Προσεγγισεις. Aνισοτητες. Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος

Προσεγγισεις Aνισοτητες Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος

1 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτικη σχεση παραστασεων μετρων μιγαδικου. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Προσημο πραγματικου (φανταστικου) μερους του μιγαδικου αριθμου. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι: Re(z) > 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Χρησιμοποιουμε τη ιδιοτητα: z = z = z z = + y, αφου υψωσουμε στο τετραγωνο την προς αποδειξη σχεση.. Καταληγουμε σε αληθινο συμπερασμα. 3. Μια αλλη χρησιμη ιδιοτητα: Αν z = + y i τοτε Re(z) =, Im(z) = y.

( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να δειχτει οτι η σχεση z - 1 < z + 1 επαληθευεται μονο απ τους μιγαδικους που εχουν θετικο πραγματικο μερος. Ειναι z-1 < z+1 z-1 < z+1 ( z - 1 )( z - 1 ) < ( z + 1 )( z + 1 ) zz - z - z + 1 < zz+ z + z + 1 z + z > 0 z+ z >0 Re(z) > 0 Re(z) > 0.

3 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτικη σχεση παραστασεων μετρων μιγαδικου. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Mεγιστο και ελαχιστο μετρου μιγαδικου αριθμου. Σ κ ο π ο ς : Να φτασουμε σε σχεση: α f(z) β. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Μετασχηματιζουμε τη ζητουμενη, ετσι ωστε να περιεχει τη δοσμενη.. Χρησιμοποιουμε τριγωνικη ανισοτητα, για το μετρο στο οποιο εχει μετατραπει η ζητουμενη σχεση. 3. Με πραξεις καταληγουμε σε ανισοτητα της μορφης α f(z) β, οπου f(z) η παρασταση της οποιας ζητουμε το μεγιστο και ελαχιστο. 4. Το α ειναι το ελαχιστο και το β ειναι το μεγιστο.

( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν για το μιγαδικο αριθμο z ισχυει z + 4i 1, να βρεθει το μεγιστο και το ελαχιστο του z - 3. Ειναι Απ'τη τριγωνικη ανισοτητα προκυπτει : (-3-4i) - (z + 4i) (-3-4i) + (z + 4i) (-3-4i) + (z + 4i) (- 3) + (- 4) - (z + 4i) z - 3 5-1 z - 3 (- 3) + (- 4) + (z + 4i) z + 4i 1 5 + 1 5-1 z - 3 5 + 1 Ετσι το μεγιστο και το ελαχιστο του z - 3 ειναι 6 και 4 αντιστοιχα. 4 z - 3 6 z - 3 = z + 4i - 4i - 3 = (z + 4i) + (-3-4i) = (-3-4i) + (z + 4i).

5 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτικη σχεση παραστασεων μετρων μιγαδικου. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικη ερμηνεια ανισοτητων μετρων μιγαδικων αριθμων. Σ κ ο π ο ς : Να φτασουμε σε γνωστη σχεση μετρων (γεωμετρικος τοπος εικονας μιγαδικου). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z ρ, με ρ > 0 τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ι κ ο ς δ ι σ κ ο ς κεντρου K(0, 0) και ακτινας ρ.. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z - z1 ρ, με ρ > 0 και z1(1, y1), τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ι κ ο ς δ ι σ κ ο ς κεντρου K(1, y1) και ακτινας ρ. 3. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z > ρ, με ρ > 0 τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι ο χ ω ρ ο ς ε κ τ ο ς τ ο υ κ υ κ λ ι κ ο υ δ ι σ κ ο υ κεντρου K(0, 0) και ακτινας ρ. 4. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z - z1 > ρ, με ρ > 0 και z1(1,y1), τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι ο χ ω ρ ο ς ε κ τ ο ς τ ο υ κ υ κ λ ι κ ο υ δ ι σ κ ο υ κεντρου K(1, y1) και ακτινας ρ. 5. Αν για τους μιγαδικους z, z1, z ειναι: z - z1 z z, τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι τ ο η μ ι ε π ι π ε δ ο ( ε, Α ) οπου Α η εικονα μιγαδικου z1 και ε η μεσοκαθετη του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ. 6. Αν για τους μιγαδικους z, z1, z ειναι: z - z1 z z, τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι τ ο η μ ι ε π ι π ε δ ο ( ε, Β ) οπου Β η εικονα μιγαδικου z και ε η μεσοκαθετη του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ.

( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρειτε που ανηκουν οι μιγαδικοι z για τους οποιους ισχυει : 1 < z < z z - i > z + 1 Αν 1 < z <, τοτε ο z θα βρισκεται μεταξυ των κυκλων με κεντρο το O(0,0) και ακτινες ρ1 = 1 και ρ =. Αν z, τοτε ο z θα βρισκεται στο εξωτερικο του κυκλου κεντρου O(0,0) και ακτινας ρ = η πανω στον κυκλο αυτο. Εχουμε z - i > z + 1 z - i > z - (-1). Επομενως, η αποσταση του μιγαδικου z απ' τον i, ειναι μεγαλυτερη απ' την αποσταση του απ' τον μιγαδικο (- 1 + 0i). Αρα ο z θα βρισκεται στο ημιεπιπεδο που οριζεται απ' τη μεσοκαθετη του ΑΒ και απ'το σημειο Β, οπου Α(0, 1) και Β(-1, 0).

7 ( Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση ειναι διπλη ανισοτητα και περιεχει f(), f(g()), συνηθως στα ακραια μελη. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του τυπου της συναρτησης f. Σ κ ο π ο ς : Απ τη δοσμενη διπλη ανισοτητα να καταληξω σε: f() α και f() α. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Aν η δοσμενη ανισοτητα ειναι της μορφης Α Β Γ 1. Λυνουμε την Α Β ως προς f() η f(g()).. Λυνουμε την B Γ ως προς f() η f(g()). 3. Θετουμε = g() και λυνουμε ως προς το που υπαρχει στην g(). Δηλαδη αν g() = - 4 τοτε: = - 4 = + 4 4. Αντικαθιστουμε τo στη ανισωση που περιεχει f(g()), ωστε η f(g()) να μετατραπει σε f(). 5. Προκυπτει: f() α και f() α οποτε f() = α.

( Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς ) 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Aν για τη συναρτηση f : ισχυει : f() + f( - 1) +,, να βρεθει ο τυπος της. f() + (1) + f( - 1) + Για = + 1 ( + 1) + + 1 f( + 1-1) + ( + 1) + + 1 + + 1 f() + + f() + () Aπο τις (1) και () προκυπτει : f() = +,, που επαληθευει τη δοσμενη Αρα ο τυπος της συναρτησης f ειναι : f() = +, σχεση (για την ισοτητα). Ειναι : f() + f( - 1) +

9 ( Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση (συναρτησιακη) ειναι ανισοτητα και περιεχει f( + y), f(), f(y). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του τυπου της συναρτησης f. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι: f() α και f() α, ωστε f() = α. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Θετουμε = y = 0, οποτε προσδιοριζουμε το f(0).. Θετουμε y = - για να προκυψει το f(0). 3. Με τη βοηθεια των δοσμενων φτανουμε στο f() α και f() α, ωστε f() = α.

( Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς ) 10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω η συναρτηση f : για την οποια ισχυουν f() για καθε f( + y) f() + f(y) α. Να δειχτει οτι η C f διερχεται απ'το σημειο Ο(0,0). γ. Να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f. α. Ειναι f() (1) και f( + y) f() + f(y) () Για = 0 η (1) δινει : f(0) 0 f(0) = 0 Για = y = 0 η () δινει : f(0) f(0) + f(0) f(0) 0 β. Για = - η (1) δινει : f(- ) - (+) f(- ) + f() 0 f(- ) - f() Oμως η (1) : f() f(- ) = - f() f(0) = 0 Για y = - η () δινει : f(0) f() + f(- ) f(- ) - f() Δηλαδη η f ειναι περιττη. γ. Για = - η (1) δινει : f(- ) - f περιττη - f() - f() f() = Oμως η (1) : f() f() f() Δηλαδη το σημειο Ο(0,0) ανηκει στη Cf. β. Να δειχτει οτι η f ειναι περιττη.

11 ( O ρ ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Το οριο της συναρτησης f(), η παραστασης της, με α. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι τα ορια των ακραιων μελων της διπλης ανισοτητας, ειναι ισα. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Με αμεση χρηση του θεωρηματος (Κριτηριο παρεμβολης).. Με μετατροπη της δοσμενης διπλης ανισοτητας, ετσι ωστε το μεσαιο μελος της να ειναι η παρασταση της οποιας το οριο ζητουμε.

