Λύση Θεμάτων Πιθανοτήτων-Στατιστικής (Φλεβάρης 17) Σειρά Α

Λύση Θεμάτων Πιθανοτήτων-Στατιστικής (Φλεβάρης 17) Σειρά Α Ζήτημα 1 ο : Στο μάθημα της Στατιστικής έρασαν ερισσότεροι αό φοιτητές. Ο διλανός ίνακας δίνει (σε κλάσεις) τα αοτελέσματα ενός μικρού δείγματος. Να υολογισθούν: (i) Η μέση τιμή ( x ) και η τυική αόκλιση (s) του δείγματος (με το μάτι αιτιολογημένα) και αλγεβρικά. (ii) Ένα διάστημα εμιστοσύνης 97% για τον μέσο όρο του ληθυσμού (Ω), εάν γνωρίζουμε ως η τυική αόκλιση του Ω είναι ίση με σ=,9 [Υόδειξη: Δίνεται για την Κανονική κατανομή ως P(<z<.17)=.485] Λύση: Δημιουργούμε τον ίνακα: Βαθμός fi fixi fixi Με τα αθροίσματα υολογίζουμε: k 1 41 5.5 6 143 786.5 x fix i 6. 465 i1 64 6.5 143 99.5 1 68 64 k 7.5 1 9 675 s f ix i x 6. 465 8.5 4 34 89 1 i1 1 63 63 Σύνολο 64 41 68. 84814 s s.. 84814 9985 Το διάστημα εμιστοσύνης για το μέσο όρο του ληθυσμού:, 9, 9 O 1,O x. 17, x. 17 6, 465. 17, 6, 465. 17 64 64 6, 1567, 6, 6558 Ζήτημα ο : Δημιουργούμε ένα καινούριο Lotto: Τοοθετούμε δύο κληρωτίδες με 49 μάλες και αό την κάθε μία βγάζουμε μία τριάδα (χωρίς εανάθεση ροφανώς). Η νικήτρια εξάδα είναι το σύνολο (χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά) των δύο τριάδων. Πόσες είναι οι διαφορετικές στήλες; Λύση: Αριθμός στηλών: 49 49 49! 3 3 3! 46! 1844 339. 443. 776

Ζήτημα 3 ο : Το κινητό τηλέφωνο SK- Ποσοστό (%) Ποσοστό (%) Προέλευση 17 κατασκευάζεται στην Κίνα, στη αραγωγής ελαττωματικών Σιγκαούρη και στην Ινδία. Το οσοστό Κίνα 4 8 των αραγόμενων συσκευών, καθώς και Σιγκαούρη 35 14 των συσκευών ου αρουσιάζουν κάοιο ελάττωμα δίνονται στον διλανό ίνακα. Να υολογισθούν οι ιθανότητες: Ινδία 5 1 Να αγοράσουμε ένα κινητό χωρίς κάοιο σοβαρό ελάττωμα. Να έχουμε αγοράσει ένα Κινέζικο κινητό, όταν αυτό δεν είχε κανένα ελάττωμα. Λύση: Ορίζουμε τα σύνολα: Β = <Αγοράζω ένα κινητό χωρίς κάοιο σοβαρό ελάττωμα> Α Κ = <Αγοράζω κινητό αό την Κίνα> Α Σ = <Αγοράζω κινητό αό τη Σιγκαούρη> Α Κ = <Αγοράζω κινητό αό την Ινδία> όου τα Α j είναι ασυμβίβαστα (δεν μορεί ένα κινητό να κατασκευάζεται σε δύο χώρες ταυτόχρονα), ενώ η ένωσή τους ισούται με το Ω (το σύνολο της αραγωγής. Υολογίζω τις ιθανότητες: P(Α Κ )=,4 Ρ(Α Σ )=,35 Ρ(Α Ι )=,5 Ρ(Β/Α Κ )=,9 Ρ(Β/Α Σ )=,86 Ρ(Β/Α Ι )=,9 οότε: P(B) P(A )* P(B/A )+P(A )* P(B/A )+P(A )* P(B/A )= και =,4,9+,35,86+,5,9=,894 P(A ) P(B/A ), 4, 9 P(A /B), 4116 P(B), 894

