7 Βήματα στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Κεφάλαιο 3ο - Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

7 Βήμτ στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Κεφάλιο 3ο - Γ Λυκείου Κτεύθυνσης (Τελευτί ενημέρωση: 7/3/7) 7 μθήμτ (ήμτ) 38 ερωτήμτ θεωρίς 76 Άλυτες - λυμένες σκήσεις Μεθοδολογί σκήσεων - Προλημτισμοί 6 Κτηγορίες σκήσεων Τυπολόγι Hellas 7

φιερωμένο στους νήσυχους κθηγητές! Στους κθηγητές που προσπθούν, που δεν επνπύοντι στις γνώσεις ή στις δάφνες τους, δεν μεροληπτούν, γπάνε υτό που διδάσκουν κι το μετφέρουν στους μθητές τους! Στους κθηγητές μς που θ έχουμε γι πάντ στο μυλό κι στην κρδιά μς.

Ερωτήσεις - Ασκήσεις Μεθοδολογί Πρτηρήσεις Μάθημ ο Αρχική Πράγουσ συνάρτηση Ερώτηση η «Αρχική ή πράγουσ συνάρτηση» ) Δώστε τον ορισμό της ρχική ή πράγουσς συνάρτησης f σε έν διάστημ Δ. Δώστε τύπο κι πρδείγμτ. ) Σωστό ή Λάθος: Όλες οι συνρτήσεις έχουν ρχική συνάρτηση στο πεδίο ορισμού τους. γ) Η ρχική συνάρτηση είνι μονδική γι κάθε συνάρτηση; Γράψτε κι ποδείξτε την μορφή όλων των ρχικών συνρτήσεων της f στο διάστημ Δ. δ) Αν F, G είνι πράγουσες της συνάρτησης f στο διάστημ Δ, τότε γράψτε κι ποδείξτε ποι σχέση συνδέει τις συνρτήσεις F, G. Βσική Άσκηση η Βρείτε ΜΊΑ ρχική ή πράγουσ συνάρτηση πό τις πρκάτω (σ.σ.: Την ίδι άσκηση, πιο «φτωχή», την είχμε δει κι στο Θ. Rolle) Συνάρτηση f Αρχική ή Πράγουσ F c v, v R ημ συν,, 3

e e,,,,,, f f v f f f f f f f e f f f, f f f f f f f f 4

f g f g f f g f g g f g f g Σημείωση: Οι τύποι του πρπάνω πίνκ ισχύουν σε κάθε διάστημ στο οποίο οι πρστάσεις του που εμφνίζοντι έχουν νόημ. Βσική άσκηση η Έστω δύο συνρτήσεις f, g που έχουν ρχική στο διάστημ Δ, τότε ) η συνάρτηση f g έχει ρχική στο Δ ) η συνάρτηση f gέχει ρχική στο διάστημ Δ γ) η συνάρτηση f έχει ρχική στο Δ γι κάθε πργμτική στθερά. Βσική άσκηση 3η Α. Αν η συνάρτηση f έχει ρχική στο Δ κι η συνάρτηση g δεν έχει ρχική στο Δ, τότε οι συνρτήσεις f g, f gδεν έχουν ρχική στο Δ. Β. Ν ποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση g ii) Η συνάρτηση f iii) Η συνάρτηση h,,,,,, Υπόδειξη Βii (με σχολικές γνώσεις) έχει πράγουσ δεν έχει πράγουσ Έστω ότι υπάρχει ρχική συνάρτηση της f κι είνι η. Όμως, F f δεν έχει πράγουσ. F, δηλδή ισχύει F f, ά R. Οπότε, F F F lim lim F limf, ά DL Προσοχή! Είνι λάθος ν πούμε, επειδή η συνάρτηση f δεν είνι συνεχής στο σημείο τότε δεν υπάρχει ρχική. Γνωρίζουμε ότι ν η f είνι συνεχής στο Δ τότε υποχρεωτικά υπάρχει ρχική. Κάτι νάλογο δεν ισχύει κι γι την άρνηση της συνέχεις. 5

Βσική Άσκηση 4η Έστω f:, R μι συνάρτηση κι έστω γ,,γ κι γ,, ν ποδείξετε ότι η f έχει πράγουσ κι στο,.. Αν η f έχει πράγουσ συνάρτηση σε κθέν πό τ διστήμτ Βσική Άσκηση 5η Η συνάρτηση f: R Rέχει πράγουσ συνάρτηση την F. Αν η F δεν είνι στο R, ν ποδείξετε ότι υπάρχει R τέτοιο, ώστε f. Άσκηση 6η Βρείτε όλες τις ρχικές ή πράγουσες των πρκάτω συνρτήσεων. 3 3 ) f 4 ) f γ) 5 3 δ) f, ε) f, ζ) f, f,, στ) f, 3 η) f θ) f e Σημείωση: Ότν το πεδίο ορισμού συνάρτησης είνι ένωση διστημάτων, τότε ρίσκουμε την πράγουσ σ έν διάστημ κι όχι σε όλο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Γιτί; Δες στο τέλος την άσκηση γι προλημτισμό. Άσκηση 7η Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f στις πρκάτω περιπτώσεις: ) f e κι f 3 ) f,,, Cf 4 e γ) f, κι, Cf δ) f 3, ό f f Σημείωση: Γι το () ερώτημ υπάρχουν δύο λύσεις, μί σχολική κι μί εκτός ύλης (πό τριγωνομετρικούς τύπους Β Λυκείου). Εμείς ζητάμε την πρώτη λύση (με την ύλη που έχει διδκτή ο μθητής). Άσκηση 8η Δίνετι η συνάρτηση f, τέτοι ώστε της συνάρτησης f, στο σημείο (, ) είνι 3, ν ρείτε τη συνάρτηση f. Άσκηση 9η f 6 γι κάθε R. Αν η κλίση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης Α. Έστω οι συνρτήσεις F,G είνι ρχικές της συνάρτησης f: R R. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση F G,, R είνι ρχική της συνάρτησης f στο R. Β. (Ανεξάρτητο υποερώτημ) Αν F μι πράγουσ της f στο R, τότε ν ποδείξετε ότι κι η συνάρτηση Άσκηση η G F είνι μι πράγουσ της h () = f ( + ), στο R. Έστω f :, R η συνάρτηση με τύπο f e,, ) Ν ποδείξετε ότι η f έχει ρχικές στο, ) Ν ρείτε τις ρχικές της f. 6