( O ρ ι α ) 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η συναρτηση f ειναι ορισμενη στο και για καθε ισχυει : 4 + ημ + 1 f() συν +. Να βρεθει το οριο : lim f() 0 Aν για καθε > 0 ειναι : 4 f() + 4, να βρεθουν : 4 4 f() - 8-4 Ειναι lim (4 + ημ + 1) = lim 4 + lim ημ + lim1 = 0 + 0 + 1 = 1 lim (συν + ) = lim συν + lim = 1 + 0 = 1 0 0 0 0 0 0 0 Οποτε, συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης : 0 Ειναι lim 4 = 4 4 = 4 = 8 4 και lim ( + 4) = 4 + 4 = 8 4 Οποτε, συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης : lim f() = 8 4 4 f() + 4 4-8 f() - 8-4 Για < 4 ειναι : 4-8 f() - 8-4 4-8 f() - 8 =1 1-4 -4-4 -4-4 Για > 4 ειναι : 4-8 f() - 8-4 4-8 f() - 8 =1 1-4 -4-4 -4-4 lim± 4 4-8 4( - )( + ) 4( - 4) 4 = lim± = lim± = =1 4 4 ( - 4)( + ) -4 + ( - 4)( + ) f() - 8 f() - 8 = lim+ =1 4 4-4 -4 Συμφωνα με το κρ. παρεμβολης : limf() - 8 =1 4-4 Aρα, τελικα : lim lim f() = 1 lim lim f()

13 ( O ρ ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Το οριο της συναρτησης f(), η παραστασης της, με. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι τα ορια των ακραιων μελων της διπλης ανισοτητας, ειναι ισα. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Με αμεση χρηση του θεωρηματος (Κριτηριο παρεμβολης).. Με μετατροπη της δοσμενης διπλης ανισοτητας, ετσι ωστε το μεσαιο μελος της να ειναι η παρασταση της οποιας το οριο ζητουμε.

( O ρ ι α ) 14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η συναρτηση f ειναι ορισμενη στο και για καθε ισχυει : -1 - f() - 1. +1 + Να βρεθει το οριο : lim f(). Οποτε, συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης : lim (f() - 1) = 1 lim f() = 1-1- 0 lim = lim = lim = =1 + 1+ 0 + 1+ 1 1 1-1 = 1-0 = 1 lim = lim = lim + 1 1 1 1+ 0 + 1+

15 ( O ρ ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα με τριγωνομετρικους αριθμους. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Το οριο της συναρτησης f(), η παραστασης της, με. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι τα ορια των ακραιων μελων της διπλης ανισοτητας, ειναι ισα. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Με αμεση χρηση του θεωρηματος (Κριτηριο παρεμβολης).. Με μετατροπη της δοσμενης διπλης ανισοτητας, ετσι ωστε το μεσαιο μελος της να ειναι η παρασταση της οποιας το οριο ζητουμε. Παρατηρηση: f() διαιρουμε τα μελη της διπλης ανισοτητας με a, oπου α ο μεγαλυτερος εκθετης της f() στη διπλη ανισοτητα. Στη περιπτωση ευρεσης του lim

( O ρ ι α ) 16 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται η συναρτηση f :, για την οποια ισχυουν : f 3 () + f () ημ 3, και lim - f() f() = lim = α, α *. + Να βρειτε τον αριθμο α. Εστω > 0. Διαιρουμε τα μελη της δοσμενης σχεσης με 3 > 0. 3 3 ημ f 3 () f () ημ 3 f() f() + + 3 3 ημ f() f() + 1 (1) ημ ημ 1 >0 1 1 =, με lim = 0 και απο κρ. παρεμβολης : lim = 0. + + Η (1) δινει για + : 3 α 0 ημ α (α + 1) lim α (α + 1) 0 α - 1 () + Εστω < 0. Διαιρουμε τα μελη της δοσμενης σχεσης με 3 < 0. ημ f() f() f 3 () f () ημ 3 +.. + 1 3 3 3 (3) ημ 1 <0 1 1 Ειναι : = -, με lim - = 0 και απο κριτηριο παρεμβολης : ημ = 0. lim Η (3) δινει για - : 3 α 0 ημ α (α + 1) lim α (α + 1) 0 α - 1 (4) Απο () και (4) προκυπτει : α = - 1. Ειναι : 3

17 ( O ρ ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα με «υποψια» ταυτοτητας στο μεσαιο μελος. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Το οριο της συναρτησης f(), η παραστασης της, με α. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι τα ορια των ακραιων μελων της διπλης ανισοτητας, ειναι ισα. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Μετασχηματιζουμε το μεσαιο μελος της διπλης ανισοτητας σε τετραγωνο αθροισματος η διαφορας.. Με αμεση χρηση του θεωρηματος (Κριτηριο παρεμβολης). Π α ρ α τ η ρ η σ η : Ειναι lim[f()] = lim f() = lim f(). α α α

( O ρ ι α ) 18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω f μια συναρτηση ορισμενη στο, που ικανοποιει τη σχεση : f () - f() + ημ ημ, (1). Να βρεθει το lim f(). 0 - ημ f () - f() 0 - ημ f () - f() + - ημ [f() - ] () Ομως lim f( - ημ ) = lim = 0 0 0 και απ το κριτηριο παρεμβολης και την () ειναι : 0 0 lim = 0 0 lim f() = lim lim f() = 0. 0 0 0 0 0 0 lim [f() - ] = 0 lim f() - = 0 lim(f() - ) = 0 lim f() - lim = 0 Aπ'την (1), για καθε, προκυπτει :

19 ( O ρ ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Aνισοτητα με «υποψια» ταυτοτητας στο ενα μελος. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Το οριο της συναρτησης f(), η παραστασης της, με α. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι το οριο του «μικρου» μελους (δεν περιεχει την f()) ισουται με + του «μεγαλου» μελους (δεν περιεχει την f()) ισουται με - A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Μετασχηματιζουμε την ανισοτητα, ωστε να «απομονωσουμε» την f() στο ενα μελος. Συνηθως το αλλο μελος ειναι κλασμα με οριο του παρονομαστη ισο με ±.. Αν lim f() = + α lim g() = + f() g() α lim f() = - α lim g() = - f() g() α

( O ρ ι α ) 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω f μια συναρτηση ορισμενη στο, που ικανοποιει τη σχεση : ( - 4 + 4)f() + 3,. Να βρεθει το lim f(). ( - 4 + 4)f() + 3 ( - ) f() + 3 f() Ειναι +3 lim ( - ) lim (+3) = 5 > 0 = lim (-) = 0 + Οποτε, λογω της (1) lim f() = + +3 (1) ( - ) Aπ'την δοσμενη σχεση, για καθε, προκυπτει :

1 ( Σ υ ν ε χ ε ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα με δοσμενη τη συνεχεια της συναρτησης f στη θεση = α. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Η τιμη της συναρτησης f(α). Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι υπαρχει το lim f(), και στη συνεχεια να το βρουμε. α Ετσι f(α) = lim f() αφου η f συνεχης στη θεση = α. α A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Διακρινουμε περιπτωσεις : =α <α >α Βοηθεια : 1. Με αμεση χρηση του θεωρηματος (Κριτηριο παρεμβολης).. Με μετατροπη της δοσμενης διπλης ανισοτητας, ετσι ωστε το μεσαιο μελος της να ειναι η παρασταση της οποιας το οριο ζητουμε.

( Σ υ ν ε χ ε ι α ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν η συναρτηση f ειναι συνεχης στο, να βρεθει η τιμη f() οταν για καθε 0 ισχυει : 8-4 ( - )f() -. Για = η σχεση γινεται : 0 0 f(4) 0 0 = 0, προφανης. Για > η σχεση γινεται : 8-4 - 8-4 - f() f() 1 lim+ lim+ f() 1 - - - - lim+ lim+ ( - )( + ) ( - ) ( - ) ( + ) lim+ f() 1 lim+ lim+ f() 1 lim+ - 4 ( - )( + ) 4 4 + ) lim+ f() 1 lim+ f() 1 4 4 lim+ f() 1 lim+ = 1 lim+ f() 1 4 + oποτε απ'το κριτηριο παρεμβολης ειναι: lim+ f() = 1 Ομοια, για < προκυπτει : lim- f() = 1 Η f ομως ειναι συνεχης στο, αρα ισχυει lim f() = f() f() = 1. lim+ ( - )( + )

3 ( Σ υ ν ε χ ε ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα η ανισοτητα με απολυτα και η θεση = α. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι συνεχης στη θεση = α. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι ισχυει lim f() = f(α). α A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Δειχνουμε οτι : f(α) = κ lim f() = κ α Βοηθεια: Στη περιπτωση απολυτων, χρησιμες ιδιοτητες : lim f() 0 lim f() = 0 α α lim f() = 0 lim f() = 0 α α Παρατηρηση: Στη περιπτωση συνθετης συναρτησης f(g()), θετουμε y = g().

