ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Η σχέση που υπάρχει ανάμεσα στον συντελεστή αυτοσυσχετίσεως καθώς και στο μήκος της υστέρησης ή προήγησης καλείται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης.
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 2 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (CORRELOGRAM) Η διαγραμματική απεικόνιση των τιμώντηςρkμαςδίνειτο διάγραμμα της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης το οποίο και χρησιμοποιούμε για να διαπιστώσουμε την στασιμότητα μιας χρονοσειράς. (Θέλουμε μια σχετική γρήγορη μείωση των διαδοχικών συντελεστών αυτοσυσχέτισης)
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΣΤΑΣΙΜΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ ΜΗ ΣΤΑΣΙΜΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Για μια στάσιμη χρονοσειρά όπως φαίνεται και παρακάτω οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης φθίνουν γρήγορα προς το μηδέν καθώς μεγαλώνει ο αριθμός των υστερήσεων k ενώ αντίθετα δεν συμβαίνει το ίδιο στις μη στάσιμες χρονολογικές σειρές. Οι μη στάσιμες σειρές μετατρέπονται σε στάσιμες παίρνοντας πρώτες ή δεύτερες διαφορές ή με τη χρήση λογαρίθμου.
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ BARTLETT(Barle s Tes) O έλεγχος του Barle βασίζεται στην υπόθεση ότι η χρονολογική σειρά είναι στάσιμη και οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης του δείγματος ακολουθούν προσεγγιστικά την κανονική κατανομή με μηδενικό μέσο και διακύμανση (μέγεθος του δείγματος). Ο στατιστικός έλεγχος σημαντικότητας των συντελεστών αυτοσυσχέτισης γίνεται με es.προφανώς κάποιος Συντελεστής αυτοσυσχέτισης δεν παίρνει Θεωρητικάποτέτηντιμήμηδέν, ωστόσομπορείναπάρειτιμήη οποία στατιστικά δεν διαφέρει από το μηδέν. Ο έλεγχος δίνεται: Η : ρ = 0, vs Η : ρ 0, 0 k 1 k ρk = = ρ, P( 2 1 k N Ε ρk± ) = 0.95 1 N N
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 5 ΕΛΕΓΧΟΣ BOX-PIERCE Γιαναελέγξουμεαπόκοινούότιένας αριθμός συντελεστών διαφέρει ή όχι από την τιμή μηδέν χρησιμοποιούμε το στατιστικό κριτήριο Q των Box-Pierce. Η : ρ = ρ =... = ρ = 0, vs Η : ρ 0, j=1,2,...h 0 1 2 k 1 k 2 Q= N ρj Χ j= 1 2 κ, α j ΣΤΑΣΙΜΗ
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 6 ΕΛΕΓΧΟΣ BOX-LJUNG Η στατιστική των Ljung Box, ακολουθεί την κατανομή Χ2(α,k) και δίνει καλύτερα αποτελέσματα από την Q στατιστική ότανέχουμεμικράδείγματατ< 30.Προφανώςηυπόθεσηείναι ηίδιαόπωςκαιμετονέλεγχοbox-pierce. Η : ρ = ρ =... = ρ = 0, vs Η : ρ 0, j=1,2,...h 0 1 2 k 1 k 2 ρj Q= NN ( + 2) Χ n j j= 1 2 κα, j ΣΤΑΣΙΜΗ
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 7 BOX-LJUNG-BOX-PIERCE ΕΛΕΓΧΟΙ ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΡΧΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ ΑΠΟ ΟΧΗ ΑΡΧΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ 2 Χ κ, α
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 8 ΕΝΝΟΙΑΔΙΑΦΟΡΙΣΗΣ Όταν μια χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη την μετατρέπω υπολογίζοντας τις πρώτες και δεύτερες διαφορές ως εξής: Y = Y Y 1 2 Y = ( Y ) = Y Y 1 =... = Y 2Y 1 + Y 2
ΕΜΠ - Μονάδα Συστηµάτων Πρόβλεψης και Προοπτικής Σελίδα 9 Μαθηµατικοί Μετασχηµατισµοί Μετασχηµατισµός τετραγωνικής ρίζας: W = Y Μετασχηµατισµός κυβικής ρίζας: W = 3 Y Λογαριθµικός Μετασχηµατισµός: Μετασχηµατισµός αρνητικού αντιστρόφου: W = log( Y ) W = 1 Y Η ισχύς των µετασχηµατισµών αυξάνει από τον πρώτο προς τον τελευταίο. Τεχνικές Προβλέψεων Εισαγωγή
ΕΜΠ - Μονάδα Συστηµάτων Πρόβλεψης και Προοπτικής Σελίδα 10 Μαθηµατικοί Μετασχηµατισµοί Τεχνικές Προβλέψεων Εισαγωγή
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 11 ΜΕΡΙΚΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ-PARTIAL AUTOCORRELATION Ο συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης (parial auocorrelaion) μεταξύ y και y+sορίζεται ως ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ τους όταν έχουν ληφθεί υπόψη οι αυτοσυσχετίσεις όλων των ενδιάμεσων τιμών y+1, y+2, y+3.. y+k+1. y = φ y + φ y + ε 12 1 22 2 Χρονική υστέρηση για την y-1 Συσχέτιση µεταξύ Y,y-2 y φ y φ y φ y ε = 1p 1 + 2p 2 +... + pp p +
