ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού

Σχετικά έγγραφα
7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z)

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( )

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΑΧΘΕΙΣΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

f(z) 1 + z a lim f (n) (0) n! = 1

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

w = f(z) = z + i C(0,4) 2πi z 2 (z 2) 3 dz = 1 8. f(z) = (z 2 + 1)(z + i). e z 1 e z 1 = 3 cos 2θ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΙΙ. b) Μιγαδικό ολοκλήρωμα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

Δείκτες Poincaré και Θεώρημα Frommer

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης

Σήματα και Συστήματα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

( ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.: 2. Εστω ότι τα σηµεία z,..., Υπολογίστε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. θ,n ισούται µε. (α) βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο Im

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

k ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι ( )

() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί

z k z + n N f(z n ) + K z n = z n 1 2N

Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Σημειώσεις

Περιεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΑ ΙΑΦΟΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3

< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.

1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 1. Σχήµα 1 Σχήµα 2

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Μια Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση µε Παραδείγµατα και Ασκήσεις

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.


4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων

Το θεώρηµα του Green

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Μεταπτυχιακή Μιγαδική Ανάλυση. Έβδομο φυλλάδιο ασκήσεων, Παραδώστε λυμένες τις 4, 9, 15, 19, 24 και 28 μέχρι

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Transcript:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: z r(cosϑ + isi ϑ) Τότε z r (cos ϑ + isi ϑ ) Ν-οστή ρίζα µιγαδικού / ϑ + π ϑ+ π z r cos + isi όπου 0,,,, Συνθήκες auchy - Riea Έστω µια µιγαδική συνάρτηση f ( z) f( x, y) u( x, y) + iv( x, y) Η f( z) είναι αναλυτική, αν και µόνο αν ισχύουν οι: v v Αν η συνάρτηση ορίζεται σε πολικές συντεταγµένες f () z f(, r ϑ) u(, r ϑ) + iv(, r ϑ) τότε οι παραπάνω συνθήκες γράφονται: v r r ϑ v r r ϑ Αρµονικές συναρτήσεις Μια πραγµατική συνάρτηση f ( xy, ) λέγεται αρµονική, αν ικανοποιεί την εξίσωση Laplace: f f f + 0 ύο πραγµατικές συναρτήσεις uxy (, ) και vxy (, ) λέγονται συζυγείς αρµονικές αν και µόνο αν η µιγαδική συνάρτηση f ( z) uxy (, ) + ivxy (, ) είναι αναλυτική Αν γνωρίζουµε µία από τις δύο συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις, π χ την uxy, (, ) τότε η

συζυγής της vxy, (, ) διαµέσου των συνθηκών auchy Riea, θα δίνεται από: ( xy, ) vxy (, ) dx+ dy ( x0, y0) όπου το ολοκλήρωµα είναι ανεξάρτητο της διαδροµής ανάµεσα στα σηµεία ( x, y ) και ( x0, y 0) Μιγαδική ολοκλήρωση Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα f ( zdz ) µιας µιγαδικής συνάρτησης f ( z) uxy (, ) + ivxy (, ) κατά µήκος της διαδροµής του µιγαδικού επιπέδου γράφεται: f ( z) dz ( u + iv)( dx + idy) ( udx vdy) + i ( vdx + udy) Ολοκληρωτικό θεώρηµα auchy σε απλά συνεκτική περιοχή Αν µια συνάρτηση f ( z) είναι συνεχής σε µια κλειστή απλά συνεκτική περιοχή R+, και αναλυτική εντός της απλής κλειστής καµπύλης, τότε: f( z) dz 0 Ολοκληρωτικό θεώρηµα auchy σε διπλά συνεκτική περιοχή Αν µια συνάρτηση f( z) είναι αναλυτική εντός της καµπύλης και εκτός της καθώς και πάνω στις καµπύλες και, τότε: f( z) dz f( z) dz Αρχή της παραµόρφωσης των κλειστών διαδροµών Το ολοκλήρωµα µιας αναλυτικής συνάρτησης f ( z ) πάνω σε οποιαδήποτε κλειστή καµπύλη έχει την ίδια τιµή πάνω σε οποιαδήποτε άλλη τέτοια καµπύλη, στην οποία η µπορεί να παραµορφωθεί µε συνεχή τρόπο χωρίς να περάσει από ιδιάζοντα σηµεία της f ( z )

Ολοκληρωτικό θεώρηµα auchy σε πολλαπλά συνεκτική περιοχή Θεωρούµε ότι η συνάρτηση f ( z ) είναι αναλυτική στην παρακάτω πολλαπλά συνεκτική περιοχή που ορίζεται από την εξωτερική απλή κλειστή καµπύλη και τις εσωτερικές απλές κλειστές καµπύλες,, 3,, 3 Τότε θα ισχύει: f ( zdz ) f( zdz ) + f( zdz ) + f( zdz ) + f( zdz ) 3 Θεµελιώδες θεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού Έστω ότι µια µιγαδική συνάρτηση f ( z ) είναι αναλυτική σε µια απλά συνεκτική περιοχή R Η τιµή του επικαµπύλιου ολοκληρώµατος της f ( z ) ισούται µε τη διαφορά τιµών οποιασδήποτε παράγουσας F( z ) στα άκρα της διαδροµής ολοκλήρωσης: z z f ( zdz ) Fz ( ) Fz ( ) Μελέτη ολοκληρώµατος ( z a) Έστω το ολοκλήρωµα ( z a) dz, όπου ακέραιος και a µια σταθερά Τότε: 0, αν ( z a) dz πi, αν Ολοκληρωτικός τύπος του auchy για απλά συνεκτική περιοχή Θεωρούµε µια µιγαδική συνάρτηση f ( z ) η οποία είναι αναλυτική εντός µιας απλά συνεκτικής περιοχής R Έστω το σηµείο z a, το οποίο βρίσκεται εντός της περιοχής R Για µια κλειστή καµπύλη εντός της περιοχής R, η οποία περικλείει το σηµείο z a, θα ισχύει: f( z) f ( a) dz πi z a και εν γένει: ( )! f( z) f ( a) dz, 0,,, πi + ( z a) ( όπου f ) ( z ) είναι η -οστή παράγωγος της f ( z ) 3