( Σ υ ν ε χ ε ι α ) 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να δειχτει οτι η συναρτηση f ειναι συνεχης στο 0, οταν για καθε ισχυει : f(3-5) 3-7, 0 =. f(3 y+5, που γινεται: 3 y+5 y+5-5) 3-7 3 3 =y f(y) y - f() - (1) Για = η (1) δινει : f() = 0 Oμως lim f() lim - lim f() 0 lim f() = 0 lim f() = 0 Δηλαδη, lim f() = f() = 0 που σημαινει η f ειναι συνεχης στο o =. Θετουμε στη δοσμενη σχεση y = 3-5, οποτε =

5 ( Σ υ ν ε χ ε ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα η ανισοτητα με απολυτα (συναρτησιακη σχεση). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι συνεχης στο ℝ. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι ισχυει lim f() = f(α). α A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Θετουμε y = α στη δοσμενη σχεση.. Αν ειναι ανισοτητα με απολυτα, την μετασχηματιζουμε σε διπλη ανισοτητα. 3. Δειχνουμε, με τη βοηθεια του κριτηριου παρεμβολης, οτι : lim f() = f(α) α 4. Η παραπανω ισοτητα εξασφαλιζει το ζητουμενο.

( Σ υ ν ε χ ε ι α ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται η συναρτηση f : ℝ ℝ για την οποια ισχυει: 3 f() - f(y) y, για καθε, y ℝ. Να δειχτει οτι η συναρτηση f ειναι συνεχης στο ℝ. Θετοντας στην (1) οπου y = 0, προκυπτει 3 f() - f( 0) 0 f() - f( 0) 0 3 0 f() - f( 0) 0 3 3 Ομως - lim f() = f( 0 ) 0 που σημαινει οτι η f ειναι συνεχης για καθε 0 ℝ. lim - - 0 = - 0 = 0 κριτηριο 0 3 3 lim (f() - f( 0 )) = 0 lim f() - f( 0 ) = 0 παρεμβολης 0 0 lim - 0 = 0 = 0 0 3 3 Ειναι 3 f() - f(y) y (1)

7 ( Μ ο ν ο τ ο ν ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα η ανισοτητα με απολυτα (συναρτησιακη σχεση). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι αυξουσα (φθινουσα) στο ℝ. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι ισχυει 1 < f( 1) < f( ) [f( 1) > f( )] A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Θετουμε 1 < και βρισκουμε το προσημο του 1.. Μετασχηματιζουμε καταλληλα τη δοσμενη ανισοτητα ωστε να καταληξουμε f( 1) < f( ) (η f αυξουσα) f( 1) > f( ) (η f φθινουσα)

( Μ ο ν ο τ ο ν ι α ) 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται η συναρτηση f : ℝ ℝ για την οποια ισχυει: f( 1) - f( ) 1 -, για καθε 1, ℝ με 1. Να δειχτει οτι η συναρτηση h() = f() + ειναι αυξουσα στο ℝ. Για 1, ℝ με 1 < ειναι 1 - < 0 () Η (1) δινει ( ) f( 1) - f( ) 1 - f( 1 ) - f( ) f( 1 ) - f( ) 1-1 - f( 1 ) - f( ) - f( 1) - f( ) - ( 1 ) f( 1) - f( ) - 1 + 1 - f( 1) + 1 f( ) + h( 1) h( ) Η h() = f() + ειναι αυξουσα στο ℝ. Eτσι Ειναι f( 1) - f( ) 1 - (1)

9 ( B o l z a n o ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : H συνεχης συναρτηση f και διπλη ανισοτητα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Υπαρξη μιας τουλαχιστον ριζας της εξισωσης f() = 0 στο διαστημα [α, β]. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι: η συναρτηση f ειναι συνεχης στο διαστημα [α, β] f(α) f(β) < 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Μετασχηματιζουμε τη δοσμενη σχεση σε h() = 0.. Διακρινουμε περιπτωσεις : h(α) = 0 η h(β) = 0, που σημαινει οτι α η β ειναι ριζες. Δειχνουμε οτι : η συναρτηση h() ειναι συνεχης στο διαστημα [α, β]. h(α) h(β) < 0. Τοτε, απο θεωρημα Bolzano, υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα της εξισωσης h() = 0 στο διαστημα (α, β).

( B o l z a n o ) 30 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο [α, β] και ισχυει α f() β για καθε [α, β]. Nα δειχτει οτι η εξισωση f() = εχει μια τουλαχιστον ριζα στο [α, β].. Δινεται η συνεχης συναρτηση f :, για την οποια ισχυει : Να δειχτει οτι η C f τεμνει την ευθεια ε : y = σ'ενα τουλαχιστον σημειο με τετμημενη 0 (0,1). 1. Η δοσμενη σχεση δινει : f(α) - α 0 και f(β) - β 0. < f() < + 1, για καθε. Εστω h() = f() -. Αν f(α) - α > 0 και f(β) - β < 0 : h συνεχης στο [α,β] σαν αθροισμα συνεχων h(α) = f(α) - α > 0 h(β) = f(β) - β < 0 h(α) h(β) < 0 Θ. Bolzano υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα στο (α,β). Αν f(α) - α = 0 και f(β) - β = 0 : h(α) = 0 η h(β) = 0, που σημαινει οτι ριζες ειναι τα α η β. Ετσι τελικα, υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα στο [α, β].. Θεωρουμε τη συναρτηση h:[0,1] με h() = f() -. Απ 'τη δοσμενη ανισοτητα προκυπτει : - < f() - < + 1 - ( - ) < h() < ( - 1), για καθε. h συνεχης στο [0,1] Bolzano = 0 0 < h(0) < 1 h(0) > 0 = 1-1 < h(1) < 0 h(1) < 0 h(0)h(1) < 0 υπαρχει τουλαχιστον ενα 0 (0,1) : h( 0 ) = 0 f(0 ) = 0. Tοτε, διακρινουμε περιπτωσεις

31 ( Π α ρ α γ ω γ ο ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα με μεσαιο μελος τη συναρτηση f(). Z η τ ο υ μ ε ν ο : H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στη θεση 0. Σ κ ο π ο ς : Nα αποδειξουμε οτι: lim 0 f() - f( 0 ) (ορισμος παραγωγου). - 0 A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Βρισκουμε το f( 0), με την αντικατασταση = 0 στη δοσμενη ανισοτητα.. Διακρινουμε περιπτωσεις : < 0. > 0 και διαιρουμε με - 0 ολα τα μελη της διπλης ανισοτητας. f() - f( 0 ) 3. Δημιουργουμε στο μεσαιο μελος της διπλης ανισοτητας το - 0 4. Βρισκουμε το οριο των ακραιων μελων της διπλης ανισοτητας. 5. Με τη βοηθεια του κριτηριου παρεμβολης δειχνουμε το ζητουμενο.

( Π α ρ α γ ω γ ο ς ) 3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω η συναρτηση f που ειναι συνεχης στο και ισχυει : ημ - f() ημ +, για καθε. Να εξετασετε αν η f ειναι παραγωγισιμη στο 0 = 0. Για = 0 η δοσμενη σχεση γινεται : ημ0-0 f(0) ημ0 + 0 0 f(0) 0 f(0) = 0 (1) Ειναι ημ - ημ = lim - = 1-0 = 1 lim 0 0 lim ημ + = lim ημ + = 1 + 0 = 1 0 0 Για > 0, διαιρωντας με, η δοσμενη σχεση γινεται : ημ - f() ημ + ( ) f() lim+ =1 0 Για < 0, διαιρωντας με, η δοσμενη σχεση γινεται : ημ - f() ημ + ( ) f() lim+ =1 0 Δηλαδη, lim 0 f() = 1 (3) Ετσι lim 0 f() - f(0 ) f() - f(0) ( 1 ) f() - 0 f() ( 3 ) = lim = lim = lim =1 0 0-0 0-0 -0 Oποτε η f ειναι παραγωγισιμη στο 0 = 0. ()

33 ( R o l l e ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτητα με αρχικη της συναρτησης f(). Z η τ ο υ μ ε ν ο : H εξισωση f() = 0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο ℝ. Σ κ ο π ο ς : Nα αποδειξουμε οτι σ ενα υποσυνολο του ℝ, εστω (α, β), ειναι F(α) = F(β). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Δειχνουμε οτι η συναρτηση F ειναι συνεχης στο διαστημα [α, β] και παραγωγισιμη στο διαστημα (α, β).. Δειχνουμε οτι F(α) = F(β). 3. Απο θεωρημα Rolle η εξισωση F () = 0 η ισοδυναμα η f() = 0, εχει μια τουλαχιστον ριζα στο διαστημα (α, β). Παρατηρηση: Αν (f()) 0 τοτε ισχυει (f()) = 0 και ισοδυναμα f() = 0, αφου (f()) 0.

