ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/05/0, : 00)
Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών του Δικτυακού Τόπου mathematica.gr με βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathematica http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f6&t76 Συνεργάστηκαν οι: Στράτης Αντωνέας, Ανδρέας Βαρβεράκης, Βασίλης Κακαβάς, Γιώργης Καλαθάκης, Φωτεινή Καλδή, Σπύρος Καρδαμίτσης, Νίκος Κατσίπης, Στάθης Κούτρας, Χρήστος Κυριαζής, Γρηγόρης Κωστάκος, Δημήτρης Ιωάννου, Βαγγέλης Μουρούκος, Ροδόλφος Μπόρης, Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Λευτέρης Πρωτοπαπάς, Γιώργος Ρίζος, Μπάμπης Στεργίου, Σωτήρης Στόγιας, Αλέξανδρος Συγκελάκης, Αχιλλέας Συνεφακόπουλος, Χρήστος Τσιφάκης, Κώστας Τηλέγραφος, Σωτήρης Χασάπης, Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα από το δικτυακό τόπο mathematica.gr
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης ƒ( ) IR. είναι ƒ ( ), για κάθε Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση ƒ με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση ƒ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 A ; Α. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου ( δ ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Μονάδες Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για τη συνάρτηση ƒ( ), 0 ισχύει ότι ƒ ( ) (μονάδες ) β) Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων ƒ,g ισχύει ότι ( ƒ( ) g( ) ) ƒ ( ) g( ) ƒ( ) g ( ) + (μονάδες ) γ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. (μονάδες ) δ) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. (μονάδες ) ε) Για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, Ρ Α> Ρ Β. (μονάδες ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ισχύει ότι ( ) ( ) Α. Η απόδειξη βρίσκεται στη σελίδα 8 του σχολικού βιβλίου. A. Ο ορισμός βρίσκεται στη σελίδα του σχολικού βιβλίου. Α. O ορισμός βρίσκεται στη σελίδα 87 του σχολικού βιβλίου. Α. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ Μονάδες 0
ΘΕΜΑ Β ΛΥΣΗ: Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω { ω, ω, ω, ω} και τα ενδεχόμενα Α { ω, ω} και B { ω, ω} Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων { ω } και { ω } του Ω ισχύει ότι: Ρ( ω) + + lim + H P( ω ) είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της ( ) όπου ( ) f ln, > 0 Β. Να αποδείξετε ότι P( ω ) και Ρ( ω) Β. Να αποδείξετε ότι Ρ( Α ) όπου Β το συμπληρωματικό του Β. f ως προς, όταν,, όπου Α το συμπληρωματικό του Α. Μονάδες 0 Μονάδες 7 Β. Αν Ρ( Α ), τότε να βρείτε τις πιθανότητες Ρ( ω ),Ρ( ω ),Ρ ( Α Β) ( Β α) και Ρ( Α Β ) Β. Η συνάρτηση Όμως f() + + +, ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία + + > 0 και + 0 + + > 0 για κάθε ΙR διότι Δ < 0 και α > 0, κι ακόμα + 0 (+ ) 0 0 και., Μονάδες 8 Επομένως η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο (, ) (,0) (0, +, ) οπότε το ζητούμενο όριο έχει νόημα. Ο υπολογισμός του ορίου οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0 0. Είναι lim + + ( + + )( + + + ) lim + ( + )( + + + ) ( + + ) + + lim lim (+ )( + + + ) (+ )( + + + ) ( + ) lim lim (+ )( + + + ) ( + + + ) ( + + )
