3 Distribuţii discrete clasice

3 Distribuţii discrete clasice 3.1 Distribuţia Bernoulli Probabil cel mai simplu tip de variabilă aleatoare discretă, variabila aleatoare Bernoulli modelează efectuareaunui experiment în care poate apare unul din două rezultate posibile, numite succes, respectiv insucces. Spreexemplu, aruncarea unei monede poate fi modelată printr-o variabilă aleatoare Bernoulli (convenim spre exemplu că obţinerea stemei este succes). Atribuind succesului valoarea 1 (cu probabilitatea (0 1)), insuccesului valoarea 0 (cu probabilitate 1 ), reprezentăm variabila aleatoare Bernoulli cu parametrul (probabilitatea obţinerii succesului) sub forma µ 0 1 1 Media dispersia variabilei aleatoare Bernoulli cu parametrul sunt date de () 0 (1 )+1 2 () (0 ) 2 (1 )+(1 ) 2 (1 ) 3.2 Distribuţia uniformă Variabila aleatoare uniformă reprezintă modelul matematic ce generalizează experimentul aruncării unui zar (cazul 6) sau al jocului la ruletă (cazul 37). Astfel, dacă un experiment are rezultate posibile egal posibile (notate 1), atunci experimentul poate fi modelat printr-o variabilă aleatoare uniformăpemulţimea {1}. Variabila aleatoare uniformă pemulţimea {1} este de forma µ 1 2 1 1 1 Media dispersia variabilei aleatoare uniforme sunt date de 2 () () 1 1 1 3.3 Distribuţia binomială X 1 X µ +1 2 1 2 Ã X X 2 ( +1) 1 1 1 ( +1) +1 2 2 1 +! ( +1)2 Ã ( +1)(2 +1) ( +1) ( +1) + 6 2 ( +1)(2 +1) 6 2 1 12 ( +1)2 2 + ( +1)2! ( +1)2 Acest tip de distribuţie (variabilă aleatoare) apare atunci când numărăm succesele obţinute în repetarea de un anumit număr de ori a unui experiment, spre exemplu: în jocurile de noroc (numărul de apariţii a stemei la aruncarea unui ban, număr de apariţiiauneianumite feţe la aruncarea unui zar, etc) în controlul calităţii produselor (numărul de piese defecte dintr-un lot, etc) 19

în sondajele de opinie (numărul de persoane care preferă un anumit candidat, numărul de persoane asupra cărora un anumit medicament a avut efectul dorit, etc) În toate aceste situaţii suntem interesaţi de numărul total de apariţii a unui anumit eveniment în încercări independente, în fiecare din acestea probabilitatea de apariţie a evenimentului fiind (). Dacăîntr-o anumită încercare evenimentul nu apare, atunci înseamnă căaapărut evenimentul contrar lui (adică ), cu probabilitate ( )1 not. Evenimentul se numeşte succes (chiar dacă aceasta înseamnă spreexemplucăopiesăaleasă dintr-un lot are defecţiuni, că un anumit autobuz a întârziat, etc), iar evenimentul contrar se numeşte insucces. Distribuţia binomială sau variabila aleatoare binomială cu parametrii este numărul de apariţii a lui în încercări. Este uşor de observat că valorile posibile ale lui sunt 0 1 (de ce?), deci variabila aleatoare binomială cu parametrii este de forma µ 0 1 2 0 1 2 Pentru a determina probabilităţile () ( ), săobservăm că înseamnă căevenimentul aapărut de ori evenimentul aapărut de ori în cele încercări. Cum cele încercări sunt independente, putem calcula probabilitatea de apariţie de ori a evenimentului urmată deapariţia de ori a evenimentului astfel: ( ) () () () () () () {z } {z } ori ori Aceasta este însă numai una din posibilele moduri de apariţie ori a evenimentui de ori a evenimentului.cumnumărul total de aranjări distincte a de de este conform Propoziţiei?? (cu 2, 1 2 ) egal cu!!( )! obţinem că probabilitatea ( ) de apariţie de ori a evenimentului în încercări este Funcţia de probabilitate a variabilei binomiale cu parametrii este deci ( ) (30) ½ () 0 {0 1} (31) Exemplul 3.1 Să se determine probabilitatea obţinerii a cel puţin doi de şase la aruncarea de patru ori a unui zar. Să notăm cu evenimentul constând în apariţia lui şase la aruncarea zarului (evenimentul succes ). Numărul de succese la aruncarea de patru ori a zarului este o variabilă aleatoarebinomială cu parametrii (numărul de încercări) probabilitatea succesului () 1 6. Probabilitatea cerută este deci (cel puţin doi de şase) ( 2) ( 2)+ ( 3)+ ( ) (2) + (3) + () µ 2 µ 2 µ 3 µ 1 5 1 5 2 + 3 6 6 6 6 6 25 + 5+1 6 171 1296 0132 1 + µ 1 6 20

