Modulații Digitale cur 4 Modulaţia combinată AK+PK (QAM) - Utilizarea indeendentă a modulaţiilor AK au PK entru M 8 fazori ar fi oibilă numai în canale de comunicaţii cu un raort emnal zgomot ridicat (la NR căzut creşte robabilitatea de eroare). - modulaţia combinată de amlitudine şi fază, AK+PK aigură erformanţe BER mai bune decât modulaţiile AK au PK. - emnalele modulate unt generate şi demodulate rin utilizarea modulaţiei de amlitudine în cuadratură, contelaţiile reectiv modulaţiile AK+PK unt denumite şi contelaţii, reectiv modulaţie, QAM. Exreia emnalului modulat AK+PK - A+PK modulaţie cu alt de amlitudine şi fază, în care amlitudinea şi faza emnalului urtător aarţin câte unui et finit de valori, A şi Φ. - valorile luate de cei doi arametri ai urtătorului rămân contante e durata unei erioade de imbol T, fiind dictate de combinaţia de biţi (multibitul) modulator tranmi în acea erioadă de imbol. - exreia emnalului QAM ete dată de relaţia (1), în care amlitudinea şi variaţia de fază în cea de-a -a erioadă de imbol au fot notate cu A şi Φ, V ete amlitudinea emnalului urtător, iar V r ete teniunea de referinţă a circuitului multilicator. - emnalul AK+PK oate fi exrimat ca: V t A t u t T V () t = A co ( ω t+φ ) u ( t T ) (1) QAM T = QAM () = co( ω + Φ ) T ( ) = = V V co T co in T in V r V = r = V V = I ut ( t T ) co in ω t Q ut t T ω t V r = V r = ( ω ) ( ω ) = A Φ u t T t A Φ u t T t = - emnalul (nefiltrat) e durata unei erioade de imbol oate fi u ub forma: VA co( Φ ) ut ( t T) co in in ω t V A Φ ut t T ω t MAQ () t = = = I co ω t Q in ω t - e baza relaţiei () imbolurile din alfabetul canalului ot fi rerezentate în coordonatele carteziene I şi Q, într-un item de axe ortogonale format de cele două emnale urtătoare, coinu, coniderat referinţă de fază şi inu, emnal în cuadratură. - coordonatele I şi Q nu unt indeendente, ci atifac relaţia: A = I + Q (4) - emnalele modulatoare ale modulației MAQ ot fi exrimate ub forma unui emnal comlex: c = I + jq = A co( Φ) ut ( t T ) + in ( Φ ) ( ) = ja ut t T (5) jφ = A ( co( Φ ) + jin ( Φ) ) ut ( t T ) = ( ) Ae ut t T - emnalul comlex c(t), (6), e numește emnalul comlex modulat AK+PK în banda de bază jφ ct () = Ae ut ( t T) (6) = - e baza relației (5) relația () oate fi recriă ca: V V () t = I co( ω t) Q in ( ω t) = QAM = = V V V jφ jω t =R e( I + jq) co( ω t) + j in ( ω t) =Re ( Ae ut ( t T )) e = = j t - în relația (7) emnalul comlex Ve ω e numește urtătorul comlex. () () (7) 1
Modulații Digitale cur 4 Tiuri de contelaţii de emnale AK+PK. Parametrii contelaţiilor - contelaţia ete formată din mulţimea combinaţiilor de fază şi amlitudine (A Φ ) utilizate, reectiv din regula de aociere a cuvintelor binare de biţi la combinaţiile (A Φ ). Elementele mulţimii cu combinaţiile (A Φ ) unt numite şi fazori. Contelaţia utilizată entru o tranmiie cu biţi e imbol trebuie ă fie formată din M= fazori. - claificarea contelaţiilor e oate face duă modul de diunere a fazorilor. - cele mai utilizate tiuri de contelaţii unt rezentate în Figura 1, A ete unitatea elementară a amlitudinii celor două emnale modulatoare I şi Q. - exită două tiuri de contelaţii circulare, de ti I şi II (a. şi b.), contelaţii ătrate, c. şi contelaţii în cruce, d. în Figura 1. Q A Q A A A -A -A A A I -A -A A A I -A -A -A -A a) circulară ti I b) circulară ti II Q A A -A -A A A I -A -A c) ătrată d) în cruce d) 8QAM-circular e) 8QAM tea Figura 1 Princialele tiuri de contelaţii QAM - ditanţa euclidiană dintre doi fazori, f i şi f j, e obţine cu relaţia: { } d f, f = f f = I I + Q Q i j i, j 1,.., M (8) E i j i j i j i j - Parametrii contelaţiilor de emnale unt: 1. Numărul de fazori ai contelaţiei M.. Numărul de biţi/imbol, care indică numărul biţilor tranortaţi de un fazor într-o erioadă de imbol. Între cele două mărimi exită relaţia: M = (9)