+ + Άρα P(ω ) lim + Η συνάρτηση f( ) lnείναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) ως γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρ τήσεων με τύπους (πολυωνυμική) και ln, με f () ln ln + (ln) ln+ (ln + ). Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f υπολογισμένος στο είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο. Άρα P(ω ) f() (ln+ ) (0+ ) Β. Το συμπληρωματικό Α του ενδεχόμενου Α είναι Α' {ω,ω } και P(A ) P(ω ) + P(ω ) P(ω ) + Έχουμε P(ω ) + P(ω ) + P(ω ) + P(ω ) + P(ω ) + + P(ω ) 5 P(ω ) + P(ω ) 5 5 Άρα P(ω ) P(ω ) αφού P(ω ) 0 Επομένως, 5 5 9 0 P(ω ) P(ω ) + + P(A ) P(A ) B. Είναι P(A ) P(A) P(ω ) + P(ω ) P(ω ) 0 Ακόμα 5 P(ω ) P(ω ) P(ω ) P(ω ) 0 P ( A B ) ( B A ) P ( {ω } {ω } ) 0 + Είναι A { ω,ω },B { ω,ω }, συνεπώς { } A B ω, άρα PA ( B ) P( ω ) 5
ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα v παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής X, τις οποίες ομαδοποιούμε σε ισοπλατείς κλάσεις. Δίνεται ότι: η μικρότερη παρατήρηση είναι 50 η κεντρική τιμή της τέταρτης κλάσης είναι 85 η σχετική συχνότητα της τέταρτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της τρίτης κλάσης η διάμεσος των παρατηρήσεων του δείγματος είναι δ 75 και η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι 7 Γ. Να αποδείξετε ότι το πλάτος είναι c 0 Γ. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συμπληρωμένο σωστά Μονάδες Κλάσεις [.,. ) [.,. ) [.,. ) [.,. ) Σύνολο Κεντρικές τιμές i Σχετική Συχνότητα f i Γ. Δίνεται ότι f i 0,, f 0,, f 0, και f 0, Μονάδες 8 Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων, που είναι μικρότερες του 80, είναι 00 Μονάδες 7 Γ. Επιλέγουμε κ παρατηρήσεις του αρχικού δείγματος με κ< ν, οι οποίες ακολουθούν κανονική κατανομή με το,5% των παρατηρήσεων αυτών να είναι τουλάχιστον 7 το 6% των παρατηρήσεων αυτών να είναι το πολύ 68 Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων αυτών καθώς και να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων αυτών είναι ομοιογενές. Μονάδες 6 6
ΛΥΣΗ: Γ. Η μικρότερη παρατήρηση είναι t min 50 και 85 η κεντρική τιμή της ης κλάσης. Αν θεωρήσουμε c το πλάτος της κάθε κλάσης τότε είναι 50 + c + c + c + c 85 50 + c + c 85 50 + 7c 85 c 0 Γ. Ισχύει ότι f f () και δ 75 συνεπώς f % + f % + f% 50% ή f + f + f 0,5 () Επιπλέον f + f + f + f (). Tότε () () f + f 0,5 (). Η () () f + f 5f 0,5 0,5 f 0, Τότε, λόγω της (), f 0, Άρα η () γράφεται f + f 0, (5) Καθώς η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι 7, ισχύει i i v 7 f ii 7 55 f + 65 f + 75 f + 85 f v 7 55 f + 65 f + 75 0, + 85 0, 7 55 f + 65 f + 5 + 5 55 f + 65 f (6) Η (6) (5) 5 55 (0, f ) + 65 f 5 55 f + 65 f 0 f f 0, άρα από (5) f 0, Κλάσεις Κεντρικές τιμές Σχετική Συχνότητα i f i [50, 60) 55 0, [60, 70) 65 0, [70, 80) 75 0, [80, 90) 85 0, Σύνολο Γ. Αν A είναι η μέση τιμή των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες του 80 και B η μέση τιμή των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες του 80 και αντίστοιχα ν Α το πλήθος των παρατηρήσεων μέχρι 80 και ν Β το πλήθος από 80 έως 90 θα ισχύει 7
