ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 5-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Μετασχηµατισµός Fourier. Απλός Μετασχηµατισµός Fourier - Ι Βρείτε το µετασχ. Fourier του παρακάτω σήµατος Σχήµα : Σχήµα Άσκησης Μπορούµε να σπάσουµε το σήµα σε κάποια µικρότερα γνωστά µας σήµατα. Ποιά ϑα είναι αυτά ; Θα είναι ένα τετραγωνικό παράθυρο, διάρκειας T, µε κέντρο το t 3T, ένα τριγωνικό παράθυρο διάρκειας T, µε κέντρο το t 3T, και µια συνάρτηση έλτα στη ϑέση t 6T, όπως στο σχήµα. Για το πρώτο σήµα του σχήµατος, Σχήµα : Σχήµα Άσκησης - Σπασµένο σήµα ϑα έχουµε για το δεύτερο, ϑα είναι και για το τρίτο, ϑα είναι X f F { A t 3T } rect A T Tsinc ft e jπf3t X f F { A t 3T tri } A T Tsinc ft e jπf3t X 3 f F { A δt 6T } A e jπf6t
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις Άρα συνολικά ϑα είναι που είναι και το Ϲητούµενο. Xf A ft T sinc e jπf3t + A Tsinc ft e jπf3t + A e jπf6t. Απλός Μετασχηµατισµός Fourier- ΙΙ Βρείτε το µετασχ. Fourier του σήµατος t xt Arect δt 5T + δt + δt + 5T T Θα χρησιµοποιήσουµε την ιδιότητα της συνάρτησης έλτα xt δt t xt t Άρα ϑα έχουµε t xt Arect δt 5T + δt + δt + 5T T t 5T t t + 5T Arect + Arect + Arect T T T Xf AT sinc ft e jπf5t + ATsinc ft + ATsinc ft e jπf5t AT sinc ft e jπf5t + + e jπf5t AT sinc ft + cosπft Ενας άλλος τρόπος ϑα ήταν να χρησιµοποιήσουµε την ιδιότητα που λέει συνέλιξη στο χρόνο πολλαπλασιασµός στη συχνότητα. Τότε, ϑα είχαµε που είναι και το Ϲητούµενο. Xf t F {Arect }F{δt 5T + δt + δt + 5T} T AT sincfte jπf5t + + e jπf5t AT sincft + cosπft 3 3. Μετασχηµατισµός Fourier - Ορισµός, Μέτρο, Φάση, Μέση Τιµή Να σχεδιάσετε το σήµα xt e α t, t R, α > µε a > και να υπολογίσετε το µετασχ. Fourier του σήµατος. Επίσης, να υπολογίσετε το µέτρο και τη ϕάση του. Υπολογίστε τη µέση τιµή του σήµατος xtdt Σε ποιές συχνότητες το ϕάσµα πλάτους ισούται µε το µισό της µέσης τιµής του σήµατος ;
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 3 Σχήµα 3: Σήµα Άσκησης 3 Το σήµα ϕαίνεται στο σχήµα 3. Είναι Xf xte jπft dt e at e jπft dt + e at e jπft dt e a jπft dt + e a+jπft dt a jπf ea jπft a jπf e a+jπft a jπf + a a jπf a + πf, a > 4 όπου τα όρια στο ± οφείλονται σε γνωστό λήµµα. Παρατηρούµε ότι το Xf είναι πραγµατικό σήµα, και ϑετικό για κάθε f. Άρα η ϕάση του είναι φ και το µέτρο του είναι ο ίδιος ο µετασχηµατισµός Fourier, δηλ. Επίσης Xf µ x a a + πf και Xf 5 xtdt Xf X f a Θέλουµε τώρα να ϐρούµε σε ποιές συχνότητες, τέλος, το ϕάσµα πλάτους ισούται µε το µισό της µέσης τιµής του σήµατος. Λύνοντας απλά την εξίσωση, έχουµε Xf a a a a + 4π f a πf a f ± a π 6 7 4. Απλός Μετασχηµατισµός Fourier - ΙΙΙ Να ϐρεθεί ο µετασχ. Fourier του σήµατος που ϕαίνεται στο σχήµα 4. Για την εύρεση του µετασχ. Fourier του σήµατος xt που απεικονίζεται στο σχήµα, µπορούµε να εφαρµόσουµε πολλούς τρόπους. Ας δούµε µερικούς... Αν lim t ft και gt < B, τότε lim t ftgt
