EI.3 ΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ.Αξί κτνάλωσης.λεόνσμ κτνλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.λεόνσμ προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνσμ. ργμτική ξί (Χρησιμότητ) της κτνάλωσης Η ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: = () έχει κτρχήν την γνωστή ερμηνεί όπου είνι η μονδιί τιμή στην οποί θ ζητηθεί η ποσότητ ενός προιόντος. Αλλά επιδέχετι κι μι ενλλκτική ερμηνεί ως η ορική ξί μις μονάδς του γθού, με την πρκάτω έννοι της τιμής σφάλεις ή τιμής εκκίνησης (reservation rice): Αν η κτνάλωση έχει στην κτοχή της ποσότητ του γθού, τότε είνι η (μέγιστη) τιμή που θ δεχτεί ν κτβάλει ώστε ν ποκτήσει μι επιπλέον μονάδ του γθού ή ενλλκτικά η ελάχιστη τιμή που θ δεχτεί ν εισπράξει προκειμένου ν στερηθεί μις μονάδς του γθού, ορικά. Συτό το πλίσιο, κι ρχίζοντς πό μηδενική ποσότητ κτνάλωσης γι κάθε επιπλέον μικρή ποσότητ Δ η κτνάλωση θ ήτν διτεθειμένη ν την προμηθευτεί με τιμή, κτβάλλοντς ποσό: (Δ) Κθώς τ διδοχικά Δ προστίθεντι, η κτεχόμενη ποσότητ υξάνει κι η τιμή πέφτει, σύμφων με την πρπάνω συνάρτηση ζήτησης. Τελικά η κτνάλωση θ δεχότν ν κτβάλει ή ενλλκτικά ν ποζημιωθεί γι μι συνολική ποσότητ με το ποσό που δίνετι πό το άθροισμ των πρλληλόγρμμων εμβδών στο πρώτο γράφημ πρκάτω. Μάλιστ ένς μονοπωλικός προμηθευτής θ μπορούσε ν ποσπάσει το πρπάνω ποσό είτε διοχετεύοντς στην γορά στδικά τις επιπλέον μικρές ποσότητες είτε κτεβάζοντς την τιμή στδικά κλύπτοντς κάθε φορά την επιπλέον ζήτηση..χ. η ζήτηση εργσίς θ μπορούσε ν ντιμετωπίσει ένν τέτοιο προμηθευτή πό την πλευρά της προσφοράς εργσίς. Το πρπάνω εμβδό εκφράζετι με το γνωστό άθροισμ Riemann, το οποίο στο όριο ότν Δ συγκλίνει στο ντίστοιχο ολοκλήρωμ. Γεωμετρικά δίνετι πό το εμβδό κάτω πό την κμπύλη ζήτησης όπως φίνετι στο δεύτερο γράφημ, κι εκφράζετι με το ολοκλήρωμ της ντίστροφης συνάρτησης ζήτησης πό το ως το : Δ ()d= ()d Το πρπάνω μέγεθος μπορεί ν ερμηνευτεί ως έν μέτρο χρησιμότητς (utility) στην κτνάλωση της ποσότητς του γθού σε σχέση με την μη κτνάλωση, κι θεωρείτι ως η πργμτική ξί της κτνάλωσης: A() = ()d= ()d ρτήρηση. Ορίσμε πρπάνω ως πργμτική ξί της κτνάλωσης το μέγεθος που δίνετι πό το ολοκλήρωμ: A() ()d, όπου = () είνι η τιμή ζήτησης Θ διπιστώσουμε στ πλίσι της θεωρίς κτνάλωσης ότι γενικά η τιμή ζήτησης προκύπτει ως η πράγωγος της συνάρτησης χρησιμότητς: U () = = () Κάνοντς χρήση του θεμελιώδους θεωρήμτος του μθημτικού λογισμού, μπορούμε ν πούμε ότι:. Η πργμτική ξί Αμις ποσότητς κτνάλωσης ισούτι με την διφορά της χρησιμότητς της συγκεκριμένης κτνάλωσης σε σχέση με την μη κτνάλωση: A() = ()d== U ()d= U()-U() (). Η τιμή ζήτησης μις μονάδς του γθού τυτίζετι με την ορική του ξί ή την ορική του χρησιμότητ, γι το συγκεκριμένο επίπεδο κτνάλωσης : = A () = U () Το πρπάνω μς επιτρέπει ν υπολογίσουμε την συνάρτηση χρησιμότητς ως το ολοκλήρωμ της ντίστροφης συνάρτησης ζήτησης που είνι μετρήσιμο μέγεθος = A()
