ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Σάββατο, 4 Μαΐου 8 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ισχύει: f (x) = ln x, x R* είναι παραγωγίσιµη στο R* και (ln x )ʹ= Μονάδες Α.. Πότε µία συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α,β]; Μονάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Αν µία συνάρτηση f:a R είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση f ισχύει: f (f(x))=x, x A και f(f (y))=y, y f(a) Μονάδες β. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της. Μονάδες γ. Όταν η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης αz βzγ= µε α,β,γ R και α είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των µιγαδικών. Μονάδες δ. Αν µια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f (x) > για κάθε πραγµατικό αριθµό x. Μονάδες ε. Αν η f είναι συνεχής σε διάστηµα Δ και α, β, γ Δ τότε ισχύει β x f(x)dx = f(x)dx α γ α β γ f(x)dx Μονάδες
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α.. Θεωρία Σχολικό βιβλίο σελ. 35 Α.. Ορισµός Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Β. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ ΘΕΜΑ o Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς z και w ισχύουν ( i )z = 6 και w ( i) = w (3 3i) τότε να βρείτε: α. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z β. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w γ. την ελάχιστη τιµή του w δ. την ελάχιστη τιµή του z w Μονάδες 6 Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 6 ΑΠΑΝΤΗΣΗ i z = 6 8 z = 6 3 z = 6 z = α. ( i ) z = 6 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο κύκλος C : z = ή C : x y = 4 µε κέντρο Ο(,), ρ=. w= x yi β. w ( i) = w ( 3 3i) ( x ) ( y ) i = ( x 3) ( y 3)i x,y R ( x ) ( y ) = ( x 3) ( y 3 ) x x y y = x 6x 9 y 4x 4y = 6 x y = 4 y = x 4 6y 9 άρα ο γ.τ. των εικόνων του w είναι η ευθεία ε: y=x 4
γ. ε: y=x 4 x 4 y 4 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ο ε Κ Φέρνουµε ΟΚ µε ΟΚ ε άρα λοκ λε= λοκ = λοκ= οπότε ΟΚ: y= x y = x y = x y = x y = Κ : ε : y = x 4 x = x 4 x = 4 x = άρα Κ(, ). Τελικά ο µιγαδικός w= i έχει το µικρότερο µέτρο, w = i = 8 = 4 4 = = = >ρ= ( ) άρα ο κύκλος και η ευθεία δεν έχουν κοινά σηµεία. Αν M(z) και N(w) τότε (ΜΝ)= z w δ. Παρατηρούµε ότι d( O,ε) ε Β Μ(z) ε ε: y=x 4 O A K N(w) Φέρνουµε ΟΚ ε που τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α και Β. Για την εύρεση των Α, Β επιλύουµε το σύστηµα: 3
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 ΟΚ : y = x y = x y = x y = x C : x y = 4 x = 4 x = x = ± x = και y = Άρα Α(, ), Β(, ) x = και y = Όµως (ΑΚ) (ΜΝ) (ΒΚ) (ΟΚ) ρ z w (ΟΚ)ρ z w άρα z w =. min ΘΕΜΑ 3o xln x, x > Δίνεται η συνάρτηση f(x)=, x = α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο. Μονάδες 3 β. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f και να βρείτε το σύνολο τιµών της. Μονάδες 9 α γ. Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης x= x για όλες τις πραγµατικές τιµές του α. Μονάδες 6 δ. Να αποδείξετε ότι ισχύει f (x) > f(x) f(x), για κάθε x >. Μονάδες 7 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ln x LʹH α. Είναι lim f(x) xln x x = lim x = x x x x x x x Επειδή lim f(x) = f() = η συνάρτηση f είναι συνεχής στο xο=. x β. Είναι f (x)=(xlnx) =lnx, x> fʹ(x)= lnx= lnx= x= = Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα µεταβολών: 4
