8ο Φροντιστηριο ΗΥ217



Σχετικά έγγραφα
, x > a F X (x) = x 3 0, αλλιώς.

P( X < 8) = P( 8 < X < 8) = Φ(0.6) Φ( 1) = Φ(0.6) (1 Φ(1)) = Φ(0.6)+Φ(1) 1

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

0, x < 0 1+x 8, 0 x < 1 1 2, 1 x < x 8, 2 x < 4

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση

Η Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές.

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49

0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό

1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. / 2. Οι όροι Eb. και Ec

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού

EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης

P (M = 9) = e 9! =

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

P(200 X 232) = =

xp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3

Μέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

c(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014

Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.

c(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28

Ορισμός κανονικής τ.μ.

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική 1

P (A) + P (B), [Α,Β: ξένα µεταξύ τους] P (C A B) [P (A) + P (B)] P (C A) P (A) P (B) 3 4 ( ) 1 7 = 3 7 =

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Ορισμός και Ιδιότητες

Το σήμα εξόδου ενός διαμορφωτή συμβατικού ΑΜ είναι:

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )

ΔΕΚΤΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΛΗΨΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Παλμοκωδική Διαμόρφωση. Pulse Code Modulation (PCM)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ, ΔΙΚΤΥΑ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

3. Κατανομές πιθανότητας

Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας

Εφαρµογες Της Ψηφιακης Επεξεργασιας Σηµατων. Εκτιµηση Συχνοτητων Με ΙδιοΑναλυση του Μητρωου ΑυτοΣυσχετισης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

a n n! = ea e y2 2 y 0 10E(n A) = = 100 E(k) = n p = = 4.6

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Πληροφορικής. Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας) Διάφορες Ασκήσεις πάνω στην 2 η Ενότητα:

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.

Διωνυμική Κατανομή. x Αποδεικνύεται ότι για την διωνυμική κατανομή ισχύει: Ε(Χ)=np και V(X)=np(1-p).

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

1 x-μ - 2 σ. e σ 2π. f(x) =

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Εργαστήριο 8 ο. Αποδιαμόρφωση PAM-PPM με προσαρμοσμένα φίλτρα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

που αντιστοιχεί στον τυχαίο αριθμό 0.6 δίνει ισχύ P Y Να βρεθεί η μεταβλητή k 2.

4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

X = = 81 9 = 9

Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Χειμερινό Διδάσκων: Καθηγητής Παντελής Ν. Μπότσαρης Εργαστήρια/Ασκήσεις: Δρ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή

4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Θόρυβος και λάθη στη μετάδοση PCM

Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται

Συναρτήσεις Συσχέτισης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

Transcript:

8ο Φροντιστηριο ΗΥ217 Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 10 Ιανουαρίου 2014 Ασκηση 0.1 Εστω ότι η τ.µ. X ακολουθεί Γκαουσιανή κατανοµή µε µέση τιµή 10 και διασπορά σ 2 = 4, δηλαδή X N( 10, 4). Να υπολογίσετε τις παρακάτω πιθανότητες συναρτήσει τιµών της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής (ΑΣΚ) της τυπικής Γκαουσιανής, Φ(x), µε ϑετικά ορίσµατα του x. (α) P (X < 0) (ϐ) P ( 10 < X < 5) (γ) P ( X 5) (δ) P (X 2 3X + 2 > 0) 1

Ασκηση 0.2 Ενα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα αποτελείται από µια πηγή πληροφορίας, ένα κανάλι µετάδοσης και ένα δέκτη. Θεωρείστε µια πηγή πληροφορίας που παράγει ένα εκ τριών συµβόλων µε την ίδια πιθανότητα. Στη συνέχεια,το κανάλι εισάγει ϑόρυβο παραµορφώνοντας το σήµα που έχει επιλεγεί για την αποστολή του εκάστοτε συµβόλου. Ετσι, ο δέκτης λαµβάνει την τιµή Y = X + N, όπου X η τιµή που στάλθηκε, N τυχαία µεταβλητή που παριστάνει προσθετικό ϑόρυβο µε κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0 και διασπορά σ 2 = 4. (α) Υποθέστε ότι ο ποµπός κωδικοποιεί τα 3 σύµβολα ως -1, 0,1. Στον δέκτη το λαµβανόµενο µήνυµα αποκωδικοποιείται ως εξής : Αν Y > 1/2, τότε αποκωδικοποιεί στο 1. Αν Y < 1/2, τότε αποκωδικοποιεί στο -1. Αν 1/2 Y 1/2, τότε αποκωδικοποιεί στο 0. Καθορίστε την πιθανότητα λάθους για το παραπάνω σχήµα κωδικοποίησης-αποκωδικοποίησης. (ϐ) Σε µια προσπάθεια να µειωθεί η πιθανότητα λάθους, οι ακόλουθες τροποποιήσεις γίνονται.ο ποµπός κωδικοποιεί τους 3 τύπους µηνυµάτων µε τιµές -2, 0 και 2, ενώ ο δέκτης αποκωδικοποιεί ως εξής : Αν Y > 1/2, τότε αποκωδικοποιεί στο 2. Αν Y < 1/2, τότε αποκωδικοποιεί στο -2. Αν 1/2 Y 1/2, τότε αποκωδικοποιεί στο 0. Επαναλάβατε το ϐήµα (a) για αυτό το σχήµα κωδικοποίησης/αποκωδικοποίησης. Σχολιάστε το αποτέλεσµα. 2