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 4 Σχήµα 4: Σχήµα Άσκησης 4 αʹ Με τον ορισµό : Xf xte πft dt 3 e jπft 3 4 dt + e jπft dt + e jπft dt 3 jπf e jπft 3 jπf e jπft 4 jπf e jπft 3 3 3 jπf e jπf jπf e jπf + jπf e jπ3f jπf e jπf + }{{}}{{} + jπf e j4πf jπf e j6πf }{{} jπf e j 3 πf e j πf e j πf + 3 jπf e j 5 πf e j πf e j πf + + jπf e j7πf e jπf e jπf jπf e j3πf j sinπf + 3 jπf e j5πf j sinπf + jπf e j7πf j sinπf sinπf e j3πf + 3 sinπf e j5πf + sinπf e j7πf πf πf πf sincf e j3πf + 3 e j5πf + e j7πf 8 Παρατηρήστε τους όρους που ϐγάλαµε κοινό παράγοντα ώστε να εµφανιστούν τα sinπf. Με άγκιστρο είναι τα εκθετικά που χρησιµοποιήσαµε µαζί ώστε να το πετύχουµε αυτό. ϐʹ Αναλύοντας το σήµα σε απλούστερα γνωστά σήµατα. Το πιο απλό είναι η παρακάτω διάσπαση, που ϕαίνεται στο Σχήµα 5. Εχουµε άρα X f 3sinc3fe j5πf και X f sincfe j5πf Άρα το τελικό σήµα ϑα είναι το άθροισµα Xf X f + X f e j5πf sincf + 3sinc3f 9
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 5 Σχήµα 5: ιάσπαση Άσκησης 4 - δεύτερος τρόπος Παρατηρήστε ότι το αποτέλεσµα µοιάζει διαφορετικό από αυτό του πρώτου τρόπου που ακολουθήσαµε, αλλά στην ουσία είναι το ίδιο σήµα. Αυτό µπορείτε να το επιβεβαιώσετε µε το MATLAB ή κάνοντας πράξεις στο αποτέλεσµα του πρώτου τρόπου. γʹ Αναλύοντας το σήµα σε τρία σήµατα, αντί για δύο, όµοια µε το δεύτερο τρόπο, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 6. Οµοια λοιπόν, ϑα έχουµε Σχήµα 6: ιάσπαση Άσκησης 4 - τρίτος τρόπος Xf X f + X f + X 3 f sincf e j3πf + 3 e j5πf + e j7πf Το αποτέλεσµα είναι ίδιο µε αυτό που προέκυψε µε τον ορισµό, αλλά πολύ πιο εύκολα και σύντοµα. :-
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 6 Υπάρχουν - τρόποι ακόµα που µπορείτε να σπάσετε το αρχικό σήµα σε απλούστερα. Χρησιµοποιήστε τη ϕαντασία σας! ;- 5. Μετασχηµατισµός Fourier - Παραγώγιση Να υπολογίσετε το µετασχ. Fourier του σήµατος στο σχήµα 7. Σχήµα 7: Σχήµα Άσκησης 5 Ο εύκολος τρόπος είναι να σπάσουµε το σήµα µας όπως στην Άσκηση. Κάντε το! :- Επιβεβαιώστε ότι το αποτέλεσµα είναι Xf AT sinc ft + sinc ft Ενας άλλος τρόπος ϑα ήταν να χρησιµοποιήσουµε την ιδιότητα της παραγώγισης, η οποία σε περιπτώσεις που δεν µπορούµε να σπάσουµε το σήµα µας, µας λύνει τα χέρια. Η ιδιότητα ϑυµίζεται ότι είναι dxt dt jπfxf F { dxt } jπfxf dt Θα δουλέψουµε ως εξής : ϑα χρησιµοποιήσουµε την παράγωγο του xt, ϑα ϐρούµε τον µετασχ. Fourier, και µέσω της σχέσης, ϑα ϐρούµε το Xf. Στην προσπάθειά µας να παραγωγίσουµε