ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ - 1 η ΣΕΙΡΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΧΕΙΜ17-18 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ & ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ - 1 η ΣΕΙΡΑ CONTROL SYSTEMS TOOLBOX Υπεύθυνος Μαθήµατος: Αναπ. Καθ. Σφακιωτάκης Μιχάλης ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Η πρώτη σειρά των Ασκήσεων Πράξης έχει ως αντικείµενο την ανασκόπηση της χρήσης των βασικών εργαλείων του Control Systems Toolbox του Matlab για τον ορισµό και την ανάλυση συστηµάτων αυτόµατου ελέγχου. Οι φοιτητές αναµένονται µε την ολοκλήρωση της άσκησης να υπολογίζουν πόλους και µηδενικά διασυνδεδεµένων συστηµάτων ελέγχου, καθώς και να προσοµοιώνουν γραµµικά συστήµατα για διαφορετικές εισόδους αναφοράς. ΣΥΝΟΨΗ ΕΝΤΟΛΩΝ ΤΟΥ CONTROL SYSTEMS TOOLBOX Παρακάτω περιγράφονται συνοπτικά µια σειρά από εντολές του MATLAB Control Systems Toolbox για την ανάλυση και σύνθεση συστηµάτων ελέγχου. Η λίστα δεν είναι διεξοδική, αλλά περιλαµβάνει µόνο όσες εντολές θεωρούνται απαραίτητες για αυτή τη σειρά Ασκήσεων Πράξης. Επίσης, η χρήση ορισµένων εντολών δεν παρουσιάζεται στη πιο γενικευµένη τους µορφή. Για περισσότερες λεπτοµέρειες πληκτρολογήστε στο workspace του MATLAB help control, προκειµένου να εµφανιστεί µια λίστα µε όλες τις εντολές του Toolbox και στη συνέχεια δείτε τη βοήθεια για τις επιµέρους εντολές π.χ. help tf ή doc tf. 1) Ορισµός και πράξεις πολυωνύµων Το πολυώνυµο a m s m + a m 1 s m 1 +...+ a 0 ορίζεται µέσω του διανύσµατος των συντελεστών του [a m a m-1 a 0] (σε φθίνουσα σειρά των δυνάµεων του s ). Παράδειγµα Το πολυώνυµο P(s) = 5s 4 + 2s 2 + 7s + 1 ορίζεται στο Matlab ως P = [5 0 2 7 1] H εντολή polyval(a,v) υπολογίζει την τιµή του πολυωνύµου Α(s) (το διάνυσµα A περιλαµβάνει τους συντελεστές του για s = V (το V µπορεί να είναι και διάνυσµα, οπότε η polyval επιστρέφει την τιµή του πολυωνύµου για όλα τα στοιχεία του V). Παράδειγµα Να υπολογιστεί η τιµή του πολυωνύµου P(s) = 4s 3 + 2s + 7 για s = 0.5 και s= 2 j Εκτελώντας τις εντολές: P = [4 0 2 7]; S = [0.5 2-j]; polyval(p,s) 8.50 19.00-46.00i Εποµένως, P (0.5) = 8.5 και P(2 j) = 19 j46. 1

H εντολή D = polyder(p) επιστρέφει την παράγωγο D(s) του πολυωνύµου P(s). Παράδειγµα Να υπολογιστεί η παράγωγος του πολυωνύµου P(s) = s 5 + 4s 3 + 3s + 1 Εκτελώντας τις εντολές: P = [1 0 4 0 3 1]; D = polyder(p) D = 5 0 12 0 3 Εποµένως, η παράγωγος του πολυωνύµου P(s) είναι το πολυώνυµο D(s) = 5s 4 + 12s 2 + 3. Για να προσθέσουµε ή για να αφαιρέσουµε δύο πολυώνυµα συµπληρώνουµε στο διάνυσµα των συντελεστών εκείνου µε την µικρότερη τάξη κατάλληλο αριθµό µηδενικών (στην αρχή) έτσι ώστε να πάρουµε διανύσµατα συντελεστών ίδιου µήκους, και στην συνέχεια προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα διανύσµατα αυτά. H εντολή roots(p) επιστρέφει τις ρίζες του πολυωνύµου