I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα 9.Γωνίες- Ασυνέχειες της παραγώγου.γραμμική προσέγγιση ή γραμμική επέκταση.κανόνας L Hopital.Πλεγμένη παραγώγιση 3.Παράγωγος αντίστροφης 4.Σχετιζόμενοι ρυθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 5.Πρώτο διαφορικό 6.Γραμμική παρεμολή 7.Τάξη απείρου 8.Τάξη μηδενικού 9.Αντίστροφες τριγωνομετρικές.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Κλίση ευθείας: = m+ Η κλίση m μιας ευθείας προσδιορίζεται γεωμετρικά από: τον λόγο των μεταολών {Δ, Δ} m= Δ Δ από οιεσδήποτε αρχικές τιμές {,}, όπως στο πρώτο γράφημα του σχήματος παρακάτω την μεταολή του όταν το αυξηθεί κατά μία μονάδα: Δ = Δ = m, όπως στο δεύτερο και στο τρίτο γράφημα. Δ< m= m= m> Δ > m< m= Δ< Επίσης δίνεται από την τριγωνομετρική εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα: m= tan θ, όπως στο δεύτερο και τρίτο γράφημα. Μεταολές. Θεωρούμε συνάρτηση = f(). Αν το μεταληθεί κατά Δ από κάποια αρχική τιμή, τότε το θα μεταληθεί κατά: Δ = Δf(), όπου: Δf() = f(+ Δ) f() Μέσος ρυθμός μεταολής καλείται το μέγεθος που προκύπτει παίρνοντας τον λόγο των μεταολών: Δ Δf() = f() f() Δ Δ Γεωμετρικά δίνεται από την κλίση της χορδής, όπως (,) Δ = Δf() (,) d στο πρώτο γράφημα παραπλεύρως. Για γραμμικές συναρτήσεις συμπίπτει με την κλίση της ευθείας του Δ d γραφήματος: Δ = m+ Δ = [m( + Δ) + ] [m+ ] = mδ = m Δ 3. (Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος της συνάρτησης f() = στο σημείο της (, ) καλείται το μέγεθος που προκύπτει ως το όριο του παραπάνω λόγου των μεταολών όταν Δ. Παριστάνεται μένα από τα σύμολα: d, (), D() d ή df, f (), Df() d αντίστοιχα Γεωμετρικά δίνεται από την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας στο γράφημα της συνάρτησης στο συγκεκριμένο σημείο, όπως στο δεύτερο σχήμα παραπάνω. Λέμε ότι: Η παράγωγος μετράει την μεταολή του = f() για μεταολή του κατά, οριακά. Παράδειγμα. Δ > Δ m= > Δ = Π.χ. για (=, = ) : θ Δ = (+ Δ) () = [(+ Δ) (+ Δ) ] [ ] = ( )Δ Δ Δ Δ = 3Δ Δ = 3 Δ 3 όταν Δ. Επομένως () = 3. Δ Γενικότερα: Δ = Δ, όταν Δ. Επομένως () Δ =. θ m= m=
4. Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων: f() f () (c) =, (m+ ) = m, = =, (e ) e, ln / sin = cos, cos = sin, tan = + tan 5. Κανόνες παραγώγισης. [αf() + g()] = αf () + g (), γραμμικός συνδυασμός Ειδικότερα: [αf()] = αf (), [f() ± g()] = f () ± g (). [f()g()] = f ()g() + f()g (), γινόμενο f() f ()g() f()g () 3. = g(), πηλίκο g() Παράδειγμα 3 3. ( 5+ ) = ( ) 5() + () = 6 5. 3. 