ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Διδάσκων: Δρ. Ριζιώτης Βασίλης Έλικες Θεωρία γραμμής άνωσης
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
W Ρευστό ασυμπίεστο μη συνεκτικό Κάθε πτερύγιο της έλικας αντικαθίσταται από φέρουσα γραμμή μεταβλητής κυκλοφορίας Γ(r) κατά μήκος της ακτίνας. Για να ικανοποιηθεί η συνέχεια της στροβιλότητας φύλλο ελεύθερης στροβιλότητας ξεκινά από τη φέρουσα γραμμή και σχηματίζει γενική ελικοειδή επιφάνεια πίσω από την έλικα σε σύστημα συντεταγμένων που περιστρέφεται με την έλικα. Η ακολουθούσα στροβιλότητα σε κάθε ακτίνα είναι εφαπτόμενη σε ελικοειδή γραμμή με σταθερό βήμα κατά τη x. Το βήμα μπορεί να μεταβάλλεται με την ακτίνα. Το βήμα εξαρτάται από τις ταχύτητες πτήσης, περιστροφής και από τις επαγώμενες ταχύτητες τις ακολουθούσας στροβιλότητας. Η ακτινική επαγώμενη ταχύτητα θεωρείται αμελητέα Η προσδεδεμένη κυκλοφορία είναι μηδέν στην πλήμνη και στο ακροπτερύγιο
Η W εξαρτάται από τις επαγώμενες ταχύτητες του ακολουθούντος φύλλου στροβιλότητας του ομόρρου Οι επαγώμενες ταχύτητες εξαρτώνται από την ακριβή θέση του ακολουθούντος φύλλου στροβιλότητας του ομόρρου Η θέση του ομόρρου (βήμα ελικοειδούς γραμμής της ακολουθούσας στροβιλότητας) εξαρτάται από την W Πρόβλημα οριακών συνθηκών με άγνωστα όρια
Επαγώμενες ταχύτητες από Ζ συμμετρικά τοποθετημένους προσδεδεμένους δίνοσωλήνες Η συνολική επαγώμενη ταχύτητα, από Ζ συμμετρικά τοποθετημένους προσδεδεμένους δίνοσωλήνες, πάνω στη φέρουσα γραμμή είναι μηδενική
Επαγώμενες ταχύτητες από Z συμμετρικά τοποθετημένους ακολουθούντες ελικοειδείς δινοσωλήνες (σχέσεις Lerbs) Έλικες - Θεωρία Γραμμής Ανωσης r < r * Z r nz nz uai = Z ninz r Kʹ nz r 4πk k n= k k r > r * Zr nz nz r η θέση υπλογισμού της ταχύτητας uae = nk nz r Iʹ nz r πk n= k k r η θέση της ελικοειδούς δίνης r < r * Zr nz nz uti = ninz r Kʹ nz r πk r n= k k r > r * Z r nz nz ute = + Z nknz r Iʹ nz r 4πr k n= k k k = r tanβ ι Ζ ο αριθμός των πτερυγίων Κ nz και Ι nz τροποποιημένες Bessel συναρτήσεις πρώτου και δεύτερου είδους
Επαγώμενες ταχύτητες από Z συμμετρικά τοποθετημένους ακολουθούντες ελικοειδείς δινοσωλήνες (σχέσεις Lerbs) r < r r > r u u Z = + ( B ) * ai 4πk Z = B * ae 4πk r < r r > r Έλικες - Θεωρία Γραμμής Ανωσης u u Z = B 4πr * ti Z = + 4πr ( B ) * te.5 y y, = m Z A.5 Z A y Z + + (+ y ) + B log,, e e ( ) ( + y )( + y + ) ( + + )( + ) A, =± + y + y m log y y y = tanβ ι y = r r tanβ ι
Επαγώμενες ταχύτητες από τους ακολουθούντες δινοσωλήνες i(r,r) = 4π (r r ) u (r,r ) * a a i(r,r) = 4π (r r ) u (r,r ) * t t - -4-6 -8 numerical analytical.6.4. -. -.4 -.6 -.5 - -..4.6.8.5 numerical analytical - -.5.5.5 4 5 6 7.5 β ι = r /R =.5.5..4.6.8