P(s), υπολογίζει δηλ. τις λύσεις της εξίσωσης P(s) = 0. Παράδειγµα Να βρεθούν οι ρίζες του πολυωνύµου A(s) = 3s 4 + 2s 2 + 5s + 1 Εκτελώντας τις εντολές: A = [3 0 2 5 1]; r = roots(p) r = 0.5543 + 1.1799i 0.5543 1.1799i -0.8876-0.2210 Εποµένως, A(s) = 3s 4 + 2s 2 + 5s + 1 = (s + 0.2210)(s + 0.8876)(s 0.5543 + j1.1799)(s 0.5543 j1.1799) Για τον πολλαπλασιασµό A(s)B(s) χρησιµοποιούµε την εντολή conv(a,b) όπου Α, Β τα διανύσµατα συντελεστών των πολυωνύµων. Η εντολή [Q,R] = deconv(a,b) διαιρεί το πολυώνυµο Α µε το Β και επιστρέφει το πηλίκο της διαίρεσης (πολυώνυµο Q) καθώς και το υπόλοιπο (πολυώνυµο R). Παράδειγµα Να βρεθεί το αποτέλεσµα της διαίρεσης των πολυωνύµων s 7 3s 5 + 5s 3 + 7s + 9 και 2s 6 8s 5 + 4s 2 + 10s + 12. Εκτελώντας τις εντολές: A = [1 0-3 0 5 0 7 9]; B = [2-8 0 0 4 10 12]; [Q,R] = deconv(a,b) Q = 0.5 2.0 R = 0 0 13 0 3-13 -19-15 Εποµένως: s 7 5 3 5 3 2 3 s + 5 s + 7 s+ 9 13 3 13 19 15 = 6 5 2 ( 0.5s + 2) + s + s s s 6 5 2 2s 8s + 4s + 10s+ 12 2s 8s + 4s + 10s+ 12 Προς επαλήθευση του αποτελέσµατος, θα πρέπει Rs () + BsQs () () = As (). Εκτελώντας την εντολή: R + conv(b,q) Το Matlab όντως επιστρέφει τα στοιχεία του πολυωνύµου A(s): 1 0-3 0 5 0 7 9 2

H εντολή [R,P,K] = residue(a,β) επιστρέφει τα υπόλοιπα, τους πόλους (οι ρίζες του Β(s)), και τον απευθείας όρο του αναπτύγµατος σε απλά κλάσµατα του λόγου δύο πολυωνύµων Α(s)/Β(s). Αν δεν υπάρχουν πολλαπλές ρίζες το ανάπτυγµα αυτό είναι της µορφής: As R1 R2 Rn = + + L + + K s Bs s P1 s P2 s Pn Τα υπόλοιπα (residues) επιστρέφονται στο διάνυσµα στήλης R, οι θέσεις των πόλων στο διάνυσµα στήλης Ρ και οι απευθείας όροι στο διάνυσµα γραµµής Κ. Ο αριθµός των πόλων είναι n = length B 1 = length R = length P. Το διάνυσµα των συντελεστών του απευθείας όρου είναι κενό αν length(a)< length(b), διαφορετικά length(k) = length(a)- length(b)+ 1. Αν P(i) =...= P(i + m 1) είναι ένας πόλος πολλαπλότητας m τότε το ανάπτυγµα θα περιλαµβάνει όρους της µορφής Ri () Ri ( + 1) Ri ( + m 1) + + L +. 2 s P() i s P() i s P() i m Σηµειώνεται επίσης ότι, καλώντας την εντολή residue ως [A,B] = residue(r,p,k), γίνεται η αντίστροφη διαδικασία και το ανάπτυγµα σε απλά κλάσµατα (όπως προσδιορίζεται από τα διανύσµατα R, P, K σύµφωνα µε τα παραπάνω) µετατρέπεται στη µορφή A(s)/B(s). Παράδειγµα Να γίνει η ανάπτυξη σε απλά κλάσµατα της ακόλουθης συνάρτησης: F(s) = 2s3 + 9s + 1 s 3 + s 2 + 4s + 4 Εκτελώντας τις εντολές: A = [2 0 9 1]; B = [1 1 4 4]; [R,P,K] = residue(a,b) R = 0.0000-0.2500i 0.0000 +0.2500i -2.0000 P = 0.0000 +2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000 K = 2.0000 Εποµένως, η ανάπτυξη σε απλά κλάσµατα της F(s) θα είναι της µορφής: F(s) = 2 + j0.25 s + j2 + j0.25 s j2 + 2 s + 1 Παρατηρήστε ότι το διάνυσµα P περιέχει τις ρίζες του παρανοµαστή της F(s). Το αποτέλεσµα µπορεί να επιβεβαιωθεί και µέσω της αντίστροφης µετατροπής: [A,Β] = residue(r,p,k); F = tf(a,b); 2) Ορισµός συναρτήσεων µεταφοράς συστηµάτων tf([a m a m-1 a 0 ],[b n b n-1 b 0 ]) : µε την εντολή αυτή ορίζεται συνάρτηση µεταφοράς της µορφής: a m s m + a m 1 s m 1 +...+ a 0 b n s n +b n 1 s n 1 +...+b 0 3