το xt έχοντας στο µυαλό µας την κλασική ϑεωρία της Ανάλυσης, ϑα συναντήσουµε δυσκολίες. Υπάρχουν σηµεία στο σήµα όπου υπάρχουν ασυνέχειες. Τα σηµεία αυτά είναι στις χρονικές στιγµές t ± T, όπου το σήµα αλλάζει ακαριαία τιµές. Σύµφωνα µε όσα γνωρίζουµε από τον Απειροστικό Λογισµό, δεν ορίζεται παράγωγος στα σηµεία αυτά. Οµως έχετε δει ότι dɛt t dt δt t 3 δηλ. ότι η παράγωγος της ϐηµατικής συνάρτησης ɛt t είναι µια συνάρτηση έλτα στη ϑέση t t. Κατ αυτόν τον τρόπο, ορίστηκε η παράγωγος µιας ασυνέχειας, όπως αυτή που έχει η ϐηµατική συνάρτηση, µε χρήση γενικευµένων συναρτήσεων, όπως είναι η συνάρτηση έλτα. Αυτή η διαδικασία ϕαίνεται στο σχήµα 8. Αυτό σηµαίνει ότι οποιοδήποτε σήµα περιέχει µια ασυνέχεια ή και περισσότερες, µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός ϐηµατικών συναρτήσεων. Για παράδειγµα, ο γνωστός µας τετραγωνικός παλµός t xt Arect T µπορεί να γραφεί ως t xt Arect Aɛ t + T T Aɛ t T όπου και µε την παραγώγισή του, προκύπτουν δυο συναρτήσεις έλτα στις ϑέσεις t ± T, ακριβώς λόγω της παραπάνω σχέσης και της σχέσης 3.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 7 Σχήµα 8: Παράγωγος ϐηµατικής συνάρτησης Οπότε όταν παραγωγίζουµε ένα σήµα, πρέπει να είµαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί στα σηµεία ασυνέχειας, αρχικά αναγνωρίζοντάς τα, και έπειτα χωρίς να παραλείπουµε να ϐάζουµε την αντίστοιχη συνάρτηση έλτα στα σηµεία ασυνέχειας. Παραγωγίζοντας λοιπόν το σήµα, καταλήγουµε στο σχήµα 9. Οπότε έχουµε ότι το σήµα dxt dt Σχήµα 9: Παραγώγιση σήµατος Άσκησης 5 αποτελείται από : Μια συνάρτηση έλτα, x t A δ t + T Ενα τετραγωνικό παράθυρο, x t A t + T T rect 4 T/ Άλλο ένα τετραγωνικό παράθυρο, x 3 t A t T T rect 4 T/ Και µια ακόµα συνάρτηση έλτα, x 4 t A δ t T
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 8 Άρα τελικά ϑα είναι dxt dt x t + x t + x 3 t + x 4 t A δ t + T + A t + T T rect 4 T/ A t T T rect 4 T/ F { dxt } A dt ejπft/ + A T ft T sinc e jπft/4 A T Aj sin πft + A ft ft sinc j sin jπfxf Aj sin πft + A ft ft sinc j sin Xf AT sinc ft + AT 4 sinc ft T sinc ft A δ t T e jπft/4 A e jπft/ που είναι και το Ϲητούµενο και ίδιο αποτέλεσµα µε αυτό που ϑα παίρναµε αν χρησιµοποιούσαµε απλά σπάσιµο σε απλούστερα σήµατα δες ξανά πρώτη γραµµή αυτής της λύσης. 4 6. Μετασχηµατισµός Fourier - υικότητα Να ϐρεθεί ο µετασχ. Fourier του σήµατος xt + t Η λύση µε τον ορισµό δε συνίσταται... ϑα κάνουµε χρήση ιδιοτήτων και συγκεκριµένα την ιδιότητα της δυικότητας Επίσης γνωρίζουµε από προηγούµενη άσκηση ότι Για a π, η παραπάνω σχέση γράφεται ως e π t xt Xf Xt x f e a t a a + πf 4π π + πf 4π 4π + f π + f Ο δεύτερος όρος της παραπάνω εξίσωσης έχει τη µορφή του σήµατος στο χρόνο που ψάχνουµε. Με χρήση της ιδιότητας της δυικότητας, ϑα είναι που είναι και το Ϲητούµενο. xt + t Xf πe π f πe π f 5 7. Θεώρηµα Parseval Υπολογίστε το E xt dt για το σήµα xt που έχει µετασχ. Fourier όπως στο σχήµα.