. λεόνσμ του Κτνλωτή Θεωρούμε μι διδικσί κτνάλωσης όπου η μονδιί τιμή διάθεσης ενός γθού είνι =. Τότε θ κτνλωθεί ποσότητ η οποί κθορίζετι πό την συνάρτηση ζήτησης: = () με πργμτική ξί που δίνετι πό το ολοκλήρωμ: A() ()d Αλλά η πργμτική δπάνη της κτνάλωσης είνι: Ε() d = Η διφορά των δύο ερμηνεύετι ως κέρδος του κτνλωτή, κι κλείτι πλεόνσμ του κτνλωτή (Consumer urlus): () = A() E() = ()d = [ () ]d Γεωμετρικά δίνετι πό το γρμμοσκισμένο εμβδό στο σχήμ πρπλεύρως. Αντικθιστώντς = (), μπορούμε ν εκφράσουμε όλ τ πρπάνω μεγέθη ως συνρτήσεις της τιμής : () = () Α(), E(),() = A() E() = [ () ]d ράδειγμ. Θεωρούμε την γρμμική συνάρτηση ζήτησης: = β =, E() = = β β β β κι βρίσκουμε: A() = ()d=, () = A() E() = β β β Το πρπάνω ισχύει μέχρι το μέγιστο, που ντιστοιχεί στη μηδενική τιμή: = = Μετά μένει στθερό. Τέλος, ντικθιστώντς πό την συνάρτηση ζήτησης, μπορούμε ν εκφράσουμε το πλεόνσμ του κτνλωτή ως φθίνουσ συνάρτηση της μονδιίς τιμής: /β = β () = = ( β) β β ρτήρηση. ροκύπτει ότι η συνάρτηση χρησιμότητς που δημιουργεί την πρπάνω ζήτηση, θ ικνοποιεί: U() U() = A() U() = U() + β β μέχρι το =. Μετά μένει στθερή λόγω κορεσμού, όπως στο δεύτερο γράφημ πρπάνω με U() =. ράδειγμ. Αν η τιμή διάθεσης ενός γθού είνι τότε ο κτνλωτής θ προμηθευτεί μι ποσότητ που κθορίζετι πό την συνάρτηση ζήτησης, κι το πλεόνσμ του κτνλωτή θ δίνετι πό το ολοκλήρωμ: () = A() E() = ()d = [ () ]d Αν έχουμε μι μετβολή στην μονδιί τιμή:, τότε θ έχουμε A B μετβολές στην ποσότητ ζήτησης:, κι στο πλεόνσμ: ( ) ( ) Στο σχήμ πρπλεύρως εκφράζουμε γεωμετρικά την ύξηση του πλεονάσμτος στην περίπτωση που έχουμε πτώση της τιμής. Αποτελείτι πό δύο τμήμτ: A= ( ), το κέρδος πό την πόκτηση της ρχικής ποσότητς στην χμηλότερη τιμή B = [ () ]d, το όφελος πό την πόκτηση της πρόσθετης ποσότητς χμηλότερη τιμή () E() A() () = () στη
3. ργμτικό κόστος γι τον προμηθευτή Αντίστοιχες έννοιες ορίζοντι γι τον προμηθευτή. Τώρ η ντίστροφη συνάρτηση προσφοράς: = () έχει κτρχήν την γνωστή ερμηνεί όπου είνι η τιμή στην οποί θ προσφερθεί η ποσότητ, λλά επιδέχετι κι μι ενλλκτική ερμηνεί ως το ορικό κόστος μις μονάδς του προιόντος, με την πρκάτω έννοι της τιμής σφάλεις ή τιμής εκκίνησης (reservation rice) γι τον προμηθευτή: Αν έχει ήδη προσφέρει μι ποσότητ του προιόντος, τότε είνι η ελάχιστη τιμή στην οποί θ προσφέρει μι επιπλέον μονάδ του προιόντος, ή ενλλκτικά