Modulații Digitale cur 4 - debitul binar D al tranmiiei, în funcţie de viteza telegrafică v t, care ete numeric egală cu frecvenţa de imbol f :. Puterea medie a fazorilor din contelaţie : D = v (1) biti t imb biti imb M M ( + ) P, I Q = 1 = 1 Pm = = M M 4. Puterea de vârf a fazorilor contelaţiei (1) trebuie ă fie cât mai mică, entru o P m imuă. P v = max ( P ), { 1,, M} 5. Factorul PAPR - raortul între uterea de vârf şi cea medie - trebuie ă fie cât mai aroiat de unitate entru a reduce nivelul ditoriunilor neliniare introdue de amlificatoarele finale de radiofrecvenţă. Ete exrimat ub formă logaritmică: P V PAPR = 1 lg (1) Pm [ db] 6. Ditanţa euclidiană minimă între fazorii contelaţiei Δ, definită de: Δ = min, de( fi f j) { M} i, j 1,, i j - Δ - influenţează robabilitatea de eroare de imbol. Dar mărirea Δ oate fi realizată doar în limitele imue de ătrarea unei valori accetabile a PAPR şi a unei valori imue a uterii medii P m valoarea lui Δ - comromi între o valoare mare, imuă de căderea robabilității de eroare, şi o valoare mai reduă, imuă de o valoare reduă a PAPR. - valoarea PAPR, entru P m şi Δ imue, deinde şi de forma contelaţiei. 7. Factorul de eficienţă ectrală β w, rerezintă raortul între debitul binar al tranmiiei şi lărgimea de bandă ocuată de emnalul modulat filtrat (15). - deoarece emnalele modulate AK+PK unt filtrate cu o caracteritică (R)RC cu factorul de exce de bandă α, lărgimea de bandă ocuată ete imilară cu cea a emnalelor PK. Factorul β w al tranmiiilor QAM e calculează cu relaţia. D bit/ βw = (15) LB Hz vt bit / βw = = f ( 1+ α) 1+ α Hz (16) 8. Factorul de ucetibilitate la erturbaţii - (17), ete foloit [frie], ca o măură calitativă a robuteţii unei contelaţii faţă de erturbaţiile şi ditoriunile canalului. O contelaţie ete cu atât mai uţin enibilă la erturbaţii, cu cât valoarea acetui factor ete mai mică. P = m (17) Δ Definirea contelaţiilor AK+PK - din () fazorii unt definiţi de coordonatele I şi Q. - fiecare din cele două urtătoare în cuadratură ete modulată AK (modulaţie cu alt de amlitudine) o entru a aigura BLD-P (ditribuţia otimă a uterii), coordonatele fazorilor trebuie ă aibă medie nulă - modul de generare a coordonatelor ete ecific fiecărui ti de contelaţie menţionat mai u. - entru o contelaţie ătrată, numărul de biţi/imbol trebuie ă fie ar, iar între numărul de fazori şi numărul de biţi/imbol exită relaţia: M L = = = (11) (1) (14) (18)
Modulații Digitale cur 4 - entru o contelaţie ătrată, numărul de nivele e fiecare axă (I au Q) trebuie ă fie: L= M = (19) - modul de generare a unor nivele imetrice cu earaţia A, entru a obţine L nivele de medie nulă: I i = i + 1 L A i =,1,, L 1 I I I Q i = i + 1 L A i =,1,, L 1 Q Q Q - alicând () e fiecare axă, coordonatele fazorilor unei contelaţii ătrate unt erechile (I, Q ), adică elementele roduului cartezian {I (i I ) x Q (i Q )}. - ditanţa euclidiană minimă între fazorii unei contelaţii ătrate ete: Δ = A (1) - P m a emnalului modulat cu fazorii unei contelaţii ătrate ete uma uterilor medii (egale între ele) ale celor două emnale modulate e urtătoarele în cuadratură (), unde - numărul de biţi/imbol, A amlitudinea emnalelor urtătoare, V r - valoarea teniunii de referinţă a circuitului multilicator. V r A= () A ( L 1) A A ( 1) P = P + P = = () m I Q - P v a emnalului modulat e emnalele urtătoare ete: v A A max max max 1 A= P = I + Q = I = A - raortul P v /P m şi PAPR ale emnalelor modulate cu fazorii unei