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 9 Σχήµα : Σήµα Άσκησης 7 Αρχικά, ϑα µπορούσε κάποιος να σκεφτεί να ϐρει το xt µέσω του Xf, αφού το τελευταίο είναι απλό σήµα. Αφού το Xf αποτελείται από σήµατα rect, τότε το xt ϑα αποτελείται από σήµατα sinc, λόγω της ιδιότητας της υικότητας. Πιο συγκεκριµένα, αν Xf rect f 3/4// + rect f + rect f + 3/4// xt sincπte j3πt/4 + sincπt + sincπte j3πt/4 sincπt + sincπt cos3πt/ 3πt sincπt + cos Αφού ϕτάσαµε ως εδώ, πρέπει τώρα να ϐρούµε το xt και να ολοκληρώσουµε. Αυτός ο τρόπος αν ϐγάζει και πουθενά :- ΕΝ συνίσταται! Ενα άλλος τρόπος ϑα ήταν να χρησιµοποιήσουµε το ϑεώρηµα του Parseval, xt dt Xf df Αρκεί να υπολογίσουµε το δεύτερο µέλος, άρα ϑα είναι / Xf df που είναι και το Ϲητούµενο. 6 df + df 5 7 / 8. Συνάρτηση έλτα - Θεωρητικό Είδαµε στη ϑεωρία ότι πολλές συναρτήσεις µπορούν να προσεγγίσουν τη συνάρτηση έλτα. Αν ορίσου- µε τη συνάρτηση έλτα ως αποδείξτε ότι ο µετασχ. Fourier της δt είναι. δt lim A sinπt/a πt
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις Ο µετασχ. Fourier είναι F {δt} lim A δte jπft dt lim A sinπt/a e jπft dt lim πt A sinπt/a e jπft dt πt t A sinc e jπft dt A Οµως το ολοκλήρωµα αυτό δεν είναι τίποτα άλλο από το µετασχ. Fourier του σήµατος xt A sinc t A Από την ιδιότητα της δυικότητας, εύκολα ϐρίσκουµε ότι ο µετασχ. Fourier του σήµατος xt, είναι Οπότε τώρα Ϲητάµε το f Xf rect /A f lim rect A /A Παρατηρούµε ότι το /A είναι η διάρκεια του παλµού, όπως ξέρουµε. Οσο A, τόσο το /A, άρα τόσο µεγαλύτερος γίνεται ο παλµός σε διάρκεια, µέχρι που πλέον δεν υπάρχει παλµός, αλλά για κάθε f η τιµή του σήµατος είναι σταθερη και ίση µε. Άρα τελικά f F {δt} lim rect 8 A /A Μια λιγότερο διαισθητική ερµηνεία έρχεται όταν χρησιµοποιήσουµε απλά µαθηµατικά, δηλ. που είναι και το Ϲητούµενο. f lim rect A /A lim A rectaf rect 9 9. Θεώρηµα Parseval Χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα Parseval, αποδείξτε ότι Θυµίζουµε το ϑεώρηµα του Parseval: sin αt t dt απ xt dt Xf df Εχουµε ότι sin at t dt π a sin a π t asinc sin π a π t a t dt a π a π t dt a dt π t x tdt