Άσκηση η Ν ποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f : R, R τη σχέση F F F της οποίς μι ρχική συνάρτηση F ν ικνοποιεί γι κάθε. (Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι F() = F () ) Άσκηση η Έστω συνάρτηση F μι πράγουσ της συνάρτησης f :, R γι την οποί ισχύουν: f 9 3 F f ά F ) Ν ποδείξετε ότι ά ) Ν ρείτε μι πράγουσ συνάρτηση της γ) Ν ρείτε τον τύπο της συνάρτησης f Σημείωση: Η πρπάνω άσκηση μπορεί ν κτλήξετε πευθείς στο τελευτίο ερώτημ που είνι κι το ζητούμενο, πρκάμπτοντς τ προηγούμεν οηθητικά ερωτήμτ (), (). Αξίζει ν την προσπθήσετε κι με υτή την λογική. Άσκηση 3η (μόνο γι τους φίλους του ποδοσφίρου που διθέτουν χιούμορ) Ο «γπούλς» είνι ο πρόεδρος της Α.Ε.Κ κι επενδύει χιλιάδες ευρώ γι την ελτίωση της ποιότητς της ομάδς του (με μετγρφές, «λδώμτ», πριμ κτλ.) νμένει ν έχει κέρδος P() χιλιάδες ευρώ ν μπει η ομάδ του στους (χρυσοφόρους) ομίλους του Champion League κι κάνει μι κλή πορεί (νάλογ της πορείς υπάρχει κι το νάλογο κέρδος). Μι νάλυση της επένδυσης έδειξε ότι ο ρυθμός μετολής του κέρδους P() στην περίπτωση που πργμτοποιηθεί ο στόχος, δίνετι πό τον τύπο P 5 e 94. ) Βρείτε την συνάρτηση του κέρδους, ν θεωρήσουμε ότι η ομάδ χωρίς τ λεφτά της επένδυσης, δεν θ είχε κέρδος. ) Αν ο πρόεδρος διθέσει περιόριστ χρήμτ (γιτί λεφτά υπάρχουν), θ έχει κι περιόριστ κέρδη; Δικιολογήστε την πάντησή σς! Άσκηση γι προλημτισμό f, R» ως εξής: * f, R * f ln c, R Π) Έν μθητής έλυσε την άσκηση «Ν ρείτε την ρχική συνάρτηση * f ln c, ln c, Γιτί είνι λάθος η λύση του μθητή; Ποι γνώση έχει πρμελήσει ο μθητής; Δικιολογήστε την πάντησή σς κι δώστε την ορθή πάντηση έτσι ώστε ν έχει νόημ η ρχική της f. 7

Μάθημ ο Ορισμένο Ολοκλήρωμ Ορισμός - Ιδιότητες Ερώτηση η «Ορισμός ορισμένου ολοκληρώμτος» ) Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f :, R. Τι λέγετι άθροισμ Riemann της συνάρτησης f; Τι πριστάνει το προηγούμενο άθροισμ; Δώστε τύπο. ) Ποιος πργμτικός ριθμός είνι το ορισμένο ολοκλήρωμ της f πό το στο ; Δώστε τύπο. γ) Πως προέκυψε το σύμολο ; Πως λέγοντι οι ριθμοί, ; Είνι τυχίοι ριθμοί; Επίσης πως λέγετι κι τι συμολίζει το d μέσ στο ολοκλήρωμ; Πρώτη φορά το συνντάμε; δ) Σωστό ή Λάθος: f d f t dt ε) Σωστό ή Λάθος; Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο Δ, τότε ορίζετι πάντ κι το ορισμένο ολοκλήρωμ της στο Δ. Υποδειγμτική άσκηση 4η Έστω η συνάρτηση [, 3]. f, ν υπολογιστεί το άθροισμ κι ολοκλήρωμ (Riemann) της συνάρτησης f στο διάστημ Υποδειγμτική Λύση Σημείωση: Ανεξάρτητ ν είνι πίθνο ν δούμε μι τέτοι άσκηση στις Πνελλήνιες εξετάσεις, προτείνω την επίλυση μις τουλάχιστον άσκησης με τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώμτος, δηλδή με το άθροισμ Riemann. Δίνουμε την υποδειγμτική λύση γι λόγους διευκόλυνσης κι κτνόησης. 3 Βήμ ο: Διμερίζουμε (χωρίζουμε) το διάστημ [, 3] σε ν ίσ διστήμτ πλάτους, υτό γίνετι με την v v οήθει των σημείων... v v 3, άρ τ διστήμτ είνι της μορφής,, όπου κ =,,, ν. Βήμ ο: Επιλέγουμε υθίρετ σημεί ξ i στο κάθε διάστημ χωριστά. Συμουλή: Γι ευκολί, διλέγουμε ξ i, τ ριστερά ή δεξιά άκρ των διστημάτων (ή τ μέσ των διστημάτων) κι όχι τυχί εσωτερικά σημεί των διστημάτων, φού ποδεικνύετι ότι το ποτέλεσμ δεν εξρτάτι πό την επιλογή των ξ i Στην περίπτωση υτή διλέγουμε γι ευκολί τ δεξιά άκρ των διστημάτων, όμως τ διστήμτ είνι της μορφής,,,,,... v, v δηλδή άρ i,,,,... v, v 3 i i i, i,,..., (δηλδή τ ξ i σχημτίζουν μι ριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο τον κι διφορά της προόδου το Δ). 8

