ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Περιπτώσεις στις οποίες βρίσκουμε την παράγωγο της f στο με τον ορισμό ~ Να βρεθούν με τη βοήθεια του ορισμού οι παράγωγοι αριθμοί των παρακάτω συναρτήσεων: i) f() = + + 4 στο =- ii) f() = ( - ) - + στο = iv) f() = + ημ στο = v) f() = και = ~ Να βρεθούν με τη βοήθεια του ορισμού οι παράγωγοι αριθμοί των παρακάτω συναρτήσεων: i) f() 4 = στο = ii) f() = και = Περιπτώσεις στις οποίες η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου και το σημείο αλλαγής f() -f( ) f() -f( ) τύπου: Εξετάζω αν είναι ίσα τα όρια : και - - + - ~ Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο όταν: ì + ημ, < ï i) f() = í π ï + εφ, < î ì -, < και = ii) f() = í î, ³ και = Περιπτώσεις εύρεσης παραμέτρων ώστε η f να είναι παρ/μη σε σημείο αλλαγής τύπου: Απαιτώ η f να είναι συνεχής στο Απαιτώ η f να είναι παρ/μη στο Προκύπτει σύστημα το οποίο και λύνω ώστε να βρω την τιμή των παραμέτρων ì ï + α + β, 4 ~ Έστω η συνάρτηση f() = í, να βρεθούν οι α,βî R ώστε η ïî +, > συνάρτηση f να είναι συνεχής στο = και παραγωγίσιμη στο = ì ï f (), 5 Έστω η συνάρτηση f με f() = και f() = και η g() = í ïî α + β, > Να βρείτε τα α, β, ώστε η g να είναι παραγωγίσιμη στο
Περιπτώσεις στις οποίες δίνονται ανισωτικες σχέσεις που ισχύουν για την f f() -f() Προσπαθώ να κατασκευάσω την παράσταση και να βρω το όριο της στο - Προσοχή όταν διαιρούμε με - διακρίνουμε Περιπτώσεις 6 ~Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο = και για κάθε Î R ισχύει ημ f() ημ +, να αποδείξετε ότι: ι)f() = ιι) df() d = 7 ~ Για μια συνάρτηση f:r R ισχύει ότι: Αν η f είναι συνεχής στο =,τότε: α) να αποδείξετε ότι f() =, β)να βρείτε το f(), γ) να αποδείξετε ότι f ()= 4 f()ημχ - χ χ για κάθε χîr 8 ~Εάν οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R και παραγωγίσιμες στο = Εάν ισχύει f() = g() και f() + ³ g(), για κάθε Î R, δείξτε ότι: g() - f () = Εύρεση f ( ) από σχέση ισότητας 9 ~Δίνεται συνάρτηση f:r R παραγωγίσιμη στο = με f ()- ημχ f () + f() = - + ημ χ Να αποδείξετε ότι f() = Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f() = - α g() είναι παραγωγίσιμη στο = α, να δείξετε ότι η συνάρτηση = α, αν και μόνο αν g(α) = Περιπτώσεις στις οποίες γνωρίζω ότι η f είναι παρ/μη και ψάχνω κάποιο όριο f() -f( ) Χρησιμοποιώ ότι = f() (Συνήθως θέτω) - ~Εάν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο αî R με f(α) - α f() = f(α) - α ν α -α f(α) ~Έστω η συνάρτηση f με f() = f() = Να βρείτε τα όρια: f ()- 4 ι) + - f() - ιι) + - Εάν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο αîr α f() - f(α) i) Να δείξετε ότι = α f (α) - α f(α) α -α ii) Εάν και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο αî R, να δείξετε ότι: g(α) f() - g() f(α) = g(α) f (α) - f(α) g(α) α -α = ν, να δείξετε ότι:
Περιπτώσεις στις οποίες δίνεται κάποιο όριο και ζητείται να δείξω ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο f() -f( ) Προσπαθώ να βρω το = f() (Συνήθως θέτω) - 4 ~Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύει ότι: f() - ημ = + α Να βρείτε την τιμή f() β Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την f () γ Να υπολογίσετε τα όρια: f(4) f(ημ) ι) ιι) - f() - 5 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύει ότι: = - α Να βρείτε την τιμή f() β Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την f () γ Να υπολογίσετε τα όρια: f() - f() - i ii - - Περιπτώσεις στις οποίες χρησιμοποιούμε τους τύπους: f( + h) -f() f(h ) - f( ) = f() ή = f() ή άλλους τύπους που h h (h - ) προκύπτουν με αντικατάσταση μεταβλητής από τον αρχικό τύπο f() -f( ) = f() - 6 ~ Δείξετε ότι: f( + κh) -f( ) h = κf() 7 Δείξετε ότι: f( + h) -f( -h) h = f() 8 ~ Δίνεται παραγωγισιμη συνάρτηση f:(, + ) R για την οποία æ æ ö æ öö ισχύει: χç f f ç + - + = ç è è ø è øø Παράγωγος και συναρτησιακές σχέσεις Να δείξετε ότι: f() = 9 ~Έστω συνάρτηση f για την οποία για κάθε,yî R ισχύει: f( + y) = f() + f(y) + y - y Δείξτε ότι αν η f είναι παραγωγίσιμη στο = τότε είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Î R