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις Άρα αρκεί να ϐρούµε το µετασχ. Fourier του σήµατος a xt asinc π t Από γνωστές ιδιότητες δυικότητα - Xt x f έχουµε ότι Άρα ϑα είναι που είναι και το Ϲητούµενο. x tdt a πf xt asinc π t Xf πrect a a dt asinc π t π a/π π df π f a/π a/π a/π π a π rect f df a/π aπ. Μετασχηµατισµός Fourier - Ιδιότητες Υπολογιστε το µετασχ. Fourier του σήµατος xt πt Το σήµα xt πt είναι περιττό γιατί ισχύει xt x t. Άρα ο µετασχ. Fourier του σήµατος ϑα έχει µόνο ϕανταστικό µέρος, δηλαδή : sinπf t Xf jif j dt πt π j sinπf t dt t Οµως ισχύει - από τυπολόγιο - ότι sinax dx x π, a >,, a, π, a < Οπότε ϑα είναι που γράφεται εν συντοµία ως µε sgnf η συνάρτηση προσήµου j, f >, Xf, f, j f < Xf jsgnf sgnf f f, f.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις. Μετασχηµατισµός Fourier - Θεωρητικό Ι Εστω ότι Xf Rf + jif είναι ο µετασχηµατισµός Fourier ενός πραγµατικού σήµατος xt. Αποδείξτε ότι ο µετασχ. Fourier του άρτιου µέρους του xt είναι ίσος µε Rf και ο αντίστοιχος του περιττού µέρους είναι ίσος µε jif. Είναι Xf X ev f + X odd f + x ev t cosπftdt j x odd t cosπftdt j x ev te jπft dt + x ev t + x odd t cosπftdt j Rf + jif xt cosπftdt j x ev t sinπftdt + x odd t sinπftdt xt sinπf tdt x odd te jπft dt x ev t + x odd t sinπftdt 3 που είναι και το Ϲητούµενο.. Μετασχηµατισµός Fourier - Θεωρητικό ΙΙ Αποδείξτε ότι το πραγµατικό, Rf, και ϕανταστικό, If, του µετασχηµατισµού Fourier ενός µιγαδικού σήµατος xt x R t + jx I t δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις : Rf If Ο µετασχ. Fourier γράφεται ως [ ] x R t cosπft + x I t sinπft dt [ ] x I t cosπft x R t sinπft dt Xf xte jπft dt [x R te jπft + jx I te jπft ]dt x R te jπft dt + j [x R t + jx I t]e jπft dt x I te jπft dt x R tcosπft j sinπftdt + j x R t cosπft + x I t sinπftdt + j Rf + jif x I tcosπft j sinπftdt x I t cosπft x R sinπftdt 4
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 3 Σχήµα : Σήµα Άσκησης 3 3. Μετασχηµατισµός Fourier - Παραγώγιση, Φάση Εστω το σήµα yt του σχήµατος. αʹ Υπολογίστε το µετασχ. Fourier του yt. ϐʹ Σε ποιές συχνότητες υπάρχουν µηδενισµοί στην Yf? γʹ Υπολογίστε το ϕάσµα ϕάσης για f rad/sec. αʹ Θα χρησιµοποιήσουµε παραγώγιση για να ϐρούµε εύκολα το µετ. Fourier του σήµατος. Η παράγωγος ϕαίνεται στο σχήµα. Είναι : Σχήµα : Παράγωγος σήµατος Άσκησης 3 dyt dt F { dyt dt t 3/ t 9/ rect rect } sincfe j3πf sincfe j9πf jπfy f sincfe j3πf e j9πf jπfy f sincfe j6πf j sin3πf Y f 3e j6πf sinc3fsincf 5 ϐʹ Οι µηδενισµοί γίνονται όταν 3πf kπ, k Z και πf lπ, l Z
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 4 άρα το ϕάσµα ϑα µηδενίζεται όταν f k 3, k Z 6 γʹ Η ϕάση του σήµατος αποτελείται από τη ϕάση του εκθετικού, 6πf, και τη ϕάση του sinc3fsincf. εδοµένου ότι οι µηδενισµοί γίνονται κάθε /3 Hz, ϑα έχουµε ότι 6πf, sinc3fsincf >, Y f 6πf + π, sinc3fsincf <, f > 6πf π, sinc3fsincf <, f < Συγκεντρωτικά, Y f 6πf, f < /3 6πf π, /3 f < /3 6πf, /3 f /3 6πf + π, /3 < f /3 6πf, /3 < f 4. Μετασχηµατισµός Fourier - Σύστηµα, Φάση