contelaţii ătrate unt: 1 P PAPR 1lg v = 1lg = P m + 1 - (4) arată că P v /P m (PAPR) creşte cu creşterea lui, de la 1,8 (,55 db) entru = 4 (16 QAM) ână la (4,77 db), entru. - cele mai utilizate contelaţii ătrate unt 16-QAM, I max = Q max = +/-A, 64-QAM, I max = Q max = +/-7A, 56-QAM, I max = Q max = +/-15A şi 14-QAM, având I max = Q max = +/-1A. - contelaţiile în cruce - cro e obţin din contelaţii ătrate care au un număr M de fazori din care e elimină un număr P de fazori aflaţi în cele atru colţuri, entru a e obţine numărul de fazori M, care nu ete ătrat erfect, dar ete o utere imară a lui - ditanţa minimă între doi fazori va fi: Δ = A (5) - cele mai utilizate contelaţii în cruce unt -QAM, I max = Q max = +/-5A şi 18-QAM, I max = Q max = +/-9A. - P v şi P m ale emnalelor modulate cu contelaţii în cruce e calculează utilizând (1) şi (11). - tabelul 1 rezintă caracteriticile contelaţiilor QAM ătrate şi în cruce, M 56 M-QAM 4 8-circular 8-tea 16 64 18 56 -bit/imb. 4 5 6 7 8 P v,5 A 5 A 5 A 9 A 8,5 A 49 A 4,5 A 5 A P m,5 A 5 A A 5 A 5 A 1 A,5 A 85 A PAPR [db].1,6,,7, 4, Δ A A A A A A A A,5 1,5.75 1,5,5 5,5 1,5 1,5 Tabel 1 caracteriticile contelaţiilor QAM - Pentru comaraţie, tabelul conţine şi arametrii contelaţiei QPK (DPK-A4). () (4) 4
Modulații Digitale cur 4 Comentarii: - reartizarea fazorilor în contelaţiile în cruce şi modul de calcul al coordonatelor acetora, urmăreşte reducea P m şi P v la valori comarabile cu cele ale contelaţiei ătrate imediat inferioare, cu condiţia foloirii unor coordonate întregi, entru a utea încadra nivelul de utere al emnalului modulat în limitele imue de canalele de tranmiie, iar entru canalele radio entru a aigura un factor PAPR cât mai redu oibil. - îndelinirea acetei cerinţe conduce la o Δ mai mică de ori decât cea a contelaţiilor are, ceea ce măreşte ucetibilitatea la erori a tranmiiilor ce utilizează contelaţiile în cruce de aroae ori, comarativ cu contelaţiile ătrate imediat inferioare. - modulaţia QPK are un factor PAPR şi o ucetibilitate la erori mult mai căzute decât cele ale modulaţiilor QAM mult mai adecvată unor canale radio de labă calitate aceata înă cu reţul căderii a debitului. Alocarea multibit-fazor (bit-maing) Alocarea în conformitate cu codul Gray - alocarea (maarea) multibiţilor la fazori în conformitate cu codul Gray face ca multibiţii alocaţi la doi fazori adiacenţi ă difere doar rintr-un ingur bit, vezi Figura entru contelaţia ătrată 16-QAM. 4 1 11 1 Q/A 1-1 - - 1 11 111 11 1 1111 1 11 111 c 1 c c c 4 11 111 11-4 -4 - - -1 1 4 I/A Figura Maarea Gray erfectă a cuadribiţilor e 16-QAM - ştiind că cele mai robabile erori de imbol contau în înlocuirea unui imbol cu unul dintre imbolurile învecinate BER (datorată erturbaţiilor) cade emnificativ dacă e utilizează maarea duă aceată regulă. - contelaţiile ătrate ermit o maare erfectă de ti Gray. - contelaţiile în cruce şi cele circulare de tiul II nu ermit maarea erfectă de ti Gray în acete cazuri media numărului de erori de bit, la eronarea unui fazor în cei învecinaţi, ete cu ceva mai mare decât 1. - entru contelaţiile care trebuie demodulate cu metoda QAM, circuitul de recuerare al urtătorului local oate introduce defazaje contante de 9º (valabil şi entru contelaţiile A+PK) - receţionarea unui fazor rotit cu 9º conduce la demodularea unui multibit ce oate avea -1 biţi diferiţi de cei emişi - exemlu: în fig. rotirea cu 9º a fazorului (, -1) obţinerea lui (1, ) trei biţi diferiţi fată de ai fazorului corect. - efectul acetei rotaţii ete creşterea BER entru acelaşi NR - entru comenarea acetui neajun e foloec așa-numitele contelații invariante la rotații de 