1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει το θεώρημ Bolzano γι την συνάρτηση f στο διάστημ, τότε η εξίσωση f( ) 0 έχει περιττό πλήθος ριζών. 3. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημ, ν η f συνεχής στο, κι f( ) f ( ) 0 τότε δεν υπάρχει 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0 ) 0. 4. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημ, ν η f συνεχής στο, κι γι κάθε (, ) είνι f( ) 0τότε f( ) f( ) 0. 5. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημ, ν f( ) f ( ) 0 κι γι κάθε (, ) είνι f( ) 0 τότε η f δεν είνι συνεχής στο,. 6. Αν η συνάρτηση f συνεχής στο, ώστε f( 0 ) 0 τότε f( ) f( ) 0. κι υπάρχει 0 (, ) τέτοιο, 7. Αν η συνάρτηση f συνεχής στο, με f ( ) 0 κι υπάρχει f( ) 0 τότε f ( ) 0. 0 (, ) τέτοιο, ώστε 0 8. Αν η συνάρτηση f συνεχής κι γνησίως μονότονη στο, κι η εξίσωση f( ) 0 έχει μί ρίζ στο, τότε η ρίζ υτή είνι μονδική. 255
2. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν η f συνεχής στο, κι τ lim f ( ), lim f( ) είνι ετερόσημ a (πεπερσμέν ή άπειρ), τότε η εξίσωση f( ) 0 έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο,. 2. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f( 1) f (1) 1, f (0) 1 τότε υπάρχουν δύο τουλάχιστον 1, 2 ( 1,1) με f ( 1) f( 2). 3. Το θεώρημ Bolzano ισχύει κι στην περίπτωση που νφερόμστε σε ένωση διστημάτων κι όχι σε διάστημ. 4. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημ, με f( ) f ( ) 0 τότε θ υπάρχει 0 (, ) f( ) 0. με γ < κι δ > ώστε 0 5. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], η εξίσωση f () = 0 δεν έχει ρίζ στο (, ) κι υπάρχει ξ (, ) ώστε f (ξ) < 0, τότε θ ισχύει f () < 0 γι κάθε (, ). 6. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι f( ) 0 γι κάθε Δ, τότε η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο διάστημ Δ. 7. Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ που χωρίζουν έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της δύο διδοχικές ρίζες της. 8. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ], κι πίρνει δύο διφορετικές τιμές f ( 1 ), f ( 2 ) με 1, 2 [, ], τότε πίρνει όλες τις τιμές μετξύ των f ( 1 ) κι f ( 2 ). 9. Αν γι μι συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f ( 1 ) = 1 κι f ( 2 ) = 4, τότε υπάρχει 0 ( 1, 2 ) τέτοιο ώστε f ( 0 ) = e. 10. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [, ] με f () f (), πίρνει μόνο τις τιμές μετξύ των f () κι f (). 256
3. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Η εικόν f ( ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης f είνι διάστημ. 2. Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής στο διάστημ [, ], τότε δεν πίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές μετξύ του f ( ) κι του ( ). f 3. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημ [, ]. Αν f( ) f( ) κι η f πίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές μετξύ του f ( ) κι του ( ) f τότε η f είνι συνεχής στο διάστημ [, ]. 4. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημ [, ]. Αν f( ) f( ) κι η f είνι συνεχής στο διάστημ [, ] τότε πίρνει μόνο τις τιμές μετξύ των f ( ) κι f ( ) κι τις f ( ), ( ). f 5. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημ Δ. Το σύνολο f ( ) μπορεί ν έχει δύο μόνο στοιχεί. 6. Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το έχει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή. 7. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο διάστημ [, ]. Αν η μέγιστη κι η ελάχιστη τιμή της f στο [, ] συμπίπτουν τότε η f είνι στθερή. 8. Αν μι συνάρτηση f είνι ορισμένη κι συνεχής στο διάστημ [, ] τότε η f πίρνει πάντοτε στο [, ] μι μέγιστη τιμή. 9. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο διάστημ [, ]. Αν η μέγιστη κι η ελάχιστη τιμή της f στο [, ] τυτίζοντι με τις τιμές f ( ) κι f ( ) τότε η f είνι γνησίως μονότονη. 10. Κάθε συνεχής συνάρτηση στο [, ] δεν μπορεί ν έχει σύνολο τιμών το. 11. Aν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (0, + ), τότε το σύνολο τιμών της είνι το διάστημ ( lim f (), 0 lim f ()). 257
4. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, ], τότε το σύνολο τιμών της είνι [ f (), f ()]. 2. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ [, ], τότε το σύνολο τιμών της είνι [ f (), f ()]. 3. Το σύνολο τιμών μις συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [, ] είνι το κλειστό διάστημ [ mm, ], όπου m η ελάχιστη τιμή της κι Μ η μέγιστη τιμή της. 4. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο Δ = (, ), lim f( ) κι a Β =lim f ( ) τότε το σύνολο τιμών στο Δ είνι το (, ) ή το (, ). 5. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο Δ = (, ), lim f( ) lim f( ) τότε ( ). a BA f 6. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο διάστημ [, ]. Αν η f είνι 1-1 στο [, ], τότε είνι κι γνησίως μονότονη στο [, ]. 7. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο 0 με f ( 0 ) 0, τότε κοντά στο 0 οι τιμές της f είνι ομόσημες του f ( 0 ). 8. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ Δ, τότε η ντίστροφή της είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο f (Δ). 9. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν διάστημ Δ είνι συνεχής κι 1-1 στο Δ, τότε η συνάρτηση f -1 είνι συνεχής στο f (Δ). 258
5. Σε κθεμί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν σημειώσετε τη σωστή πάντηση. 1. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f () = 0 έχει: f() O o f() Α. περισσότερες πό μί ρίζες Β. κμί ρίζ Γ. μόνο μί ρίζ Δ. δύο ρίζες Ε. τίποτ πό τ πρπάνω 2. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f() f () = 0 έχει: O o f() Α. δύο ρίζες Β. κμί ρίζ Γ. περισσότερες πό μί ρίζες Δ. μόνο μί ρίζ Ε. τίποτ πό τ πρπάνω 3. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι: f() f() O Α. ( f (), f ()) Β. [ f (), f ()] Γ. ( f (), f ()) Δ. [ f (), f ()] Ε. κνέν πό τ προηγούμεν 4. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [, ] κι γνησίως φθίνουσ. Τότε το σύνολο τιμών της f είνι Α. [ f (), f ()] Β. [ f (), f ()] Γ. [, ] Δ. ( f (), f ()) Ε. το 259
6. Σε κθεμί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν σημειώσετε τη σωστή πάντηση. 1. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι: f() f() O Α. ( f (), f ()) Β. [ f (), f ()] Γ. ( f (), f ()) Δ. [ f (), f ()] Ε. κνέν πό τ προηγούμεν 2. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι: f( μ) f() f() μ ε f( ε ) Α. [ f (), f ()] Β. ( f ( ε ), f ( μ )) Γ. [ f (), f ()] Δ. [ f ( ε ), f ( μ )] Ε. τίποτ πό τ πρπάνω 3. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f () = 0 έχει: f() f() Α. κμί ρίζ Β. κριώς τρεις ρίζες Γ. μόνο μί ρίζ Δ. το πολύ μί ρίζ Ε. τουλάχιστον τέσσερις ρίζες 260
7. Σε κθεμί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν σημειώσετε τη σωστή πάντηση. 1. Αν η γρφική πράστση της συνάρτησης f φίνετι στο σχήμ, τότε δεν ισχύει ότι 1 2 3 4 Α. στο διάστημ ( 1, 2 ) η f () > 0 Β. στο διάστημ ( 2, 3 ) η f () < 0 Γ. στο διάστημ ( 3, 4 ) η f () > 0 Δ. στ διστήμτ (-, 1 ) κι ( 4, + ) η f () < 0 Ε. στο διάστημ ( 2, 4 ) η f () = 0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες 2. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,] κι ισχύει f () f () > 0, τότε πό τις πρκάτω προτάσεις σωστή είνι πάντοτε η: Α. f () 0 γι κάθε [, ] Β. δεν υπάρχει ξ (, ) ώστε f (ξ) = 0 Γ. η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ] Δ. η C f δεν τέμνει ποτέ τον άξον Ε. κμί πό τις προηγούμενες προτάσεις 3. Δίνετι η συνάρτηση f με f () = 3 + 2 2-3 - 2. Τότε λάθος είνι: Α. f (- 1) > 0 Β. f (1) < 0 Γ. η f είνι συνεχής στο [- 1, 1] Δ. f (- 1) f (1) > 0 Ε. υπάρχει 0 (- 1, 1) ώστε f ( 0 ) = 0 4. Δίνετι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το κι οι προτάσεις: Ι. f συνεχής ΙΙ. f άρτι ΙΙΙ. f γνησίως μονότονη. Η ντίστροφη της f υπάρχει, ότν ισχύει: Α. η Ι Β. η ΙΙ Γ. οι Ι κι ΙΙ Δ. η ΙΙΙ Ε. η Ι ή η ΙΙ 5. Έστω μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το η οποί είνι συνεχής κι 1-1. Τότε η f Α. είνι πάντοτε γνησίως ύξουσ B. δεν μπορεί ν είνι άρτι Γ. είνι πάντοτε περιττή Δ. f (1) = f (- 1) E. είνι στθερή συνάρτηση 261
8. Σε κθεμί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν σημειώσετε τη σωστή πάντηση. Στ πρκάτω σχήμτ φίνοντι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f, g, h, φ, t. Γι ποι πό τις συνρτήσεις ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος του Bolzano στο διάστημ [, ]; Α. Β. C f C g Γ. Δ. C h C φ Ε. C t 262
9. Γι τις συνρτήσεις που οι γρφικές τους πρστάσεις φίνοντι στη στήλη Α κάποι ή κάποιες πό τις προϋποθέσεις του θεωρήμτος Bolzano στο διάστημ [, ] δεν ισχύουν. ι συνθήκες υτές φίνοντι στη στήλη Β. Ν γίνει ντιστοίχιση. ΣΤΗΛΗ Α ΓΡΑΦΗΜΑ ΣΤΗΛΗ Β ΠΡΥΠΘΕΣΗ 1. Α. f () f () < 0 Β. f συνεχής στο 0 Γ. f συνεχής στο 2. 0 Δ. f () f () < 0 κι f συνεχής στο Ε. f συνεχής στο 3. 4. 263
10. Δίνετι μι συνάρτηση f συνεχής κι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ. Ν ντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με έν στοιχείο της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α ΠΕΔΙ ΡΙΣΜΥ ΣΤΗΛΗ Β ΣΥΝΛ ΤΙΜΩΝ 1. Δ = [, ] Α. ( lim Β. [ f (), f (), lim lim f ()) f ()) 2. Δ = [, ) Γ. ( lim f (), f ()] 3. Δ = (, ] Δ. [ f (), f ()] 4. Δ = (, ) Ε. [ f (), lim f ()) Ζ. ( lim f (), f ()] 264