Το σήµα yt του προηγούµενου ϑέµατος είναι είσοδος στο σύστηµα µε απόκριση ht δt + δt + 6. Να υπολογιστεί ο µετασχ. Fourier της εξόδου και οι τιµές του ϕάσµατος για 3 f 3. Είναι Zf Y fhf 3e jπ3f sinc3fsinc3fhf 3e jπ3f sinc3fsincf + e jπ6f 3sinc3fsincfe jπ3f + e jπ3f 6sinc3fsincf cosπ3f 7 Επειδή το σήµα ειναι πραγµατικό, δηλ. If, η ϕάση ϑα είναι ή ±π. Οπου το σήµα είναι ϑετικό, η ϕάση είναι. Οπου είναι αρνητικό, έχουµε δυο περιπτώσεις : για ϑετικές συχνότητες, η ϕάση είναι π, ενώ για αρνητικές συχνότητες, έχουµε ϕάση π. Τα σηµεία µηδενισµού για κάθε όρο του γινοµένου είναι στις ϑέσεις 3πf kπ, πf lπ, 6πf mπ ± π, k, l, m Z f k 3, f l, f m ± 6 m 6 ±, k, l, m Z 8 Προφανώς, το συνολικό σήµα µηδενίζεται στο διάστηµα [ /3, /3] όταν f m 6 ± Συγκεντρωτικά, Zf, /3 f < 3/ π, 3/ f < /, / f / +π, / < f 3/, 3/ < f /3
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 5 που είναι και το Ϲητούµενο. 5. Μετασχηµατισµός Fourier - Θεωρητικό IV Ενα σήµα xt έχει µη µηδενικές συχνότητες στο διάστηµα [ B, B]. είξτε ότι το σήµα x n t έχει µη µηδενικές συχνότητες στο διάστηµα [ nb, nb]. Γνωρίζουµε ότι xtxt Xf Xf και το ϕάσµα είναι µη µηδενικό στο διάστηµα [ B, B], αφού η συνέλιξη δυο σηµάτων που είναι µη µηδενική στο [a, b] και στο [c, d] αντίστοιχα, είναι µη µηδενική στο [a + c, b + d]. Οµοια, xtxtxt [Xf Xf] Xf και το ϕάσµα είναι µη µηδενικό στο διάστηµα [ 3B, 3B] Αντίστοιχα, xtxt xt }{{} n ϕορές Xf Xf Xf }{{} n ϕορές και σκεπτόµενοι όµοια, το ϕάσµα είναι µη µηδενικό στις συχνότητες [ nb, nb]. 6. Μετασχηµατισµός Fourier - Σύστηµα, Ενέργεια ίνεται το σύστηµα µε κρουστική απόκριση Βάζουµε ως είσοδο στο παραπάνω ϕίλτρο το σήµα ht sinπf ct πt xt e t ɛt Ζητείται η συχνότητα αποκοπής f c του ϕίλτρου τέτοια ώστε το ϕίλτρο να αφήνει να περάσει στην έξοδο yt ακριβώς η µισή της συνολικής ενέργειας του σήµατος xt. ίνεται ότι α + x dx x α tan. α Γνωρίζουµε ότι ht sinπf ct πt f {, f fc f c sinc f c t Hf rect f c, f > f c και ότι xt e t ɛt Xf + jπf και άρα η απόκριση του ϕίλτρου στο πεδίο των συχνοτήτων είναι Y f XfHf + jπf, f f c, f > f c
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 6 Η ενέργεια του σήµατος εισόδου είναι E x xt dt e 4t dt + 4 e 4t 4 Θέλουµε να ισχύει E y E x E y 8 yt dt 8 Οµως από ϑεώρηµα του Parseval, έχουµε : Y f df 8 fc f c fc 4π π df + jπf 8 + jπf df 8 f c fc fc 4 fc π 4 + 4π f df 8 + f df 4π 8 df + f 8 fc π df π + f 4 π tan πf c π 4 tan πf c π 4 πf c tanπ/4 πf c f c π Hz 9 7. Μετασχηµατισµός Fourier - Σταθερά + σήµα Βρείτε το µετασχ. Fourier που ϕαίνεται στο παρακάτω Σχήµα 3. Το σήµα που Ϲητείται µοιάζει πολύ µε το γνωστό µας τρίγωνο, δηλ. µε το Σχήµα 4. αλλά µοιάζει να έχει κατέβει κατά µια σταθερά A. Με άλλα λόγια, του έχει προστεθεί η σταθερά A. Προσέξτε, η σταθερά αυτή έχει προστεθεί σε ΟΛΟ το σήµα, ακόµα και στις µηδενικές τιµές δεξιά κι αριστερά του τριγώνου! Ξέρουµε ότι Ετσι, µε την ιδιότητα της µετατόπισης, ϑα είναι t 3T/ Atri T/ t Atri ATsinc ft T Xf ATsinc f T ft e jπf3t/ ATsinc e j3πft