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 12 ΜΕΡΙΚΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ-PARTIAL AUTOCORRELATION Γενικά θα ισχύει: y φ y φ y φ y ε y = 1p 1 + 2p 2 +... + pp p + = φ y + ε 11 1 y = φ y + φ y + ε 12 1 22 2 y = φ y + φ y + φ y + ε 13 1 23 2 33 3
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 13 ΜΕΡΙΚΗΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Ας θεωρήσουμε την παλινδρόμηση της μορφής Y = φ12y 1+ φ22y 2+ ε Γενικά ο συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης p- οστής τάξης φppκαι είναι ο συντελεστής του Υ-p Y φ Y φ Y φ Y ε = 1p 1+ 2p 2 +... + pp p+
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 14 ΛΕΥΚΟΣΘΟΡΥΒΟΣ Μια χρονολογική σειρά θα λέμε ότι είναι λευκός θόρυβος εάν δεν ακολουθεί κάποιο συγκεκριμένο πρότυπο (paern).μια τέτοια σειρά θα χαρακτηρίζεται από τις παρακάτω ιδιότητες: E E E 2 2 ( ε ) = 0, γ0= ( ε ) = σ, γκ= ( εε k ) = 0 για κ 0 (π.χ οι αριθμοί κλήρωση ΛΟΤΤΟ-ΠΡΟΠΟ κ.τ.λ. ανά μήνα)
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 15 ΤΥΧΑΙΑΔΙΑΔΡΟΜΗ-RANDOM WALK Στο υπόδειγμα της τυχαίας Διαδρομής(random walk process) κάθε τιμή της χρονολογικής σειράς προκύπτει από την αμέσως προηγούμενη της με την προσθήκη βέβαια ενός τυχαίου σφάλματος. (Περισσότερα στο επόμενο μάθημα) y y = y + ε 1 Τυχαία Διαδρομή = α + y + ε 1 με σταθερά
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 16 ΤΥΧΑΙΑΔΙΑΔΡΟΜΗ-RANDOM WALK Ας θεωρήσουμε την y = y y = ε 1 y = y + ε 1 χρονολογική σειρά υπολογίζοντας την Εξετάζοντας διαχρονικά πως εξελίσσεται η χρονοσειρά αυτή θα δούμε ότι y = y + ε + ε +... + ε = y + + ε 0 1 2 0 i i= 1 Πως θα διαπιστώνατε γνωρίζοντας ότι η συγκεκριμένη χρονοσειρά είναι στάσιμη τα εξής μεγέθη; E( y ) = E( y + ε + ε +... + ε ) =... 0 1 2 2 Var( y ) = E y E( y ) =... Cov( y, y ) = E( ε + ε +... + ε ) E( ε + ε +... + ε ) =... s 1 2 1 2 s τ
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 17 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1(Ασκηση Χρήστου 1 σελ. 745) Έστω οι πωλήσεις μιας επιχείρησης σε εκ. ευρώ. Να υπολογιστούν οι αυτοδιακυμάνσεις και οι αυτοσυσχετίσεις και να γίνει το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης. Χρονική Περίοδος Πωλήσεις 1 215 2 211 3 207 4 207 5 210 6 209 7 214 8 208
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 18 ΕΦΑΡΜΟΓΗ2 Έστω τα καθαρά κέρδη μιας μικρής βιοτεχνίας σε εκ. ευρώ. Να υπολογιστούν οι αυτοδιακυμάνσεις και οι αυτοσυσχετίσεις και να γίνει το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης. Χρονική Περίοδος Πωλήσεις 1 102 2 104 3 100 4 97 5 97 6 98 7 101 8 101
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 20 ΕΦΑΡΜΟΓΗ3 Δίνονται οι πρώτες 10 δειγματικές αυτοσυσχετίσεις από μία χρονοσειρά(n=64): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.85 0.78 0.86 0.68 0.54 0.47 0.31 0.12 0.001-0.002 Ποιες αυτοσυσχετίσεις είναι στατιστικά σημαντικές;
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 21 ΕΦΑΡΜΟΓΗ4 Δίνονται οι πρώτες 10 δειγματικές αυτοσυσχετίσεις και μερικές αυτοσυσχετίσεις από μία χρονοσειρά (N=25): N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ρ 0,71 0,6 0,35 0,15 0,03-0.01 0,01-0,014 0,013 0,01 Θεωρείται ότι η χρονοσειρά είναι στάσιµη;
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 22 ΕΦΑΡΜΟΓΗ5 Δίνονται οι πρώτες 12 δειγματικές αυτοσυσχετίσεις και μερικές αυτοσυσχετίσεις από μία χρονοσειρά: N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ρ 0,91 0,84 0,75 0,65 0,43 0,21 0,01-0,014 0,013 0,01 0,001 0,001 φ 0,91 0,74 0,68 0,41 0,31 0,11 0,21 0,01-0,01-0,12-0,004 0,0001 Να βρεθούν οι στατιστικά σηµαντικές αυτοσυσχετίσεις καθώς και οι µερικές αυτοσυσχετίσεις Θεωρείται ότι η χρονοσειρά είναι στάσιµη;
ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 23 ΕΦΑΡΜΟΓΗ6 Δίνονται οι πρώτες 12 δειγματικές αυτοσυσχετίσεις και μερικές αυτοσυσχετίσεις από μία χρονοσειρά : N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ρ 0,81 0,78 0,7 0,6 0,32 0,11 0,01-0,017-0,013 0,01 0,001 0,011 Μπορείτε να θεωρήσετε ότι τα υπόλοιπα αυτά προέρχονται από σφάλματα που έχουν χαρακτηριστικά λευκού θορύβου(ε.σ α=5%, N=144).
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 24 X-2 disribuion
ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 25 Τιναδιαβάσω Κεφάλαιο Δεύτερο από το βιβλίο της Δημελή Σημειώσεις μαθήματος από το e-class.