Κεφάλαιο Σχεδιασμός συστημάτων ελέγχου για υδραυλικά συστήματα Σχεδιασμός ελεγκτών ασυμπτωτικής ακολούθησης εντολής

Κεφάλαιο 5 Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται βασικές τεχνικές ελέγχου που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο υδραυλικών ενεργοποιητών. Οι τεχνικές σχεδιασμού ελεγκτών αναφέρονται σε γραμμικά συστήματα χρονικά αμετάβλητα με εξωτερικές διαταραχές. Θα παρουσιαστούν οι ακόλουθες ενότητες: Σχεδιασμός ελεγκτών ασυμπτωτικής ακολούθησης σταθερών σημάτων, σχεδιασμός ελεγκτών ασυμπτωτικής ακολούθησης αυθαίρετα ορισμένων σημάτων, σχεδιασμός ελεγκτών τριών όρων με τεχνικές ευσταθειοποίησης. Επίσης θα παρουσιαστούν αλγόριθμοι ευσταθειοποίησης και ευσταθειοποίησης σε συγκεκριμένη περιοχή. Τα παραπάνω αποτελέσματα θα εφαρμοστούν για τον έλεγχο ταχύτητας και θέσης υδραυλικού εμβόλου διπλής ενέργειας με βαλβίδα ρύθμισης ροής. Προαπαιτούμενη γνώση Η προαπαιτούμενη γνώση για την κατανόηση και παρακολούθηση του κεφαλαίου είναι οι βασικές γνώσεις των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου []- [3], και ή ύλη των Κεφαλαίων -4. 5. Σχεδιασμός συστημάτων ελέγχου για υδραυλικά συστήματα 5.. Σχεδιασμός ελεγκτών ασυμπτωτικής ακολούθησης εντολής Στην ενότητα αυτή θα μελετηθεί το πρόβλημα του σχεδιασμού ενός ελεγκτή που επιτυγχάνει προσεγγιστική ακολούθηση ενός σήματος αναφοράς στην είσοδο με μηδενικό σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας. Τα σήματα αναφοράς μπορεί να είναι σταθερά όπως βηματικά σήματα, καθώς και άλλα είδη σημάτων συνεχούς χρόνου όπως για παράδειγμα ημιτονοειδή (βλ. [7]-[]). 5... Ελεγκτές ασυμπτωτικής ακολούθησης σταθερών σημάτων Έστω ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα που περιγράφεται στο χώρο κατάστασης ως ακολούθως x () t Ax() t Bu() t D (), t y() t Cx() t (5.) n όπου x Î είναι το διάνυσμα κατάστασης, u Î είναι η είσοδος του συστήματος, y Î είναι η έξοδος του συστήματος και x Î είναι εξωτερικές διαταραχές. Οι πίνακες που παρουσιάζονται στην σχέση (5.) n n n n n έχουν τις ακόλουθες διαστάσεις: AÎ, BÎ, C Î, DÎ. Έστω ότι, το σήμα αναφοράς rt () και το σήμα των διαταραχών () t είναι σταθερά σήματα. Επομένως ισχύει dr() t d() t, (5.) dt dt Το σφάλμα της εξόδου με το σήμα αναφοράς ορίζεται ως εξής et () rt () yt () (5.3) Παραγωγίζοντας το σφάλμα ως προς το χρόνο λαμβάνεται η σχέση et () yt () Cxt () (5.4) Παραγωγίζοντας το σύστημα ανοικτού βρόχου (5.) ως προς το χρόνο και χρησιμοποιώντας την (5.4) προκύπτει το ακόλουθο επαυξημένο με την δυναμική εξίσωση του σφάλματος, σύστημα A zt () n zt () B wt et () C et () () (5.5) 95