Επαγώμενες ταχύτητες από τους ακολουθούντες δινοσωλήνες -.5 - -.5 numerical analytical i(r,r) = 4π (r r ) u (r,r ) * a a i(r,r) = 4π (r r ) u (r,r ) * t t ia [m^/s] - -.5 - -.5.6.4. -. -.4 -.6-4 -4.5.5-5..4.6.8 numerical analytical -.5 - -.5 it [m^/s].5.5 4 6 8 4 6 it [m^/s].5 β 4 ι = r /R =.5.5..4.6.8
Επαγώμενες ταχύτητες από τους ακολουθούντες δινοσωλήνες β = 4 ι -.5 numerical analytical -.5 numerical analytical -.5 num erical analytical - - - -.5 -.5 -.5 ia [m^/s] - -.5 - ia [m^/s] - -.5 - - -.5 - -.5 -.5 -.5-4 -4-4 -4.5-4.5-4.5-5..4.6.8-5..4.6.8-5..4.6.8 numerical analytical.5 numerical analytical. num erical analytical.5.8 it [m^/s].5 it [m^/s].5.6.4.5..5..4.6.8 r /R=.5..4.6.8 r /R=.5..4.6.8 r /R=.75
δd Ωr β U θ βi W u a u t δl α Τρίγωνο ταχυτήτων σε τομή του πτερυγίου
Εξισώσεις Γραμμής Άνωσης Εξίσωση μονοπλάνου Ανάλυση κυκλοφορίας σε σειρά Fourier 4πRU dc L G(φ) = c(φ) (φ) W(φ) (θ α β i(φ)) dα r = (R + r H) (R r H) cosφ J G(φ) = aj sin( jφ) j= Επαγώμενες ταχύτητες από τον ομόρρου N * a a = a = n n= [ ] i(φ,φ ) 4π (r r ) u C (φ) cos (n ) φ N * t t = t = n n= [ ] i(φ,φ ) 4π (r r ) u C (φ) cos (n ) φ G R i(r,r) a (r)dr J u(φ) a R r a = = j aj h j(φ) U r r x rh H j= G R i(r,r) t (r)dr J u(φ) t R r t = = j aj h j(φ) U r r x rh H j= j N a,t π a,t π a,t h j (φ) = C n (φ) ( sin [(n j) φ] + sin [(j + n + ) φ] ) + C n (φ) ( sin [(j n ) φ] sin [(j n ) φ] ) sinφ n= sinφ + + + n = j+ Φαινόμενη ταχύτητα και γωνία αποβολής W(φ) = (U + u (φ)) + (Ω r + u (φ)) U+ u a(φ) tanβ i(φ) = Ω r + u (φ) a t t J j= a t tanβ(φ) i j aj ( h j(φ) + tanβ i(φ) h j(φ) ) = ( x H) tanβ(φ)
Διαδικασία Υπολογισμού Έλικας Υποθέτουμε αρχικές τιμές για τα β i (φ) κατά μήκος του πτερυγίου Δεδομένης της γεωμετρίας του ομόρρου μπορούμε να υπολογίσουμε τους συντελεστές αλληλεπίδρασης i a και i t και άρα τα C(φ) C(φ) Λύνουμε την εξίσωση για την εφαπτομένη της γωνίας β i (φ) J j= a t tanβ(φ) i j aj ( h j(φ) + tanβ i(φ) h j(φ) ) = ( x H) tanβ(φ) a n t n και υπολογίζουμε τους άγνωστους συντελεστές a j Υπολογίζουμε τη κατανομή της κυκλοφορίας πάνω στο πτερύγιο G(φ) Από την εξίσωση μονοπλάνου υπολογίζουμε νέες τιμές των γωνιών β i (φ) 4πRU dc L G(φ) = c(φ) (φ) W(φ) (θ α β i(φ)) dα W(φ) = (U + u (φ)) + (Ω r + u (φ)) a H j= t J u(φ) a a = j aj h j(φ) U x J u(φ) t t = j aj h j(φ) U x H j= Συνεχίζουμε τη διαδικασία έως ότου επιτευχθεί σύγκλιση των γωνιών β i (φ)
Αριθμητική Επίλυση με τη μέθοδο Γραμμής Άνωσης U Γ Γ Γ c/4 c/4 β β β 4 β Προσδεδεμένος στρόβιλος τοποθετείται στο c/4 Συνθήκη μη εισχώρησης εφαρμόζεται στα c/4 Ταχύτητες ομόρρου υπολογίζονται στα c/4 και έτσι προσδιορίζονται οι γωνίες αποβολής β κατά μήκος της ακτίνας. Για να αποφύγουμε απειρισμό της ταχύτητας υπολογίζουμε ταχύτητα στα κέντρα των ανοικών δινοπετάλων Δυνάμεις υπολογίζονται είτε με εφαρμογή θεωρήματος Joukowski ή με χρήση μετρημένων διδιάστατων C L C D. Στη δεύτερη περίπτωση λαμβάνεται υπόψη η επίδραση της συνεκτικότητας