zpk([z 1 z 2 z m ], [p 1 p 2 p n ], k) : µε την εντολή αυτή ορίζεται συνάρτηση µεταφοράς της µορφής: Παραδείγµατα ορισµού συστηµάτων k (s z 1 )(s z 2 )...(s z m ) (s p 1 )(s p 2 )...(s p n ) G 1 (s) = 3s2 + 2s + 8 s 4 + 9s 3 + 2s 2s 2 1 G 2 (s) = (s + 4)(s 2 + 3s + 5) (s + 5) G 3 (s) = 9 s(s + 4)(s 2) (8s + 1) G 4 (s) = 2 s(0.2s + 1)(s + 4) (10s + 1)(s + 3) G 5 (s) = 3 (s + 6)(s 2 + 4s + 7) G1 = tf([3 2 8],[1 9 0 2 0]) N = [2 0-1]; D = conv([1 4],[1 3 5]); G2 = tf(n,d) G3 = zpk([-5],[0-4 2],9) Z = [-1/8]; P = [0-5 -4]; k = 2*8/0.2; G4 = zpk(z,p,k) Z = [-0.1-3]; P = [-6 roots([1 4 7])' ]; G5 = zpk(z,p,3*10) 3) Εξαγωγή στοιχείων από µια συνάρτηση µεταφοράς Η εντολή [NUM,DEN] = tfdata(sys,'v') επιστρέφει τα πολυώνυµα NUM και DEN του αριθµητή και του παρονοµαστή της συνάρτησης µεταφοράς ως διανύσµατα στήλης. Η εντολή [Z,P,K] = zpkdata(sys,'v') για ένα σύστηµα µιας εισόδου µιας εξόδου επιστρέφει τα µηδενικά Ζ και τους πόλους Ρ του συστήµατος ως διανύσµατα στήλης. 4) Διασύνδεση συστηµάτων Η εντολή G = series(g1,g2) επιστρέφει την συνάρτηση µεταφοράς της εν σειρά διασύνδεσης των συναρτήσεων µεταφοράς G1,G2. Η εντολή G = parallel(g1,g2) επιστρέφει την συνάρτηση µεταφοράς της παράλληλης διασύνδεσης των συναρτήσεων µεταφοράς G1,G2. Η εντολή G = feedback(g1,g2) επιστρέφει την συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου (µε αρνητική ανατροφοδότηση) του διπλανού συστήµατος. Η εντολή G = feedback(g1,g2,+1) επιστρέφει την συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού βρόχου συστήµατος µε θετική ανατροφοδότηση της G 2. 4

5) Ανάλυση χρονικής απόκρισης συστήµατος Η εντολή step(sys,tfinal) εµφανίζει γράφηµα µε τη βηµατική απόκριση του συστήµατος SYS από t=0 έως t=tfinal. Εναλλακτικά, η κλήση της εντολής µπορεί να γίνει ως [Υ,T]=step(SYS,TFINAL), οπότε στα διανύσµατα Υ και T επιστρέφονται η βηµατική απόκριση του συστήµατος SYS και οι αντίστοιχες χρονικές στιγµές. Στην περίπτωση αυτή, δεν εµφανίζεται αυτόµατα το γράφηµα της απόκρισης. Η εντολή impulse(sys,tfinal) εµφανίζει γράφηµα µε την κρουστική απόκριση του συστήµατος SYS από t=0 έως t=tfinal. Εναλλακτικά, η κλήση της εντολής µπορεί να γίνει ως [Υ,T]=impulse(SYS,TFINAL), οπότε στα διανύσµατα Υ και T επιστρέφονται η κρουστική απόκριση του συστήµατος SYS και οι αντίστοιχες χρονικές στιγµές. Στην περίπτωση αυτή, δεν εµφανίζεται αυτόµατα το γράφηµα της απόκρισης. Η εντολή lsim(sys,u,t) εµφανίζει γράφηµα µε την απόκριση του συστήµατος SYS για το σήµα εισόδου που περιγράφεται από τα U και Τ. Το Τ είναι το διάνυσµα των χρονικών στιγµών ενώ το U είναι ένα διάνυσµα που το i-οστό του στοιχείο περιγράφει την είσοδο