Διαφορικόσ Λογιςμόσ Παράγωγοσ Εξίςωςη εφαπτομένησ όταν γνωρίζουμε το ςημείο επαφήσ 1 ε καθεμία από τισ επόμενεσ περιπτώςεισ να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ γραφικήσ παράςταςησ τησ ςτο ςημείο : α ςτο β ςτο γ ςτο δ { ε, ςτο ςτ, ςτο ζ, ςτο η ςτο 2 Δίνεται η ςυνάρτηςη: α Να βρείτε την εφαπτομένη τησ ςτο ςημείο τησ β Να αποδείξετε ότι η, εκτόσ από το Ν, έχει και άλλο κοινό ςημείο με τη 3 Δίνεται η ςυνάρτηςη Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ :
α το ςημείο που η τέμνει τον άξονα β το ςημείο τησ με τεταγμένη 2 υνδιαςτικά 4 Δίνεται ςυνάρτηςη { η οποία είναι παραγωγίςιμη ςτο πεδίο οριςμού τησ και η γραφική παράςταςη διέρχεται από το α Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ β Να βρείτε τισ τιμέσ των α και β γ Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ ςτο ςημείο δ Να βρείτε όλεσ τισ εφαπτομένεσ τησ που είναι παράλληλεσ ςτην ευθεία 5 Μια ςυνάρτηςη είναι ςυνεχήσ ςτο και α Να βρείτε τη τιμή β Να αποδείξετε ότι η παραγωγίζεται ςτο γ Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ ςτο ςημείο Εφαπτομένη Εξίςωςη εφαπτομένησ όταν γνωρίζουμε το ςημείο επαφήσ
6 ε καθεμία από τισ επόμενεσ περιπτώςεισ να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ γραφικήσ παράςταςησ τησ ςτο ςημείο : α ςτο β ςτο γ ςτο δ { ε, ςτο ςτ, ςτο ζ, ςτο η ςτο 7 Δίνεται η ςυνάρτηςη: α Να βρείτε την εφαπτομένη τησ ςτο ςημείο τησ β Να αποδείξετε ότι η, εκτόσ από το Ν, έχει και άλλο κοινό ςημείο με τη 8 Δίνεται η ςυνάρτηςη Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ : α το ςημείο που η τέμνει τον άξονα β το ςημείο τησ με τεταγμένη 2 υνδιαςτικά
9 Δίνεται ςυνάρτηςη { η οποία είναι παραγωγίςιμη ςτο πεδίο οριςμού τησ και η γραφική παράςταςη διέρχεται από το α Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ β Να βρείτε τισ τιμέσ των α και β γ Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ ςτο ςημείο δ Να βρείτε όλεσ τισ εφαπτομένεσ τησ που είναι παράλληλεσ ςτην ευθεία 10 Μια ςυνάρτηςη είναι ςυνεχήσ ςτο και α Να βρείτε τη τιμή β Να αποδείξετε ότι η παραγωγίζεται ςτο γ Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ ςτο ςημείο Θ.Rolle 1 Να εξετάςετε για ποιεσ από τισ παρακάτω ςυναρτήςεισ εφαρμόζεται το Θ.Rolle ςτο αντίςτοιχο διάςτημα α β γ
δ 2 Δίνεται ςυνάρτηςη. Να αποδείξετετ ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον, ώςτε η εφαπτομένη τησ ςτο ςημείο να είναι παράλληλη ςτον άξονα 3 Δίνεται η ςυνάρτηςη, όπου. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον τέτοιο ώςτε 4 Δίνεται η ςυνάρτηςη. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον τέτοιο ώςτε 5 Δίνεται η ςυνάρτηςη με. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον τέτοιο ώςτε 6 Δίνεται η ςυνάρτηςη, με. Να αποδείξετε ότι η εξίςωςη έχει μια τουλάχιςτον ρίζα ςτο διάςτημα 7 Δίνεται ςυνάρτηςη ( με. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώςτε η εφαπτομένη τησ ςτο ςημείο να είναι παράλληλη ςτον άξονα (θέμα εξετάςεων 8 Δίνεται η ςυνάρτηςη, όπου ςυνάρτηςη παραγωγίςιμη ςτο R και (. Να αποδείξετε ότι
υπάρχει ένα τουλάχιςτον: τέτοιο ώςτε. (θέμα εξετάςεων Ρίζα τησ εξίςωςη με γνωςτή την 9 Δίνεται η ςυνάρτηςη, με Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον τέτοιο ώςτε 10 Δίνεται η ςυνάρτηςη με για τα οποία ιςχύει. Να αποδείξετε ότι: α Η ικανοποιεί τισ προυποθέςεισ του Θ.Rolle ςτο διάςτημα β Τπάρχει ένα τουλάχιςτον τέτοιο ώςτε 11 Δίνεται ςυνάρτηςη δύο φορέσ παραγωγίςιμη για την οποία ιςχύει. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον τέτοιο, ώςτε 12 Να αποδείξετε ότι η εξίςωςη, όπου, έχει μια τουλάχιςτον λύςη ςτο 13 Δίνεται παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει:. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον τέτοιο ώςτε Rolle ςε βοηθητική ςυνάρτηςη
14 Δίνεται ςυνάρτηςη παραγωγίςιμη με. Να αποδείξετε ότι η εξίςωςη έχει δύο τουλάχιςτον ρίζεσ ςτο διάςτημα 15 Δίνεται ςυνάρτηςη παραγωγίςιμη. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώςτε: 16 Δίνεται ςυνάρτηςη παραγωγίςιμη με. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώςτε: Θ.Fermat Θεώρημα Fermat Κρίςιμα ςημεία 1 Να βρείτε τα κρίςιμα ςημεία και τισ πιθανέσ θέςεισ των τοπικών ακροτάτων των ςυναρτήςεων α { β { 2 Δίνεται η ςυνάρτηςη {. Να βρείτε α Σην παράγωγο τησ β Σα κρίςιμα ςημεία τησ 3 Να αποδείξετε ότι η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη η οποία ικανοποιεί για κάθε τη ςχέςη δεν έχει κρίςιμα ςημεία Η δεν έχει τοπικά ακρότατα
4 Να αποδείξετε ότι ςτισ παρακάτω περιπτώςεισ η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη δεν έχει τοπικά ακρότατα α, για κάθε β για κάθε 5 Αν η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη έχει την ιδιότητα: για κάθε να αποδείξετε ότι η δεν έχει τοπικά ακρότατα Εύρεςη παραμέτρων 6 Να βρείτε τισ τιμέσ των ώςτε η ςυνάρτηςη: να παρουςιάζει τοπικά ακρότατα ςτα ςημεία και Απο ανιςότητα ςε ιςότητα με Fermat 7 Αν για κάθε ιςχύει, να αποδείξετε ότι 8 Αν για κάθε να αποδείξετε ότι (Εξετάςεισ 2009 9 Θεωρούμε τη ςυνάρτηςη με όπου. α Να βρείτε το, ώςτε για κάθε β Να εξετάςετε αν η παραπάνω τιμή του είναι δεκτή υμπληρωματικέσ Αςκήςεισ