Βήμ 3ο: Υπολογίζουμε το άθροισμ Riemann πό τον τύπο v i v v S f, k S f f f... f f v i v v k v v f f... f f............ 4 Βήμ 4ο: Υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώμτος. 3 v Έχουμε, v i 4 4 d lims lim f lim lim 4, άρ v v v v k 3 d 4 Σημείωση: Προφνώς κι τ ορισμέν ολοκληρώμτ δεν θ τ υπολογίσουμε με την πρπάνω διδικσί, λλά όπως θ δούμε κι πρκάτω, υπάρχει πιο εύκολος κι σύντομος τρόπος επίλυσης, η πρπάνω λύση έχει διδκτικούς σκοπούς. Πάντως η συγκεκριμένη άσκηση, προκύπτει κι γρφικά όπως φίνετι στο πρκάτω σχήμ: 3 3 d E 4 Άσκηση 5η Σωστός ή Λάθος; Το ολοκλήρωμ μις συνάρτησης f στο διάστημ [, ], εξρτάτι: ) Από τ ενδιάμεσ σημεί ξ i που επιλέγουμε ) Από την μετλητή γ) Από την συνάρτηση f δ) Από το άκρ του διστήμτος 9

Ερώτηση 3 η «Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώμτος» ) Έστω η συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ. Αν,, τότε ποιες ιδιότητες έχει το ολοκλήρωμ f d ; Δώστε την γεωμετρική ερμηνεί γι κάθε ιδιότητ χωριστά, στην ειδική περίπτωση που η συνάρτηση f είνι θετική. ) Έστω οι συνεχείς συνρτήσεις f,g :, R. Ποι σχέση δίνει το ολοκλήρωμ της συνάρτησης f + g πό το στο ; γ) Αν οι συνρτήσεις f,g :, R είνι συνεχείς, τότε συμπληρώστε την επόμενη σχέση: f g d..., R Σημείωση: Η πρπάνω ιδιότητ μς εξσφλίζει την γρμμικότητ του ορισμένου ολοκληρώμτος Άσκηση 6η Ν ποδείξετε ότι: ) ) γ) d d d d e e d d e e Άσκηση 7η 3 Δίνετι η συνεχής συνάρτηση f :,3 R γι την οποί ισχύουν οι σχέσεις: Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ: 3 3 ) f d ) f t f d 3 f d 5 3 dt Άσκηση 8η Έστω οι συνεχείς συνρτήσεις f,g :, R γι τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: Ν υπολογιστούν τ ολοκληρώμτ f 3g d 6 f d 3 g d I f d J g d

Ερώτηση 4 η «Θεμελιώδες Θ.Ο.Λ» ) Με τι ισούτι ο συμολισμός G Μάθημ 3ο Υπολογισμός Ορισμένου ολοκληρώμτος ; Διλέξτε τη σωστή πάντηση: Το σύμολο G είνι i) ριθμός, ii) συνάρτηση, iii) διάνυσμ iv) ευθύγρμμο τμήμ v) εμδόν ) Σωστό ή Λάθος: i) Ισχύει G G γι κάθε λ πργμτικό ριθμό. ii) G F G F iii) G F G F γ) Διτυπώστε (η πόδειξη θ ζητηθεί στο 6ο μάθημ) το Θεμελιώδες Θεώρημ του Ολοκληρωτικού λογισμού (Θ.Ο.Λ). δ) Συμπληρώστε τις σχέσεις: f d... f d... ε) Που μς χρησιμεύει το Θεμελιώδες Θεώρημ του Ολοκληρωτικού λογισμού; Κτηγορί η: Εύρεση ορισμένων ολοκληρωμάτων με το Θ.Ο.Λ Αρκεί ν ρούμε μι ρχική συνάρτηση πό τον πρπάνω κτάλογο κι ν εφρμόσουμε το Θεμελιώδες Θεώρημ του Ολοκληρωτικού λογισμού. Μερικές φορές πριν ρούμε την ρχική συνάρτηση, θ πρέπει ν εφρμόσουμε μερικές πό τις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος. Άσκηση 9η Υπολογίστε τ πρκάτω ολοκληρώμτ: ) d ) e ln d γ) e e d δ) e d ε) Άσκηση η d στ) 4 3 d Βρείτε τ ορισμέν ολοκληρώμτ f d γι τις πρκάτω πολυωνυμικές συνρτήσεις: ) f 3 ) f γ) f Άσκηση η 5 Έστω η συνάρτηση f: R Rμε τύπο: f, ό,, R, ν η κλίση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f στο σημείο Άσκηση η Υπολογίστε τ πρκάτω ολοκληρώμτ, είνι 36 κι f d 3, τότε ρείτε τ,, γ.

d ) ) Άσκηση 3η 4 d γ) 6 d Έστω οι πργμτικοί ριθμοί,, γ, όπου < < κι έστω d, τότε ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ d συνρτήσει του γ. Άσκηση 4η Δίνετι η συνάρτηση f: R Rμε τύπο f e ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ Άσκηση 5η Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή πρώτη πράγωγο στο R, κι ισχύουν: f f d I f d, ) Ν υπολογίσετε το όριο lim I η γρφική πράστση της συνάρτησης f τέμνει τον άξον yy στο σημείο τότε ν ποδείξετε ότι : i) Δεν ορίζετι η ντίστροφη συνάρτηση της f ii) Υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε f. Άσκηση 6η Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή πρώτη πράγωγο στο R, κι ισχύει f f d, τότε ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον διάστημ, στο οποίο υπάρχει εσωτερικό σημείο του, τέτοιο ώστε, η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f ν είνι πράλληλη στον άξον. Άσκηση 7η Έστω η συνεχής συνάρτηση f τέτοι ώστε ) Ν ποδείξετε ότι: f 3 f d 5 γι κάθε πργμτικό ριθμό. f d 6 (Μεθοδολογί σκήσεων) ) Ν ρείτε όλες τις ρχικές πράγουσες συνρτήσεις της f.