η μέγιστη τιμή που θ δεχότν ν κτβάλει προκειμένου ν ποσύρει μι μονάδ του προιόντος. Συτό το πλίσιο μπορούμε ν υπολογίσουμε το ελάχιστο ποσό που θ ήτν διτεθειμένη ν δεχτεί η πργωγή προκειμένου ν προσφέρει την συνολική ποσότητ. Αρχίζοντς πό μηδενική ποσότητ προσφοράς, γι κάθε επιπλέον μικρή ποσότητ Δ θ ήτν διτεθειμένη ν δεχτεί την ντίστοιχη τιμή, εισπράττοντς ποσό: (Δ) Κθώς τ διδοχικά Δ προστίθεντι η προσφερθείσ ποσότητ υξάνει ενώ η τιμή επίσης υξάνει σύμφων με την συνάρτηση προσφοράς. Τελικά ο πργωγός θ εισπράξει συνολικά ως ελάχιστο το ποσό που δίνετι πό το άθροισμ των πρλληλόγρμων εμβδών στο πρώτο γράφημ πρκάτω. Μάλιστ το πρπάνω ελάχιστο ποσό ντιστοιχεί συτό που θ υποχρεωνότν ν εισπράξει ο προμηθευτής πό ένν μονοψωνικό κτνλωτή ο οποίος θ ζητούσε κάθε φορά μι μικρή επιπλέον ποσότητ γθού..χ. η προσφορά εργσίς θ μπορούσε ν ντιμετωπίσει ένν τέτοιο κτνλωτή πό πλευράς εργοδοσίς. Το πρπάνω εμβδό εκφράζετι με το γνωστό άθροισμ Riemann, το οποίο στο όριο ότν Δ συγκλίνει στο ντίστοιχο ολοκλήρωμ. Γεωμετρικά δίνετι πό το εμβδό κάτω πό την κμπύλη προσφοράς όπως φίνετι στο δεύτερο γράφημ, κι εκφράζετι με το ολοκλήρωμ της ντίστροφης συνάρτησης προσφοράς πό το ως το : Δ ()d= ()d ριστάνει το ελάχιστο ποσό που θ δεχότν ο προμηθευτής προκειμένου ν προσφέρει την ποσότητ, κι ντιστοιχεί στο πργμτικό κόστος πργωγής της ποσότητς σε σχέση με την μη πργωγή. Θ το πρστήσουμε με: K() ()d ρτήρηση. Ορίσμε πρπάνω ως πργμτικό κόστος της πργωγής το μέγεθος που δίνετι πό το ολοκλήρωμ: K() ()d, όπου = () είνι η τιμή προσφοράς Θ διπιστώσουμε στ πλίσι της γενικής θεωρίς μεγιστοποίησης κέρδους ότι η τιμή προσφοράς προκύπτει ως η πράγωγος της συνάρτησης κόστους: C () = = () Κάνοντς χρήση του θεμελιώδους θεωρήμτος του μθημτικού λογισμού, μπορούμε ν πούμε ότι γι τις συμφέρουσες τιμές:. Τo πργμτικό κόστος Kμις ποσότητς πργωγής ισούτι με το μετβλητό κόστος της συγκεκριμένης πργωγής: K() = ()d== C ()d= C()-C() = VC(). Η τιμή προσφοράς μις μονάδς του προιόντος τυτίζετι με το ορικό του κόστος γι το συγκεκριμένο επίπεδο πργωγής : = K () = C () = () K() 3
4. λεόνσμ του προμηθευτή Θεωρούμε τώρ μι διδικσί πργωγής όπου η τιμή διάθεσης του γθού είνι δοσμένη: = = () οπότε θ διτεθεί μι ποσότητ που κθορίζετι πό την εξίσωση προσφοράς: = () () Το πργμτικό κόστος της πργωγής θ δίνετι πό το πρπάνω ολοκλήρωμ: K() ()d Θεωρούμε τώρ κι το πργμτικό έσοδο πό την διάθεση της ποσότητς : E() = Γεωμετρικά πριστάνετι με το ορθογώνιο εμβδό στο σχήμ πρπλεύρως. Η διφορά των δύο ντιστοιχεί σε κέρδος του προμηθευτή κι κλείτι πλεόνσμ του προμηθευτή (uly urlus): () = E() K() = ()d = [ ()]d Γεωμετρικά δίνετι πό το γρμμοσκισμένο