( R o l l e ) 34 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ α) Για = 0 η δοσμενη σχεση γινεται: αf(0) α ² + F ²(0) α ² + F ²(0) - αf(0) 0 [F(0) - α] ² 0 Oμως [F(0) - α] ² 0 (τετραγωνο), οποτε τελικα Ομοια Για = 1 η δοσμενη σχεση γινεται: αf(1) α ² + F ²(1) α ² + F ²(1) - αf(1) 0 [F(1) - α] ² 0 Oμως [F(1) - α] ² 0 (τετραγωνο), οποτε τελικα [F(1) - α] ² = 0 και F(1) = α. β) Θεωρουμε τη συναρτηση F στο διαστημα [0, 1] Ειναι συνεχης στο διαστημα [0, 1] Ειναι παραγωγισιμη στο διαστημα (0, 1) με F () = f() F(0) = F(1) απο προηγουμενο ερωτημα. Αρα απ το θεωρημα Rolle υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα ξ στο (0, 1) αρα και στο, για την εξισωση F () = 0. Δηλαδη, F (ξ) = 0 f(ξ) = 0 Aρα η εξισωση f() = 0 εχει τουλαχιστον μια ριζα στο. [F(0) - α] ² = 0 και F(0) = α. Εστω F μια αρχικη της συνεχους συναρτησης f : ℝ ℝ με την ιδιοτητα : αf( ²) α ² + F ²() για καθε ℝ, οπου α 0. Να δειξετε οτι α) F(0) = F(1) = α. β) Η εξισωση f() = 0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο ℝ.

35 ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτητα μεταξυ των τιμων f(a), f(β) της παραγωγισιμης συναρτησης f σε διαστημα [α, β]. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο τυπος της συναρτησης και f(α), f(β). Σ κ ο π ο ς : Να φτασουμε σε ισοτητα παραγωγων. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Απ το θεωρημα Μεσης Τιμης σε διαστημα [α, β] και τη δοσμενη σχεση προσδιοριζουμε της τιμες f(α), f(β) της συναρτησης. Απο ισοτητα παραγωγων βρισκουμε το τυπο της συναρτησης: Συγκεκριμενα ισχυει: Αν f () = g () τοτε f() = g() + c. Προσδιοριζουμε το c.

( Θ. Μ. Τ. ) 36 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω η παραγωγισιμη συναρτηση f : ℝ ℝ, για την οποια ισχυει: ( f ( ) - 1 ) ² f ( 0 )( 1 f ( 1 ) ) για καθε ℝ. Να υπολογισετε τους αριθμους f(0) και f(1). Να βρειτε το τυπο της f. Aπ το θεωρημα Μεσης Τιμης για την f στο [0,1], υπαρχει ξ, ωστε: f(1) - f(0) f'(ξ) = f(1) - f(0) (1) 1-0 Aπο τη σχεση της υποθεσης για = ξ και την (1), εχουμε: f'(ξ) = (f (ξ) - 1)² f(0)(1 - f(1)) (f(1) - f(0) - 1)² f(0) - f(0)f(1) f²(1) + f²(0) + 1 - f(1)f(0) - f(1) + f(0) f(0) - f(0)f(1) f²(1) + f²(0) + 1 - f(1) 0 (f(1) - 1)²+ f²(0) 0 (f(1) - 1)²+ f²(0) = 0 Δηλαδη f(1) = 1 και f(0) = 0. H δοσμενη σχεση, για f(1) = 1 και f(0) = 0, γινεται: (f () - 1)² 0 (1) Oμως (f () - 1)² 0 () σαν τετραγωνο, Τελικα απ τις (1), () (f () - 1)² = 0 και f () = 1 η f () = () και f() = + c (3) Για = 0 η (3) γινεται: f(0) = 0 + c 0 = 0 + c c = 0 Οποτε ο τυπος της f ειναι : f() = με ℝ. Ομως, (f(1) - 1)²+ f²(0) 0 σαν αθροισμα τετραγωνων, οποτε

37 ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση ειναι ανισοτητα απολυτων και περιεχει f(), f(y). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Aποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι f () η f (y) ειναι ιση με μηδεν, που απ τις συνεπειες του Θ.Μ.Τ. σημαινει οτι η f ειναι σταθερη. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Με τις ιδιοτητες απολυτων, μετατρεπουμε τη δοσμενη σχεση σε διπλη ανισοτητα, οπου το μεσαιο μελος περιεχει τις f(), f(y).. Βρισκουμε το οριο του μεσαιου μελους (με τη βοηθεια του κριτηριου παρεμβολης) με y η y. 3. Με τη βοηθεια του ορισμου της παραγωγου κα σε συνδιασμο με το οριο στη (), θα παρουμε f () = 0. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Απο συνεπειες Θ.Μ.Τ., αν f () = 0 τοτε f() = c.

( Θ. Μ. Τ. ) 38 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν για καθε,y ℝ, y ειναι f() - f(y) - y ³, να δειξετε οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη στο ℝ. f() - f(y) - y ³ f() - f(y) - y ² -y - - y ² f() - f(y) - y ² -y lim (- - y ) = lim - y = 0 y y f() - f(y) =0 y -y Ομως απ τον ορισμο της παραγωγου εχουμε f (y) = lim που σημαινει, συμφωνα με τις συνεπειες του θεωρηματος Μεσης Τιμης, οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη. f() - f(y) =0 y -y Eπομενως συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης ειναι lim Η δοσμενη σχεση γινεται:

39 ( F e r m a t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0 ωστε f (0) = 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

( F e r m a t ) 40 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Αν ισχυει : α + 1 με 0 < α 1, να αποδειξετε οτι α = e.. Eστω n,m θετικοι ακεραιοι ωστε (3n) (m) για καθε. Να δειξετε oτι : 3n = m. Για καθε και 0 < α 1, η δοσμενη σχεση γραφεται : α + 1 α - 1 (1) Θεωρουμε τη συναρτηση : f() = α - Παρατηρουμε οτι f(0) = 1. Δηλαδη, απο την (1), εχουμε οτι για καθε ισχυει f() f(0), που σημαινει πως η f παρουσιαζει ελαχιστο στο 0 = 0. με f'() = α lnα - 1. Επομενως, συμφωνα με το θ. Fermat, θα ισχυει : f'(0) = 0 α 0 lnα - 1 = 0 lnα = 1 lnα = lne α = e.. Θεωρουμε τη συναρτηση f με f() = (3n) ˣ - (m) ˣ, ℝ. Eιναι: f(0) = (3n)⁰ - (m)⁰ = 1 1 = 0 και f() = (3n)ˣ-(m)ˣ 0 f() f(0). Στο σημειο 0 η f παρουσιαζει ελαχιστο. Η f ειναι παραγωγισιμη στο ℝ, με f () = (3n)ˣ ln(3n) - (m)ˣ ln(m) Aπ το θεωρημα Fermat προκυπτει οτι: f'(0) = 0 (3n)⁰ ln(3n) - (m)⁰ ln(m) = 0 ln(3n) = ln(m) 3n = m Επισης, η f ειναι παραγωγισιμη στο 0 = 0, αφου ειναι παραγωγισιμη στο 1.

41 ( F e r m a t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα που περιεχει τη συναρτηση f και τον μιγαδικο αριθμο z. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικο τοπο της εικονας του μιγαδικου αριθμου z. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0 ωστε f (0) = 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

( F e r m a t ) 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θεωρουμε τη συναρτηση g με g() = e f() - 1 - z f(). Aπο την υποθεση εχουμε οτι g() 0, για καθε ℝ. Oμως g(1) = e f(1) - 1 - z f(1) = e 0-1 - z 0 = 1 1 = 0, οποτε ακροτατο στο σημειο ₀ = 1. Eπισης η συναρτηση g ειναι παραγωγισιμη με g () = e f() f () - z f (). Συμφωνα με το θεωρημα Fermat πρεπει: g'(1) = 0 e f(1) f (1) - z f (1) = 0 e 0f (1) - z f (1) = 0 f (1)(1 - z ) = 0 1 - z = 0 (αφου f (1) 0) z = 1 Η τελευταια σχεση σημαινει οτι ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του μιγαδικου αριθμου z στο επιπεδο, ειναι κυκλος με κεντρο Ο(0,0) και ακτινα ρ=1. g() g(1), για καθε ℝ που σημαινει οτι η συναρτηση g παρουσιαζει Δινεται η συναρτηση f παραγωγισιμη στο ℝ με f(1) = 0 και f (1) 0. Δινονται επισης οι μιγαδικοι αριθμοι z για τους οποιους ισχυει: e f() - 1 z f(), για καθε ℝ. Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των εικονων του μιγαδικου αριθμου z στο επιπεδο.