4. α α ( ) = α για όλα τα α ( ) ( ) ( ) = = =, για ( ) ( ) ( ) / / / ( ) = ( ) = = = για + ( e ) = ( ) e + (e ) = e + e = e, για sin (sin ) cos sin (cos ) cos + sin 5. (tan ) = tan cos = = = + cos cos ln 6. (log ) = = ln, για > (μετατρέψαμε σε άση e ) ln 7. (ln ) = () ln + (ln ) = ln + (/ ) = ln +, για > 6. Αλυσωτή παράγωγος Η παράγωγος της σύνθεσης συναρτήσεων ισούται με το γινόμενο των επιμέρους παραγώγων: dz dz d {z = z(), = ()} d = d d ή στην εναλλακτική μορφή: f(g()) = f (g())g () Η ερμηνεία της παραπάνω ισότητας είναι ότι: στο αριστερό μέρος αντικαθιστούμε πρώτα από τις δοθείσες σχέσεις και μετά παραγωγίζουμε, ενώ στο δεξιό μέρος πρώτα παραγωγίζουμε απευθείας τις δοθείσες σχέσεις και μετά αντικαταθιστούμε. Προκύπτουν έτσι οι τύποι: α α. [f ()] = αf ()f () f() f(). [e ] = e f (), [lnf()] = f () / f() 3. [sinf()] = [cos f()]f (), [cos f()] = [sinf()]f () Παράδειγμα. (e ) = e ( ) = e / / [(+ ) ]. (ln + ) = [ln(+ ) ] = = / (+ ) ( + ) Το ίδιο θα ρούμε αν απλοποιήσουμε: / ln( + ) = (/ )ln( + ) ln ln 3. ( ) = (e ) = e (ln) = ln (μετατρέψαμε σε νεπέρια άση) ln ln ln 4. ( ) = (e ) = e ( ln ) = e (ln + ) = (ln + ), για > 7. Μονοτονία Το πρόσημο της ποαραγώγου καθορίζει τις ιδιότητες μονοτονίας της συνάρτησης, σύμφωνα με το παρακάτω θεμελιώδες θεώρημα.
Θεώρημα μέσης τιμής (mean value theorem) Αν η συνάρτηση f() είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α, και έχει παράγωγο σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του: α< <, τότε θα έχουμε: f() f(α) = f (ξ), για κάποιο ξ στο εσωτερικό του: α< ξ <. α Δηλαδή η κλίση της χορδής είναι ίση με τη κλίση της εφαπτόμενης σε κάποιο γνήσια ενδιάμεσο σημείο, όπως φαίνεται και στο γράφημα. Ως άμεση συνέπεια του θεωρήματος μέσης τιμής, ρίσκουμε: Ιδιότητα μονοτονίας σε διάστημα. Μια συνάρτηση f()που είναι συνεχής σε κάποιο διάστημα και έχει παράγωγο σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του, είναι αύξουσα (φθίνουσα) έχει f () ( ) σε όλα τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος. Ειδικότερα, αν ικανοποιεί f () > ( < ) σε όλα τα εσωτερικά σημεία, εκτός ίσως ενός πεπερασμένου πλήθους σημείων όπου μπορεί να μηδενίζεται, τότε είναι γνήσια αύξουσα (φθίνουσα). Παρατήρηση. Συναρτήσεις με f () > ή f () < σε όλα τα σημεία ενός διαστήματος καλούνται ισχυρά μονότονες στο διάστημα. Μια ισχυρά μονότονη συνάρτηση είναι και γνήσια μονότονη. Παράδειγμα. f() = + f () = <, γνήσια φθίνουσα για όλα τα.. = =, γνήσια φθίνουσα για, γνήσια αύξουσα για. f() f () 3 3. f() = f () = 3, γνήσια αύξουσα για όλα τα διότι μηδενίζεται μόνο σένα σημείο: =. 4. f() = ln f () = /, γνήσια αύξουσα για >. 5. f() = f () = /, γνήσια αύξουσα για, διότι είναι συνεχής για και έχει γνήσια θετική παράγωγο στο εσωτερικό: > 8. Στάσιμα σημεία μιας συνάρτησης f() καλούνται τα στα οποία μηδενίζεται η παράγωγος: f () =. Τα στάσιμα σημεία χωρίζουν το διάστημα ορισμού σε υποδιαστήματα, όπου σε κάθε υποδιάστημα η συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη διότι η παράγωγος θα έχει γνήσια το ίδιο πρόσημο, υποθέτοντας συνεχή παράγωγο. Ένα στάσιμο σημείο στο οποίο αλλάζει γνήσια το πρόσημο της παραγώγου είναι γνήσιο τοπικό ακρότατο, μέγιστο αν από θετική γίνεται αρνητική, ελάχιστο στην αντίθετη περίπτωση. Ένα στάσιμο στο οποίο η παράγωγος έχει γνήσια