εμβδό στο σχήμ πρπλεύρως. Αντικθιστώντς = (), μπορούμε ν εκφράσουμε όλ τ πρπάνω μεγέθη ως συνρτήσεις της τιμής : () = () K(), E(),() = E() K() = [ ()]d ράδειγμ. Θεωρούμε την γρμμική συνάρτηση προσφοράς: γ γ = γ+ δ = +, E() = = +, με γ,δ > δ δ δ δ κι βρίσκουμε: γ K() = ()d= +, () = E() K() = δ δ δ Αντικθιστώντς πό την συνάρτηση προσφοράς μπορούμε ν εκφράσουμε τ πρπάνω, κι ειδικά το πλεόνσμ ως ύξουσ συνάρτηση της τιμής () = ( γ δ) δ = δ + γι γ/δ Γι μικρότερες τιμές δεν υπάρχει προσφορά κι το πλεόνσμ είμι μηδενικό. 5. Συνολικό πλεόνσμ στην ισορροπί Θεωρούμε την ζήτηση κι την προσφορά σε ισορροπί, οπότε η ποσότητ κι η τιμή ζήτησης θ συμπίπτουν με την ποσότητ κι την τιμή προσφοράς: = () = () ή (,) = () = () Επίσης, η δπάνη της κτνάλωσης θ συμπίπτει με το έσοδο της πργωγής: E= Στο πρώτο γράφημ πρκάτω, δείχνουμε το πλεόνσμ κτνλωτή: = A() Στο δεύτερο γράφημ δείχνουμε το πλεόνσμ προμηθευτή: = K() () γ /δ πλεονάσμτ στην ισορροπί 4
Το άθροισμά τους κλείτι συνολικό πλεόνσμ (total surlus). Στο άθροισμ ο ενδιάμεσος όρος πλείφετι κι βρίσκουμε ότι: Το συνολικό πλεόνσμ στην ισορροπί ισούτι με τη διφορά της πργμτικής ξίς γι τον κτνλωτή κι του πργμτικού κόστους γι τον προμηθευτή: = + = A() K() Γεωμετρικά δίνετι πό το εμβδό μετξύ της κμπύλης ζήτησης κι της κμπύλης προσφοράς, όπως φίνετι στο τρίτο σχήμ. Υπολογίζετι κι πευθείς ως το ολοκλήρωμ της διφοράς των δύο ντίστροφων συνρτήσεων, ζήτησης κι προσφοράς: [ = + = () ()]d ρτήρηση. Ενλλκτικά, μπορεί ν υπολογιστεί κι με άξον ολοκλήρωσης τον, ως το εμβδό κάτω πό τις κμπύλες των δύο συνρτήσεων, προσφοράς κι ζήτησης, όπως στο τέτρτο σχήμ πρπάνω όπου η ολοκλήρωση γίνετι οριζοντίως: ()d = + = + ()d ρστήσμε με την ελάχιστη τιμή προσφοράς κι την μέγιστη τιμή ζήτησης, ν υπάρχουν. Αλλιώς τ όρι θ είνι στο άπειρο. ρτήρηση. Σύμφων με τις πρπάνω ερμηνείες, το συνολικό πλεόνσμ μπορεί γενικά ν διτυπωθεί κι με την πρκάτω πράστση, χρησιμοποιώντς τις ρχικές συνρτήσεις χρησιμότητς στην κτνάλωση κι κόστους στην πργωγή: = A K = [U() U()] [C() C()], κθρή χρησιμότητ-κθρό κόστος ράδειγμ. Θεωρούμε τις πρκάτω γρμμικές συνρτήσεις ζήτησης-προσφοράς: : = : = : = + : = + κι υπολογίζουμε τ μεγέθη ισορροπίς: {= 3 /, = / }, E= = 3 / 4 Στη συνέχει υπολογίζουμε τ πλεονάσμτ.. Αξί κτνλωτή: / / A= ()d = ( )d= / = 7 / 8. Κόστος προμηθευτή: / / K= ()d = (+ )d= + / = 5 / 8 3. λεονάσμτ, κτνλωτή κι προμηθευτή: = A E= 7 / 8 6 / 8= / 8, = E K= 6 / 8 5 / 8= / 8 4. Συνολικό πλεόνσμ: = + = / 8+ / 8= / 4 ή = A K= 7 / 8 5 / 8= / 4 5. Ενλλκτικά μπορούμε ν υπολογίσουμε το συνολικό πλεόνσμ πευθείς με το ολοκλήρωμ: / / = [ () ()]d = [( ) (+ )]d = ( )d = = / / 4= / 4 / 5