43 ( F e r m a t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση παραμετρου. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0 ωστε f (0) = 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

( F e r m a t ) 44 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να προσδιορισετε την τιμη της παραμετρου α, α ℝ και α > 00 αν για 014 014-1 (α - 01) 014-1 + (α + 01) -1 Η δοσμενη σχεση γινεται : (α - 01) 014-1 + (α + 01) 014-1 Θεωρουμε συναρτηση Η( ) = α - 01) 014-1 + (α + 01) 014-1 014-1 - 0 - με πεδιο ορισμου το ℝ, για την οποια ισχυει Η() 0 (1). Ομως Η(1) = 0, οποτε η (1) γινεται Η() Η(1) Αρα η συναρτηση Η παρουσιαζει ελαχιστη τιμη το 0 στη θεση = 1. Η συναρτηση Η παρουσιαζει στη θεση = 1 ολικο ελαχιστο. Η συναρτηση Η ειναι παραγωγισιμη στη θεση = 1 (ειναι παραγωγισιμη στο ℝ ) με H () = α - 01) 014-1 ln(α - 01)014 013 + (α + 01) 014-1 ln(α + 01)014 013 Oποτε για τη συναρτηση Η ισχυουν οι προυποθεσεις του θ. Fermat και Η (1) = 0 ln(α -01) 014 + ln(α + 01) 014 = 0 014 [ln(α - 01) + ln(α + 01)] = 0 ln(α - 01) + ln(α + 01) = 0 ln(α² - 01²) = ln1 α² - 01² = 1 α² = 01² + 1 α=- 01 + 1 (απορριπτεται) α=+ 01 + 1 + (α + 01) καθε ℝ ισχυει : (α - 01)

45 ( F e r m a t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα που περιεχει φυσικο αριθμο. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση παραμετρου. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0 ωστε f (0) = 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

46 ( F e r m a t ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν α > 0 και α ˣ ( α ν ) για καθε > 0 οπου ν ℕ*, να αποδειχτει οτι α = e. ν ν ν ν α Θεωρουμε τη συναρτηση f() = α -, > 0. ν Η f ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ). f(ν) = 0 οποτε λογω της (1) εχουμε f() f(ν) με > 0. Αρα Η f ειναι παραγωγισιμη στο ν. Το ν ειναι εσωτερικο σημειο του (0, + ). Το f(ν) ειναι τοπικο ελαχιστο της f. Οποτε απ το θεωρημα Fermat θα ειναι f (ν) = 0. Αλλα α f () = α ˣ lnα - ν ν ν-1 α ν Επομενως f (ν) = 0 α ν lnα - α ν = 0 lnα = 1 lnα = lne α = e α α H δοσμενη σχεση γινεται α α - 0 (1) για καθε > 0. ν ν

47 ( F e r m a t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα που περιεχει α, β, γ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Aποδειξη οτι οι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προoδου. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι οι β² = αγ. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

( F e r m a t ) 48 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν οι αριθμοι α, β, γ ειναι θετικοι και για κaθε ℝ ειναι (αβ) + β - + (βγ) 3 β. Να αποδειχτει oτι οι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προoδου. (αβ) + β - + (βγ) 3 β α + β - + γ 3 α + β - + γ - 3 0, ℝ. Θεωρουμε τη συναρτηση f() = α + β - + γ - 3, ℝ. Eιναι f() 0 = f(0) για καθε ℝ. Το f(0) ειναι ελαχιστο και πληρουνται ολες οι προυποθεσεις του θεωρ. Fermat. Οποτε Επομενως οι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου. f (0) = 0 lnα - lnβ + lnγ = 0 lnβ = lnα + lnγ lnβ = ln(α γ) β² = αγ Η δοσμενη ανισοτητα γινεται

49 ( A σ υ μ π τ ω τ η ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα μορφης g() f() h(). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Υπαρξη πλαγιας ασυμπτωτης. Σ κ ο π ο ς : Να χρησιμοποιησω κριτηριο παρεμβολης και να καταληξω στο lim [f() - (α + β)] = 0, ωστε η y = α + β να ειναι πλαγια ασυμπτωτη. ± A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Μετασχηματιζουμε τη δοσμενη ανισοτητα (αφαιρωντας μια απ τις g(), h() σε ολα τα μελη) εστω στη μορφη 0 f() - g() h() - g(). Δειχνουμε οτι το οριο lim (h() - g()) = 0 με τη βοηθεια του κριτηριου παρεμ ± βολης. 3. Τελικα απο lim [f() - (α + β)] = 0, η y = α + β ειναι πλαγια ασυμπτωτη. ±

( A σ υ μ π τ ω τ η ) 50 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για τη συναρτηση f : ισχυει : + 3 f() 3 + 3 + 1 για καθε *. Να εξεταστει αν η C f εχει πλαγια ασυμπτωτη. 3 + 3 + 1 3 + 3 + 1 + 3 f() 0 f() - ( + 3) - ( + 3) 3 + 3 + 1 - ( + 3) 0 f() - ( + 3) 3 + 3 + 1-3 - 3 1 0 f() - ( + 3) 0 f() ( + 3) 1 =0 + lim Συνεπως, απ'το κριτηριο παρεμβολης : lim f() - ( + 3) = 0 ± Οποτε η y = + 3 ειναι πλαγια ασυμπτωτη της C f στο ±. 1 =0 lim Η δοσμενη σχεση δινει

51 ( F e r m a t R o l l e ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα με ολοκληρωμα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Υπαρξη ξ (α, β), ωστε f (ξ) = 0. Σ κ ο π ο ς : Να ισχυουν οι προυποθεσεις του θεωρηματος Rolle. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχεση.. Ισχυει: F'() = ( h() g() f(t)dt)' = f(h()) h'() - f(g()) g'(). 3. Εφαρμοζουμε θεωρημα Fermat, προκειμενου να δειξουμε οτι υπαρχουν δυο ισες τιμες της συναρτησης f, εστω f(α) = f(β) 4. Εφαρμοζουμε θεωρημα Rolle στο διαστημα (α, β).

( F e r m a t R o l l e ) 5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f : για την οποια : +3 - f(t)dt - - 3, για καθε. Να βρειτε τη παραγωγο της συναρτησης g() = +3 - f(t)dt, Ειναι g'() = [ +3 - f(t)dt]' = ( + 3)'f( + 3) - ( - )'f( - ) = = f( + 3) - ( - 1)f( - ), Θεωρουμε την συναρτηση : h() = g() - + + 3 Ειναι h() 0 h(3) = 0-9 + 6 + 3 = 0 και h(-1) = 0-1- + 3 = 0 Δηλαδη h() h(3) = h(-1) Ετσι, συμφωνα με το θεωρημα Fermat, παιρνουμε h'(3) = h'(- 1) = 0 και f(6) = f() = - 1 Eπισης H f ειναι συνεχης στο [,6] H f ειναι παραγωγισιμη στο (,6) f(6) = f() Συμφωνα με θεωρημα Rolle υπαρχει ξ (,6) τετοιο ωστε, f '(ξ) = 0. Nα αποδειξετε οτι υπαρχει ξ (,6) τετοιο, ωστε f '(ξ) = 0.

