πρόταση προκύπτει ότι, j για κάθε,, n υπάρχει μία κρίσιμη ποσότητα h, τέτοια ώστε h. Η βέλτιστη πολιτική επιλέγει εκείνη την ενέργεια σύμφωνα με την οποία το όχημα ταξιδεύει κατευθείαν προς τον επόμενο πελάτη, αν, ενώ αντιθέτως, επιλέγει εκείνη την ενέργεια σύμφωνα με την οποία το όχημα επιστρέφει στην αποθήκη για να ανανεώσει το απόθεμά του, αν. Οι κρίσιμες ποσότητες h,,, n, μπορούν να υπολογιστούν, κατά προσέγγιση, διαιρώντας το διά- υπό-διαστήματα μήκους και υπολογίζοντας αριθμητικά τα στημα [,] σε μικρά ολοκληρώματα στις εξισώσεις και 3. Το ελάχιστο αναμενόμενο κόστος υπολογίζεται στα σημεία j, j,, /. Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό των κρίσιμων ποσοτήτων παρουσιάζεται παρακάτω. h h Α λγόριθμος για τον υπολογισμό των h,,, n Θέτουμε j, j,, /. n n Για n,, υπολογίζουμε τις ποσότητες και : / j j,, j /, j j j, και για j /, /,, υπολογίζουμε την ποσότητα j : j j r μέχρι να ισχύει, / r j j r [, r, j r ] r j. Η κρίσιμη ποσότητα h είναι ίση με j, όπου j είναι η μέγιστη τιμή των {,, / } που ικανοποιούν την παραπάνω - 46 -
Ένα αριθμητικό παρά δειγμα παρουσιάζεται παρακάτω. Υποθέτουμε ότι η χωρητι- κότητα του οχήματος είναι και ο αριθμός των πελατών είναι n. Οι α- παιτήσεις d,,,, των πελατών είναι ανεξάρτητες συνεχείς τυχαίες μεταβλητές ομοιόμορφα κατανε μημένες στο διάστημα [,]. Επιλέγουμε. 5 έτσι ώστε το δι άστημα [, ] να διαιρείται σε / μικρά υπό-διαστήματα μήκους. Έστω ότι τα κόστη της διαδρομής ανάμεσ α στην αποθήκη κορ υφή και τις κορυφές,, εί ναι: 5,, 5,, 8, ανισότητα. Για j,, j, j και j j,, /, j j.,,,3,,4,5, 7,, 8 και 3. Τα κόστη της διαδρομής,6,7,8,9 ανάμεσα στις κορυφές και,,, 9 είναι: 8, 6,, 3,4 4,5 5, 6 4,,, 3 9, για, 3,, 5 και 9. Οι 6,7 κρίσιμες ποσότητες που λαμβάνονται από τον αλγόριθμ ο είναι: h 3.5, h.335, h 5. 3, h 4.445, 3. 335 3 4 h 5, h6 5.95, h 5, 7 3. h 3.65 8 και h 5.385. 9 Το ελάχιστο συνολικό αναμενόμενο κόστος βρέθηκε, κατά προσέγγιση, ίσο με 33.4. 7,8 8,9 ABSTRACT W e onsder a stohast sngle vehle routng problem n whh the demands are ndependent ontnuous random varables and the ustomers are served aordng to a predened order. It s shown that the optmal poly s haraterzed by rtal numbers that orrespond to the ustomers. I, ater ompletng the serve at a ustomer, the remanng uantty n the vehle s greater than or eual to the rtal number, then the vehle goes to the net ustomer. Otherwse, t returns to the depot or stok replenshment, and then resume the route. An algorthm s also gven or the determnaton o the optmal poly. ΑΝΑΦΟΡΕΣ BRAMEL, J. AND SIMCI-LEI, D. 997. The Log o Logsts. Theory, Algorthms, and Applatons or Logsts Management. Sprnger, New York. KYRIAKIDIS, E. G. AND DIMITRAKOS T. D. 8. Sngle vehle routng problem wth a predened ustomer seuene and stohast ontnuous demands. Letter to the Edtor, The Mathematal Sentst 33, 48-5. ROSS, S. M. 983. Introduton to Stohast Dynam Programmng. Aadem Press, New York. - 47 -
TSIRIMPAS, P., TATARAKIS, A., MINIS, I. AND KYRIAKIDIS, E. G. 8. Sngle vehle routng wth a predened ustomer seuene and multple depot returns, European Journal o Operatonal Researh 87, 483-495. YANG, W-., MATUR K. AND BALLOU R... Stohast vehle routng problem wth restokng. Transportaton Sene 34, 99-. - 48 -