Λύση Θεμάτων Πιθανοτήτων-Στατιστικής (Φλεβάρης 17) Σειρά Β Ζήτημα 1 ο : Στο μάθημα της Στατιστικής έρασαν ερισσότεροι αό φοιτητές. Ο διλανός ίνακας δίνει (σε κλάσεις) τα αοτελέσματα ενός μικρού δείγματος. Να υολογισθούν: (i) Η μέση τιμή ( x ) και η τυική αόκλιση (s) του δείγματος (με το μάτι αιτιολογημένα) και αλγεβρικά. (ii) Ένα διάστημα εμιστοσύνης 98% για τον μέσο όρο του ληθυσμού (Ω), εάν γνωρίζουμε ως η τυική αόκλιση του Ω είναι ίση με σ=,91 [Υόδειξη: Δίνεται για την Κανονική κατανομή ως P(<z<.33)=.49] Λύση: Δημιουργούμε τον ίνακα: Βαθμός fi fixi fixi Με τα αθροίσματα υολογίζουμε: k 1 4 5.5 3 176 968 x fix i 6. 5 i1 64 6.5 13 845 1 55 64 k 7.5 8 6 45 s f ix i x 6. 5 8.5 4 34 89 1 i1 1 63 63 Σύνολο 64 4 55. 85397 s s.. 85397 98514 Το διάστημα εμιστοσύνης για το μέσο όρο του ληθυσμού:, 91, 91 O 1,O x. 33, x. 33 6, 5. 33, 6, 5. 33 64 64 5, 985, 6, 515 Ζήτημα ο : Δημιουργούμε ένα καινούριο Lotto: Τοοθετούμε τρεις κληρωτίδες με 49 μάλες και αό την κάθε μία βγάζουμε μία δυάδα (χωρίς εανάθεση ροφανώς). Η νικήτρια εξάδα είναι το σύνολο (χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά) των τριών δυάδων. Πόσες είναι οι διαφορετικές στήλες; Λύση: Αριθμός στηλών: 3 49 49 49 49!! 47! 3 1176 1. 66. 379. 776

Ζήτημα 3 ο : Το κινητό τηλέφωνο SK- Ποσοστό (%) Ποσοστό (%) Προέλευση 17 κατασκευάζεται στην Κίνα, στη αραγωγής ελαττωματικών Σιγκαούρη και στην Ινδία. Το οσοστό Κίνα 5 6 των αραγόμενων συσκευών, καθώς και Σιγκαούρη 3 16 των συσκευών ου αρουσιάζουν κάοιο ελάττωμα δίνονται στον διλανό ίνακα. Να υολογισθούν οι ιθανότητες: Ινδία 1 Να αγοράσουμε ένα κινητό χωρίς κάοιο σοβαρό ελάττωμα. Να έχουμε αγοράσει ένα Κινέζικο κινητό, όταν αυτό δεν είχε κανένα ελάττωμα. Λύση: Ορίζουμε τα σύνολα: Β = <Αγοράζω ένα κινητό χωρίς κάοιο σοβαρό ελάττωμα> Α Κ = <Αγοράζω κινητό αό την Κίνα> Α Σ = <Αγοράζω κινητό αό τη Σιγκαούρη> Α Κ = <Αγοράζω κινητό αό την Ινδία> όου τα Α j είναι ασυμβίβαστα (δεν μορεί ένα κινητό να κατασκευάζεται σε δύο χώρες ταυτόχρονα), ενώ η ένωσή τους ισούται με το Ω (το σύνολο της αραγωγής. Υολογίζω τις ιθανότητες: P(Α Κ )=,5 Ρ(Α Σ )=,3 Ρ(Α Ι )=, Ρ(Β/Α Κ )=,94 Ρ(Β/Α Σ )=,84 Ρ(Β/Α Ι )=,88 οότε: P(B) P(A ) P(B/A )+P(A ) P(B/A )+P(A ) P(B/A )= και =,5,94+,3,84+,,88=,898 P(A ) P(B/A ), 5, 94 P(A /B), 534 P(B), 898

Λύσεις των θεμάτων των Πιθανοτήτων (Σετέμβριος 17) Σειρά Α. Ζήτημα 1 ο : Δίνεται η συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας: 3 k 1 sin x εάν x f x αλλού και ζητούνται: Να δείξετε ως για να είναι συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας θα ρέει να ισχύει: k=1/ Να υολογίσετε την τιμή της Μαθηματικής Ελίδας με το μάτι (αιτιολογημένα) και αλγεβρικά. Να υολογίσετε την τιμή της Τυικής Αόκλισης με το μάτι (αιτιολογημένα) και αλγεβρικά. Να υολογίσετε την ιθανότητα του διαστήματος (, ) [Β. 1+++1] Λύση: 1. Για να είναι η f(x) συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας θα ρέει: f x dx 1 3 3 sin cos k 3 k 1 x dx k x x k k 1 1. Εκτίμηση με το μάτι για την Μαθηματική Ελίδα. Λόγω συμμετρίας θα βρίσκεται στο μέσον του διαστήματος στο οοίο η συνάρτηση υκνότητας είναι μεγαλύτερη του μηδενός: 3 ΕΧ Αλγεβρικός υολογισμός: Ε Χ xf x dx