Κτηγορί η: Εύρεση ορισμένων ολοκληρωμάτων ρητής συνάρτησης Α μορφή: Ο θμός του προνομστή μεγλύτερο πό τον θμό του ριθμητή. Αρχικά προσέχουμε ν η πράγωγος του προνομστής μς δίνει τον ριθμητή. Αν νι, τότε η ρχική είνι ο λογάριθμός του προνομστή. Αν όχι, τότε γράφουμε τον προνομστή ως γινόμενο κι το σπάμε σε δύο κλάσμτ με ριθμητές τ κι. Από ισότητ πολυωνύμων ρίσκουμε τ κι. Δηλδή, P Q P Q, κάνουμε πλοιφή προνομστών κι ρίσκουμε τ κι πό ισότητ πολυωνύμων, άρ το ολοκλήρωμ «σπάει» σε δύο πιο πλά ολοκληρώμτ. Β μορφή: Ο θμός του προνομστή μικρότερος ή ίσος πό τον θμό του ριθμητή Κάνουμε Ευκλείδει διίρεση του ριθμητή με τον προνομστή κι γράφουμε την τυτότητ της διίρεσης. Είμστε ήδη στην πρώτη μορφή. Άσκηση 8η (θμός προνομστή > θμό ριθμητή) Υπολογίστε τ πρκάτω ολοκληρώμτ: ) 3 d ) 3 5 d γ) 3 4 4 d δ) 3 4 d Άσκηση 9η (θμός προνομστή θμό ριθμητή) Υπολογίστε τ πρκάτω ολοκληρώμτ: ) 3 8 d d ) 3 3 d d γ) 4 d 4 3 d Κτηγορί 3η: Εύρεση ορισμένων ολοκληρωμάτων πολλπλού τύπου συνάρτησης Προσπθούμε ν χρησιμοποιήσουμε την εξής ιδιότητ των ορισμένων ολοκληρωμάτων, f d f d f d, όπου γ το σημείο που χωρίζοντι οι τύποι της συνάρτησης. Επειδή εντός ύλης κι γι το σχολικό ιλίο, θεωρούμε ότι είνι ολοκληρώσιμες μόνο οι συνεχείς συνρτήσεις, θ πρέπει ν προσέχουμε στο σημείο γ που χωρίζοντι οι κλάδοι ν είνι συνεχής η συνάρτηση, ν δεν είνι τότε η άσκηση είνι εκτός ύλης! Δείτε την άσκηση γι προλημτισμό. Άσκηση 3η, Έστω η συνάρτηση f, ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι συνεχής ) Υπολογίστε το ολοκλήρωμ Άσκηση 3η Έστω η συνάρτηση f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι συνεχής,, f d 3

) f d ; ) f d ; ί 4 Άσκηση 3η Δίνετι η (συνεχής) συνάρτηση f Βρείτε τ,., ό, * R Z κι Κτηγορί 4η: Εύρεση ορισμένων ολοκληρωμάτων συνρτήσεων με πόλυτη τιμή f d. Αποτελεί σική κτηγορί σκήσεων γι την τελευτί πράγρφος των ολοκληρωμάτων, τ εμδά επίπεδων σχημάτων. Αν γνωρίζουμε το πρόσημο των συνρτήσεων που ρίσκοντι στο εσωτερικό των πολύτων στο διάστημ που ορίζουν κάθε φορά τ άκρ, τ εξάγου κι άζουμε μπροστά πό το ολοκλήρωμ το νάλογο πρόσημό τους, ν δεν γνωρίζουμε το πρόσημό τους, τότε κάνουμε πίνκ προσήμων κι με την ιδιότητ f d f d f d πλλσσόμστε πό τ 5 3 5 πόλυτ. Δηλδή, 3 d 3 d 3 d 3 d 3-3 5 3 + + Άσκηση 33η Βρείτε τ πρκάτω ολοκληρώμτ: ) ε) d ) 5 3 d γ) e d δ) d στ) d ζ) d η) Ασκήσεις γι προλημτισμό e d d (Π) Ένς κθηγητής έθεσε στους μθητές του την πρκάτω άσκηση,, «Έστω συνάρτηση f, ν υπολογίστε το ολοκλήρωμ e, f d.» Τι έχουμε ν πούμε στον φηρημένο κθηγητή; Ποι σχολική γνώση μέλησε ότν έθεσε την άσκηση; Σημείωση: Ο κθηγητής δεν έχει κάνει λάθος, πλά με τ δεδομέν του σχολικού ιλίου έχει ξεφύγει διδκτικά κι εννοιολογικά. (Π3) Δίνετι η συνάρτηση f () =, η οποί είνι προφνώς ορισμένη σε όλο το R κι πίρνει θετικές τιμές ή μηδέν. Ο μθητής της Γ τάξης πό το Λύκειο Πετρούπολης, έθεσε το εξής θέμ: «Αν υπολογίζουμε το Ι = - f () d = - - = - <. Αυτό όμως είνι δύντο, φού f ().» Πού ρίσκετι το λάθος; Βοηθήστε τον μθητή κι κθηγητή ν ρουν μι λογική κι κτνοητή εξήγηση. 4

