ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση θετικές ρίζες. 3, > έχει ακριβώς δυο Γ3. Αν, με < είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ., να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε: f ( ) f( ). Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική Λ Υ Σ Η παράσταση της συνάρτησης g() f() με >, τον άξονα και την ευθεία. Γ. Έχουμε f() ( )ln, > και f () (( )ln ) ln ( ) ln, > παρατηρούμε ότι f () Μονάδες 7 ο. ε. g() f () (ln ) >, >, άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) και το είναι μοναδική ρίζα της f. Για < f f () < f (), άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ]. f f Για > f f () > f (), άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). Στο η συνάρτηση f, έχει ολικό ελάχιστο το f() -. f() (( )ln ) - (- ), αφού ln -. f() (( )ln ) ( ), αφού ln. Οπότε f(α) f((, ]) f([, )) [-, ). Γ. Για > είναι ο. ε. f() - ln 3 ln ln 3 ( )ln 3ln
( )ln 3 f() [-, ) f((, ]) και η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], άρα έχει μοναδική θετική ρίζα (, ], ώστε f(). [-, ) f([, )) και η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ), άρα έχει μοναδική θετική ρίζα [, ), ώστε f(). Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς δυο θετικές ρίζες, μια στο (, ] και μια στο [, ). 3 Γ3. f ( ) f( ), (, ). [ Έχουμε f () f() f () f() ( f()) ( ) ( f() ) ] Θέτουμε h() f() Η h είναι συνεχής στο [, ] (πράξεις συνεχών συναρτήσεων). Η h είναι παραγωγίσιμη στο (, ) (πράξεις παραγωγισίμων συναρτήσεων) με h () f () f(). h( ) f() h( ) f(), αφού f( ) f( ). Άρα h( ) h( ). Οπότε εφαρμόζεται το Θεώρημα Roll για την h στο [, ]. Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε: h ( ) f () f() f ( ) f( ). Γ4. g() f() ( )ln, με >. g() ( )ln. Η g είναι συνεχής στο [, ] Έχουμε f() f() -, αφού στο έχει ελάχιστο, άρα f() g() για κάθε >, οπότε g() και για κάθε [, ]. E(Ω) g() d g() d ( )ln d ( ) ln d ( )ln ( ) d ( )ln ( ) d ( )ln ( )ln 4 4 4 4 3 τ. μ. 4 4 4 4
3 ΘΕΜΑ Δ. Έστω η συνεχής συνάρτηση f: (, ), η οποία για κάθε > ικανοποιεί τις σχέσεις: f() dt lnt t ln - dt f() Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Αν είναι f() (ln ), > τότε: Δ. Να υπολογίσετε το όριο: (f()) ημ f() f(). Μονάδες Μονάδες 5 Δ3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln, που ισχύει για κάθε >, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F() dt, >, όπου α >, α είναι κυρτή (Μονάδες ). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F() F(3) > F(), για κάθε > (Μονάδες 4) Δ4. Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β >. Να αποδείξετε ότι Λ Υ Σ Η υπάρχει μοναδικό ξ (β, β) τέτοιο ώστε: F(β) F(3β) F(ξ). Δ. Έχουμε dt, για κάθε >. Έστω h() dt h() Επειδή h() h() και η h είναι παραγωγίσιμη με h () f( )( ) Μονάδες 4 f( )( ) Στο η h έχει ολικό ελάχιστο και επειδή είναι παραγωγίσιμη στο από θεώρημα Frmat έχουμε h () f()(- ) f() - f() και είναι συνεχής, επομένως διατηρεί σταθερό πρόσημο, επειδή f() - έχουμε f() <, για κάθε >.
4 f()< ln t t ln t t ln - dt f() ln dt f() ln ln t t dt f() ** f() ln t t dt άρα f() ln ln t t dt ln t t ln t t η είναι συνεχής, άρα η dt είναι παραγωγίσιμη τελικά η f είναι παραγωγίσιμη σαν πηλίκο παραγωγισίμων. ln ln t t ln ln ** dt f() f() f() ln f() ln ln f() f() ln c f() (ln ) f() c Για έχουμε f() (ln ) - - c c c Άρα f() (ln ) Δ. (f()) ημ f() f() (f()) ημ f() f() (*) f() (ln ) - Θέτουμε h τότε f() h, αφού f() - (*) h ημ f() f() f() συνh h. h Δ3. ln, που ισχύει για κάθε > ημh h h D.L.H. h συνh h F() dt, >, η συνάρτηση f είναι συνεχής επομένως α η F είναι παραγωγίσιμη με F () f() < (από Δ.), άρα η F είναι
5 γνησίως φθίνουσα στο (, ). F () f () ( (ln )) - (- ln ) > Αφού >, (ln ) ( ) > και ln - ln Επομένως η συνάρτηση F είναι κυρτή στο (, ). Ισχύει: < < 3, για κάθε >. Από F() F(3) > F() F(3) - F() > F() F() Η F είναι συνεχής στα [, ], [, 3] Η F είναι παραγωγίσιμη στα (, ), (, 3) με F () f() < και F () f () > Άρα F () είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Σε καθένα απο τα διαστήματα [, ], [, 3] εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση F άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα: F() F() F() F() ξ (, ) τέτοιο ώστε, F (ξ) F(3) F() F(3) F() ξ (, ) τέτοιο ώστε, F (ξ) 3 F F() F() F(3) F() έχουμε ξ < ξ F (ξ) < F (ξ ) < F(3) F() > F() F() F() F(3) > F() Δ4. ος τρόπος με Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών Επειδή F () f() <, έχουμε ότι η F είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ), έχουμε ότι η εικόνα του διαστήματος (β, β) είναι (F(β), F(β)). Αρκεί να δείξουμε ότι: F(β) F(3β) F(β) < < F(β) F(β) < F(β) F(3β) < F(β) o F(β) < F(β) F(3β) (ισχύει λόγω Δ3) o F(β) F(3β) < F(β) F(3β) < F(β), που ισχύει αφού β < 3β F F(β) > F(3β), β >. F(β) F(3β) Επομένως η είναι τιμή της F. Επειδή η F είναι συνεχής στο [β, β] και F(β) F(β), από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών, υπάρχει ξ (β, β), β > τέτοιο ώστε F(ξ) η F(ξ) F(β) F(3β). Το ξ είναι μοναδικό λόγω της μονοτονίας της F.
6 ος τρόπος με Θεώρημα Bolzano β >, ξ (β, β) τέτοιο ώστε: F(β) F(3β) F(ξ) Έστω Μ() F() F(β) F(3β) Η Μ είναι συνεχής στο [β, β], β > (αφού είναι συνεχής, για > ) Μ(β) F(β) F(β) F(3β) F(β) F(3β) > o Επειδή F () f() <, έχουμε ότι η F είναι γνησίως φθίνουσα στο (, F ), άρα β < 3β F(β) > F(3β). Μ(β) F(β) F(β) F(3β) < (ισχύει από το Δ3) Οπότε Μ(β) Μ(3β) < Οπότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (β, β) τέτοιο ώστε Μ(ξ) F(ξ) F(β) F(3β) Έχουμε Μ () F () f() <, άρα η συνάρτηση Μ είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ), οπότε το ξ είναι μοναδική ρίζα της Μ.