Propoziţia 3.2 Media dispersia variabilei aleatoare binomiale cu parametrii sunt () 2 () Demonstraţie. Reamintim formula binomială a lui Newton ( + ) 0 + 1 1 + 2 2 2 + + 1 1 + Derivând parţial această egalitate în raport cu variabila obţinem de unde prin înmulţire cu obţinem ( + ) 1 ( + ) 1 X 1 Folosind această formulă(cu ) definiţia mediei, obţinem () X ( ) 0 X 0 X (32) 0 X ( + ) 1 (1 + ) 1 0 Pentru a determina dispersia variabilei aleatoare se procedează în mod similar (se derivează încăodată formula (32) în raport cu se înmulţeşte cu ). 3. Distribuţia Poisson Distribuţia Poisson cu parametrul 0 este distribuţia variabilei aleatoare discrete având funcţia de probabilitate ½ ()! N {0 1 2} 0 Se poate arăta că distribuţia Possion se obţine ca limită adistribuţiei binomiale cu parametrii, atunci când 0 astfel încât (spre exemplu considerând constant). Propoziţia 3.3 Media dispersia distribuţiei Poisson cu parametrul 0 sunt () 2 () Demonstraţie. Reamintim dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei exponenţiale 1+ 1 1! + 1 2! 2 + 1 3! 3 + R. Folosind formula anterioară definiţia mediei obţinem () X ( ) 0 0 0! +1 2 3 +2 +3 1! 2! 3! + + 1 1! + 1 2! 2 + 1 3! 3 ++ µ1+ 1 1! + 1 2! 2 + 1 3! 3 + În mod similar se poate obţine formula pentru dispersie. 21

Exemplul 3. Dacă probabilitatea producerii unui şurub defect este 001, care este probabilitatea ca un lot de 100 şuruburi să conţină mai mult de două şuruburi defecte? Considerând găsirea unui şurub defect în lot ca fiind un succes, probabilitatea cerută este dată de distribuţia binomială cu parametrii 100 001 ( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 2) 1 100099 0 100 100001 1 099 99 100001 2 2 099 98 0079 Cum valoarea lui 001 este mică, putem aproxima variabila aleatoare prin variabila aleatoare Poisson cu parametrul 100 001 1. Obţinem astfel următoarea aproximare a probabilităţii cerute: 1 10 11 12 () 1 1 1 0! 1! 2! 1 5 2 00803 Observăm că rezultatul obţinut prin aproximarea variabilei aleatoare binomiale prin variabilă aleatoare Poisson este foarte bun (valoarea exactă a probabilităţii este 0079, iar valoarea aproximativă este00803). Exemplul 3.5 În medie, într-o anumită parcare intră 2 mani pe minut. Care este probabilitatea ca într-un minut sau mai multe mani să intre în parcare? Să considerăm variabila aleatoare reprezentând numărul de mani care intră în lot într-un minut. Pentru a înţelege că are aproximativ o distribuţie Poisson, considerăm minutul împărţit în subintervale de timp (spre exemplu secunde, 60) fie probabilitatea ca o mană să intre în parcare într-un astfel de subinterval de timp (presupunem că această probabilitate este aceea pentru fiecare subinterval, că sosirile în subintervale diferite sunt independente unel de altele). Variabila aleatoare (numărul de mani ce intră într-un minut în parcare) este deci o variabilă aleatoare binomială cu parametrii, cum este mare este mic, putem arpoxima variabila aleatoare binomială printr-o variabilă aleatoare Poisson cu medie 2. Putem deci aproxima probabilitatea cerută astfel ( ) 1 ( ) 1 ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) 2 20 21 22 23 1 2 2 2 0! 1! 2! 3! 1 19 3 2 013 Probabilitatea cerută este aproximativ 1 19 3 2 013. 3.5 Distribuţia geometrică Numim variabilă aleatoare geometrică cu parametrul (0 1) ovariabilă aleatoare reprezentând numărul de încercări efectuate într-un r de experimente Bernoulli independente, cu acela parametru, pânălaapariţia primului succes, adică numărul încercări efectuate până laprimaapariţie a succesului. Spre exemplu, numărul de aruncări ale monedei (un experiment Bernoulli cu parametrul 1 2 )pânălaprima apariţie a stemei este o variabilă aleatoare geometrică cu parametrul 1 2. Similar, numărul de aruncări ale zarului până la prima apariţie a feţei 6 este o variabilă aleatoare geometrică cu parametrul 1 6. Explicit, o variabilă aleatoare cu parametrul (0 1) este de forma µ 1 2 3 1 2 3 22

