1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. = 4 Να λύσετε το σύστηµα + = αλγεβρικά γραφικά = 4 = 4+ + = + = = 4+ 4 + + = = 4+ = = 4+ = = 4 = = = = 4 = 4 παριστάνει ευθεία ε Για = 0 = 4 Σηµείο Α(0, 4) Για = 0 = 4 Σηµείο B(4, 0) + = = + παριστάνει ευθεία ε Για = 0 = Σηµείο Γ(0, ) Για = 0 = Σηµείο (, 0) Η γραφική λύση του συστήµατος είναι το σηµείο τοµής Μ των ευθειών ε, ε O - -4 Α -6 Γ Μ Β 5 ε ε

. Να λύσετε τα συστήµατα = 7 8 + = 45 = 4 4+ = 8 = 7 8 + = 45 7 = 8 + = 45 7 = 8 7 + = 45 8 7 = 8 7+ 8= 60 7 = 8 5= 60 7 4 = 8 = 4 = = 4 = 4 4+ = 8 4 4= 6 4+ = 8 4 = 4+ = 8 ( ) 8 6 ( ) + = 6 = 0 = = 4 5

. Να λύσετε τα συστήµατα 5 + + + = 0 7 + 6 6 = 8 + = 4 4 + = 5 + + + = 0 7 + 6 6 = 8 7 5+ 4 + + 8= 0 + + 8= 48 7 + 4 = 5 = 8 () D = 7 4 = 8 = 9 D = 5 4 8 = 5 7 = 87 D = 7 5 8 = 6 0 =6 () (, ) = D, D D D = 87 6 (, ) 9 9 = (, 4) + = 4 4 + = 8 4= 48 6 + 9 8= 8+ = 46 + = 9 () D = 8 = 6 = D = 46 9 = 9 7 = 65 D = 8 46 9 = 7 46 = 6 () (, ) = D, D D D = 65 (, 6) = ( 5, )

4 4. Να λύσετε τα συστήµατα = = = + + = 0 = = = + = 6 = + + = 6 = + = 6 αδύνατο = + = + + = 0 + = 0 = + = = + 0= 0 = = = Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, τις (, ) = (, ) µε R

5 5. Να λύσετε τα συστήµατα µε τη µέθοδο των οριζουσών + = 7 5= 4 D = 5 (, ) = D, D = 8 + + = 0 D = (, ) = D, D = 8 + + = 0 = 0 = D = D D = 9 (, ) + = 8 + = = (, ) D = = 9 = D = D D = (, ) D = = (, ) 7 4 5 7 4 = 5 4 = 9 = 8 = 8 = 4 + = 8 = + 8 =

6 6. Να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων των παρακάτω συστηµάτων, χωρίς να τα λύσετε. 5= 4 = 40 + = i 6+ 7 = 00 4 6 = 80 9 = D = 5 6 7 = 4 + 0 = 44 0, άρα το σύστηµα έχει µία µόνο λύση D = 4 6 = + = 0, άρα το σύστηµα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις D = 40 80 6 = 40 + 40 = 0, D = 40 4 80 = 60 60 = 0 Άρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις i D = 9 D = = 9 + 9 = 0 Άρα το σύστηµα είναι αδύνατο = = 5 0 D = 9 = 6 + 99 = 05 0

7 7. Να λύσετε τα συστήµατα ( )+ = + ( + ) = ( + )+ 4 = 7 + ( ) = D= + = = 0 D = + = ( + ) ( ) = ( + ) = 0 = 0 D = = ( ) ( ) + = ( ) ( + ) + = ( ) + = + = 0 Άρα τo σύστηµα έχει άπειρες λύσεις Το σύστηµα + ( + ) = = ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) (, ) + +, R Άρα (, ) = ( )( ) D = + 4 = = 0 D = 7 4 = 7 7 4 = 7 0 Άρα το σύστηµα είναι αδύνατο

8 8. Να λύσετε τα συστήµατα ω= 5 ω= 5+ ω= ( ) ( ) ( ) ω= 5 ω= 5+ ω= 5 + ω= 4 +ω= +ω= =ω 5 ω= () () +6=0 =ω 5 ω= +=0 i + ω= + +ω= 5 5+ ω=6 ω= 5 ω= =0 ω= (0 ) (0 ) 5 ω= =0 ω= 0 6 0 4 5 ω= =0 ω= 9 8 9 ω= 7 =0 ω= 9 8 9+ (9 8) = 7 =0 ω= 9 8 9+ 8 6= 7 =0 ω= 9 8 7 = =0