την χρονική στιγµή Τ(i). Για παράδειγµα, η σειρά των εντολών sys = tf([1],[5 1]); t = 0:0.01:5; u = sin(2*t); lsim(sys,u,t) εµφανίζει την απόκριση του συστήµατος 1 5s + 1 στην είσοδο u(t)=sin(2t) από 0 έως 5 sec. ΕΡΩΤΗΜΑ - 1 Δίνονται τα πολυώνυµα A(s) = s 2 + 4s + 5 και B(s) = 6s 3 + 5s + 2. Χρησιµοποιώντας το Matlab να βρεθούν τα παρακάτω: Η τιµή του A(s) για s = 4 ± j2. Η παράγωγος db(s) ds. (γ) Το αποτέλεσµα των πράξεων A(s)+ B(s) και A(s)B(s). (δ) Η περιγραφή της συνάρτησης µεταφοράς G(s) = A(s)/B(s) σε µορφή πόλων µηδενικών. (ε) Η τιµή της G(s) για s = 1 ± j2. (στ) Το ανάπτυγµα της G(s) σε άθροισµα µερικών κλασµάτων. ΕΡΩΤΗΜΑ 2 Να δοθεί η διαφορική εξίσωση που αντιστοιχεί στις παρακάτω συναρτήσεις µεταφοράς: C(s) R(s) = 10 (s+7)(s+ 8) C(s) R(s) = s+ 2 s 3 + 8s 2 + 9s+ 15 5

ΕΡΩΤΗΜΑ 3 Θεωρήστε το σύστηµα µάζας ελατηρίου αποσβεστήρα που παρουσιάστηκε στη Θεωρία: Λαµβάνοντας l0 = 0.06 m, m = 2 kg, k = 300 N/m και c = 70 Nsec/m να βρεθεί, µέσω υπολογισµού µε τη βοήθεια του µετασχηµατισµού Laplace, η αναλυτική έκφραση για την απόκριση x(t) της θέσης του οχήµατος για εφαρµοζόµενη δύναµη f(t) = 10 N, µε αρχικές συνθήκες x0 = 0.05 m και!x 0 = 0. Στη συνέχεια, χρησιµοποιώντας το Matlab, να δοθεί η γραφική παράσταση της x(t). Να επαναληφθεί το προηγούµενο ερώτηµα για την περίπτωση που η µάζα του οχήµατος αυξηθεί σε m = 7 kg. ΕΡΩΤΗΜΑ 4 Ο τελεστικός ενισχυτής είναι από τα στοιχεία που απαντώνται ευρύτατα στις πρακτικές υλοποιήσεις των συστηµάτων αυτόµατου ελέγχου. Υπενθυµίζεται ότι η συνάρτηση µεταφοράς µεταξύ της τάσης εξόδου και της τάσης εισόδου ενός ιδανικού τελεστικού ενισχυτή στη µη-αναστρέφουσα συνδεσµολογία του σχήµατος ισούται µε Vout() s Z () s V () s Z () s in 2 =, 1 όπου µε Z 1 (s) και Z 2 (s) συµβολίζονται οι σύνθετες αντιστάσεις των αντίστοιχων κλάδων του σχήµατος. Με βάση τα παραπάνω, να δοθεί το διάγραµµα πόλων-µηδενικών της συνάρτησης µεταφοράς G(s) =V 2 (s)/v 0 (s) του παρακάτω κυκλώµατος θεωρώντας R = 20kΩ και C = 1mF. 6

ΕΡΩΤΗΜΑ 5 Έστω το παρακάτω ηλεκτρικό κύκλωµα: v in (t) v out (t) Να βρεθεί η αναλυτική έκφραση για τη συνάρτηση µεταφοράς V out (s) V in (s) Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα τελικής τιµής να βρεθεί η τελική τιµή της τάσης v out για σταθερή τάση εισόδου v in (t)= 24 Volt ΕΡΩΤΗΜΑ 6 Έστω το παρακάτω σύστηµα κλειστού βρόχου: G C (s) = 1.2 s + 1.4 s H(s) = 100 s + 100 5, G(s) = s 2 + 3s + 2 (γ) Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου µέσω του Matlab. Αφού επαληθευτεί ότι τι σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές, να υπολογιστεί µέσω του θεωρήµατος τελικής τιµής η έξοδος y(t) στην µόνιµη κατάσταση ισορροπίας για r(t)=1. Στη συνέχεια, να επαληθευτεί το θεωρητικό αποτέλεσµα µέσω της step. Χρησιµοποιώντας την εντολή lsim να δοθεί η γραφική παράσταση της απόκρισης του συστήµατος στο παρακάτω σήµα εισόδου r(t): 7