3

Ασκηση 0.3 Για µια δοσµένη τυχαία µεταβλητή Χ ορίστε την τυχαία µεταβλητή Υ ως : Y = αx 2 + b. (α) Βρείτε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Υ συναρτήσει της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της X, του a και του b. (ϐ) Εστω Χ µια κανονική(γκαουσιανή) τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή 0 και διασπορά σ 2. Βρείτε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Y = X 2. 4

Ασκηση 0.4 Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των τ.µ. X και Y είναι { x + y αν 0 < x < 1, 0 < y < 1 f X,Y (x, y) = 0 αλλού (α) Είναι οι X και Y ανεξάρτητες τ.µ. ; (ϐ) Βρείτε την περιθωριακή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της X. (γ) Βρείτε την πιθανότητα P (X + Y < 1). 5

Ασκηση 0.5 Η από κοινού συναρτηση πυκνότητας πιθανότητας των τ.µ. X και Y είναι f X,Y (x, y) = xe x(y+1) x > 0, y > 0. (α) Βρείτε τη δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της X, δεδοµένου του Y = y και τη δεσµευµένη συναρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Y, δεδοµένου του X = x. (ϐ) Βρείτε τη συναρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Z = XY. 6

Ασκηση 0.6 Το πλάτος των ϐιδών που παράγονται σε κάποιο εργοστάσιο ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ = 0.9 cm και τυπική απόκλιση σ = 0.003 cm, δηλαδή X N(0.9, 0.003 2 ). (α) Αν οι τεχνικές προδιαγραφές των πελατών επιβάλουν το πλάτος των ϐιδών να είναι 0.9 ± 0.005 ςµ, (εποµένως ϐίδες µε πλάτος εκτός αυτών των ορίων να ϑεωρούνται ελαττωµατικές) τι ποσοστό των ϐιδών που παράγονται από αυτό το εργοστάσιο είναι ελαττωµατικές ; (ϐ) Στόχος της εταιρίας είναι κατά µέσο όρο µόνο µία στις 100 ϐίδες να ϐγαίνει ελαττωµατική. Ποια η µέγιστη επιτρεπόµενη τιµή για την τυπική απόκλιση, σ, ώστε η εταιρία να πετυχαίνει το στόχο της ; 7

Ασκηση 0.7 Η διάρκεια της Ϲωής για µία κατηγορία ηλεκτρονικών εξαρτηµάτων τα οποία παράγει µία εταιρία ηµιαγωγών ακολουθεί κανονική κατανοµή µε παραµέτρους µ = 1.4 10 6 ώρες και σ = 3 10 5 ώρες. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένα κιβώτιο 100 εξαρτηµάτων ϑα περιέχει τουλάχιστον 20 εξαρτήµατα των οποίων η διάρκεια Ϲωής είναι µικρότερη από 1.8 10 6 ώρες. Χρησιµοποιείστε ότι Φ(1.33) = 0.9082. 8

Ασκηση 0.8 Το πλάτος ενός µεταλλικού ίχνους σε µία πλακέτα ψηφιακού κυκλώµατος µοντελοποιείται ως µια Γκαουσιανή τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή µ = 0.9 µm και τυπική απόκλιση σ = 0.003 µm. (α) Ιχνη που το πλάτος τους δεν ϐρίσκεται στο εύρος τιµών 0.9 ± 0.005 µm είναι ελλατωµατικά. Τι ποσοστό των ιχνών είναι ελλατωµατικά ; (ϐ) Μια νέα µέθοδος κατασκευής κυκλωµάτων, η οποία παράγει ίχνη µε µικρότερες αποκλίσεις πλάτους, ϑέλουµε να µην παράγει παραπάνω από ένα ελλατωµατικό ίχνος στα 100. Ποια πρέπει είναι η µέγιστη τιµή του σ για την νέα µέθοδο ώστε αυτή να πετυχαίνει το στόχο της ; 9