όπου zt () xt (), wt () ut () (5.6) Στο επαυξημένο σύστημα ανοικτού βρόχου (5.5) εφαρμόζεται στατικός ελεγκτής ανατροφοδότησης κατάστασης της μορφής wt () Kzt () Ket () (5.7) n όπου K Î και K Î. Το σύστημα κλειστού βρόχου (σύστημα ανοικτού βρόχου (5.5) και ελεγκτής ανατροφοδότησης κατάστασης (5.7)) που προκύπτει είναι zt () ABK BKzt () et () C et () Έστω ότι το σύστημα που περιγράφεται από την σχέση (5.5) είναι ελέγξιμο, δηλαδή όπου A A C n U B AB A B n, B (5.8) rank U n (5.9) είναι ο πίνακας ελεγξιμότητας του επαυξημένου συστήματος B. Αφού το επαυξημένο σύστημα είναι ελέγξιμο, ο πίνακας ανατροφοδότησης ( n) K K K (5.) δύναται να τοποθετήσει αυθαίρετα τους πόλους του επαυξημένου συστήματος κλειστού βρόχου. Έστω ότι το επιθυμητό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι n n pd( s) s ds dn (5.) Ο ελεγκτής που τοποθετεί τους πόλους του συστήματος κλειστού βρόχου στους πόλους του επιθυμητού πολυωνύμου υπολογίζεται από τον τύπο του Ackermann ως ακολούθως όπου K U p ( A ) (5.) n d n n pd( A) A da dnin (5.3) Με τον ελεγκτή ανατροφοδότησης (5.) το επαυξημένο σύστημα κλειστού βρόχου (5.8) είναι ασυμπτωτικά ευσταθές με αποτέλεσμα να επιτυγχάνονται οι ιδιότητες zt () et () t t Το πρώτο όριο στη σχέση (5.4) εξασφαλίζει ότι lim xt () lim, lim (5.4) t και επομένως το διάνυσμα κατάστασης του αρχικού συστήματος είναι φραγμένο. Το δεύτερο όριο εξασφαλίζει την ασυμπτωτική ακολούθηση εντολής. Σε περίπτωση που το επαυξημένο σύστημα (5.5) δεν είναι ελέγξιμο τότε η ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου (5.8) μπορεί να εξασφαλιστεί από την ακόλουθη συνθήκη ABK BK K, K : detsin έ C (5.5) Το σήμα εισόδου του αυθεντικού συστήματος (5.) προσδιορίζεται από την ολοκλήρωση της σχέσης (5.7) ως εξής t ut () K e( ) d Kxt () (5.6) 96

Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου ελέγχου (5.6) στο σύστημα ανοικτού βρόχου (5.). Μετασχηματίζοντας κατά Laplace και λαμβάνοντας μηδενικές αρχικές συνθήκες προκύπτει η ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου () K K K H cl s CsI B C D n A BKBC sin A BKBC (5.7) s s s Η κυκλωματική υλοποίηση του παραπάνω ελεγκτή φαίνεται στο Σχήμα 5.. x() t rt () + et () - K ò ut () yt () xt () K Σχήμα 5.. Ελεγκτής ασυμπτωτικής ακολούθησης σταθερών σημάτων 5... Ελεγκτές ασυμπτωτικής ακολούθησης αυθαίρετων σημάτων Έστω ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα που περιγράφεται με το μοντέλο μεταβλητών κατάστασης (5.). Έστω επίσης το ακόλουθο σύστημα παραγωγής αυθαίρετων φραγμένων σημάτων με φραγμένες r παραγώγους x () t A x () t ; y () t c x () t (5.8) όπου yr () t, xr () t r και r, r r r r r r x είναι αυθαίρετο διάνυσμα αρχικών συνθηκών και όπου Ar, cr dr dr dr d Για το παραπάνω σύστημα ισχύει (5.9) r ( r) ( ri) r i r i Έστω ότι το σήμα διαταραχών έχει την ακόλουθη μορφή Ορίζοντας το σφάλμα ακολούθησης και παραγωγίζοντας το r -φορές ισχύει y () t d y () t (5.) r ( r) ( r i) i i () t d () t (5.) t yt y t (5.) r 97

