ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ) ΟΡΙΣΜΟΣ (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις) Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση -, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν ( ) ( ), τότε Παρατηρήσεις Όταν μία συνάρτηση είναι -, λέμε ότι είναι αντιστρέψιμη, δηλαδή ορίζεται η αντίστροφη της συνάρτηση Αν μία συνάρτηση είναι -, τότε οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία τέμνει την γραφική της παράσταση το πολύ σε ένα σημείο Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι συνάρτηση - Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει Δηλαδή αν μία συνάρτηση είναι -, δεν είναι αναγκαστικά και γνησίως μονότονη ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι - υπάρχουν τρεις τρόποι: Με τον ορισμό : ξεκινάμε έστω και καταλήγουμε ( ) ( ) (ο τρόπος αυτός δεν ενδείκνυται για συναρτήσεις που έχουν προκύψει με πρόσθεση αφαίρεση πολλαπλασιασμό και διαίρεση βασικών συναρτήσεων, ΓΙΑΤΙ;) Με τον ορισμό : Υποθέτουμε ότι ( ) ( ) και καταλήγουμε, οπότε συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση είναι - Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη άρα και -
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΑΣΚΗΣΗ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) 4 είναι Λύση: ος τρόπος: (ΟΡΙΣΜΟΣ ) Καταρχήν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι Α=R Έστω με ( ) ( ) 4 4, άρα η συνάρτηση είναι - ος τρόπος: (Μονοτονία-ορισμό) Έστω, με τότε 4 4 ( ) ( ) ( άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα είναι και - 8() Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση e ( ) e είναι - στο e e Έστω, με ( ) ( ) ( e )( e ) e e ( e )( e) άρα η συνάρτηση είναι - Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι - Λύση: Μόνον με τον ο τρόπο: Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα άρα και
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση : A η οποία είναι - Ορίζουμε αντίστροφη συνάρτηση της και συμβολίζουμε - την συνάρτηση με πεδίο ορισμού (A) (το σύνολο τιμών της ) τέτοια ώστε σε κάθε y=() που ανήκει στο (A) να αντιστοιχεί το εα Δηλαδή ( y) Παρατηρήσεις: Το Πεδίο Ορισμού της είναι το Σύνολο Τιμών της και το Σύνολο Τιμών της είναι το Πεδίο Ορισμού της Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και συμμετρικές ως προς την ευθεία y= που διχοτομεί τις γωνίες είναι ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Oy και Oy ΜΙΑΣ Αποδεικνύουμε ότι η είναι συνάρτηση Θέτουμε () = y και λύνουμε ως προς Αντικαθιστούμε όπου ( y) και βρίσκουμε τον τύπο της αντίστροφης Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΤΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ: Εάν ν περιττός φυσικός αριθμός, τότε η συνάρτηση ()= ν είναι γνησίως αύξουσα στο άρα και Η αντίστροφη συνάρτηση είναι δίκλαδη:, όταν 0 y y και y, όταν y 0 y, y 0 Δηλαδή: () y Δηλαδή: yy, 0, 0 (), 0
Το πεδίο ορισμού καθώς και το σύνολο τιμών της και της είναι το Δηλαδή η αντίστροφη της () = είναι η, 0 () ( ), 0 Β ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΡΤΙΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Εάν ν άρτιος φυσικός αριθμός, τότε η συνάρτηση () = ν δεν είναι συνάρτηση - στο ευρύτερο πεδίο ορισμού τους το Μόνον αν περιορίσουμε το πεδίο ορισμού της η παραπάνω συνάρτηση έχει αντίστροφη, δηλαδή: Εάν 0 τότε Δηλαδή: με 0 ( ) y y με 0, οπότε ( y) y με y 0 παράδειγμα: Έστω ()= 4 με 0, να βρεθεί η αντίστροφη Η συνάρτηση είναι για 0 αφού είναι γνησίως αύξουσα για 0 Από την εξίσωση y = 4 λύνοντας ως προς προκύπτει: με y 0 4 y άρα ( y) 4 y με y 0 Μετατρέποντας την ανεξάρτητη μεταβλητή σε προκύπτει: 4 ( ) με 0