Ολοκληρωτικός τύπος του auchy για πολλαπλά συνεκτική περιοχή Έστω µια πολλαπλά συνεκτική περιοχή που ορίζεται από την εξωτερική απλή κλειστή καµπύλη και τις εσωτερικές απλές κλειστές καµπύλες,, 3, 3 Ο ολοκληρωτικός τύπος του auchy γίνεται: f ( z) f( z) f( z) f( z) f( z) f( a) πi + + + + + z a πi z a πi z a πi z a πi z a 3 και εν γένει: f ( )! f( z)! f( z)! f( z)! f( z)! f( z) ( a) πi + + + + + ( z a) πi ( z a) πi ( z a) πi ( z a) πi ( z a) + + + + + 3 όπου ( f ) ( z ) είναι η -οστή παράγωγος της f ( z ) (Σηµ : Η φορά διαγραφής κατά µήκος της είναι αντίθετη από τη φορά διαγραφής στις,,,, ) 3 Σειρά Taylor Έστω µια µιγαδική συνάρτηση f ( z ) η οποία είναι αναλυτική σε κάποια περιοχή R Αν z a είναι ένα σηµείο εσωτερικό της R, τότε η συνάρτηση f ( z ) µπορεί να γραφεί ως δυναµοσειρά γύρω από το σηµείο a : ( ) f ( a) f ( a) f( z) f( a) + f ( a)( z a) + ( z a) + + ( z a) +!! Η ακτίνα σύγκλισης της παραπάνω σειράς ισούται µε την απόσταση από το z a µέχρι το πλησιέστερο ιδιάζον σηµείο της f ( z ) 4

Σειρά Lauret Έστω µια συνάρτηση f ( z) η οποία είναι αναλυτική στο εσωτερικό σύνορο και στο σύνορο του κυκλικού δακτυλίου που καθορίζεται από τις z a R και z a R µε R < R Η f ( z ) µπορεί να αναπαρασταθεί σε κάθε εσωτερικό σηµείο του δακτυλίου στη µορφή: 0 0 f( z) a ( z a) + a ( z a) όπου f ( ζ ) a dζ, 0,,, πi + ( ζ a) και, τα σύνορα του δακτυλίου f ( ζ ) a dζ,,, + πi ( ζ a) Ολοκληρωτικά υπόλοιπα Η σταθερά a f( ζ ) dζ π i ονοµάζεται ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο z a Αν η συνάρτηση f ( z ) παρουσιάζει πόλο τάξης στο σηµείο z a, το ολοκληρωτικό υπόλοιπο δίνεται από τη σχέση: a d [( z a) f( z)] ( )! dz z a Στην περίπτωση που έχουµε απλό πόλο ( ) η παραπάνω σχέση απλοποιείται στη µορφή: a li[ f( z)( z a)] z a 5

Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων Z Z Έστω µια µιγαδική συνάρτηση f ( z ) η οποία είναι αναλυτική εντός της καµπύλης εκτός από ορισµένους µεµονωµένους πόλους Z3 Z Τότε θα έχουµε: z z, z z, z z3,, z z f( z) dz πi ( a ) όπου ( a ) i είναι το ολοκληρωτικό υπόλοιπο που αντιστοιχεί στον πόλο z zi Υπολογισµός πραγµατικών ολοκληρωµάτων µέσω του θεωρήµατος ολοκληρωτικών υπολοίπων ** Ολοκληρώµατα του τύπου π 0 F(si ϑ,cos ϑ) dϑ Θέτοντας ϑ το ολοκλήρωµα γράφεται: iϑ iϑ z e dz e id π 0 F(si ϑ,cos ϑ) dϑ R( z) dz πi ( a ) όπου ( a ) i είναι τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα της R( z ) εντός του µοναδιαίου κύκλου : z ** Ολοκληρώµατα του τύπου f ( xdx ) Θεωρούµε ότι: + α) Η µιγαδική συνάρτηση f ( z ) είναι αναλυτική στο πάνω µιγαδικό ηµιεπίπεδο µε την εξαίρεση πεπερασµένου αριθµού πόλων οι οποίοι δεν βρίσκονται στον πραγµατικό άξονα β) Το όριο li f( z) 0 τουλάχιστον ως / z, 0 arg z π z Τότε θα ισχύει: + f( x) dx πi ( a ) όπου ( a ) τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα της f ( z ) στο πάνω ηµιεπίπεδο 6

+ iax ** Ολοκληρώµατα του τύπου f ( x ) e dx, a> 0 - Λήµµα του Jorda α) Η µιγαδική συνάρτηση f ( z ) είναι αναλυτική στο πάνω µιγαδικό ηµιεπίπεδο µε την εξαίρεση πεπερασµένου αριθµού πόλων οι οποίοι δεν βρίσκονται στον πραγµατικό άξονα β) Υπάρχει το όριο li f( z) 0 µε 0 argz π Τότε θα ισχύει: z + iax f( x) e dx πi ( a ) όπου ( a ) τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα της f ( z ) στο πάνω ηµιεπίπεδο 7