Μάθημ 4ο Γεωμετρική ερμηνεί ορισμένου ολοκληρώμτος Ερώτηση 5 η «Γεωμετρική ερμηνεί ορισμένου ολοκληρώμτος» ) Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, ] κι γι κάθε, είνι ισχύει γι το πρόσημο του ριθμού μη ρνητική γι κάθε στο διάστημ [, ]; f d ; Δηλδή τι εκφράζει το ορισμένο ολοκλήρωμ ) Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, ] κι γι κάθε, είνι τέτοιο ώστε f, τότε τι συμπερίνετι γι το ορισμένο ολοκλήρωμ, γεωμετρική του εξήγηση; γ) Σωστό ή Λάθος; Αν είνι f d =, τότε f γι κάθε,. δ) Σε ποιες κτηγορίες σκήσεων μς χρησιμεύουν τ προηγούμεν συμπεράσμτ; f, τότε ποιο συμπέρσμ f d f κι υπάρχει f d γι συνάρτηση f ; Ποι είνι η Κτηγορί 5η : Ολοκληρώμτ κι νισοτικές σχέσεις Η κλσική σχέση που μς νάγει πό τις νισοτικές σχέσεις συνρτήσεων σε νισοτικές σχέσεις ολοκληρωμάτων είνι η σική άσκηση 34 η. Σημείωση: Την χρησιμοποιούμε χωρίς πόδειξη μετά πό οδηγί του Υπουργείου Πιδείς πό το 6-7. Βσική άσκηση 34η ) Θεωρούμε τις συνεχείς συνρτήσεις f,g :, R γι τις οποίες ισχύει f g ά, ποδείξετε ότι: f d g d. Ν ) Αν στην προηγούμενη περίπτωση, υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε f g ότι: f d g d., ν ποδείξετε γ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f :, R κι m, M η ελάχιστη κι η μέγιστη τιμή της f στο [, ] ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι: m f d Βσική άσκηση 35η Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση f:, γι την οποί ισχύει f κι f d γι κάθε, Ν ποδείξετε ότι f γι κάθε,. Βσική άσκηση 36η Έστω η συνεχής συνάρτηση f :, R, γι την οποί ισχύει f ά,., ν ποδείξετε ότι: 5

f d. Άσκηση 37η Έστω η συνεχής συνάρτηση f :, R με Άσκηση 38η f d, ν ποδείξετε ότι: ) f e ά, ) e Δίνετι η συνάρτηση f: R Rμε τύπο: f e ) Ν μελετήσετε ως προς την μονοτονί κι κρόττ την γρφική πράστση της f ) Ν ποδείξετε ότι: e d e f d 4 Άσκηση 39η Έστω η συνάρτηση f ln, ) Μελετήστε ως προς την μονοτονί κι κρόττ την γρφική πράστση της f ) Ν ποδείξετε ότι: γ) Ν ποδείξετε ότι: ln ά R ln d 3 Άσκηση 4 η (Εξετάσεις - προσρμοσμένη) Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση f: R R τέτοι ώστε f f e γι κάθε R ) Ν μελετήσετε την f κι την f ως προς την μονοτονί. ) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης f διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. γι κάθε. γ) Ν ποδείξετε ότι: f f δ) Ν ποδείξετε ότι: f f d f Άσκηση 4η Έστω > κι η συνεχής συνάρτηση f :, R γι την οποί ισχύει: ) Ν ποδείξετε ότι: Άσκηση 4η f d 4 4 f d f d ) Βρείτε τον τύπο της f. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :, R τέτοι ώστε ν ισχύει: f f d 6

) Ν ποδείξετε ότι: Άσκηση 43η e e Ν ποδείξετε ότι: d f d ) Βρείτε τον τύπο της f. Άσκηση γι προλημτισμό (Π4) Η συνεχής συνάρτηση f στρέφει τ κοίλ άνω στο διάστημ [, ] κι είνι γνησίως ύξουσ, η γρφική της πράστση φίνετι στο πρκάτω σχήμ, όπου ΑΓ μι χορδή της. Αν Δ(, ) κι Ε(, ), τότε: Α. ) Βρείτε το εμδόν του ορθογωνίου ΑΒΕΔ ) Βρείτε το εμδόν του τρπεζίου ΑΓΕΔ γ) Ν ποδείξετε ότι ( - ) f () f () d ( - ) f () f () Β. Αν η f στρέφει τ κοίλ κάτω στο [, ] κι είνι γνησίως ύξουσ ποι είνι η ντίστοιχη σχέση; Γ. Αν Ι = d, ν δείξετε ότι το Ι νήκει στο διάστημ,. 7

Μάθημ 5ο Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ερώτηση 6 η «Πργοντική ολοκλήρωση Αλλγή μετλητής» ) Γράψτε τον τύπο της ολοκλήρωσης κτά πράγοντες γι το ορισμένο ολοκλήρωμ. Γράψτε σε ποιες μορφές γινομένου θ το εφρμόζουμε; Δώστε έν πράδειγμ σε κάθε περίπτωση χωριστά. (Δείτε τον πρκάτω πίνκ.) ) Γράψτε τον τύπο ολοκλήρωσης με λλγή μετλητής (ή ντικτάστσης) γι το ορισμένο ολοκλήρωμ. Σε ποι είδη συνρτήσεων συνήθως το εφρμόζουμε; γ) Αν έχουμε ολοκλήρωμ ντίστροφης συνάρτησης (που δεν την γνωρίζουμε), τότε πως εφρμόζουμε την μέθοδο της ντικτάστσης; Περιγράψτε την διδικσί κι δώστε έν πράδειγμ (δείτε πρκάτω τη Βσική άσκηση). Κτηγορί 6η: Πργοντική ολοκλήρωση Στον πρκάτω πίνκ προυσιάζουμε ορισμένες μορφές ολοκληρωμάτων. Μς υποδεικνύει ποιες συνρτήσεις πρέπει ν πάρουμε ως ρχικές κι πόσες φορές πρέπει ν εφρμόσουμε την πργοντική ολοκλήρωση. Σημείωση: Το Ρ() είνι πολυωνυμική συνάρτηση θμού ν, επίσης k, m, p, s πργμτικοί ριθμοί με p Περιγρφή Μορφή ορισμένων Αρχική συνάρτηση Πόσες φορές εφρμόζουμε ολοκληρωμάτων ολοκληρωμάτων πργοντική ολοκλήρωση Πολυωνυμική επί τριγωνομετρική Πολυωνυμική επί εκθετική P d P d km P e d km km P km d, e e k k ln km km ν φορές, δηλδή όσο κι ο θμός του πολυωνύμου P() Πολυωνυμική επί λογριθμική P ln k m d την ρχική του πολυωνύμου P() φορά κι κτλήγουμε σε ρητή συνάρτηση Εκθετική επί τριγωνομετρική km e p s d, km e p s d e km e k km φορές, κι κτλήγουμε στο ρχικό ολοκλήρωμ, το λύνουμε ως εξίσωση 8