53 ( F e r m a t 0 f ( t )d t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα με ολοκληρωμα 0 f(t) dt. Z η τ ο υ μ ε ν ο : H εξισωση της εφαπτομενης της C f στο σημειο Α( 0, f( 0)). Σ κ ο π ο ς : Να προσδιορισουμε τα : 0, f( 0), f ( 0). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

( F e r m a t 0 54 f ( t )d t ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f : με f'(0) = 1, για την οποια ισχυει : 0 f(t)dt e -, για καθε. Να βρειτε την εξισωση της εφαπτομενης της C f στο σημειο Α(0, f(0)). 0 f(t)dt e - Θεωρουμε την συναρτηση : h() = f(t)dt - e - με h'() = f() - e - + e - 0 Ειναι h() 0 h(0) = f(t)dt - 0 e - 0 0 0 h() h(0) = 0 = 0 και h'(0) = 0 Ετσι h'(0) = 0 f(0) - e 0 + 0 e 0 = 0 f(0) - 1 = 0 f(0) = 1 Απ'την υποθεση ειναι f '(0) = 1 Οποτε η εξισωση της εφαπτομενης της Cf στο σημειο Α(0, f(0)) ειναι y - f(0) = f'(0) ( - 0) y - 1 = 1 y = + 1 Ετσι, συμφωνα με το θεωρημα Fermat, η συναρτηση h εχει ολικο ελαχιστο Ειναι

55 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Μιγαδικος αριθμος. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας που περιεχει τον μιγαδικο z και τον συζυγη του. Σ κ ο π ο ς : Με τη βοηθεια των ιδιοτητων των μιγαδικων, να μετασχηματισουμε την δοσμενη ανισοτητα σε κατι αληθινο. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Αντικαθιστουμε στη δοσμενη ανισοτητα τους z = + yi, z = - yi.. Πραξεις ωστε να απλοποιηθει η διπλη ανισοτητα. 3. «Σπαμε» τη διπλη ανισοτητα σε δυο ανισοτητες 4. Δειχνουμε οτι καθε μια απ τις ανισοτητες αληθευει.

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) 56 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω ο μιγαδικoς z με z 0. Να δειξετε οτι : ο z + z ειναι πραγματικος z -. z +. z z z z Ειναι z z z z z z z z + = + = + = +. z z z z z z z z Αρα ο z z + z ειναι πραγματικος αφου ισουται με τον συζυγη του. z Ειναι ( + yi) + ( - yi) + y i + yi + + y i - yi = = = ( - yi) ( + yi) - y i z = + yi. g r ( - y ) = +y Eτσι : ( - y ) -y z -1 1 - + - +y +y z z z - - y - y 0 - -y -y +y που αληθευουν. y + y 0 y z z +z + = z z z z z

57 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Μ ο ν ο τ ο ν ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η συναρτηση f (αμεσα η εμμεσα). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας η λυση ανισωσης. Σ κ ο π ο ς : Να χρησιμοποιησουμε τις ισοδυναμες ανισοτητες της μονοτονιας. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Βρισκουμε τη μονοτονια της συναρτησης (αν δινεται) η της συναρτησης που δημιουργουμε απ την ανισοτητα προς αποδειξη. Χρησιμοποιουμε τις ισοδυναμιες της μονοτονιας συναρτησης.

Α π ο δ ε ι κ τ ε α 58 ( Μ ο ν ο τ ο ν ι α ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθει η ανισωση : f( + 1) < f( - 1) αν f() = β Nα αποδειχτει οτι : e α - e < ln β, αν 0 < α < β. α 5-0 5 Για να ειναι ορισμενη η f πρεπει :, δηλαδη A f = (0,5]. > 0 > 0 Η συναρτηση f 1 () = 5 - ειναι γ.φθινουσα (α = -1 < 0),αρα και η συναρτηση f () = 5 - ειναι γ.φθινουσα στο (0, 5]. Η συναρτηση f 3 () = ln ειναι γ.αυξουσα και η f 4 () = - ln, γ.φθινουσα. Οποτε η συναρτηση f() = 5 - - ln ειναι γ.φθινουσα, σαν αθροισμα γ.φθινουσων συναρτησεων στο (0,5]. f( + 1) < f( - 1) + 1 < - 1 > Αρα τελικα < 5 e α - e β < ln β e α - e β < lnβ - lnα e α + lnα < e β + lnβ (1) α Θεωρουμε τη συναρτηση g() = e + ln, με A g = (0,+ ). Η συναρτηση g 1 () = e ειναι γ.αυξουσα στο (0, + ). Η συναρτηση g () = ln ειναι γ.αυξουσα στο (0, + ). Οποτε η συναρτηση g() = e + ln ειναι γ.αυξουσα στο (0,+ ) σαν αθροισμα γ.αυξουσων συναρτησεων. Αρα α < β g(α) < g(β) e α + lnα < e β + lnβ e α - e β < lnβ - lnα e α - e β < ln β α Ειναι 5 - - ln.

59 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μορφη δοσμενης σχεσης: Ιδιοτητες της συναρτησης. Zητουμενο: Ανισοτητα μορφης f() g(). Σκοπος: Εφαρμογη θεωρηματος Θ.Μ.Τ.. Aντιμετωπιση: Θεωρουμε τη συναρτηση h() = f() g() στο διαστημα [ρ, ] η [, ρ], οπου ρ μια προφανης ριζα της εξισωσης h() = 0. Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης σ ενα απ τα πιο πανω διαστηματα. Θετω α < ξ < β, οπου (α, β) το συνολο απ οπου αντλει τιμες η μεταβλητη η χρησιμοποιουμε δοσμενη ανισοτικη σχεση. «Χτιζουμε» διαδοχικα απ την α < ξ < β, τη ζητουμενη ανισοτητα.

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) 60 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ π Να αποδειχτει οτι για καθε πραγματικο αριθμο (0, ), ισχυει : ημ e < e + 1. π Θεωρω τη συναρτηση h() = e ημ - e - 1, με πεδιο ορισμου Α = (0, ). h συνεχης στο [0, ] σαν συνθεση συνεχων συναρτησεων. h παραγωγισιμη στο (0, ) σαν συνθεση παραγωγισιμων συναρτησεων. Απο το θ. Μεσης Τιμης, υπαρχει ξ (0, ), τετοιο ωστε Ομως h'() = e ημ συν - e h'(ξ) = e ημξ e ημ - e - 1 συνξ - e = e ημξ συνξ - e () (1 ) Επισης ( ) 0 < συνξ < 1 0 < συνξ < 1 π ημξ ημξ ημξ συνξ e < e e συνξ - e < 0 0<ξ< < e1 0 < ημξ < 1 e >0 e ημ - e - 1 < 0 e ημ - e - 1 < 0 e ημ < e + 1. h() - h(0) e ημ - e - 1 - (e ημ0-0 e - 1) e ημ - e - 1-1 + 1 e ημ - e - 1 = = = (1) h'(ξ) = -0 Ειναι

61 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μορφη δοσμενης σχεσης: Ιδιοτητες της συναρτησης. Zητουμενο: Ανισοτητα μορφης f() f() g(). Σκοπος: Εφαρμογη θεωρηματος Θ.Μ.Τ.. Aντιμετωπιση: Mε πραξεις εμφανιζουμε στη θεση της f() το λογο f() - f(0) για το διαστη-0 μα [0, ]. Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης για το διαστημα [0, ]. Θετω α < ξ < β, οπου (α, β) το συνολο απ οπου αντλει τιμες η μεταβλητη η χρησιμοποιουμε δοσμενη ανισοτικη σχεση.

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να αποδειχτει οτι για καθε (0,1), ισχυει : 1+ < e < 1+e. Θεωρουμε τη συναρτηση f() = e και το διαστημα [0,] με (0,1). H f ειναι συνεχης στο [0, ] ως βασικη συνεχης συναρτηση. H f ειναι παραγωγισιμη στο [0, ], ως βασικη παραγωγισιμη στο, με f'() = e Επομενως ισχυει το θεωρημα Μεσης Τιμης για την f στο [0,]. f() - f(0) e -e0 ξ f'(ξ) = e = (1) -0-0 Ομως e -e0 e -1 0 < ξ < < 1 e < e < e 1 < e < e 1 < < e 1< <e -0 0 ξ 1 ξ < e -1 < e 1+ < e < 1+ e (1 ) Αρα υπαρχει ξ (0, ) με 0 < ξ <, τετοιο ωστε : e -e0 Απο τη ζητουμενη σχεση : 1 + < e < 1 + e < e - 1 < e 1 < <e -0

63 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μορφη δοσμενης σχεσης: Δοσμενη ανισοτητα της μορφης μ f () ν. Zητουμενο: Ανισοτητα μορφης κ f(β) λ. Σκοπος: Εφαρμογη θεωρηματος Θ.Μ.Τ.. Aντιμετωπιση: Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης για το διαστημα [α, β]. f(β) - f(α) Βρισκουμε f'(ξ) =. β-α Θετω μ < f (ξ) < ν, απ τη δοσμενη ανισοτητα. Με πραξεις... το ζητουμενο.