unde (1 ) 1, 1 2 Media dispersia variabilei aleatoare geometrice cu parametrul sunt date de () 1 respectiv Se poate demonstra următoarea. 2 () 1 2 Propoziţia 3.6 (Lipsa de memorie a variabilei aleatoare geometrice) Dacă este o variabilă aleatoare geometrică, atunci ( + ) ( ) 1 (33) Reciproc, o variabila aleatoare discretă ce ia valori 1 2 verifică proprietatea anterioară esteovariabilă aleatoare geometrică. Demonstraţie. Conform definiţiei probabilităţii condiţionate, avem ( + ) Reciproc, considerând 1în relaţia (33), avem ( + ) ( ) ( + ) 1 ( ) (1 ) + 1 1 P 1 ( ) (1 ) + 1 1 P 1 (1 ) 1 (1 )+ 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) (1 )+ 1 (1 ) (1 ) 1 ( ) ( +1 1) ( ) sau echivalent (folosind definiţia probabilităţii condiţionate) ( +1) ( 1) ( ) oricare ar fi 12 Notând cu ( 1) (0 1), inductiv după 12 se poate demonstra că ( ) (1 ) 1, 12 deci este o variabilă aleatoare geometrică cu parametrul. O generalizare a variabilei aleatoare geometrice este variabila binomială negativă cu parametrii N (0 1), ce reprezintă numărul de încercări efectuate într-un r de experimente Bernoulli cu parametrul până la obţinerea a 1 succcese. Numele de negativă provine din faptul că dacă la variabila aleatoare binomială numărul de încercări era fixat numărul de succese era aleator, la variabila aleatoare binomială negativă, numărul de succese este fixat numărul de încercări este aleator. Variabila aleatoare binomială negativă este deci într-un anumit sens opusa / negativa variabilei aleatoare binomiale. O variabila aleatoare binomială negativă cu parametrii N (0 1) este de forma unde 1 1 (1 ), +1 µ +1 +2 +3 +1 +2 +3 23

Observaţia 3.7 Dacă este o variabilă aleatoare binomială negativă cu parametrii N (0 1), notând cu 1 numărul de încercări efectuate până laapriţia primului succes, cu 2 numărul de încercări suplimentare până la apariţia celui de-al doilea succes, şamd, este uşor de observat că are loc egalitatea 1 + + 1 sunt variabile aleatoare geometrice cu parametrul (0 1) independente. Se poate demonstra că media dispersia variabilei aleatoare negative sunt date de () 2 () Exerciţiul 3.1 Să se demonstreze formulele anterioare: a) Direct b) Folosind observaţia anterioară. 3.6 Distribuţia hipergeometrică (1 ) 2 Să considerăm problema extragerii repetate dintr-o cutie ce conţine obiecte, din care sunt defecte. Dacă extragerile se fac cu înlocuire (obiectul extras este pus înapoi în cutie înainte de extragerea următoare), atunci numărul de obiecte defecte extrase în extrageri este o variabilă aleatoare binomială cu parametrii (probabilitatea extragerii unui obiect defect), deci în acest caz funcţia de probabilitate este () ½ 1 {0 1 2} 0 (3) Dacă extragerile se fac fără înlocuire, atunci probabilitatea extragerii unui obiect defect nu mai este aceea în cele extrageri, deci în acest caz numărul de obiecte defecte extrase nu mai este o variabilă aleatoare binomială. Pentru a determina funcţia de probabilitate în acest caz, procedăm astfel. Probabilitatea ( ) este probabilitatea extragerii a piese defecte (din cele ) a piese ne-defecte (din cele ). În acest caz spaţiul de probabilitate are un număr finit de cazuri egal probabile, deci avem număr cazuri favorabile ( ) număr cazuri posibile Ovariabilă aleatoare având funcţia de probabilitate () ( 0 {0 1 2} (35) se numeşte distribuţie hipergeometrică cu parametrii. Propoziţia 3.8 Media dispersia distribuţiei hipergeometrice sunt () 2 () µ 1 1 Exemplul 3.9 Se extrag la întâmplare două garnituri dintr-o cutie ce conţine 10 garnituri, din care trei sunt defecte. Să se determine funcţia de probabilitate a variabilei aleatoare reprezentând numărul de garnituri defecte extrase. Dacă extragerea se face cu înlocuire, atunci are o distribuţie binomială cu parametrii 2 3 10, deci în acest caz funcţia de probabilitate este ½ () 2 03 07 {0 1 2} 0 2