Αριθμητική Επίλυση με τη μέθοδο Γραμμής Άνωσης c/4 Συνθήκη μη εισχώρησης για κινούμενο σώμα Γ β 4 un = U n b ή Γ β u n U n U n Γ = ( ) b Γ β όπου U η ταχύτητα πτήσης c/4 U b η ταχύτητα περιστροφής U β Η συνθήκη μη εισχώρησης εφαρμόζεται για όλα τα σημεία ελέγχου δίνοντας Ν το πλήθος ανεξάρτητες συνθήκες = με τα άγνωστα Γ
Αριθμητική Επίλυση με τη μέθοδο Γραμμής Άνωσης Συνθήκη μη εισχώρησης για κινούμενο σώμα για το i-th σημείο ελέγχου N i j j= a i j ( a ni) Γj = ( Ubi ni U ni) i i Nw i Nw i dl ( r - r) dl ( r - r) dl ( r - r) dl ( r - r) = = + + 4π 4π 4π 4π i i i i k= r-r n= n= r-r B r-r Win r-r Wout Η άθροιση σε κάθε δινοπέταλο γίνεται από k=,, για το τμήμα του προσδεδεμένου στροβίλου και τους δύο δινοσωλήνες της ελεύθερης στροβιλότητας του ομόρρου Οι γραμμές ελεύθερης στροβιλότητας του ομόρρου χωρίζονται σε Νw το πλήθος ευθύγραμμα τμήματα Με βάση την αρχή διατήρησης της κυκλοφορίας γύρω από γραμμή στροβιλότητας, για το κάθε ανοικτό δινοπέταλο η κυκλοφορία γύρω από αυτό παραμένει σταθερή Συντελεστής επαγώμενης ταχύτητα από ευθύγραμμο τμήμα στροβιλότητας u r r r r r r r = 4π r r r r r r r r r r r P
Αριθμητική Επίλυση με τη μέθοδο Γραμμής Άνωσης Μορφή του συστήματος an an a n. Γ Ubn Un Γ an an a n. Ubn U n = a Γ n an a n. Ubn Un...... 444444 4444 A B Οι συντελεστές του μητρώου Α εξαρτώνται από τις γωνίες β i Επιλέγουμε αρχικές τιμές για τις β i = β Λύνουμε το παραπάνω γραμμικό σύστημα (ικανοποίηση συνθήκης μη εισχώρησης) και προσδιορίζουμε την κατανομή της κυκλοφορίας πάνω στο πτερύγιo Υπολογίζουμε τις επαγώμενες ταχύτητες πάνω στον προσδεδεμένο στρόβιλο και διορθώνουμε τις β i. Συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση
Αριθμητική Επίλυση με τη μέθοδο Γραμμής Άνωσης.4..8.6.4..5.5.4..8.6.4. - -.5 - -.5.5 - - - -.5 - -.5 - - - - 4 5.5 - - -
Αριθμητική Επίλυση με τη μέθοδο Γραμμής Άνωσης U = kts U= kts.5.5 -.5 - -.5.5.5 -.5 - -.5 - - - - 4-5 - - - 4 5
Αριθμητική Επίλυση με τη μέθοδο Γραμμής Άνωσης Σύγκριση με δίσκο ορμής
Αριθμητική Επίλυση με τη μέθοδο Γραμμής Άνωσης Σύγκριση με δίσκο ορμής 5 U= kts U= kts U=4 kts U=6 kts U=8 kts U= kts -5 - -5 -..4.6.8..4.6
Αριθμητική Επίλυση με τη μέθοδο Γραμμής Άνωσης Σύγκριση με δίσκο ορμής J =.76 J =.979 6 5 LL BEM 7 6 LL BEM 4 5 4-9 - 8 -..4.6.8..4.6 7..4.6.8..4.6
Αριθμητική Επίλυση με τη μέθοδο Γραμμής Άνωσης Σύγκριση με δίσκο ορμής J =.76 J =.979..8 LL BEM.5. LL BEM.6.5..4.5...5 -...4.6.8..4.6..4.6.8..4.6
Αριθμητική Επίλυση με τη μέθοδο Γραμμής Άνωσης Σύγκριση με δίσκο ορμής J =.76 J =.979.4. LL BEM... LL BEM. -..9.8 -.4.7 -.6.6.5 -.8..4.6.8..4.6.4..4.6.8..4.6
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.