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) 64 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Aν για τη συναρτηση f ισχυουν : ειναι συνεχης στο [- 1, 4] f(- 1) = 3 για καθε (- 1, 4) ειναι - 3 f'() 7 Η f ειναι συνεχης στο [- 1,4] Η f ειναι παραγωγισιμη στο (- 1,4) αφου για καθε (- 1,4) υπαρχει η f'(), συμφωνα με την υποθεση. Επομενως ισχυει το θεωρημα Μεσης Τιμης για την f στο [- 1,4]. f'(ξ) = f(4) - f(- 1) f(4) - 3 = (1) 4 - (- 1) 5 Ομως απο την υποθεση εχουμε οτι για καθε (- 1,4) ειναι (1 ) - 3 f'() 7-3 f(4) - 3 7-15 f(4) - 3 35-1 f(4) 38 5 Αρα υπαρχει ξ (- 1,4), τετοιο ωστε : να αποδειχτει οτι για καθε (- 1, 4) : - 1 f(4) 38

65 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μορφη δοσμενης σχεσης: f(α) = f(β) = κ και f () λ, [α, β]. Zητουμενο: Ανισοτητα απολυτων που περιεχουν f(), f(y). Σκοπος: Εφαρμογη θεωρηματος Θ.Μ.Τ. (συναρτησιακη σχεση). Aντιμετωπιση: Διακρινουμε περιπτωσεις : =y <y. Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης για το διαστημα [, y]. f() - f(y) Υπαρχει ξ (, y) με f (ξ) =. -y Συνδυαζουμε με τη δοσμενη f () λ.

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) 66 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ α) Αν = y, τοτε η σχεση ισχυει σαν ισοτητα. Εστω < y. Απο το θεωρημα Μεσης Τιμης για την f στο [, y], θα υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ στο (, y), ωστε: f() - f(y) f() - f(y) f() - f(y) = f (ξ) -y -y - y f() - f(y) - y β) Απ το (α) ερωτημα εχουμε : f() - f(0) - 0 f() - f() (1) f() - f(1) - 1 f() (1 - ) - + f() - () Προσθετοντας κατα μελη τις (1) και () εχουμε: - + f() + f() + - - f() - 1 f() 1 f() 1 f (ξ) = Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f : [0, 1] ℝ, ωστε να ισχυουν : f(0) = f(1) = 0 και f () για καθε [0, 1]. Nα αποδειξετε οτι : α) f() - f(y) - y β) f() 1, για καθε [0, 1].

67 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μορφη δοσμενης σχεσης: Συναρτησιακη σχεση. Zητουμενο: Αποδειξη ανισοτητας με μεσαιο μελος λογαριθμικη συναρτηση και συναρτηση f() στα ακραια. Σκοπος: Εφαρμογη θεωρηματος Θ.Μ.Τ. αφου αντικαταστησουμε την f() (ευρεση τυπου της). Aντιμετωπιση: Βρισκουμε τον τυπο της συναρτησης f, αντικαθιστωντας καταλληλα τον στη δοσμενη συναρτησιακη σχεση. Αντικαθιστουμε την f() (απο τον τυπο της) στην προς αποδειξη ανισοτητα. Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης για το διαστημα [α, β]. Βοηθεια, οι ιδιοτητες λογαριθμων.

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) 68 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ () α) Στην (1) θετουμε οπου το - και προκυπτει : (1 ) ( - )f( - ) + f() = - ( - ) ( - f()) + f() = - ( - ) - ( - )f() + f() = ( - )f() + f() = ( - ) - ( - ) ( - 1) f() = ( - )(1 - ) f() = - - -1 β) Η () απ το (α) ερωτημα γινεται ισοδυναμα : -1 < ln < - 1 Αν 1 < <, θεωρουμε τη συναρτηση g() = ln στο [1, ] Η g ειναι συνεχης στο [1, ] και παραγωγισιμη στο (1, ) Απο το Θ.Μ.Τ. υπαρχει ξ (1, ) τετοιο ωστε : g() - g(1) ln - ln1 ln = = -1-1 -1 1 1 και επειδη g () = g (ξ) =. ξ g (ξ) = Αρα ln 1 = και ξ -1-1 > 0 ln -1 1 1 1 1 1 1 < ξ < 1 > > < < 1 < <1 < ln < - 1 ξ ξ -1 0 < < 1, εφαρμοζουμε Θ.Μ.Τ. για την g στο [, 1] και προκυπτει το ζητουμενο. 1 Αν για την συναρτηση f ισχυει : f() + f( - ) = (1), (0, 1) (1, ) α) Να βρειτε τον τυπο της f. 1 ( - 1) β) Να αποδειξετε οτι: - f() < ln < ( - ) f() ( - )

69 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( M o ν ο τ ο ν ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Πεδιο ορισμου της συναρτησης. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση προσημου της συναρτησης. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε την f (). Βρισκουμε τη μονοτονια για τα της ασκησης.

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( M o ν ο τ ο ν ι α ) 70 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να αποδειχτει η ανισωση : ln - 1, για > 0. Eιναι 0 1- f'() = (ln - + 1)' = - = Για < 1 η f ειναι γν. αυξουσα, οποτε f() < f(1) = 0 Για > 1 η f ειναι γν. φθινουσα, οποτε f() < f(1) = 0 Για = 1 ειναι f'(1) = 0 και f(1) = 0. Σε καθε περιπτωση, για > 0 τοτε : f() 0 ln - + 1 0 ln - 1. Προσημο f () 1 + + 0 - Θεωρουμε τη συναρτηση f() = ln - + 1.

71 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( M o ν ο τ ο ν ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Πεδιο ορισμου της συναρτησης f και το προσημο της δευτερης παραγωγου της. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση προσημου της συναρτησης. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Εξασφαλιζουμε τη μονοτονια της συναρτησης f απ τη δευτερη παραγωγο. Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με h(). Διακρινουμε περιπτωσεις (αν χρειαζεται) για τα της ασκησης. Βρισκουμε τη μονοτονια της συναρτησης h() σε καθε διαστημα. Με την ισοδυναμια ανισοτητων της μονοτονιας, καταληγουμε στο ζητουμενο.

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( M o ν ο τ ο ν ι α ) 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν για τη συναρτηση f : ειναι f(0) > 0 και f "() < 0, για καθε, f() να αποδειχτει οτι : f( ) >, για καθε 0. f() f() f > f > 0, για καθε 0 f() Θεωρουμε τη συναρτηση g : με g() = f, που ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο. Αφου f"() < 0, για καθε, η f ειναι γνησια φθινουσα στο. Για > 0 (1) < f' > f'() f' - f'() > 0 g'() > 0 για καθε. Συνεπως η g ειναι γνησια αυξουσα στο (0,+ ) και αν > 0 τοτε g() > g(0) = f(0) - Για < 0 f() f() f(0) f(0) = > 0 f > 0 f >. (1) > f' < f'() f' - f'() < 0 g'() < 0 για καθε. Συνεπως η g ειναι γνησια φθινουσα στο (-, 0) και αν < 0 τοτε g() > g(0) = f(0) - f(0) f(0) f() f() = > 0 f > 0 f >. Τελικα : f() f() f > f >, για καθε 0. f() f'() 1 g'() = f = f' - f'(), για καθε (1) ' = ' f' Η αποδεικτεα δινει :

73 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Α κ ρ ο τ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : O τυπος της συναρτησης f και αριθμος ακροτατων. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Πληθος ριζων της εξισωσης f () = 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Βρισκουμε την παραγωγο f (). Aναλογα με τον αριθμο των δοσμενων ακροτατων, απαιτουμε τοσες ριζες να εχει η εξισωση f () = 0. Συνηθως η f () ειναι τριωνυμο και το προσημο της διακρινουσας εξασφαλιζει το πληθος των ριζων.

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Α κ ρ ο τ α τ α ) 74 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν η συναρτηση f() = 3 + a + β + γ εχει δυο τοπικα ακροτατα, να δειχτει οτι α > 3β. Να δειχτει οτι η συναρτηση f() = α 3 + β + γ + δ με α 0 δεν εχει τοπικο Ειναι f'() = ( 3 + α + β + γ )' = 3 + α + β. Για να εχουμε δυο τ. ακροτατα πρεπει η εξισωση f'() = 0 η 3 + α + β = 0 να εχει : Δ > 0 (α) - 4 3 β > 0 4α - 1β > 0 4(α - 3β) > 0 α - 3β > 0 Ειναι f'() = (α 3 + β + γ + δ )' = 3α + β + γ. Για να μην εχουμε τ. ακροτατα πρεπει η εξισωση f'() = 0 η 3α + β + γ = 0 να εχει : Δ 0 (β) - 4 3α γ 0 4β - 1αγ 0 4(β - 3αγ) 0 β - 3αγ 0 β 3αγ α > 3β ακροτατο, αν β 3αγ.