v A A v A + + v v B B B 7 ή ή ή v A A + v v B B va vb 7 ή A + B 7 v v A f A + B f B 7 ή A (f + f + f ) + B 0, 7 A 0,6 + B 0, 7 και αφού η τιμή B 85 είναι κεντρική τιμή της ης κλάσης θα είναι A 0,6 + 85 0, 7 6 A 70 0 A 00 6 A 00. Γ. Σε μια κανονική κατανομή τα ποσοστά κατανέμονται ως εξής,5% % %,5% s s + s + s 68% 95% Στο διάστημα ( s,+ s) βρίσκεται το 95% των παρατηρήσεων συνεπώς το υπόλοιπο 5% των παρατηρήσεων είναι μοιρσμένο σε κάθε ένα από τα διαστήματα έξω από το παραπάνω διάστημα. Άρα,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται πάνω από τη χαρακτηριστική τιμή + sσυνεπώς + s 7 () Επίσης στο διάστημα ( s,+ s) βρίσκεται το 68% των παρατηρήσεων συνεπώς το υπόλοιπο % των παρατηρήσεων είναι μοιρασμένο σε κάθε ένα από τα διαστήματα που βρίσκονται έξω από το παραπάνω διάστημα. Άρα 6% των παρατηρήσεων βρίσκεται κάτω από τη χαρακτηριστική τιμή + s συνεπώς s 68 () Λύνοντας το σύστημα των (), (), προκύπτει s 6 s και 70 Το δείγμα ως προς την ομοιογένεια χαρακτηρίζεται από το συντελεστή μεταβολής που είναι CV s 70 5 < 0. Άρα το δείγμα είναι ομοιoγενές. 8
ΘΕΜΑ Δ ΛΥΣΗ: Θεωρούμε τη συνάρτηση f() ln + k, > 0, όπου k ακέραιος με k> και την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, f()), η οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού E, με E<. Δ. Να αποδείξετε ότι k 9 Μονάδες 5 Δ. Έστω,,,50 οι τετμημένες 50 σημείων της (ε) των οποίων οι αντίστοιχες τεταγμένες τους έχουν μέση τιμή y α) Να αποδείξετε ότι 0 (μονάδες ) β) Για τις τετμημένες των παραπάνω σημείων θεωρούμε ότι : Κάθε μία από τις τετμημένες,,,0 αυξάνεται κατά, οι επόμενες 5 τετμημένες παραμένουν σταθερές και κάθε μία από τις υπόλοιπες ελαττώνεται κατά λ ΙR με λ > 0. Να βρείτε το λ, ώστε η νέα μέση τιμή των τετμημένων να είναι ίση με. (μονάδες ) Δ. Αν α β γ e e < < < < με α β γ 7 α β γ e, τότε να βρείτε το εύρος R και τη μέση τιμή των f(α),f(β),f(γ),f(e),f e Δ. Θεωρούμε το δειγματικό χώρο, όπου f() ln + Ω {t n,n,,,,0: 0 < t < t < < t0 < < t < < t0 } e με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, καθώς και τα ενδεχόμενα A {t Ω:η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο t,f t, να σχηματίζει με τον άξονα οξεία γω νία } ( ()) B {t Ω:f(t) > f(t) + }, όπου f(t) tlnt + Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A (μονάδες ) β) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα A και B (μονάδες ) Μονάδες 6 Μονάδες 7 Μονάδες 7 Δ. Η συνάρτηση με τύπο ln είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) ως γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους (πολυωνυμική) και ln, επομένως η f() ln + κ είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους ln και κ (σταθερά), με f () ln + ln +.
Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y α + β με α f() ln+ y + β Επίσης f() ln+ κ κ Άρα το (, κ) είναι το σημείο επαφής το οποίο ανήκει στην ευθεία, επομένως κ + β β κ. Άρα η εφαπτομένη είναι η y + κ Θέτουμε στην ( ε ) όπου y 0 για να βρούμε το σημείο τομής A με τον άξονα και έχουμε κ, οπότε A ( κ,0 ). Θέτουμε στην ( ε ) όπου 0 για να βρούμε το σημείο τομής B με τον άξονα yy και έχουμε, οπότε ( ) y κ B0,κ. OA OB κ κ (κ ) E (OAB), αφού κ >. Πρέπει (κ ) E< < κ κ < 0 < κ < * κ έχουμε ότι κ. και αφού { } Δ. α) Για κ η ευθεία ( ε ) έχει εξίσωση y +. Αφού y + 0, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι για τις μεταβλητές X,Y και τη σταθερά c, με Y X+ c, ισχύει y + c. β) Ισχύει 50 i 50 i 0 0 i 500 50 i. Οι νέες τιμές είναι οι +, +,,0 +,,,, 5,6 λ,7 λ,,50 λ, και ορίζουν μια νέα μεταβλητή W, για την οποία θέλουμε w. Συνεπώς 50 i w 50 i 50 w 550 i i 500 + 60 5λ 550 5λ 550 500 60 0 5λ 0 λ 5 0
Δ. Δ. Έχουμε ότι f() ln+. Για κάθε > ln > ln + > 0 f () > 0 e και άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) e +. Δηλαδή < α< β< γ< e f( ) < f(α) < f(β) < f(γ) < f(e) e e Aλλά f( ) > 0, ενώ e e απ όπου προκύπτει ότι f + ln 0. e e f < f(α) < f(β) < f(γ) < f(e). e Συνεπώς το εύρος R είναι ίσο με R f(e) f f(e) e+. e Αφού α β γ 7 αβγ e α β γ 7 ln(αβγ) lne α β γ lnα + lnβ + lnγ 7. α lnα+ β lnβ+ γ lnγ 7 H ζητούμενη μέση τιμή είναι ίση με f + f(α) + f(β) + f(γ) + f(e) e α lnα + + β lnβ + + γ lnγ + + e+ 7+ 8+ e 5+ e. 5 5 5 5 Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα όταν f(t) > 0 t> e, οπότε t t,t,,t0 και κατά συνέπεια A { t,t,,t }. 0 Επίσης για t Ω, δηλαδή για t <, έχουμε f(t) > f (t) + t lnt + > lnt + + tlnt lnt> 0 (t ) lnt > 0 που ισχύει για κάθε t<, αφού για Έτσι B { t,t,,t }. 9 N(A) 0 α) P(A). N(Ω) 0 t < 0 t< lnt < ln lnt < 0 β) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα A και B είναι το 9 A B { t,t,,t9}, οπότε P(A B). 0
ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ: Β. η ΛΥΣΗ: Αρκεί να δείξω ότι Έχουμε P(A') P(A) P(A) P(A) A Β ω ω ω ω η ΛΥΣΗ: A B A B A B B Α Β Α Έτσι Ρ(Α Β) και Ρ(Β Α) Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ισχύει ότι οπότε PA ( B) P( A) P( A) A B Α, Επίσης Είναι Επίσης η ΛΥΣΗ: Συνεπώς Είναι Όμοια Ρ(ΑUΒ) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Β Α ) Ρ(Α) + Ρ(Α) Ρ(Α) P(A) P({ω }) + P({ω }) P({ω }) A Ω {ω } P(A) P(Ω {ω }) P(A) P(A) P(A) P(A ) {ω } A P(ω ) P(A ) P(A ) () {ω } A P(ω ) P(A) P(A) P(A ) P(A ) P(A ) ()
Από τις σχέσεις (),() λαμβάνω το ζητούμενο: P(A ) Β. η ΛΥΣΗ: (Με κανόνες De morgan) P( A B ) P(A ) P(A B ) P(A ) P ((A B) ) P(A ) ( P(A B)) P(A) + P(A B) P(A B) P(A) P({ω } {ω } {ω }) P({ω } {ω }) P({ω }) Απόδειξη τύπου De Morgan A B A και B Aκαι B A B ( A B) η ΛΥΣΗ: Έχω 5 P(A ) P(ω ) + P(ω ) P(ω ) Είναι επομένως A B {ω } B A {ω } ( A B) ( B A ) {ω,ω } και 5 P( Ω) P(ω ) + P(ω ) + P(ω ) + P(ω ) P(ω ) 0 P(ω ) 0 Συνεπώς P ( A B) ( B A) P(ω ) + P(ω ) + 0 Γ. η ΛΥΣΗ: Η η κλάση θα είναι [50,50 + c) η η κλάση... [50 + c,50 + c) η η κλάση... [50 + c,50 + c) η η κλάση... [50 + c,50 + c) (50 + c) + (50 + c) Οπότε 85 85 c 0. η ΛΥΣΗ: R Το πλάτος c κάθε κλάσης δίνεται από την σχέση c, όπουr το εύρος και ο αριθμός των κλάσεων. Τότε R tm 50 οπου t m είναι η μεγαλύτερη παρατήρηση.