9 - indiferent de eronarea fazorului demodulat datorată numai unei rotaţii de 9º, biţii demodulaţi vor fi cei ai fazorului emi, dacă e neglijează erorile introdue de canal şi de celelalte relucrări din emiţător şi recetor. - aceată rorietate ete valabilă entru totți fazorii cu exceția rimului fazor receționat care oate avea, 1 au biți eronați, în funcție de valoarea lui - în cazul general, biţii unui multibit e îmart în două grue: o gruă formată din rimii doi biţi ai multibitului şi o a doua gruă formată din ceilalţi (n-) biţi ai acetuia. - rimii doi biţi definec cadranul în care e află fazorul şi, deoarece rotaţiile 9º imlică chimbarea cadranului, aceşti biţi unt recodaţi diferenţial înainte de maare, la emiie, şi unt decodaţi diferenţial duă demodulare, decizie şi demaare, la receţie. - alocarea dibiţilor recodaţi diferenţial la cadrane e face Gray, dibiţii alocaţi cadranelor alăturate diferind 5
Modulații Digitale cur 4 rintr-un ingur bit, entru ca ot aarea treceri dintr-un cadran in altul datorate zgomotului. - retul de n- biţi unt maaţi în moduri ecifice, în funcţie de numărul de fazori ai contelaţiei şi utilizarea au nu a unui cod corector de erori - în cazul modulaţiilor necodate şi aceşti biţi unt maaţi, indeendent de rimii doi, tot conform codului Gray, dar maarea Gray ete rotită cu 9 la chimbarea cadranului în cadranele învecinate. - în Figura 4 e rezintă maarea multit-fazor invariantă la rotații de 9º entru o contelație 16-QAM. - e obervă că la tranmiia fazorului, dacă aarrotații de 9º demodulatorul oate furniza unul dintre fazorii 1, 6, 11 au 1, în funcție de valoarea lui - ultimii n-= biți nu vor fi eronați, fiind aceiași, datorită modalității de maare - rimii doi biti vor fi corectați datorită oerațiilor de recodare-decodare diferențială 111 11 7 11 1 11 1 6 Q/A 111-11 11 Figura 4 Maarea cuadribiţilor entru contelaţie 16-QAM invariantă la rotaţii de 9 Filtrarea emnalelor AK+PK - filtrarea globală a emnalelor AK+PK, neceară entru limitarea benzii emnalului modulat, ete realizată cu o caracteritică RC în coinu ridicat şi exce de bandă α, care aigură II nulă în momentele de ondare. - entru o comortare otimă în rezenţa zgomotului, aceată caracteritică ete reartizată în mod egal între emiie şi receţie, vezi ca. PK, atfel încât la emiie emnalul ete filtrat cu o caracteritică RRC în coinu. - filtrarea oate fi realizată în două moduri: 1. rin filtrarea emnalelor modulatoare I şi Q cu o caracteritică în coinu de ti trece-jo. În acet caz banda de frecvenţă a emnalului modulator filtrat va fi: B=, fn ( 1+ α ) (6). rin filtrarea emnalelor modulate AK+PK cu caracteritică în coinu de ti trece-bandă. În acet caz, banda de frecvenţă B şi lărgimea de bandă LB ale emnalului filtrat unt: B= f fn ( 1 + α), f + fn ( 1+ α) (7) LB = f 1+ α (8) - coniderând exreia () a emnalului modulat AK+PK, exreia acetuia duă filtrare devine: t = I t co ω t Q t in ω t (9) () () () QAM - filtrarea trece-jo a nivelelor modulatoare neceită două filtre, câte unul entru I şi Q, dar ordinul filtrelor formatoare ete relativ redu. - filtrarea trece-bandă a emnalului modulat neceită un ingur filtru, dar de ordin mai mare. - entru contelaţiile AK +PK generate rin utilizarea modulaţiei QAM, ete referată filtrarea trece-jo a celor două emnale modulatoare. - factorul de eficienţă ectrală al modulaţiilor QAM e calculează cu lărgimea de bandă a emnalului modulat filtrat (8), care nu deinde de contelaţia utilizată, şi cu debitul binar al tranmiiei (), şi are exreia (1). D = f = f ld M () C 1 C C C 4 1111 111 1 4 5 1 - - 1 1 11 1 15 14-1 1 1 11 8 9 111 1 1 I/A 11 Etichetă fazor 6