9 ω= 9 8. = =0. ω = 5 = = 4 5 + ω= 4 +ω= +ω= 5 + ω= 4 = + ω +ω= 5(+ ω) + ω= 4 = + ω (+ ω) +ω= 0+ 5 5ω + ω= 4 = + ω 6+9 ω +ω= 4 ω= 6 = + ω 7 ω = 4 i + ω= + +ω= 5 5+ ω=6 7 ω= 7 ω= = + ω = + ω 7 ω= 4 = 4 + 4ω= 6 ++ ω= 0 5+ ω=6 = 6 + 4ω ++ ω= 0 5+ ω=6 = 6 + 4ω +(6 + 4 ω ) + ω= 0 5+(6 +4ω) ω=6 = 6 + 4ω + 4+ 8ω+ ω= 0 5+8 6+ω ω=6 = 6 + 4ω + 0 ω= +0ω= αδύνατο

0 = 6 + 4ω = 0ω+ = 6 (0ω+ ) + 4ω = 0ω+ = 6 0ω 4+ 4ω = 0ω+ = 6ω = 0ω+ Άρα (,, ω) = (0ω +, 6ω, ω) µε ω R

B Οµάδας. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε και ε του διπλανού σχήµατος Ποιο σύστηµα ορίζουν οι ε και ε και ποια είναι η λύση του συστήµατος; ε ε Έστω ε : =α +β Το σηµείο ( 4,0) ε 0=α 4+β Το σηµείο ( ) 0, ε O - β = 4α () =α 0 + β β = 4 H () = 4α α = Άρα ε : = + = + 4 + = 4 Οµοίως βρίσκουµε ε : = Το σύστηµα : + = 4 = Η λύση : (, ) = (, ). Ένα ξενοδοχείο έχει 6 δωµάτια, άλλα δίκλινα και άλλα τρίκλινα και συνολικά 68 κρεβάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωµάτια; Έστω το πλήθος των δίκλινων και το πλήθος των τρίκλινων δωµατίων. Τότε + = 6 + = 68 = 6 + = 68 = 6 + (6 ) = 68 = 6 + 78 = 68 = 6 = 0 = 6 = 0 = 6 = 0

. Σε έναν αγώνα το παιδικό εισιτήριο κοστίζει,5 και το εισιτήριο ενός ενήλικα 4. Τον αγώνα παρακολούθησαν 00 άτοµα και εισπράχτηκαν 5050. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι ενήλικες που παρακολούθησαν τον αγώνα. Έστω το πλήθος των παιδιών και το πλήθος των ενηλίκων. Τότε + = 00,5+ 4 = 5050 = 00,5+ 4 = 5050 = 00,5 + 4( 00 ) = 5050 = 00,5 + 8800 4 = 5050 = 00,5 = 750 = 00 = 500 = 700 = 500

4. Η αντίσταση R ενός σύρµατος ως συνάρτηση της θερµοκρασίας Τα µπορεί να βρεθεί µε τον τύπο R=αΤ+β. Αν στους 0 ο C η αντίσταση ήταν 0,4 Ω και στους 80 ο C ήταν 0,5 Ω, να βρείτε τα α, β. Η εξίσωση R=αΤ+β επαληθεύεται για Τ = 0, R = 0,4 0,4 = α.0+β () Η εξίσωση R=αΤ+β επαληθεύεται για Τ = 80, R = 0,5 0,5 = α.80 +β () Σύστηµα των (), (). 0α + β = 0,4 80α + β = 0,5 0α + β = 0,4 ( ) : 60α = 0, 0α + β = 0,4 α = 600 0α + β = 0,4 α = 600 0 + β = 0,4 600 α = 600 = 4 β 0 0 α = 600 β = 0 α = 600

4 5. Ένας χηµικός έχει δύο διαλύµατα υδροχλωρικού οξέως, το πρώτο έχει περιεκτικότητα 50% σε υδροχλωρικό οξύ και το δεύτερο έχει περιεκτικότητα 80% σε υδροχλωρικό οξύ. Ποια ποσότητα από κάθε διάλυµα πρέπει να αναµείξει ώστε να πάρει 00 ml διάλυµα περιεκτικότητας 68% σε υδροχλωρικό οξύ ; Έστω, οι ζητούµενες ποσότητες, αντίστοιχα Από το πρώτο παίρνει 50 00 Το νέο διάλυµα θα περιέχει 50 υδρ. οξύ και από το δεύτερο 80 00 00 + 80 υδρ.οξύ () 00 Η συνολική ποσότητα του νέου διαλύµατος είναι + = 00 και θέλουµε να είναι περιεκτικότητας 68% σε υδρ.οξύ. Άρα θα περιέχει 00 68 υδρ.οξύ () 00 Από τις (), () 50 00 + 80 00 50 + 80 = 6800 5 + 8 = 680 = 00 68 00 + = 00 5+ 8= 680 = 00 5+ 8= 680 = 00 5+ 8(00 ) = 680 = 00 5+ 800 8= 680 = 00 = 0 = 00 = 60 = 40 = 40