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 7 xt A T T t -A Σχήµα 3: Σήµα Άσκησης 7 xt A T T t Σχήµα 4: Τριγωνικό Σήµα Άσκησης 7 Αφαιρώντας τη σταθερά A, ϑα έχουµε t 3T/ ft xt Atri A Xf ATsinc e j3πft Aδf 3 T/ 8. Μετασχηµατισµός Fourier - Θεωρητικό V είξτε οτι ο µετασχ. Fourier της εξόδου yt ενός ΓΧΑ συστήµατος µε κρουστική απόκριση ht και είσοδο xt δινεται από τη σχέση Yf Xf Hf e jφxf+φ hf 3 όπου Xf, Hf ο µετασχηµατισµός Fourier της εισόδου και του συστήµατος και φ x f, φ h f η ϕάση της εισόδου και του συστήµατος, αντίστοιχα. Η είσοδος xt περιγράφεται στο χώρο της συχνότητας ως Το σύστηµα ht περιγράφεται στο χώρο της συχνότητας ως Xf Xf e jφxf 3 Hf Hf e jφ hf Η έξοδος του συστήµατος yt ισούται µε τη συνέλιξη της εισόδου, xt, µε το σύστηµα, ht. συχνότητας, η συνέλιξη γίνεται γινόµενο, και άρα Y f XfHf Xf e jφxf Hf e jφhf Hf Xf e jφxf+φ hf 33 Στο χωρο της 34
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 8 που είναι και το Ϲητούµενο. Παρατηρείστε ότι ένα σύστηµα επιδρά πολλαπλασιαστικά στο ϕάσµα πλάτους της εισόδου, αλλά αθροιστικά στο ϕάσµα ϕάσης της εισόδου!! 9. Μετασχηµατισµός Fourier - Σύστηµα Εστω το σύστηµα ht e 5t ɛt Στην είσοδό του παρουσιάζεται το σήµα Βρείτε την έξοδο του συστήµατος yt. xt e t ɛt + e 3t ɛt Αυτό που ϑα µπορούσαµε να κάνουµε είναι να υπολογίσουµε τη συνέλιξη της εισόδου µε το σύστηµα, µε τον κλασικό τρόπο του ολοκληρώµατος. Οµως, αν µεταφερθούµε στο πεδίο της συχνότητας, έχουµε ότι yt xt ht Y f XfHf + jπf + 3 + jπf 5 + jπf + jπf + 5 + jπf 5 + jπf3 + jπf A + jπf + B 5 + jπf + C 5 + jπf + D 3 + jπf yt Ae t ɛt + B + Ce 5t ɛt + Ce 3t ɛt 35 µε A B C D + jπf5 + jπf + jπf jπf 5 + jπf jπf + jπf5 + jπf 5 + jπf jπf 5 + jπf jπf 5 5 + jπf3 + jπf 5 + jπf jπf 5 3 + jπf jπf 5 5 + jπf3 + jπf 3 + jπf jπf 3 5 + jπf jπf 3 36 37 38 39 και άρα yt e t ɛt 3 e 5t ɛt + e 3t ɛt 4. Μετασχηµατισµός Fourier - Σύστηµα Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης του σήµατος ht e 4t ut και ϑεωρηστε το ως σύστηµα, στην είσοδο του οποίου εµφανίζεται το σήµα xt A cos4t + θ. Βρείτε και σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης της εισόδου, του συστήµατος, και της εξόδου. Τι παρατηρείτε ; Τέλος, υπολογίστε την ενέργεια της εισόδου xt, του συστήµατος ht, και της εξόδου yt. Η είσοδος γράφεται xt A cos4t + θ A ej4t e jθ + A e j4t e jθ 4