Άσκηση 44η Υπολογίστε τ πρκάτω ολοκληρώμτ: ) e d ) π 4 d γ) συν e ln d δ) π e ημd ε) e lnd στ) e ln d ζ) π d (χωρίς τύπους διπλάσιου τόξου) Άσκηση 45η Η συνάρτηση f: R Rείνι άρτι κι έχει συνεχή δεύτερη πράγωγο στο R. Αν, ν ποδείξετε ότι: ) f d ) f d Άσκηση 46η f :, R η συνάρτηση της οποίς η δεύτερη πράγωγος είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο,. Αν Έστω f κι f f d, ν ποδείξετε ότι: ) f d f f d ) f γ) Η γρφική πράστση της συνάρτησης f έχει έν σημείο κμπής. Άσκηση 47η f 4. 3 Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη πράγωγο στο R κι γι κάθε R ισχύει ) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ συνάρτηση στο R ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει στθερά cr, τέτοι ώστε γ) Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ f Άσκηση 48η d Θεωρούμε τη δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση f :, ισχύουν οι σχέσεις: ) f f f f f d, ν ποδείξετε ότι: ) Υπάρχει τουλάχιστον έν, τέτοιο, ώστε 3 4 f 3 c ά R R με. Αν η f είνι συνεχής στο, κι f f 9

Κτηγορί 7η: Αλλγή μετλητής ) Ένς πρκτικός πίνκς γι το τι θέτουμε σ έν ορισμένο ολοκλήρωμ είνι ο πρκάτω. Τ P(), Q() είνι πρστάσεις που ορίζοντι σε κτάλληλ διστήμτ κάθε φορά. Περιγρφή Μορφή Θέτουμε Δυνάμεις v Ριζικά Q v Q P d την άση της δύνμης P d το υπόρριζο Τριγωνομετρικές Εκθετικές P d P d P Q e d Q P d Την γωνί, δηλδή την πράστση που ρίσκετι «μέσ» στον τριγωνομετρικό ριθμό Τον εκθέτη Λογριθμική v ln d, v Όλο τον λογάριθμο d ln Ρητή P d Q Τον προνομστή του κλάσμτος f, t dt Δύο μετλητές (, t) Την πρένθεση της συνάρτησης ) Πολλές φορές δεν χρειάζετι ν ντικτστήσουμε μι κτάλληλη ποσότητ με u, λλά με την οήθει του πρκάτω πίνκ ρίσκουμε πευθείς τ ορισμέν ολοκληρώμτ. Τ επόμεν τ έχουμε μελετήσει ξνά, στις πράγωγους σύνθετων συνρτήσεων. Προυσιάζουμε τις κυριότερες μορφές: Περιγρφή Μορφή Αποτέλεσμ v Δύνμη f f d, vn v f v

Πηλίκο Τετργωνική ρίζ Τριγωνομετρική f d ln f f f d, f f f f f d f f f d f Εκθετική f f e d f f d, e f ln f Άθροισμ f f d f Άσκηση 49η Υπολογίστε τ πρκάτω ορισμέν ολοκληρώμτ με την οήθει λλγής μετλητής: ) d ) 3 d γ) 3 d 5 d ε) 8 δ) Άσκηση 5η Aν f συνεχής στο [, π] ν δείξετε ότι Άσκηση 5η Aν f συνεχής στο R ν δείξετε ότι: Άσκηση 5η Aν f συνεχής στο R κι γι κάθε R d στ) π π f(ημ)d= f(ημ)d 3 f( )d= f()d e ln d γ ) Ν δείξετε ότι f ( - γ) d f () d. γ ) Ν δώσετε γεωμετρική ερμηνεί της ισότητς. γ) Αν ισχύει f f, ν δειχθεί f()d= Άσκηση 53η Δίνοντι οι συνεχείς συνρτήσεις fκι g ορισμένες στο διάστημ,. Αν γι κάθε, ισχύουν οι σχέσεις

f () f κι g() g( ), ν ποδειχθούν τ πρκάτω: ) f ()g()d f ()d ημ ημ ) d d συν Βσική Άσκηση 54η Έστω f συνεχής στο [-, ], τότε, i) Αν f περιττή στο [-, ] ν δείξετε ότι ii) Αν f άρτι στο [-, ] ν δείξετε ότι Άσκηση 55η - f()d= f()d= f()d - +Τ Αν f περιοδική το R με περίοδο Τ κι R, ν δειχθεί ότι το ολοκλήρωμ Ι= f()d είνι νεξάρτητο του. Άσκηση 56η (θέμ δεσμών) Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο R. ) Ν ποδείξετε ότι 3 7 f ( )d f ()d. 3 7 ) Έστω ότι. 4 f ( )d f d 4 Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, 7) τέτοιο,ώστε Άσκηση 57η (θέμ δεσμών) Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ f ξ 334, κι ισχύει ότι f f c, γι κάθε,, όπου c πργμτικός ριθμός. Ν ποδείξετε ότι : f d f f f Άσκηση 58η i) Ν ποδείξετε ότι π π f(ημ)d = f(ημ)d π ii) N υπολογίσετε το ολοκλήρωμ π ημ d 3+ημ