4 0 0 0 Εάν 0 τότε y με y 0, οπότε Δηλαδή: ( ) με 0 ( y) y με y 0 Παράδειγμα: Έστω ()= 4 με 0, να βρεθεί η αντίστροφη Η συνάρτηση είναι για 0 αφού είναι γν φθίνουσα για 0 Από την εξίσωση y = 4 λύνοντας ως προς προκύπτει: 4 y με y 0 άρα ( y) 4y με y 0 Μετατρέποντας την ανεξάρτητη μεταβλητή σε προκύπτει: 4 ( ) με 0
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΡΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση ( ) με 0 έχει αντίστροφη ( ), με 0 Παράδειγμα: Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης: ( ) με Λύση: Η συνάρτηση είναι (αποδεικνύεται και με τους τρεις τρόπους) θέτουμε y () και λύνουμε ως προς : y με y 0, υψώνουμε και τα δύο μέλη εις την τρίτη, αφού έχουμε πάρει το περιορισμό ως προς y y με y 0, άρα η αντίστροφη ( y) y, με y 0 y Δηλαδή: (), με 0 Το πεδίο ορισμού της ( ) είναι το A [, ) Το σύνολο τιμών της ( ) είναι ( A ) [0, ) Το πεδίο ορισμού της () είναι το [ 0, ) 4 0 0 0
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ Η συνάρτηση ( 0, ( ) e έχει πεδίο ορισμού το και σύνολο τιμών το ) είναι συνάρτηση αφού είναι γν αύξουσα στο άρα έχει αντίστροφη συνάρτηση: e lny με y 0, άρα η αντίστροφη: ( y) lny με y 0, y δηλαδή ( ) ln με πεδίο ορισμού το ( 0, ) και σύνολο τιμών το Παρατηρείστε ότι από τη γραφική παράσταση αποδεικνύεται ότι η γραφική παράσταση της εκθετικής ( ) e βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της ευθείας y = Δηλαδή: e για κάθε πραγματική τιμή του e,0 Παράδειγμα Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης ( ) ln( ) με Λύση: Η συνάρτηση είναι (αποδεικνύεται και με τους τρεις τρόπους) έστω ln( )ln( ) y y ye y e Οπότε η αντίστροφη () ye y με y, δηλαδή: () e, με (Να γράψετε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης και της αντίστροφής της) Η γραφική τους παράσταση είναι:
0 0 0 0
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις θεωρίας: (i) Έστω μια συνάρτηση : A Πότε λέγεται συνάρτηση ; (ii) Με ποιους τρόπους αποδεικνύουμε ότι μία συνάρτηση είναι ; (iii)να αναφέρεται ποιες από τις βασικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις ευρύτερο πεδίο ορισμού τους 7 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος:, στο (i) Μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της συνάρτησης η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση ως προς (ii) Μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν : Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη (iii) Μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της ακριβώς σε ένα σημείο (iv) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση " " (v) Αν μια συνάρτηση είναι, τότε προφανώς, είναι γνησίως μονότονη (vi) Έστω μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και η αντίστροφή της Τότε ισχύει: ( ( )), A ( ()), yyya " " (vii) Οι γραφικές παραστάσεις C και C συμμετρικές ως προς την ευθεία y ( ) y των συναρτήσεων και που διχοτομεί τις γωνίες Oy είναι και Oy 8 Αφού αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι -, να βρεθεί η αντίστροφη καθώς και το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της και : ) ( ) 4 ) ( ) ( ), με ) ( ) ( ), με 4) () ( ) 4, με ) () ( ) 4, με 6) ( ) 7) ( ) ( ) 8) () ( ) 9) () ( )4, με 4 0) () ( )4, με 4 ) () ( ) 4 ) ( ), με 0 ) ( ) 4,με 4 4) ( ), με ) ( ) με 6) ( ), με 0 7) ( ), με 8) ( ), με 9) () e, με 0) ( ) e 4, με ) () e 6, με ) ( ) ln( ),με
) ( ) ln( ), με 4) ( ) ln( e ), με e ) ( ) e, με 6) ( ), με 7) ( ), με 8) ( ) ln( ), με e 9) ( ) e, με 0) (), με ) ( ), με 0 ) () 4, με 0 ) ( ) 7, με 7 4) ( ) ee, με ) ( ) ln, με 0 e