Dacă extragerea se face fără înlocuire,atunci are o distribuţie cu parametrii 10, 3 2. Funcţia de probabilitate este în acest caz ( 3 2 7 {0 1 2} () 10 2 0 Observaţia 3.10 Se poate arăta că dacă au valori mari comparativ cu, atunci la extragerea fără înlocuire se obţine aproximativ acelea probabilităţi ca la extragerea cu înlocuire, deci distribuţia hipergeometrică poate fi aproximată prin distribuţia binomială (cu parametrii ). Încazulparticularaluneipopulaţii infinite ( ) putem folosi distribuţia binomială, indiferent dacă extragerea se face cu sau fără înlocuire. Exerciţii Exerciţiul 3.2 Se aruncă simultancincimonede. Săsedeterminefuncţia de probabilitate a variabilei aleatoare reprezentâând numărul de steme obţinute. Să se determine probabilitatea obţinerii nici unei steme, a cel puţin unei steme, a nu mai mult de steme. Exerciţiul 3.3 Dacă probabilitatea de a nimeri o ţintă estede25% se trag simultan focuri,careesteprobabilitatea ca ţinta să fie nimerită celpuţin o dată? Exerciţiul 3. În exerciţiul anterior, dacă probabilitatea de a nimeri ţinta este de 5% se trag simultan 20 de focuri, probabilitatea de nimeri ţinta cel puţin o dată vacreşte sau va scade? Ghiciţi, apoicalculaţi. Exerciţiul 3.5 Presupunem că % din barele produse de o anumită mană au defecte de fabricaţie, independent uneledealtele. Dacăocutieconţine 100 de bare produse de această mană, care este aproximarea Poisson a probabilităţiicaocutiesăconţină 015 bare cu defecte de fabricaţie? Exerciţiul 3.6 Un experiment a arătat că numărul de particole alfa emise pe secundă într-un proces radioactiv este o variabilă aleatoare având o distribuţie Poisson. Dacă are medie 05, careesteprobabilitateadeaobserva două sau mai multe particole alfa într-o secundă? Exerciţiul 3.7 Fie 2%probabilitatea ca un anumit tip de bec să sedefectezeîntr-operioadădetestarede2 ore. Să se determine probabilitatea ca o firmă luminoasăconţinând 15 astfel de becuri să funcţioneze 2 de ore fără defecţiuni. Exerciţiul 3.8 Ghiciţi cu cât va fi mai mică probabilitatea din exerciţiul anterior dacă firma luminoasă arconţine 100 de becuri în loc de 15 becuri. Calculaţi probabilitatea în acest caz. Exerciţiul 3.9 Dacă unghişeu poate servi cel mult clienţi pe minut, dacă numărul mediu de clienţi este de 120 clienţi pe oră, care este probabilitatea ca într-un minut clienţii să trebuiascăsăaştepte la coadă? Indicaţie: se va folosi aproximarea Poisson. Exerciţiul 3.10 Să presupunemcă în producerea unor rezistenţe de 60 Ω (omi), piesele fără defecte sunt cele care au între 58 62 omi, probabilitatea unei rezistenţe de a fi defecte este 01%. Rezistenţele se vând în loturi de 200 de bucăţi, cu garanţia că niciunadinrezistenţe nu este defectă.careesteprobabilitateadeagăsi un lot care nu respectă această garanţie? Indicaţie: se va folosi aproximarea Poisson. Exerciţiul 3.11 Ocutieconţine 20 de siguranţe, din care 5 sunt defecte. Să se determine probabilitatea ca alegând la întâmplare 3 siguranţe fără înlocuire, dintre acestea să fie defecte. Exerciţiul 3.12 Să presupunemcăuntestdepercepţie extrasenzorială constă în numirea corectă (în orice ordine) atreicărţi extrase dintr-un pachet de 13 cărţi de joc. Să se determine probabilitatea ca o persoană, numai ghicind la întâmplare să numeascăcorect:(a)0 cărţi, (b) 1 carte, (c) 2 cărţi, (d) 3 cărţi. Exerciţiul 3.13 Un distribuitor vinde gume elastice în pachete de 100 de bucăţi garantează căcelmult10% din acestea au defecte. Un client inspectează fiecare pachet alegând la întamplare 10 gume elastice din pachet fără înlocuire. Dacă eldeterminăcăniciunadincele10 gume extrase nu are defecte, el acceptă pachetul, iar în caz contrar îl refuză. Să se determine probabilitatea ca procedând astfel, clientul respinge un pachet ce conţine 10 gume elastice cu defecte ( deci pachetul respectă condiţiile degaranţie). Exerciţiul 3.1 Dacă reprezintă numărul de mani ce trec printr-un anumit loc între ora 23 00 ora 2 00, dacă are o distribuţie Poisson cu medie 5, careesteprobabilitateadeaobservamaipuţin de 5 mani într-un minut? 25