ή ισοδύναμα ( r) ( r) r ( r) ( r) ( ri) r i r i t Cx t y () t Cx t d y () t (5.3) Ορίζοντας τις μεταβλητές ( ) r ( ) ( ) r r r i r ( r i ) i () i () (5.4) t d t Cx t C d x t i i ( r) r i ( ri) i r ( r) i ( ri) i zt x t dx () t (5.5) ut u t du () t (5.6) προκύπτει το ακόλουθο επαυξημένο σύστημα: d x t Ax bu t (5.7) dt όπου () ( r ) x t t t t z t (5.8) A e C r r r ( ) A, b, e r r nr A B (5.9) και όπου e r είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στήλης που έχει τη μονάδα στην r ή θέση, δηλαδή στην τελευταία θέση του. Στο επαυξημένο σύστημα εφαρμόζεται στατικό νόμος ανατροφοδότησης κατάστασης της μορφής u t f xt f t fzt () ( r ) T όπου t t t t. (5.3) T Ορισμός 5.. Το πρόβλημα της ακολούθησης εντολής σημάτων που προκύπτουν από το σύστημα (5.8) με διαταραχές της μορφής (5.) και με ταυτόχρονο μηδενισμό του σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση είναι επιλύσιμο εάν το ακόλουθο πολυώνυμο p cl s, f detsirn A bf (5.3) μπορεί να ευταθειοποιηθεί με κατάλληλη επιλογή των βαθμών ελευθερίας του στατικού ελεγκτή f. Έστω ότι το σύστημα που περιγράφεται από την σχέση (5.7) είναι ελέγξιμο, δηλαδή rank U n r (5.3) n r όπου U b Ab A b είναι ο πίνακας ελεγξιμότητας του επαυξημένου συστήματος (5.7). Άρα ο ( nr) r n πίνακας ανατροφοδότησης f f f ( f, f ) δύναται να τοποθετήσει τους πόλους του επαυξημένου συστήματος κλειστού βρόχου στις θέσεις των πόλων του επιθυμητού πολυωνύμου n r n r p ( s) s d s d. Ο ελεγκτής υπολογίζεται από τον ακόλουθο τύπο του Ackermann d nr όπου f ( nr) U pd( A ) (5.33) n r n r p ( A ) A d A d I. d nr nr 98

Σε περίπτωση που το επαυξημένο σύστημα (5.7) δεν είναι ελέγξιμο τότε η ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου (5.7) μπορεί να εξασφαλιστεί από την ακόλουθη συνθήκη sir Ar erc f, f : det έ Bf sin A Bf (5.34) Ο νόμος ελέγχου που προκύπτει ισοδυναμεί με την ακόλουθη διαφορική εξίσωση ( ) r ( ) r ( ) ( ) r r r i i r () ( r i u t du ) i t f, i () t f x t dix () t i i i (5.35) όπου f, i ( i,..., r) είναι τα στοιχεία του f. Η διαφορική εξίσωση (5.35) μπορεί να πραγματοποιηθεί στο χώρο κατάστασης από το ακόλουθο δυναμικό σύστημα (βλ. Σχήμα 5.) x c() t Acxc() t bc () t () t ccxc() t (5.36) ut () () t fxt () όπου d f, r d f, r A c, bc, cc (5.37) dr f, x() t y + r () t e( t) Abc c, c, c u( t) ut () yt () - xt () f Σχήμα 5.. Ελεγκτής ασυμπτωτικής ακολούθησης αυθαίρετων σημάτων 99

5..3. Ελεγκτές τριών όρων (PID) Έστω ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα που περιγράφεται με το μοντέλο μεταβλητών κατάστασης (5.). Στο σύστημα ανοικτού βρόχου εφαρμόζεται ο δυναμικός ελεγκτής τριών όρων (βλ. Σχήμα 5.3) d ut () Kp KD KI dt( rref () t yt ()) dt (5.38) x() t r t + et () () ref - K I ò ut () yt () x () t p v () t p K D d dt K P Σχήμα 5.3. Σύστημα κλειστού βρόχου Εφαρμόζοντας τον ελεγκτή τριών όρων (5.38) στο σύστημα ανοικτού βρόχου (5.) προκύπτει η ακόλουθη απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας () n pid n pid() pid ref Y() s CsI A BCG s BG () s R () s CsI A BCG s D() s (5.39) όπου YsUs (), (), () s είναι τα σήματα εξόδου, εισόδου και διαταραχών στο πεδίο της συχνότητας και όπου () s είναι ο μετασχηματισμός Laplace του σήματος αναφοράς. Η συνάρτηση του PID ελεγκτή είναι Rref s KD skp KI Gpid () s (5.4) s είναι η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή στο πεδίο της συχνότητας. Για να επιτευχθεί ασυμπτωτική ακολούθηση εντολής θα πρέπει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου να μπορεί να ευσταθειοποιηθεί με κατάλληλη επιλογή των βαθμών ελευθερίας KD, KP, K I, του ελεγκτή. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι της μορφής όπου, det n pid( ) ( ) ( ) ( ) pcl s f s si A BCG s s f s f s f s (5.4) f f f f3 KD KP KI (5.4) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο (5.4) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως ακολούθως **, [ ] pcl s f s s W f T (5.43) ** T W a (5.44) a () () (5.45)