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 9 A Magnitude Spectrum Phase Spectrum theta A/ Radians theta 5 5 Frequency rad/sec αʹ Φάσµα Πλάτους Εισόδου xt Άσκησης 9 5 5 Frequency rad/sec ϐʹ Φάσµα Φάσης Εισόδου xt Άσκησης 9 Σχήµα 5: Φάσµατα Σήµατος Εισόδου Ασκησης 9 Το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης της εισόδου xt ϕαίνεται στο σχήµα 5αʹ και 5βʹ αντίστοιχα. Θα είναι, ως γνωστόν Άρα το πλάτος ϑα είναι ενώ για τη ϕάση ϑα έχουµε ht e 4t ut Hf Hf 4 + jπf 4 + jπf 6 + πf 4 43 Hf 4 + jπf 4 jπf 4 + jπf 4 6 + πf j πf 6 + πf 44 Άρα το σύστηµα γράφεται ως Hf Hf e j tan I{Hf} R{Hf} 45 και άρα η ϕάση ϑα ειναι I{Hf} φf tan R{Hf} tan πf 6+πf 4 6+πf tan πf πf tan 4 4 46 Το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης του συστήµατος ϕαίνεται στο σχήµα 6αʹ και 6βʹ αντίστοιχα. Η έξοδος ϑα είναι προφανώς η συνέλιξη της εισόδου, xt, µε το σύστηµα, ht. Οµως η είσοδος είναι της µορφης xt A cos4t + θ A ej4t e jθ + A e j4t e jθ 47 Γνωριζουµε ότι οι µιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις του συστήµατος, και έτσι, δεδοµέ-
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις Magnitude Spectrum.5 Phase Spectrum.5..5.5 Radians..5.5 6 4 4 6 Frequency rad/sec αʹ Φάσµα Πλάτους Συστήµατος ht Άσκησης 9.5 6 4 4 6 Frequency rad/sec ϐʹ Φάσµα Φάσης Συστήµατος ht Άσκησης 9 Σχήµα 6: Φάσµατα Συστήµατος Ασκησης 9 νου ότι το σύστηµα είναι πραγµατικό σήµα, η έξοδος yt δίνεται από τη σχέση : yt AH4/π AH4/π A H4/π ejφ4/π e j4t e jθ + AH 4/π e j4t e jθ e j4t e jθ + AH 4/π e j4t e jθ e j4t e jθ + A H4/π e jφ4/π e j4t e jθ A H4/π ej4t+θ+φ4/π + A H4/π e j4t+θ+φ4/π A H4/π cos4t + θ + φ4/π A cos4t + θ π 3 4 48 Παρατηρούµε ότι η έξοδος ειναι πάλι ηµιτονοειδής µορφή, οπως η είσοδος, και έχει επηρεαστεί από το σύστηµα τόσο στο πλάτος της πλάτος εισόδου A, πλάτος εξόδου A H4/π, όσο και στη ϕάση της ϕάση εισόδου θ, ϕάση εξόδου θ + φ4/π. Το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης της εξόδου yt ϕαίνεται στο σχήµα 7αʹ και 7βʹ αντίστοιχα. Με κόκκινη διακεκοµµένη γραµµή ϕαίνεται το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης του συστήµατος, και πώς επηρέασε αυτό τις τιµές του ϕάσµατος πλάτους και ϕάσης της εξόδου. Συγκρίνετε µε τα αντίστοιχα της εισόδου. Αν και γνωρίζουµε πιο σύντοµη σχέση για το αποτέλεσµα, ας το δούµε αναλυτικά.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις Magnitude Spectrum,5 Phase Spectrum θ < π/4 Input phase System phase Output phase theta π/4 A/sqrt{3} Radians theta pi/4 theta pi/4 theta π/4 5 5 Frequency rad/sec αʹ Φάσµα Πλάτους Εξόδου xt Άσκησης 9,5 5 5 Frequency rad/sec ϐʹ Φάσµα Φάσης Εξόδου xt Άσκησης 9 Σχήµα 7: Φάσµατα Σήµατος Εξόδου Ασκησης 9