Ως μεγαλύτερη παρατήρηση θωρούμε το άθροισμα της κεντρικής τιμής της ης (δηλαδή της τελευταίας κλάσης) 85 συν το, ώστε στο πολύγωνο συχνοτήτων το εμβαδό κάθε ορθογωνίου να c παριστάνει το νi. i c 85+ 50 Έτσι βρίσκουμε c. Λύνοντας την πρωτοβάθμια εξίσωση έχουμε c 0. Γ. η ΛΥΣΗ: Αν Α,Β σημεία του πολυγώνου αθροιστικων συχνοτητων με A(70, F ), B(80,F ) τότε το σημείο M(75,50) είναι σημείο της ΑΒ οπότε από το θεώρημα του Θαλή είναι AM 75 70 50 00F ή f f f AB 0 00(F F ) λύνοντας το σύστημα f + f + f+ f+ f f 55f + 65f + 75f+ 85f 7 f f f βρίσκουμε τα f i Γ. η ΛΥΣΗ: To 'των τριών πρώτων κλάσεων δεν δίνεται από τη σχέση ' f ii καθώς για τις τρεις πρώτες σχετικές συχνότητες του αρχικού δείγματος f, f, f ισχύει ότι f + f + f 0,6 Συνεπώς με αναγωγή στη μονάδα προκύπτει f 0,, f 0,, f 0,. 0,6 6 0,6 0,6 Στην περίπτωση αυτή ' f ii 55 6 +65 +75 55 + 95 + 50 00 00 6 6 η ΛΥΣΗ: Έστω y η ζητούμενη μέση τιμή ν + ν + ν Έχουμε y ν + ν + ν i όμως fi ν νi fν i ν fν + fν + fν f+ f+ f 00 y y f ν + f ν + f ν f + f + f άρα i
η ΛΥΣΗ: Το δείγμα κάτω από 80 είναι το 0,6 του ν δηλαδη 0,6ν άρα 55 ν + 65 ν + 75 ν 55 ν 65 ν 75 v y y 0,6ν 0,6 + + ν ν ν y (55 f + 65 f + 75 f ) (55 0,+ 65 0,+ 75 0,) 0,6 0,6 00 y 5 η ΛΥΣΗ: Οι νέες σχετικές συχνότητες θα είναι ν ν f f ν ν ν ν ν f 6 ν f f και όμοια f, f. f f 6 η ΛΥΣΗ: Οπότε, η νέα μέση τιμή είναι 00 f + f + f... Έστω v i οι συχνότητες των κλάσεων, i,,,, X η ζητούμενη μέση τιμή και v το μέγεθος του δείγματος. Τότε v v v 55 + 65 + 75 v + v + v v + v + v X v v v v + v + v v v v v 55 + 65 + 75 55f + 65f + 75f 0 0 0 00 00 f 6 0 Δ. (...) η ΛΥΣΗ: Για την εύρεση της εφαπτομένης Η συνάρτηση με τύπο ln είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) ως γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους (πολυωνυμική) και ln, επομένως η f() ln + κ είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους ln και κ (σταθερά), Επίσης f() κ και f(), οπότε η εφαπτομένη ε της C f στο A(,f()) έχει εξίσωση 5
Δ. (...) y κ ( ) y + κ, ( ε ) Για τον υπολογισμό του κ (κ ) E< < (κ ) < κ < < κ < < κ <. η ΛΥΣΗ από γραπτό εξεταζόμενου ( νης): Δ. η ΛΥΣΗ: Αφού η μέση τιμή των i είναι 0 όπως δείξαμε στο (α) ερώτημα για να την αυξήσω κατά μονάδα προσθέτω και στις 50 παρατηρήσεις τον αριθμό. Ουσιαστικά αυξάνω τον αριθμητή του κλάσματος κατά 50 μονάδες. + + + 50 50 Επειδή και στο (β) ερώτημα επιθυμώ την ίδια μεταβολή αρκεί να αυξήσω και πάλι τον αριθμητή κατα 50. Αν λοιπόν στις πρώτες 0 τιμές προσθέσω το και τις επόμενες 5 τις αφήσω ανέπαφες έχω αυξήσει τον αριθμητή κατά 0 60. Θέλω δηλαδή μείωση των τιμών συνολικά κατά 0. 