75 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Α κ ρ ο τ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Πεδιο ορισμου της συναρτησης. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση ολικου ακροτατου. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε την παραγωγο f (). Βρισκουμε το ολικο ακροτατο (f (0) = 0, f (0) < 0 η f, f (0) > 0 η f ).

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Α κ ρ ο τ α τ α ) 76 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να δειξετε οτι : (1 - ) e 1, για καθε < 1. Θεωρουμε τη συναρτηση : f() = (1 - )e - 1. ( ) f '() = (1- )e - 1 ' = (1- )'e + (1- )(e )' = - e + (1- )e = - e f'() = 0 - e = 0 = 0 Αν < 0 τοτε f'() > 0 f γ.αυξουσα, ενω αν 0 < < 1 τοτε f'() < 0 f γ.φθινουσα Συμφωνα με τα παραπανω προκυπτει οτι στη θεση = 0 η f παρουσιαζει Aρα, ισχυει : f() 0 (1- )e - 1 0 (1 - )e 1 για καθε < 1. ολικο μεγιστο, το f(0) = (1-0)e 0-1 = 0. Θα δειξουμε οτι για καθε < 1 ειναι f() 0.

77 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Κ υ ρ τ ο τ η τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι συναρτησεις f, g. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Σχετικη θεση της C f (C g) και της εφαπτομενης σε σημειο της. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Εστω y = h() η εξισωση της εφαπτομενης της C f σε σημειο της Α. Αν η συναρτηση f ειναι κυρτη στο ℝ τοτε η C f ειναι ψηλοτερα απ την εφαπτομενη, δηλαδη f() h(). Αν η συναρτηση f ειναι κοιλη στο ℝ τοτε η C f ειναι χαμηλοτερα απ την εφαπτομενη, δηλαδη f() h(). Οι παραπανω ανισοτητες δινουν το ζητουμενο.

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Κ υ ρ τ ο τ η τ α ) 78 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ i) Df = ℝ, D g = (0, + ) f () = e στο ℝ f () = e > 0 g () = στο ℝ f κυρτη στο ℝ. ii) f(0) = e 0 = 1 και f (0) = e 0 = 1. Εφαπτομενη της Cf στο Α(0, 1) : y - f(0) = f (0)( 0) y - 1 = 1 ( - 0 ) y = 1 = 1. 1 Εφαπτομενη της Cg στο B(1, 0) : g(1) = ln1 = 0 και g (1) = y - g(1) = g (1)( - 1) y - 0 = 1 ( - 1 ) y = - 1 iii) α) Επειδη η f ειναι κυρτη στο ℝ, η Cf θα ειναι ψηλοτερα απο την εφαπτομενη στο Α, δηλ f() + 1 e + 1 (το ισον ισχυει οταν = 0) β) Επειδη η g ειναι κοιλη στο (0, + ), η Cg θα ειναι χαμηλοτερα απο την εφαπτομενη στο Β, δηλ g() -1 ln - 1 (το ισον ισχυει οταν = 1) 1 1 στο (0, + ) g () = - < 0 στο (0, + ) g κοιλη στο (0, + ) i) Να αποδειξετε οτι η συναρτηση f() = e ειναι κυρτη, ενω η g() = ln ειναι κοιλη. ii) Να βρειτε την εφαπτομενη της Cf στο σημειο Α(0, 1) και της Cg στο Β(1, 0). iii) Να αποδειξετε οτι α) e + 1, ℝ β) ln - 1, (0, + ) και να εξετασετε ποτε ισχυουν οι ισοτητες.

79 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Οι συναρτησεις f, g (οι τυποι τους, εμμεσα). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας της μορφης β α β f() d g() d η α β β f() d g() d. α α Σ κ ο π ο ς : Αποδειξη ανισωσης απ το προσημο της διαφορας f() - g(). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Δειχνουμε οτι οι συναρτησεις f, g ειναι συνεχεις στο [α, β]. Βρισκουμε το προσημο της διαφορας f() - g(). Ισχυει β " Αν f() g() και f, g συνεχεις για καθε [α, β], τοτε f() d α β α g() d ".

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) 80 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 1. Να αποδειχτει οτι : ( + 3-7) d. Να αποδειχτει οτι : ln d 1 1 5 (3-4 + 3) d ( - 1) d. f() = + 3-7 συνεχης στο σαν πολυωνυμικη, αρα και στο [,5]. g() = 3-4 + 3 συνεχης στο σαν πολυωνυμικη, αρα και στο [,5]. Ετσι f() - g() = + 3-7 - (3-4 + 3) = + 3-7 - 3 + 4-3 = - + 7-10 Δ = 49-40 = 9, = η = 5. Οποτε : - + 7-10 0 για < < 5. 5 5 f() - g() 0 f() g() f() d g() d 5 ( + 3-7) d 5 (3-4 + 3) d. Θεωρουμε τις συναρτησεις f() = ln και g() = - 1 με [1, ]. Αν h() = f() - g() = ln - + 1 για καθε [1, ], τοτε : h'() = (ln - + 1)' = 1 - ( )' - 1 = - 1 = - 1 = > 0. [1 < < ] Οποτε η h ειναι γνησιως αυξουσα στο [1, ]. Δηλαδη για 1 ισχυει : h() h(1) = 0 [h(1) = ln1-1 + 1 = 0-1 + 1 = 0] Αρα για καθε [1, ] ειναι : h() 0 f() - g() 0 f() g() ln - 1 και τελικα 1 ln d 1 ( - 1) d. Δηλαδη 1.

81 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η συναρτηση f (ο τυπος της, εμμεσα). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας της μορφης κ β α f() d λ. Σ κ ο π ο ς : Αποδειξη ανισωσης απ το πεδιο ορισμου της μεταβλητης. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Εστω [α,β] : Με λογικες πραξεις φερνουμε την ανισωση α β (αφου [α,β]) στη μορφη κ f() λ, οπου f() η συναρτηση του ολοκληρωματος. Ολοκληρωνουμε την προηγουμενη σχεση και προκυπτει: β α κ d β α f() d β α λ d κ(β - α) β α f() d λ(β - α).

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να αποδειξετε οτι : 3 4 1 ( + - 1) d 15 1 4 (1) 1 4 1 4 1 () Προσθετουμε κατα μελη τις (1) και () : + 6-1 + -1 6-1 1 + -1 5 Απο ολοκληρωση της τελευταιας : 4 1 4 4 4 1 d ( + - 1) d 5 d 1 (4-1) ( + - 1) d 5 (4-1) 3 1 4 1 ( + - 1) d 15 1 1 Eιναι

83 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η συναρτηση f (ο τυπος της, εμμεσα). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας της μορφης κ β α f() d λ. Σ κ ο π ο ς : Αποδειξη ανισωσης απ το μεγιστο και ελαχιστο συναρτησης. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Εστω [α,β] : Βρισκουμε το ολικο μεγιστο Μ και ολικο ελαχιστο m της συναρτησης. Χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα: " Αν m η ελαχιστη και Μ η μεγιστη τιμη συνεχους συναρτησης f για καθε [α, β], τοτε : m(β - α) β α f() d Μ(β - α) ".

Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) 84 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Nα αποδειχτει οτι : - 3 1. Να αποδειχτει οτι : 10 5 + 4 d 15 0 1 - e +1d 3e. 1. f() = + 4 f'() 0 +4 +4 f'() = ( + 4)' = +4 +4 +4 0 0 +4 0-4 Aρα η f ειναι γν. αυξουσα στο [- 4, + ), αρα και στο [0, 5]. Ετσι m = f(0) = 0 + 4 = 4 = και Μ = f(5) = 5 + 4 = 9 = 3 β β α α m(β - α) f() d Μ(β - α) (5-0) f() d 3(5-0) 10 β α f() d 15. Θεωρουμε τη συναρτηση f() = e +1. Tοτε : f '() = (e +1 )' = 'e +1 + (e +1 )' = e +1 + e +1 ( + 1)' = e +1 (1 + ). e +1 0 f'() = 0 e f(- ) = - e - +1 = - e -1 = - +1 (1 + ) = 0 1 + = 0 = - 1 e f(- 1) = - 1 e -1+1 = - 1 e0 = - 1 f(1) = 1 e 1+1 = e Αφου η f ειναι γν.φθινουσα στο [-,- 1] και γν.αυξουσα στο [- 1,1], τοτε για = - και = 1 η f εχει τ.μεγιστα τα -, e αντιστοιχα, ενω e για = - 1 εχει τ.ελαχιστο το - 1. Οποτε 1 (- 1)[1- (- )] e +1d e [1 - (- )] - 3-1 - e +1d 3e. Αρα