Modulații Digitale cur 4 D f ldd ( M) ld β w = = LB f (11 α ) = ( M ) bit/ + (1 α) + HzH (1) - deoarece lărgimea de bandă e aceeaşi, indiferent de contelaţia foloită, factorul de eficienţă ectrală creşte (e mai bun!) odată cu creşterea contelaţiei. - aceata imlică înă căderea Δ, deoarece P m trebuie ătrată aroximativ contantă, creşterea e. - utilizarea contelaţiilor QAM cu M mare aigură o foloire eficientă a benzii de frecvenţă ocuate, dar imune utilizarea unor coduri corectoare de erori, a unor circuite de corectare a ditoriunilorr canalului şi o calitate mai bună a acetuia, entru a aigura o b reduă. ectrul emnalelor modulate A+PK - emnalele modulate AK+PK unt exrimate ca o umă de două emnale PAM modulate BLD (rezultă un emnal AK Amlitude hift Keying adică emnal modulat cu alt de amlitudine), (), e emnale urtătoare de aceeaşi frecvenţă, iar nivelele modulatoare ale celor două emnale PAM unt de medie nulă exreia denităţii ectrale de utere e obţine umând exreiile denităţilor ectrale de utere ale celor două emnale BLD comonente. - alicând relaţiile care definec denitatea ectrală de utere a emnalului PAM şi BLD şi uterea medie a acetuia, entru emnalull QAM comu din emnalele AK e axele I şi Q, obţinem uterea medie () şi denitatea ectrală de utere a emnalului QAM, (), calculată entru emnalul modulat nefiltrat. - (), arată că forma ectrului nu deinde de contelaţia de fazori utilizată,, câtă vreme aceata are coordonate de medie nulă doar amlitudinila le lobilor ectrali deind de uterea medie a fazorilor contelaţiei. - forma denităţii ectrale de utere a emnalului AK+PK ete imilară cu cea a emnalului modulat QPK, v. Figura 5, entru aceeaşi frecvenţă de imbol f. Lobul rincial ete curin între f f şi f + f. QAM ( f ) = ( P mi + P m M, mq ) π f f inn T f π ( f f ) f = Pm T ( π f f in f π ( f f f ) ) () 1log 1 ( n (f)) -1-18 - M,- M,-1 M,1 M, -4 f M,- -5 fc-f fc-f f M,1 fc-f f M, fc f b) ectru măurat, nefiltrat(rou) şi filtrat cu RRC(albatru) a)ectru DPK teoreticc α= =.5 Figura 5 Ditribuţia denităţii ectrale de utere a emnalelor AK+PK - dacă emnalul ete filtrat cu o caracteritică RRC cu factor α, vezi cur de filtrarea emnalelor de date, exreia denităţii ectrale de uteree ete dată dee (). QAM fc+ +f ( f M,1 fc+f f M, f ) = Pm T fc+f ( Xα ( f )) ) Pm T = X Producerea emnalelor modulate AK+PK - metoda generală entru roducereaa emnalelor modulate cu fazorii unei contelaţii AK+ PK contă în utilizarea tehnicii MAQ. chema blocc a unui atfel de modulator, entruu M = 16, ete decriă în î Figura 6. - fluxul de biții de intrare ete convertit în grue de câte n=4 biți, în ritmul tactului de bit f b. - rimii doi biți ai quadribitului unt recodații diferențial în ritmul tactului t de imbol f (ff = f b /4), rin umare modulo 4 cu erechea de biți recodată înn imbolul anterior α ( f ) () 7
Modulații Digitale cur 4 d i b 1 c 1 Precodor C. b diferen- c M ţial A I. P - 1 c D A P. - 1 R c 1 E C b c Q f b b 4 : 4 c 4 f F. F. E. F. F. E. Acoω t I(t) Q(t) Ainω t G enerator urt. în cuadrat. + Σ - Acoω t AK+ PK Figura 6 chema bloc a modulatorului AK+PK realizat rin tehnica MAQ n = 4 - cei n=4 biţi atfel obținuți unt maaţi e cei M fazori ai contelaţiei rin generarea tabelară a coordonatelor I şi Q în ritmul tactului de imbol f, vezi Figura 4. - cordonatel filtrarea cu caracteritica de ti coinu (RRC) e face în banda de bază cu filtre TJ, obţinându-e emnalele modulatoare continue I(t) şi Q(t), care unt modulate e urtătoarele în cuadratură. - acete emnale unt căzute obţinându-e emnalul modulat AK+PK. - contelaţiile ătrate, cele în cruce şi cele circulare de tiul II e ot obţine uşor numai cu aceată metodă. 8