5 6. ίνονται οι ευθείες ε : + 4 = και ε : + = α, α R. Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των ε και ε. Υπάρχουν τιµές της παραµέτρου α για τις οποίες οι ευθείες τέµνονται; i Για ποιες τιµές της παραµέτρου α οι ευθείες είναι παράλληλες; + 4 = 4 = + = 4 + 4, άρα λ = 4 = + = α = + α = + α, άρα λ = Επειδή για κάθε α R είναι λ = λ, οι ευθείες συµπίπτουν ή είναι παράλληλες. Άρα δεν υπάρχουν τιµές της παραµέτρου α για τις οποίες οι ευθείες τέµνονται. i Πρέπει α 4 4α 6 α

6 7. Να βρείτε, για τις διάφορες τιµές του α R, τα κοινά σηµεία των ευθειών : ε : α + = α και ε : + α = ε : α = α και ε : + α = α + =α Σύστηµα των ε, ε : +α = D = α α = α = (α )(α + ) D = D = α α = α = (α )( α α = α α = α(α ) α + α + ) Όταν D 0, δηλαδή όταν (α )(α + ) 0 α 0 και α + 0 α και α, D D τότε το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση (, ) =, D D = α +α+, α α+ α+ Άρα οι ε, ε έχουν µοναδικό κοινό σηµείο το Όταν D = 0, δηλαδή όταν (α )(α + ) = 0 α = 0 ή α + = 0 α = ή α =, τότε το σύστηµα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. α +α+, α α+ α+ + = ) Για α =, το σύστηµα γίνεται + =. + = Οπότε οι ε, ε έχουν όλα τα σηµεία κοινά. (συµπίπτουν) ) Για α =, το σύστηµα γίνεται + = = = = = αδύνατο = Οπότε οι ε, ε δεν έχουν κοινό σηµείο, άρα είναι παράλληλες

7 Σύστηµα των ε, ε : D = α α = α =α +α = α + 0 για κάθε α R. Οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση για κάθε α R τη (, ) = D = α = α +, α D = α α = α α = 0 () (, ) = α +, 0 = (, 0). α + α + Άρα ε, ε έχουν µοναδικό κοινό σηµείο το (, 0) για κάθε α R. D, D D D ()

8 8. Να λύσετε τα συστήµατα : ( λ ) =, λ R 4 ( λ+ ) = D = λ 4 λ+ ( ) = ( ) ( ) ( ) λ + 8= λ + + 8= 9 λ µ + 5= 5 + µ+ = 5, µ R D = λ+ ( ) = λ 4= λ 5 D = λ 4 λ 4 = λ+ 4 = λ = ( ) D = 0 9 λ = 0 λ = 9 λ= ή λ= Όταν λ και λ δηλαδή όταν D 0, τότε το σύστηµα έχει D µοναδική λύση την = D = λ 5 9 λ, D λ = = D 9 λ Όταν λ= ή λ= δηλαδή όταν D= 0, τότε το σύστηµα είναι αδύνατο ή αόριστο.. αν µεν λ=, το σύστηµα γίνεται ( ) = = = = 4 ( + ) = 4 4= = το σύστηµα είναι αδύνατο. αν δε λ=, το σύστηµα γίνεται ( ) = 4 = 4 ( + ) = 4+ = το σύστηµα είναι πάλι αδύνατο. 4+ = 4+ = =