3 3 3 1 1 x 1 ΕΧ x1 sin xdx xsin xdx 3 1 xcos x sin x 1 11 ΕΧ (1) 3. Εκτίμηση με το μάτι για την τυική αόκλιση. Ως γνωστόν ισχύει στην Κανονική Κατανομή (και ταιριάζει σε σημαντικό βαθμό σε συμμετρικές κατανομές) ως στο διάστημα (μ-σ, μ+σ) ανήκει το 95% του ληθυσμού (της ιθανότητας) μιας κατανομής. Άρα, στην ερίτωσή μας ροβλέουμε ως ροσεγγιστικά η τυική αόκλιση θα λησιάζει το 1/4 του συνολικού διαστήματος: 3 σχ 4 Αλγεβρικός υολογισμός: Χ Var x f x dx E X 3 3 3 x 3 1 1 1 Var Χ x 1 sin x dx sin x x dx 3 7 1 x cos x xsin x cos x 1 1 1 1 3 3 4 1. 8987 σ 1. 89 3. Χ P f x dx 1 1 P Χ 1 sin xdx x cos x 1 3 cos cos 1. 5437 3 87 1. 1357 () sin cos cos cos cos sin (1) sin cos cos xcos () x cos x xsinx sinxdx x cos x xsinx cos x c x x dx xd x x x x dx x x x c x x dx x d x x x x dx

Ζήτημα ο : Ελέγξαμε την αντοχή 64 δοκιμίων ενός εργοστασίου αραγωγής σκυροδέματος, των οοίων η ονομαστική αντοχή σε θλίψη είναι 3 Mpa. Ο διλανός ίνακας δίνει (σε κλάσεις) τα αοτελέσματα των μετρήσεων. Να υολογισθούν: Η μέση τιμή ( x ) και η τυική αόκλιση (s) του δείγματος Αντοχή f i 6 15 8 16 3 16 3 17 (με το μάτι αιτιολογημένα) και αλγεβρικά. Ένα διάστημα εμιστοσύνης 98% για τον μέσο όρο του ληθυσμού (Ω), εάν θεωρούμε ως η τυική αόκλιση του εργοστασίου ισούται με το s των 64 δοκιμίων. Με βάση τον κανονισμό, το εργοστάσιο οφείλει να αράγει σκυρόδεμα του οοίου ο μέσος όρος της αντοχής να είναι τέτοιος ώστε να υάρχει ιθανότητα,5 να βρεθεί ένα δείγμα κάτω αό την ονομαστική αντοχή των 3 Mpa. Να βρεθεί ο μέσος όρος αντοχής του σκυροδέματος ου ρέει να αράγει το εργοστάσιο για να καλύτει τον εριορισμό αυτόν. [Β. 1,5+1,5+1] Υόδειξη: Δίνεται για την Τυική Κανονική κατανομή ως: P(<z<.33)=.49 και Ρ(<z<1.96)=,475 Λύση: Δημιουργούμε τον ίνακα: Βαθμός fi fixi fixi Με τα αθροίσματα υολογίζουμε: k 1 186 6 15 39 114 x fix i 9. 94 i1 64 8 16 448 1544 1 5449 64 k 3 16 48 144 s f 9 94 ix i x. 3 17 544 1748 1 i1 1 63 63 Σύνολο 64 186 5449 5. 74 s s.. 5 74 5 Το διάστημα εμιστοσύνης για το μέσο όρο του ληθυσμού:. 5. 5 O 1,O x. 33, x. 33 9. 94. 33, 9. 94. 33 64 64 8. 438, 9. 75 Για να υάρχει ιθανότητα,5 να υάρξει σκυρόδεμα με αντοχή μικρότερη των 3 Mpa, θα ρέει ο μέσος όρος με τον οοίο ετοιμάζει το ροϊόν του το εργοστάσιο να είναι ίσο με: μ = 3 + 1,96σ =3 + 1,96s = 34,41 ράγμα ου γίνεται φανερό αό το διλανό γράφημα