Άσκηση 59η (θέμ δεσμών) Έστω η συνεχής συνάρτηση f γι την οποί ισχύει η σχέση : e f () d f e γι κάθε R. ) Ν ποδείξετε ότι, υπάρχει cr έτσι ώστε: f e c γι κάθε R. ) Βρείτε τον τύπο της f. Άσκηση 6η Αν f συνεχής στο [-, ] κι γι κάθε,y[-,] ισχύει f y f f y y, ν δειχθεί ότι 3 f()d=. 3 - Άσκηση γι προλημτισμό (Π5) Ένς φίλος κι πλιός συμμθητής μου είχε θέσει τον εξής προλημτισμό: «Μάκη προφνώς - d >, πό γνωστή πρότση. Σωστά ως εδώ; Αλλά ν το ολοκλήρωμ το δούμε ως εξής: Ι = - d = d μπορούμε ν θέσουμε u =, οπότε du = d, ενώ γι = είνι u = κι γι = - είνι u = 4, έτσι προκύπτει Ι = 4 u du = - 4 - u du <.Πράλογο;» Πού ρίσκετι το λάθος; Please, δώστε μς εξήγηση στο πελγωμένο φίλο μς. Κτηγορί 8η: Ολοκλήρωμ ντίστροφης συνάρτησης f d Μπορούμε ν ρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμ ντίστροφης συνάρτησης χωρίς ν γνωρίζουμε τον τύπο της! Πως; Θέτουμε u f f u άρ d f d, οπότε τ νέ άκρ γίνοντι κι ό u f f u ό u f f u, κι πό (λόγω ντίστροφης) κι προφνής λύση, θ ρίσκουμε τις τιμές u,u. Γι κλύτερη κτνόηση δείτε την πρκάτω σική άσκηση. Βσική άσκηση 6η (ντίστροφης συνάρτησης) Έστω συνάρτηση f:, R γνησίως μονότονη στο, κι έχει συνεχή πράγωγο σ υτό, τότε ν ποδείξετε ότι: f f d f d f f d f Σημείωση: Δηλδή το ολοκλήρωμ της ντίστροφης συνάρτησης, κτλήγει σε ολοκλήρωμ της συνάρτησης f! 3

Άσκηση 6η Δίνετι η συνάρτηση f() = 3 + ) Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν ρεθεί το πεδίο ορισμού της f - ) Ν υπολογισθεί το ολοκλήρωμ Ι = f ()d Άσκηση 63η Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f, γι κάθε R. Aν, R με, ν δειχθεί ότι ) Η συνάρτηση f είνι ντιστρέψιμη ) f() - f()d f ()d = f() f() f() γ) e e d ln d e Άσκηση 64 η Ν υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώμτ χωρίς τους τριγωνομετρικούς τύπους του διπλάσιου τόξου (που είνι εκτός ύλης γι το σχολικό έτος 6 7) πό τη Β Λυκείου: ) π d 3 ) π d ημ συν 6 4

Ερώτηση 6 η «Μετλητά τ άκρ ολοκλήρωσης» Μάθημ 6ο Η συνάρτηση F f t dt ) Η συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι έστω. Τι εκφράζει το ολοκλήρωμ F f t dt ; ) Αποδείξτε το Θεμελιώδες Θεώρημ Ολοκληρωτικού λογισμού (στο προηγούμενο μάθημ το είχμε διτυπώσει) Κτηγορί 9η: Αρχική συνάρτηση μέσ σε ολοκλήρωμ Πολλές φορές εφρμόζουμε πργοντική ολοκλήρωση κι σε περιπτώσεις που εντός του ολοκληρώμτος έχουμε μι ρχική συνάρτηση F ή μι συνάρτηση που είνι γνωστή η πράγωγό της. Έστω F μι ρχική συνάρτηση της f στο, κι F d F d εφρμόζουμε πργοντική ολοκλήρωση = F f d F F Γι κλύτερη κτνόηση δείτε τ λυμέν πρδείγμτ. F. Η γενική μορφή επίλυσης είνι η εξής: f d F f d Άσκηση 65 η Υπολογίστε τ πρκάτω διπλά ολοκληρώμτ ) F d, όπου F η ρχική της f e με F ) Fd, όπου F η ρχική της f με F d γ), όπου F η ρχική της f δ) Λύση F κι F d, όπου F η ρχική της f 99 F π με F e e e F d F d F e d ) Έχουμε διδοχικά, ) Έχουμε διδοχικά, F d F d F d 5

/ / 3/ 3/ d d 3 3 3 3 F d F d F d γ) Έχουμε διδοχικά, d d d δ) Έχουμε διδοχικά, F d F d F d 5 5 d 99 Άσκηση 66 η g, R. Δίνετι η συνάρτηση g τέτοι ώστε ) Ν ποδείξετε ότι gεφ γι κάθε π π, ) Ν μελετήσετε γι τη συνάρτηση g την μονοτονί, κρόττ, κμπυλότητ κι σημεί κμπής της. Στη συνέχει ρείτε το πρόσημο της. γ) Ν ρείτε τη σχετική θέση της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g με την ευθεί y. δ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g ντιστρέφετι κι στη συνέχει ν υπολογίσετε τη g ε) N σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της συνάρτησης g. στ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ g d. 6