το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν δεν είναι ακρότατο, είναι σημείο καμπής. Παράδειγμα. Θα μελετήσουμε τις ιδιότητες μονοτονίας της συνάρτησης: 3 f() = + α+ f () = 3 + α. Αν α>, τότε f () > για όλα τα, και η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα.. Αν α=, τότε f () = 3. Το πρόσημο της παραγώγου δεν αλλάζει στο στάσιμο: =. Η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα με σημείο καμπής το στάσιμο. 3. Αν α<, τότε f () = 3 + α=, =± α / 3 Η συνάρτηση έχει δύο στάσιμα. Στο πρώτο το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει γνήσια από θετικό σε αρνητικό και επομένως είναι γνήσιο τοπικό μέγιστο. Στο δεύτερο αλλάζει γνήσια από αρνητικό σε θετικό και είναι γνήσιο τοπικό ελάχιστο. α> α= α< 9. Γωνίες-Ασυνέχειες της παραγώγου. Θεωρούμε δύο μορφές ασυνέχειας της παραγώγου f ( ) =±,άπειρη ασυνέχεια. Η εφαπτόμενη ευθεία είναι κατακόρυφη με άπειρη κλίση. o f ( ) f ( ) : ηματική ασυνέχεια. Το γράφημα έχει γωνία. + o o Παράδειγμα. Παρακάτω δίνουμε τα γραφήματα τριών συναρτήσεων καθώς και τα γραφήματα των αντίστοιχων παραγώγων, ως εξής: α ξ 3
. {f() =, } f () = /, με άπειρη ασυνέχεια στο = όταν. f() = ma{,}, = όταν όταν f () = όταν Στο = έχει γωνία με ηματική ασυνέχεια της παραγώγου: f ( + ) f ( ) = = όταν όταν 3. f() = = f () = όταν όταν Στο = έχει γωνία, με ηματική ασυνέχεια της παραγώγου από σε +. f f ma{,}. Γραμμική προσέγγιση ή γραμμική επέκταση μιας συνάρτησης f() στο σημείο, καλείται η γραμμική συνάρτηση που έχει την ίδια τιμή και την ίδια παράγωγο με την συνάρτηση σαυτό το σημείο, δηλαδή είναι η γραμμική συνάρτηση της εφαπτόμενης ευθείας. Υπενθυμίζουμε ότι μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο (, ) με κλίση m, έχει εξίσωση: = + m( ) Επομένως η γραμμική προσέγγιση στο θα έχει: = f( ) και m= f ( ), και θα δίνεται από την γραμμική συνάρτηση f() = f( ) + f ( )( ) όταν Έτσι έχουμε τις παρακάτω χρήσιμες γραμμικές προσεγγισεις: e + (+ ) /, ln(+ ) ln Π.χ. έχουμε τις παρακάτω προσεγγιστικές και αντίστοιχες πραγματικές τιμές:...5 Π.χ. e,..5.488. Κανόνας L Hopital Μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τα όρια απροσδιόριστων μορφών: f() f() f () ή όταν g() g() g () Δηλαδή, αν αμφότερα τα όρια είναι ή τότε παίρνοντας το όριο μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις συναρτήσεις με τις παραγώγους τους Παράδειγμα. Για +, e (e ) e () = +, = = +, e = ln (ln ) / e e 4 4 + ln + / /, ρ ρ + e (παίρνουμε λογαρίθμους). Για sin cos, ln / ln ln = =, = e e = / /.Πλεγμένη παραγώγιση Η παραγώγιση πλεγμένης συνάρτησης μπορεί να εκτελεστεί έμμεσα (δηλαδή χωρίς να λύσουμε πρώτα ως προς την συνάρτηση), παραγωγίζοντας στην εξίσωση F(, ) = c ως προς την μία μεταλητή, θεωρώντας την άλλη ως συνάρτησή της, οπότε έχουμε: ως προς : F(,()) c F, ως προς : F((),) c F e 4