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 x f (x) f f (x) < lnx < lnx < x < f (x) > lnx > lnx > x > Όπως φαίνεται από τον πίνακα µονοτονίας της f η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ] αφού η f είναι συνεχής στο [, ) f([, ]) f([, ]) fγν. φθίνουσα = συεχ ής fγν. αύξουσα [f( ),f()]=[,] = [f( συεχής ), lim f(x) ]=[, ) x Άρα f([, )=[,] [, )=[, ). γ. Η εξίσωση x= x α γίνεται α lnx=ln lnx= xlnx=α f(x)=α x x= x α x α Διακρίνουµε περιπτώσεις για το α: i) α < Επειδή η τιµή α δεν ανήκει στο σύνολο τιµών, η εξίσωση είναι αδύνατη. ii) α= Είναι f( )=, δηλαδή η είναι ρίζα της εξίσωσης η οποία είναι και µοναδική. Για x < f f(x) > f( ) f(x) > Για x > f f(x) > f( ) f(x) > Δηλαδή f(x) για x [, ) (, ). iii) Για < α < Επειδή ο αριθµός α f([, ]) θα υπάρχει x (, ) ώστε f(x)=α και το x είναι µοναδικό λόγω του ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο [, ]. 5
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Επειδή ο αριθµός α f([, )) θα υπάρχει x (, ) ώστε f(x)=α και το x είναι µοναδικό λόγω του ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο [, ). Άρα η εξίσωση f(x)=α έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. iv) α= f(x)= v) α > x> xlnx= lnx= x= Επειδή το α f([, ]) η εξίσωση f(x)=α είναι αδύνατη στο [, ]. Επειδή το α f([, )) θα υπάρχει x3 (, ) ώστε f(x3)=α και το x3 είναι µοναδικό επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα στο [, ). Συνοψίζοντας έχουµε: ΠΛΗΘΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ f(x)=α δ. Είναι f (x)=lnx, x > καµµία, α <, α = Δύο, < α <, α = µία, α > f (x)= x >, για x > άρα f γνήσια αύξουσα στο (, ). Η f είναι συνεχής στο [x, x], x > Η f είναι παραγωγίσιµη στο (x, x) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ (x, x) ώστε να ισχύει f(x ) f(x) f (ξ)= = f(x ) f(x) () x x ʹ f Είναι ξ < x f (ξ) < f (x) f(x) f(x) < f (x), x >. () ΘΕΜΑ 4o Έστω f µια συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει f(x) = (x 3x) 3 f (t)dt 45 α. Να αποδείξετε ότι f(x)=x 3 6x 45 Μονάδες 8 6
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 β. Δίνεται επίσης µια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιµη στο R. Να αποδείξετε ότι gʹ(x) gʹ(x ) g (x) Μονάδες 4 γ. Αν για τη συνάρτηση f του ερωτήµατος (α) και τη συνάρτηση g του ερωτήµατος (β) ισχύει ότι g(x ) g(x) g(x ) lim =f(x)45 και g()=g ()=, τότε i. να αποδείξετε ότι g(x)=x 5 x 3 x Μονάδες ii. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι. Μονάδες 3 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. Έστω f(x)dx = c τότε f(x)=(x 3 3x)c 45 οπότε έχουµε 3 [(x 3 (x 3x)dx f(t)dx = 3x)c 45]dx c = c 45dx 4 x 3x c = c 45[ x] 4 4 5x 3x c = c 45( ) 4 5 3 c = c ( ) 9 3 c = c(5 3 ) 9 c = c 46 9 45c=9 c= Άρα f(x)=(x 3 3x) 4 f(x)=x 3 6x 4 β. Είναι gʹ(x) gʹ(x ) u= gʹ(x) gʹ(x u) lim = u u gʹ(x u) gʹ(x) = gʹʹ(x) u u γ. i. Είναι g(x ) g(x) g(x ) lim = DH gʹ(x )(x )ʹ gʹ(x )(x )ʹ = 7
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 ii. gʹ(x ) gʹ(x ) = gʹ(x ) gʹ(x) gʹ(x) gʹ(x ) = gʹ(x ) gʹ(x) gʹ(x) gʹ(x ) = gʹ(x ) gʹ(x) gʹ(x) gʹ(x ) = lim lim = λόγω του (β) = (gʹʹ(x) gʹʹ(x)) = gʹʹ(x) Οπότε ισχύει g (x)=f(x)45 λόγω του (α) g (x)=x 3 6x, x R g (x)=(5x 4 3x ) άρα g (x)=5x 4 3x c επειδή g ()= και g ()=c το c= άρα g (x)=5x 4 3x εποµένως g (x)=(x 5 x 3 x), x R άρα g(x)=x 5 x 3 xc επειδή g()= και g()=c τότε το c= εποµένως g(x)=x 5 x 3 x, x R Η g είναι παραγωγίσιµη στο R ως πολυωνυµική µε g (x)=5x 4 3x >, x R άρα g γνήσια αύξουσα στο R, άρα. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ A. Τα σηµερινά θέµατα είχαν το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό ότι η κλιµάκωση δυσκολίας εµφανίζεται σταδιακά αρκετά νωρίς από τα ερωτήµατα του ου θέµατος. Επίσης η εκτεταµµένη διερεύνηση που απαιτούσε το Θέµα 3 ο το (γ) στένευε τα περιθώρια χρόνου για τη διαπραγµάτευση των υπόλοιπων ερωτηµάτων. Ακόµη η ξεχωριστή και ιδιαίτερη τεχνική που απιτούσε το θέµα 4 ο (α) καθώς και η πρωτοτυπία του θέµατος 4 (γ) θα έχει σαν αποτέλεσµα την µείωση των υψηλών επιδόσεων. Β. Οι παραπάνω απαντήσεις είναι ενδεικτικές. 8