Λύσεις των θεμάτων των Πιθανοτήτων (Σετέμβριος 17) Σειρά Β. Ζήτημα 1 ο : Δίνεται η συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας: k 1 cos x εάν x f x αλλού και ζητούνται: Να δείξετε ως για να είναι συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας θα ρέει να ισχύει: k=1/ Να υολογίσετε την τιμή της Μαθηματικής Ελίδας με το μάτι (αιτιολογημένα) και αλγεβρικά. Να υολογίσετε την τιμή της Τυικής Αόκλισης με το μάτι (αιτιολογημένα) και αλγεβρικά. Να υολογίσετε την ιθανότητα του διαστήματος (, ) [Β. 1+1,5+1,5+1] Λύση: 1. Για να είναι η f(x) συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας θα ρέει: f x dx 1 s sin k 1 co x dx k x x k 1 k 1. Εκτίμηση με το μάτι για την Μαθηματική Ελίδα. Λόγω συμμετρίας θα βρίσκεται στο μέσον του διαστήματος στο οοίο η συνάρτηση υκνότητας είναι μεγαλύτερη του μηδενός: ΕΧ Αλγεβρικός υολογισμός: Ε Χ xf x dx 1 1 x 1 ΕΧ 1 cos 1 xsin x cos x ΕΧ x x dx xcosxdx (3) sin cos cos cos cos sin (3) x x dx xd x x x x dx x x x c

3. Εκτίμηση με το μάτι για την τυική αόκλιση. Ως γνωστόν ισχύει στην Κανονική Κατανομή (και ταιριάζει σε σημαντικό βαθμό σε συμμετρικές κατανομές) ως στο διάστημα (μ-σ, μ+σ) ανήκει το 95% του ληθυσμού (της ιθανότητας) μιας κατανομής. Άρα, στην ερίτωσή μας ροβλέουμε ως ροσεγγιστικά η τυική αόκλιση θα λησιάζει το 1/4 του συνολικού διαστήματος: σχ 4 Αλγεβρικός υολογισμός: Χ Var x f x dx E X 3 1 1 x 1 Var x x dx x xdx 3 Χ 1 cos cos (4) 1 x sin x xcos x sin x 3 1 4 1. 8987 σ 1. 8987 1. 1357 3 3 3. Χ P f x dx 1 1 P Χ 1 cos xdx x sinx 1 sin sin. 463 Ζήτημα ο : Ελέγξαμε την αντοχή 49 δοκιμίων ενός εργοστασίου αραγωγής σκυροδέματος, των οοίων η ονομαστική αντοχή σε θλίψη είναι 3 Mpa. Ο διλανός ίνακας δίνει (σε κλάσεις) τα αοτελέσματα των μετρήσεων. Να υολογισθούν: Η μέση τιμή ( x ) και η τυική αόκλιση (s) του δείγματος Αντοχή f i 6 14 8 16 3 15 3 4 (με το μάτι αιτιολογημένα) και αλγεβρικά. Ένα διάστημα εμιστοσύνης 98% για τον μέσο όρο του ληθυσμού (Ω), εάν θεωρούμε ως η τυική αόκλιση του εργοστασίου ισούται με το s των 49 δοκιμίων. (4) sin cos cos sin cos sin x cos x dx x d sin x x sin x xsin x dx x x x x x dx x x x x x c

Με βάση τον κανονισμό, το εργοστάσιο οφείλει να αράγει σκυρόδεμα του οοίου ο μέσος όρος της αντοχής να είναι τέτοιος ώστε να υάρχει ιθανότητα,5 να βρεθεί ένα δείγμα κάτω αό την ονομαστική αντοχή των 3 Mpa. Να βρεθεί ο μέσος όρος αντοχής του σκυροδέματος ου ρέει να αράγει το εργοστάσιο για να καλύτει τον εριορισμό αυτόν. [Β. 1,5+1,5+1] Υόδειξη: Δίνεται για την Τυική Κανονική κατανομή ως: P(<z<.33)=.49 και Ρ(<z<1.96)=,475 Λύση: Δημιουργούμε τον ίνακα: Βαθμός fi fixi fixi Με τα αθροίσματα υολογίζουμε: k 1 139 6 14 364 9464 x fix i 8. 367 i1 49 8 16 448 1544 1 3964 49 k 3 15 45 135 s f 8 367 ix i x. 3 4 18 496 1 i1 1 48 48 Σύνολο 49 139 3964 3. 61 s s.. 3 61 1 96 Το διάστημα εμιστοσύνης για το μέσο όρο του ληθυσμού: 1. 9 1. 9 O 1,O x. 33, x. 33 8. 367. 33, 8. 367. 33 49 49 7. 814, 8. 91 Για να υάρχει ιθανότητα,5 να υάρξει σκυρόδεμα με αντοχή μικρότερη των 3 Mpa, θα ρέει ο μέσος όρος με τον οοίο ετοιμάζει το ροϊόν του το εργοστάσιο να είναι ίσο με: μ = 3 + 1,96σ =3 + 1,96s = 33,75 ράγμα ου γίνεται φανερό αό το διλανό γράφημα