0 Άρα αφού σε κάθε μία από τις υπόλοιπες 5 αφαιρώ το λ πρέπει τελικά 5λ 0 λ λ. 5 Έχουμε ότι και f () 0 + ln 0 ln e f() > 0 + ln> 0 ln> > e. Οπότε έχουμε τον παρακάτω πινάκα μεταβολών της f και πρόσημου της f. f () ln + f() 0 Ó + e 0 + 0 Ò Δικαιολόγηση των πρόσημων f() > 0 + ln> 0 ln > > e Συνεπώς η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, e, γνησίως αύξουσα στο, + e και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για, το f ln +. e e e e e Όμως f > 0 > e > που ισχύει, άρα και η αρχική, οπότε f > 0. e e e 6
Επίσης αφού η συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο, + e και ισχύει α β γ e e < < < < προκύπτει f < f(α) < f(β) < f(γ) < f(e) (). e Επιπλέον f + ln 0 και f ln + + > 0 e e e e e e οπότε η () γίνεται 0 f < f < f(α) < f(β) < f(γ) < f(e), e e απ όπου προκύπτει ότι f < f(α) < f(β) < f(γ) < f(e). e Συνεπώς το εύρος R είναι ίσο με R f(e) f f(e) e+. e ΣΧΟΛΙΑ: Για το Α α) Λ (είναι σελ. 9) β) Σ (σελ. ) γ) Λ (χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση ποιοτικής μεταβλητής σελ.67 ) δ) Λ (αντίθετα με τη μέση τιμή, που επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις, σελ. 87) ε) Λ ( ισχύει ότι P(A) P(B), σελ. 5) Για το Γ Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο σελίδα 7: "Ξεκινώντας από την μικρότερη παρατήρηση, ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από την μικρότερη παρατήρηση, και προσθέτοντα κάθε φορά το πλάτος c δημιουργούμε τις κ κλασεις.", θεωρούμε για λόγους μαθηματικής ακρίβειας ότι δεν είναι αυτονόητο από την εκφώνηση του θέματος Γ "η μικρότερη παρατήρηση είναι 50" ότι το αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης είναι το 50, αλλά ότι είναι μία τιμή α με α 50. Για το Γ Θεωρούμε ότι η συμπλήρωση της σχετικής συχνότητας θα πρέπει να δικαιολογηθεί από τους μαθητές σαν να μην υπήρχε το ερώτημα Γ. Παλαιότερα η έλλειψη πλήρους δικαιολόγησης έδινε όλα τα μόρια στους μαθητές για σωστή συμπλήρωση στοιχείων του πίνακα των οποίων όμως η εύρεση ήταν άμεση από τα δεδομένα του προβλήματος. Στα παρόντα θέματα δε συμβαίνει κάτι τέτοιο και η άμεση συμπλήρωση του πίνακα απαιτεί σύνθετους αλγεβρικούς συλλογισμούς. 7