Μάθημ 7ο Εμδόν επίπεδου σχήμτος Ερώτηση 7 η «Εμδά» ) Ν δώσετε τους τύπους που δίνει το εμδόν του χωρίου που ορίζετι στις πρκάτω περιπτώσεις: i. Από την C f, τον άξον κι τις ευθείες = κι =. ii. Από την C, τον άξον f iii. Από τις C f,c g, κι τις ευθείες = κι =. iv. Από τις C f,c g ) Έστω δύο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [, ] με f g γι κάθε,, ν ποδείξτε τον τύπο που δίνει το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες = κι =. γ) Αποδείξτε την πρότση () με την προϋπόθεση f g γι κάθε,. δ) Τι συμίνει ν η διφορά f() g() δεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ]; Δώστε τύπο κι πορεί ντιμετώπισης. ε) Δώστε κι ποδείξτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της συνάρτησης f, όπου f γι κάθε, κι τις ευθείες = κι =. στ) Τι συμίνει ν η συνάρτηση f() δεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ]; Δώστε τύπο κι πορεί ντιμετώπισης. ζ) Σωστό ή Λάθος: Το f d είνι ίσο με το άθροισμ των εμδών των χωρίων που ρίσκοντι πάνω πό τον άξον, μείον το άθροισμ των εμδών των χωρίων που ρίσκοντι κάτω πό τον άξον. η) Σε ποιες εκφωνήσεις σκήσεων πρέπει ν κάνουμε υποχρεωτικά σχήμ; Κτηγορί η: Εμδόν επίπεδου χωρίου με μί συνάρτηση Σε υτή την κτηγορί σκήσεων, ρκεί ν υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ f d, που νάγετι εύρεση ορισμένου ολοκληρώμτος πόλυτης τιμής (δείτε κτηγορί σκήσεων 4). Αν δεν δίνοντι τ άκρ ολοκλήρωσης, τότε είνι οι λύσεις της εξίσωσης f () =, δηλδή τ σημεί τομή της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f με τον άξον. Άσκηση 67η Βρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον κι τις ευθείες = κι =, στις πρκάτω περιπτώσεις: f 4,, = κι = 4 ) ln f,, = κι = e. ) 7

3) f 9 e 3, 3 3, = κι =., 3 Άσκηση 68η Βρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον, στις πρκάτω περιπτώσεις: f e ) ) f 3 3) f ln ln, Άσκηση 69η Έστω F:, R μι πράγουσ συνάρτηση της f e στο διάστημ,, με ) Ν ποδείξετε ότι F γι κάθε,. F. ) Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι μετξύ της C F, του άξον κι y y κι της ευθείς =. Άσκηση 7η Δίνετι η συνάρτηση f () = +. ) Ν μελετηθεί κι ν πρστθεί γρφικά. ) Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = 4. γ) Ν προσδιορίσετε την κάθετη ευθεί στον άξον που χωρίζει το χωρίο του προηγούμενου ερωτήμτος σε δύο ισεμδικά χωρί. Άσκηση 7η Δίνοντι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f () =, > κι g () =, >. ) Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου που περιέχετι πό την C f, του άξον κι των ευθειών = κι = λ, όπου λ >. ) Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου που περιέχετι πό την C g, του άξον κι των ευθειών = κι = λ, όπου λ >. γ) Ν ρείτε τ όρι: Ι = lim λ λ f () d κι Ι = lim λ λ g () d κι ν δώσετε την γεωμετρική ερμηνεί. 8

Κτηγορί η: Εμδόν επίπεδου χωρίου νάμεσ σε δύο συνρτήσεις Σε υτή την κτηγορί σκήσεων, ρκεί ν υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ f g d, που νάγετι εύρεση ορισμένου ολοκληρώμτος πόλυτης τιμής (δείτε κτηγορί σκήσεων 4). Αν δεν δίνοντι τ άκρ ολοκλήρωσης, τότε είνι οι λύσεις της εξίσωσης f () = g(), δηλδή τ σημεί τομή των γρφικών πρστάσεων της f με την g. Άσκηση 7η Βρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f κι g, τον άξον κι τις ευθείες = κι =, στις πρκάτω περιπτώσεις: f κι g, = κι = 4 4 ) ln f, κι y, = κι = e. ) Άσκηση 73η Βρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f κι g, τον άξον, στις πρκάτω περιπτώσεις: 3 f κι g 3, ) f, κι g ). Στις υπόλοιπες περιπτώσεις όπως: Κτηγορί η: Εμδόν επίπεδου χωρίου στις υπόλοιπες περιπτώσεις το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C f,c g κι τον άξον (δηλδή την ευθεί y = ) το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C f,cgκι C h (τρεις συνρτήσεις) το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C f,cgκι πό μί εφπτομένη τους Τότε, είνι πρίτητη η γρφική πράστση των συνρτήσεων (οπότε η μορφή τους θ είνι πλή κι θ νήκει στις σικές συνρτήσεις που γνωρίζουμε την γρφική τους πράστση): Βρίσκουμε τ κοινά σημεί των γρμμών που ορίζουν το χωρίο, λύνοντς τ συστήμτ των εξισώσεων τους. Χωρίζουμε το ζητούμενο χωρίο σε τμήμτ (λουρίδες) με κτκόρυφες ευθείες. Σε υτά τ τμήμτ (λουρίδες), ρίσκουμε ποι συνάρτηση είνι υψηλότερ κι ποι χμηλότερ. Άσκηση 74η Έστω οι συνρτήσεις f,g : R R με τύπους f e κι g e. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις C f,c g κι την ευθεί y e Άσκηση 75η Έστω οι συνρτήσεις f κι g 9

) Ν ρείτε την εξίσωση της κοινής εφπτομένης των C f,c g ) Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι μετξύ των C f,cgκι της κοινής τους εφπτομένη. Άσκηση 76η Δίνοντι οι συνρτήσεις f () = + e -, g () = - e -. ) Ν ρείτε το πρόσημο της f () - g () κι της f () - στο διάστημ [, + ). ) Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που ορίζετι πό τις C f, C g κι τις ευθείες =, =. γ) Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που ορίζετι πό την C f κι τις ευθείες =, =, y =. 3