Η διαδικασία καλείται πλεγμένη παραγώγιση, και η παράγωγος που ρίσκουμε καλείται πλεγμένη παράγωγος διότι γενικά εκφράζεται μέσω και του και του, αλλά έαια ισχύει μόνο για τις τιμές (,) που ικανοποιούν την εξίσωση. Παράδειγμα. + = 5. Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς, θεωρώντας το ως πλεγμένη συνάρτηση του, ρίσκουμε: + () 5, ( ) + ( ) = 5 + = () = /, =, = / Π.χ. = + = 5 =, = / ρ ρ Παράδειγμα. + = c με ρ, c>, στη θετική περιοχή: {, } Παραγωγίζουμε πλεγμένα ως προς, θεωρώντας το ως πλεγμένη συνάρτηση του : ρ ρ ρ ρ ρ d ( ) + ( ) = c ρ + ρ = = ρ d Συμπεραίνουμε ότι όσον αφορά την μονοτονία είναι φθίνουσα. Όσον αφορά τις τομές της με τους άξονες διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: /ρ /ρ. ρ>. Τέμνει τους δύο άξονες καθέτως: {=, = c = } και {=, = c = } /ρ /ρ. < ρ<. Τέμνει τους δύο άξονες εφαπτομενικά: {=, = c = }, {=, = c = } 3. ρ<. Δεν τέμνει τους άξονες, διότι έχει οριζόντια και κατακόρυφη ασύμπτωτο, ως εξής: /ρ /ρ {, c } και {, c } Στο παρακάτω σχήμα δίνουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση, για την κάθε περίπτωση. < ρ < ρ< ρ< + = c + = c + = c = c 3. Παράγωγος αντίστροφης Στο ίδιο(, ) οι παράγωγοι αντίστροφων συναρτήσεων: { = () = ()} είναι ανάστροφοι μεταξύ τους: d d = ή () = f () = d d () f (f ()) Παρατήρηση. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, η παράγωγος () ισούται με την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας ως προς τον άξονα, ενώ η παράγωγος () ισούται με την κλίση της ως προς τον άξονα, δηλαδή αφορούν τις τριγωνομετρικές εφαπτόμενες συμπληρωματικών γωνιών: {tanθ, tan(π / θ) = / tanθ}. Παράδειγμα. Θα υπολογίσουμε με τρεις τρόπους την παράγωγο () της συνάρτησης = () που ορίζεται πλεγμένα ως αντίστροφη της = (), όπου: = + 4+. Ως παράγωγο αντίστροφης: () = 4+ () = / () = / (4+ ). Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς : () = (+ 4+ ) = + 4 + = / (4+ ) 3. Λύνοντας την εξίσωση ως προς και παραγωγίζοντας κανονικά, ρίσκουμε: ± = + 4+ + 4 + ( ) = = ± + 3 () = + 3 όπου κάθε φορά επιλέγουμε ένα από τα δύο πρόσημα για το και για το Παρατήρηση. Αν στο αντικαταστήσουμε το που ρήκαμε στο 3 θα ρούμε το ίδιο όπως στο 3: = = = 4+ 4+ ( ± + 3) ± + 3) 5 = + 4+ = ± 3+
Παράδειγμα. Από την παράγωγο της {= ln = e }. Από την παράγωγο f() = e θα ρούμε την παράγωγο της αντίστροφης (ln) = () = / () = / e = / f() =, θα ρούμε την παράγωγο της αντίστροφης { = = } με ( ) = () = / () = / = / 4. Σχετιζόμενοι ρυθμοί: { = (t), = (t)} F(, ) = c Οι παράγωγοι στο ίδιο σημείο συνδέονται με την σχέση σχετιζόμενων ρυθμών: d d d d = dt dt = ɺ ɺ ή ανάστροφα d d d d = dt dt = ɺ ɺ, όπου με πάνω τελεία συμολίζουμε τις παραγώγους ως προς την παράμετρο t. Παράδειγμα. Θα επαληθεύσουμε την σχέση σχετιζόμενων ρυθμών στην τροχιά: ( ) { = + sin t, = cos t} + = 4 αριστερό μέρος: ( ) / + = = ( ) / 4 = sin t / cos t δεξιό μέρος: ɺ / ɺ = sin t / cos t Για το αριστερό μέρος παραγωγίσαμε πλεγμένα ως προς. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 5. Διαφορικά. Αρχίζοντας από κάποιες αρχικές τιμές: {,} f () ln = : f () = : Οι μεταολές: {Δ, Δ} ορίζονται ως μετατοπίσεις πάνω στη καμπύλη της συνάρτησης = f() όπως στο πρώτο σχήμα παρακάτω, και ικανοποιούν την εξίσωση μεταολών: Δ= f(+ Δ) f() Τα διαφορικά: {d, d} ορίζονται ως μετατοπίσεις πάνω στην εφαπτόμενη ευθεία της καμπύλης στο ίδιο σημείο όπως στο δεύτερο σχήμα, και ικανοποιούν την πολύ απλούστερη (γραμμική) εξίσωση διαφορικών: d= ()d (,) Δ Δ d (,) d Μεταολές-διαφορικά Δ d Δ = d Η παραπάνω σχέση μεταξύ των διαφορικών ισχύει οιαδήποτε από τις δύο μεταλητές αν θεωρήσουμε ως ανεξάρτητη, λόγω της σχέσης αναστροφής μεταξύ αντίστροφων συναρτήσεων. Οι δύο έννοιες: {μεταολές, διαφορικά}, συμπίπτουν μόνο για τις γραμμικές εξισώσεις. Στη γενική περίπτωση τα διαφορικά δίνουν μια εκτίμηση των μεταολών όταν αυτές είναι μικρές, με την έννοια ότι στο όριο ο λόγος τους τείνει στην μονάδα. Για τον λόγο αυτό τα διαφορικά ονομάζονται και οριακές μεταολές. Ειδικότερα, όσον αφορά το πρόσημο της μεταολής, ισχύει το παρακάτω: Για μικρά Δ = d το πρόσημο της μεταολής Δ δίνεται από το πρόσημο του διαφορικού d αν το τελευταίο είναι μη μηδενικό, δηλαδή στα σημεία με μη μηδενική παράγωγο. Συμπεραίνουμε ότι η μονοτονία καθορίζεται από το πρόσημο της παραγώγου, όπως διαπιστώσαμε και προηγουμένως. Παρατήρηση. Τα διαφορικά προσεγγίζουν τις μεταολές με τον ίδιο τρόπο που οι γραμμικές προσεγγίσεις προσεγγίζουν τις συναρτήσεις. Π.χ. για την εκθετική συνάρτηση = e, σε τυχόν σημείο της, ρίσκουμε: + Δ Δ μεταολή: Δ = e e = e (e ) e (+ Δ ) = e Δ = e d = d : διαφορικό όπου χρησιμοποιήσαμε την γραμμική προσέγγιση: 6 Δ e + Δ εφόσον το Δ είναι μικρό: Δ
6. Γραμμική παρεμολή μιας συνάρτησης f() μεταξύ δύο σημείων της καλείται η γραμμική συνάρτηση της χορδής που τα συνδέει. = m = + m( ) για μεταξύ των {, }, όπου m= Παράδειγμα. Για τη συνάρτηση =, μεταξύ των σημείων ( =, = 4), ρίσκουμε την γραμμική παρεμολή: 4 = + ( ) = + 3( ) = 3 για 7. Τάξη απείρου. Αν f() g() ( =, = ) και, τότε λέμε ότι το άπειρο του αριθμητή είναι: γνήσια μεγαλύτερης τάξης αν το όριο είναι γνήσια μικρότερης τάξης αν το όριο είναι της ίδιας τάξης αν το όριο είναι αριθμός διάφορος των {, }. Η τάξη απείρου των α { } αυξάνει όταν αυξάνει η δύναμη α>. (, ) και (, ) είναι η κλίση α. Η e έχει μεγαλύτερη τάξη απείρου από κάθε με α>. α 3. Η ln έχει μικρότερη τάξη απείρου από κάθε με α>. 4 5 5 4. Οι δύο συναρτήσεις: {ln + ln + + 5, } έχουν την ίδια τάξη απείρου, διότι αυτή καθορίζεται από τον προσθετικό όρο με την μεγαλύτερη τάξη απείρου. 8. Τάξη μηδενικού. Αν f(), τότε λέμε ότι το μηδενικό του αριθμητή είναι: g() γνήσια μεγαλύτερης τάξης αν το όριο είναι γνήσια μικρότερης τάξης αν το όριο είναι της ίδιας τάξης αν το όριο είναι αριθμός διάφορος των {, } Παράδειγμα. Οι συναρτήσεις: {, e, sin,cos } έχουν όριο όταν. Για το λόγο τους ρίσκουμε: e e, sin cos, cos sin Επομένως οι {e,, sin } έχουν στο = μηδενικό της ίδιας τάξης ενώ η cos έχει ανώτερης. 