9 µ 5 D = µ+ D = 5 5 5 µ+ = µ 4 5 = µ 9 = (µ ) (µ + ) = 5µ + 0 5 = 5µ 5 = 5(µ ) D = µ 5 5 = 5µ 0 5 = 5µ 5 = 5(µ ) D = 0 µ 9 = 0 µ = 9 µ = ή µ = Όταν µ και µ δηλαδή όταν D 0, τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την D = = D 5( µ ) ( µ )( µ+ ) = 5 µ+ D = = D 5( µ ) ( µ )( µ+ ) = 5 µ+ Όταν µ= ή µ= δηλαδή όταν D= 0, τότε το σύστηµα είναι αδύνατο ή αόριστο.. αν µεν µ =, το σύστηµα γίνεται ( ) + 5= 5 + 5= 5 + ( + ) = 5 + 5 = 5 + 5 = 5 = 5 5 το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις τις (, ) = (5 5, ) µε R. αν δε µ=, το σύστηµα γίνεται ( ) ( ) + 5= 5 + + = 5 5+ 5= 5 = 5 + = = 5 = = 5 = 5 αδύνατο

0 9. Οι κύκλοι του διπλανού σχήµατος εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο και ισχύει ΟΟ = 6, ΟΟ = 5 και ΟΟ = 7. Να υπολογίσετε τις ακτίνες των τριών κύκλων. Έστω,, z οι ακτίνες των κύκλων. Τότε + = 6 () + z = 7 () z + = 5 () O z O z O () + () + () + + z = 8 + + z = 9 (4) (4) () z = (4) () = (4) () = 4 0. Στο διπλανό σχήµα έχουµε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τον εγγεγραµµένο του κύκλο που εφάπτεται των πλευρών στα σηµεία, Ε και Ζ. Να υπολογίσετε τα τµήµατα ΑΖ =, Β = και ΓΕ = z, συναρτήσει των πλευρών α, β και γ. Είναι Β = ΒΖ =, Γ = ΓΕ = z, ΑΕ = ΑΖ = + = γ ( ) + z = α ( ) z + = β ( ) () + () + () + + z = α+β+γ + + z = (α+β+γ ) (4) Β Ζ Α Ε z Γ (4) () z = (α+β+γ ) γ = (α + β γ) (4) () = (α+β+γ ) α = (β + γ α) (4) () = (α+β+γ ) β = (α + γ β)

. Ένας χηµικός έχει τρία διαλύµατα από το ίδιο οξύ. Το πρώτο περιέχει 50% οξύ, το δεύτερο 0% οξύ και το τρίτο 0% οξύ. Ο χηµικός θέλει να παρασκευάσει 5 lit διάλυµα περιεκτικότητας % σε οξύ, χρησιµοποιώντας και τα τρία διαλύµατα και µάλιστα η ποσότητα του πρώτου διαλύµατος να είναι διπλάσια από την ποσότητα του τρίτου διαλύµατος. Να βρείτε πόσα λίτρα από κάθε διάλυµα θα χρησιµοποιήσει. Έστω ότι θα χρησιµοποιήσει lit από το ο, lit από το ο και z lit από το ο. Τότε + + z = 5 () και = z () Το νέο διάλυµα θα περιέχει 50 00 + 0 00 + z 0 00 50 + 0 + 0z = 664 () lit οξύ = 5 00 (), (), () : + + z= 5 = z 50 + 0 + 0z= 664 z+ + z= 5 = z 50 z+ 0 + 0z= 664 = 5 z = z 0 z+ 0 = 664 = 5 z = z 0 z+ 0(5 z) = 664 = 5 z = z 0 z+ 50 0z= 664 = 5 z = z 00z = 44 = 5 z = z z =, 44 = 5, 44 =,88 z =, 44 = 7, 68 =,88 z =, 44

. Στα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών τριωνύµων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής = α + β + γ. Να βρείτε τα τριώνυµα αυτά. = f() K(, 4) = g() 4 = h() O - O O 4 K(, -) f (0) = β = α f () = γ= β= 4 α α +β +γ= γ= β= 4 α 4 α 8 α+ = γ= β= 4 α α= γ= β= 4 α= Άρα f() = 4 + g( ) = 0 β = α g() = 4 α +β +γ= β= α α +β +γ= 4 ( ) ( ) 0 α β+γ= 0 β= α α+β+γ= 4 α+ α+γ= 0 β= α α α+γ= 4 γ= α β= α α α= 4

γ= α β= α α= γ= β= α= Άρα g() = + + h (0) = 4 h () = 0 h (4) = 0 γ= 4 α +β +γ= α +β +γ= 0 4 4 0 γ= 4 4 α+ β+ 4 = 0 6α+ 4β+ 4= 0 γ= 4 β= 4 α 4 4 α+β+ = 0 γ= 4 β= α 4 α+β+ = 0 γ= 4 β= α 4 α α + = 0 γ= 4 β= α α= γ= 4 β= α= γ= 4 β= α= 0,5 Άρα h() = 0,5 + 4