και όπου j i i fk jk, fk jk i 3 (5.46) 3 ( f ) () i,...,, j,,3 (5.47) Για να έχει λύση το πρόβλημα της ασυμπτωτικής ακολούθησης εντολής με ταυτόχρονη αυθαίρετη τοποθέτηση των πόλων του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του συστήματος κλειστού βρόχου στους πόλους του επιθυμητού πολυωνύμου θα πρέπει να επιλύεται ως προς όπου () s s s s (5.48) d d, d, T f η εξίσωση W a ** T d f (5.49) T d d, d, a (5.5) Η επιλυσιμότητα της εξίσωσης (5.49) είναι ισοδύναμη με τη συνθήκη rank Αν ισχύει η συνθήκη (5.5) τότε ο ελεγκτής τριών όρων μπορεί να προσδιοριστεί από την ακόλουθη σχέση ** ** W a rank W d (5.5) T ** T ** ** T f 3 I 3 W W W a d (5.5) Στην περίπτωση που η συνθήκη (5.5) δεν ικανοποιείται απαραίτητο είναι να εξασφαλιστεί τουλάχιστον η ευσταθειοποίηση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του συστήματος κλειστού βρόχου. Για το ικανό αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος αλγόριθμος Ευσταθειοποίησης [4]-[6]. Αλγόριθμος Ευσταθειοποίησης Ορισμός 5.. Έστω ένας πίνακας W τότε ο πίνακας W ονομάζεται άνω επαύξηση του πίνακα W αν έχει τη μορφή * * W W * (5.53) όπου με * συμβολίζονται οποιεσδήποτε τιμές. Ορισμός 5.. Έστω ένας πίνακας W τότε ο πίνακας W ονομάζεται κάτω επαύξηση του πίνακα W αν έχει τη μορφή * W * W * (5.54) όπου με * συμβολίζονται οποιεσδήποτε τιμές., είναι θετικό Ορισμός 5.3. Ο πίνακας W είναι μια θετική άνω επαύξηση του πίνακα W εάν το στοιχείο q.

Ορισμός 5.4. Ο πίνακας W είναι μια θετική κάτω επαύξηση του πίνακα W εάν το στοιχείο, είναι θετικό q. Ορισμός 5.5. Ο πίνακας W είναι θετικά αντισυμμετρικός πίνακας εάν μπορεί να κατασκευαστεί από έναν θετικό πυρήνα c ( s s s c : έ ώ ) με θετικές άνω ή κάτω επαυξήσεις. Θεώρημα 5.. Το πολυώνυμο (5.43) μπορεί να ευσταθειοποιηθεί με κατάλληλη επιλογή των βαθμών ** * ελευθερίας K D, K P, K, του ελεγκτή εάν υπάρχει I υπο-πίνακας του πίνακα W, έστω W ο οποίος να είναι θετικά αντισυμμετρικός ** * ** Λήμμα 5.. Αντί του πίνακα W μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο πίνακας W W T όπου T είναι κατάλληλος αντιστρέψιμος πίνακας. Αν το Θεώρημα 5.. ικανοποιείται τότε οι παράμετροι του ελεγκτή τριών όρων μπορούν να προσδιοριστούν από τον ακόλουθο αλγόριθμο: Αλγόριθμος Ευσταθειοποίησης Έστω οι επαυξήσεις (χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούνται άνω επαυξήσεις) * W Βήμα (Κατασκευή των επαυξήσεων) Ο πυρήνας του W είναι c. Από τον πυρήνα με άνω θετικές επαυξήσεις κατασκευάζονται οι πίνακες ( q),, W Βήμα (Αρχικοποίηση) Έστω, i Βήμα 3 (Υπολογισμός Παραμέτρων ευστάθειας) Να βρεθεί i ευσταθές. Έστω i i, i i Βήμα 4 (επανάληψη) τέτοιο ώστε το πολυώνυμο που αντιστοιχεί στον πίνακα q Να επαναληφθεί το βήμα 3 μέχρι να ισχύει i Βήμα 6 (Υπολογισμός των παραμέτρων του ελεγκτή τριών όρων T T Υπολογίστε τις τιμές του ελεγκτή από τον τύπο : f I ( ) T i i i να είναι T

Έναρξη Βήμα Κατασκευή των επαυξημένων πινάκων Βήμα Αρχικοποίηση i=, τ = Βήμα i+ Υπολογισμός του πολυωνύμου που αντιστοιχεί στο πίνακα ( ) T i q i i Να βρεθεί ε i ώστε το πολυώνυμο να είναι ευσταθές i=i+ όχι Είναι η τελευταία επαύξηση ναι Υπολογισμός παραμέτρων PID ελεγκτή Τέλος Σχήμα 5.4. Διάγραμμα ροής αλγορίθμου 3