9.Αντίστροφες τριγωνομετρικές. Ο τύπος αντίστροφης παραγώγου μας δίνει τις παρακάτω παραγώγους για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:. Αντίστροφο ημίτονο: = arcsin = sin με {, π / π / } arcsin = με.αντίστροφη εφαπτομένη: (,) (,4) arcsin / = arctan = tan με: { < <+, π / < < π / } arctan = με < < + + arctan / (+ ) 7
I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ Ασκήσεις. Να ρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:, log, ln( ),. Θεωρούμε την εξίσωση = + με. Να ρεθεί η εξίσωση των μεταολών, και να υπολογιστεί πόσο πρέπει να μεταληθεί το από την τιμή = 4 ώστε η τιμή της συνάρτησης να ελαττωθεί κατά. Να συγκριθεί με την αντίστοιχη εκτίμηση χρησιμοποιώντας διαφορικά. Να επαναληφθεί για την εξίσωση = ln. 3. Να επαληθευτεί ο κανόνας αλυσωτής παραγώγισης για τις παρακάτω συνθέσεις: {f() = ln,g() = e } f g(), {z= ln, = + } z= z(), e, {z= ln, =, = t+ )} z= z(t) 4. Να υπολογιστεί το ήμα της ασυνέχειας της παραγώγου για τις συναρτήσεις: min{, }, ma{, } 5. Να γίνουν τα γραφήματα των παρακάτω συναρτήσεων στο θετικό διάστημα: e, e, ln, ln, ln+ αφού υπολογιστούν στο και στο + οι τιμές τους και οι παράγωγές τους (ως όρια). 6. Να ρεθούν οι γραμμικές προσεγγίσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο = ( ), / 3 (+ ), ln(+ ), 3 + + 7. Για κάθε μία από τις συναρτήσεις f() με τα παρακάτω γραφήματα, να ρεθούν στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων:. Το γράφημα της μέσης τιμής Af() = f() /, δηλαδή της κλίσης της ακτίνας.. Το γράφημα της παραγώγου Mf() = f (), δηλαδή της κλίσης της εφαπτόμενης ευθείας. Μπορείτε να ρείτε αντίστοιχους τύπους συναρτήσεων με τα παρακάτω γραφήματα? 8. Να ρεθεί ως αντίστροφη καθώς και με πλεγμένη παραγώγιση η παράγωγος της συνάρτησης = () που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση: = + + 9. Για κάθε μία από τις παρακάτω εξισώσεις να ρεθούν πλεγμένα οι παράγωγοι του ως προς και του ως προς, και να γίνει επαλήθευση. Να ρεθούν και τα γραφήματα των εξισώσεων. 3 3 / + 3 = 8, =, + = 3,( + ) = 3. Να επαληθευτεί ο κανόνας σχετιζόμενων ρυθμών για τις παρακάτω παραμετρικές εξισώσεις: { = t, = 4t}, { = t, = t / 4} + 3 αν. Θεωρούμε τη συνάρτηση: f() = αν Να επεκταθεί στο διάστημα [,]με πολυώνυμο του ελάχιστου αθμού, έτσι ώστε να είναι: α) συνεχής, ) και παραγωγίσιμη στο =, γ) παραγωγίσιμη και στο =. Σε κάθε περίπτωση να γίνει και το σχετικό γράφημα.. Θεωρούμε την εξίσωση = + με, στο σημείο ( = 4, = 7) α. Να ρεθούν η μεταολή Δ και το διαφορικό: d, αν το μεταληθεί από την τιμή = 4, κατά Δ = d :{,.5,.}. Σε κάθε περίπτωση να υπολογιστεί και ο λόγος: Δ / d. Να ρεθούν η μεταολή Δ και το διαφορικό d, ώστε το να μεταληθεί από την τιμή = 7 κατά Δ = d : {,.5,.}. Σε κάθε περίπτωση να υπολογιστεί και ο λόγος Δ / d 8