~Έστω συνάρτηση f: (, + ) R για την οποία για κάθε,y Î (, ) f( y) = f() + f(y) - y + - Αν είναι f() = να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε (, ) Î + Συνέχεια και παράγωγος με κριτήριο παρεμβολής + ισχύει: ~Έστω f:r R μια συνάρτηση με f () + f() + =,Î R να δείξετε ότι: α) η f είναι συνεχής στο = β) f() = Παραγωγος συναρτήσεων της μορφής: ( f() ) g() ~Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) f() = ( + ) ii) f() = ( ημ ) Εύρεση παράγωγου για συναρτήσεις με ρίζα:στο σημείο που μηδενίζεται η υποριζος ποσότητα εξετάζω αν παραγωγίζεται η συνάρτηση με τον ορισμό ~Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους: i) f() 4 = ii) f() = ημχ + χ Εύρεση της f όταν η f έχει διπλό τύπο: βρίσκω την παράγωγο της f σε κάθε τύπο ξεχωριστά στο σημείο αλλαγής τύπου εξετάζω αν η f είναι παραγωγισιμη με τον ορισμό 4 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: ì, < ï ìï -, < i) f() = í + 5 ii) f() = í 4 ï, ³ ïî -, ³ î 6 5 ~Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο των συναρτήσεων: 4 ì ï + ημ, > ì ï +, > i) f() = í ii) f() = í 5 ïî 4 +, ïî +, Εφαρμογή των κανόνων παραγώγισης για την απόδειξη διάφορων σχέσεων 6 Αν f() = e να βρεθούν οι τιμές των α,β,γî R ώστε για κάθε Î R να ισχύει: α f() + β f () + γ f () = e 7 ~ Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R και για κάθε Î R ισχύει: - - = e, να αποδείξετε ότι: f () ég() - g() ù + g () éf() - f () ù = f() g() ë û ë û * * 8 ~ Έστω οι συναρτήσεις fgr, : R, παραγωγίσιμες στο = και για κάθε * Î R + + + ισχύει: e f() - g() ln = α e g(), να δείξετε ότι: f () g() - f() g() = e - g ()
9 Δίνεται η συνάρτηση ( ) f() = ln + -, Î R Να αποδείξετε ότι: Α Ισχύουν οι σχέσεις: i) f() + f( - ) = ii) f () = f (-) iii) f() + f( - ) = f() -f() Β Δείξετε ότι: ( ) e + e f(), ÎR Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R, με f() = και f() =, Θεωρούμε επιπλέον, της συνάρτηση g() = f () - f( ) Να βρείτε: g( + εφ) -g() α τον g () β ημ Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύει: f ημ + f συν = ημ + συν + για κάθε Î R Αν η γραφική παράσταση της f ( ) ( ) διέρχεται από το σημείο Α(,), να βρείτε: α) το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y y β) την f () γ) το όριο f() - + ημ ~ Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: 6 f - 4f = - + - για κάθε Î R ( ) ( ) α) Να βρείτε τις τιμές f ( ) και f ( ) β) Αν g( ) = f ( e ), να βρείτε: ι)τις τιμές g ( ) και g ( ) ιι)το Ευρεση πολυωνύμων g() - + 9-5 ημ ~ Έστω το πολυώνυμο P() = + α + β + γ να βρείτε τις τιμές των a, b, g Î R ώστε για κάθε Î R να ισχύει: P( ) - P ( ) = 4 ~Nα βρεθεί η πολυωνυμική συνάρτηση P(), αν P()= και (P ()) P ()=8P() 5 ~ Έστω το πολυώνυμο P() A Να αποδείξετε την ισοδυναμία: Β Να βρείτε τις τιμές των α,β ώστε το πολυώνυμο παράγοντα το (χ - ) Εύρεση ορίων μέσω κανόνων παραγώγισης P() = ( - p) Q() Û P(p) = P(p) = P() = + αχ + αχ + β να έχει 6 ~Δίνεται συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύει f() = και f() = Να υπολογίσετε τα όρια: f() ln e f() - e α) β) - -
Παράγωγος και συναρτησιακές σχέσεις!!! 7 ~Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (,+ ) και για κάθε,y Î (, + ) ισχύει: f ( y ) = f(y) + y f() Να αποδείξετε ότι: i) f() = ii) f() - f() = f(), > Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης!!! 8 ~Δίνεται συνάρτηση f:r R παραγωγίσιμη και -, με f() = και f() = - α)να βρείτε την ( f ) () β)θεωρούμε τη g() = f () + f() -8 i) Να αποδείξετε ότι η g είναι - - ii) Να βρείτε τη ( g ) (4) 9 ~Έστω συνάρτηση 5 f() = + ι)να βρείτε το σύνολο τιμών της f και να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση ιι)να δείξετε ότι η f - δεν παραγωγίζεται στο = f - 4 ~Έστω η συνάρτηση f() = e + + f - ι)να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση και να βρείτε το πεδίο ορισμού της - ιι)αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η είναι παραγωγίσιμη, να βρείτε την (f )() 4 ~Έστω η συνάρτηση f - f() = e + + ι)να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση - ιι) Να βρείτε την (f )() f - και να βρείτε το πεδίο ορισμού της