5..4. Ευσταθειοποίηση σε περιοχή Τα αποτελέσματα που απαιτούν ευσταθειοποίηση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου στου συστήματος κλειστού βρόχου μπορούν να επεκταθούν σε ευσταθειοποίησης σε περιοχή χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό (βλ. Σχήμα 5.5) ([], [3]) s w (5.55) και σε κύκλο χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό (βλ. Σχήμα 5.6) r w r s w (5.56) s plane Im sw, w plane Im Re Re Σχήμα 5.5. Μετασχηματισμός επιπέδων s plane Im s rw r w w plane Im r Re Re Σχήμα 5.6. Μετασχηματισμός επιπέδου σε κύκλο 4

5.. Εφαρμογές 5... Έλεγχος ταχύτητας υδραυλικού ενεργοποιητή Έστω ο υδραυλικός ενεργοποιητής του Σχήματος 5.7. Σύμφωνα με την ύλη του Κεφαλαίου 4 ο χώρος κατάστασης του ενεργοποιητή είναι x () t Ax() t Bu() t D () t (5.57) yt () Cxt () (5.58) x ( ) : αρχικές συνθήκες (5.59) Το διάνυσμα κατάστασης του μοντέλου έχει ως μεταβλητές την ταχύτητα της μάζας x () t και την διαφορά πίεσης PL () t, δηλαδή x () t x () t xt () x () t (5.6) PL () t Η είσοδος του συστήματος είναι η μετατόπιση της βαλβίδας ελέγχου της παροχής: ut () xi () t (5.6) Η έξοδος του συστήματος είναι η μετατόπιση του εμβόλου του ενεργοποιητή: y() t x() t x() t (5.6) Το διάνυσμα αρχικών συνθηκών του συστήματος είναι x ( ) x ( ) x( ) x ( ) PL ( ) H εξωτερική διαταραχή είναι () t FL () t όπου FL () t εξωτερική δύναμη. Οι πίνακες του συστήματος παρουσιάζονται στις ακόλουθες σχέσεις B S p m M M A, S pe KL Kce V V B K q e V D M,, C (5.63) x i x F L DQ L Bm M DP L Σχήμα 5.7. Βαλβίδα Έμβολο διπλής ενέργειας με εξωτερική διαταραχή Οι τιμές των παραμέτρων του συστήματος δίνονται στο ακόλουθο πίνακα: Σύμβολο Ορισμός Τιμές 3 3 V Όγκος ρευστού 486 / m 5

S Επιφάνεια εμβόλου p 633 / m 6 bulk modulus 689 Pa K e L m 3 K Συνολικός συντελεστής πίεσης m / Pas c B Συντελεστής απόσβεσης Nm s M Μάζα Kg K Συντελεστής ροής μετατόπισης. m / sec q 5... Σχεδιασμός ελεγκτή ασυμπτωτικής ακολούθησης βηματικής εντολής Για τον υπολογισμό του ελεγκτή ασυμπτωτικής ακολούθησης βηματικών εντολών, αρχικά προσδιορίζονται οι επαυξημένοι πίνακες B S p m M M A K A S pe KL K ce q e C, B V V V Στο επαυξημένο σύστημα εφαρμόζεται στατικός ελεγκτής της μορφής K f f f (5.64) 3 Υπολογίζεται το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του επαυξημένου συστήματος κλειστού βρόχου 3 B ( KC KL fkq) e es p ( Bm( KC KL fkq) fkqs p) fks m e 3 q pe pcl () s s s s M V MV MV (5.65) Έστω ότι το επιθυμητό πολυώνυμο έχει τη μορφή 3 pd ( s) s ds ds d3 (5.66) Ταυτοποιώντας τα πολυώνυμα (5.65) και (5.66) υπολογίζονται οι παράμετροι του ελεγκτή ( dm dmb m Bm) V S p M e f KS q p ( dm Bm) V M( KC KL) e f (5.67) MKqe dmv 3 f3 KS q p e Σύμφωνα με τη σχέση (5.7) η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι d3 s( M( d s) Bm ) H (), (), () cl s Hcl u s Hcl s 3 3 s ds dsd3 M s ds dsd (5.68) 3 Η μόνιμη κατάσταση του συστήματος κλειστού βρόχου για βηματική είσοδο πλάτους r και διαταραχή βηματική πλάτους είναι r yss lim sh lim, (), () r s cl u sh s cl (5.69) s s Το χονδρικό διάγραμμα του συστήματος κλειστού βρόχου παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.8 6

FL () t rt () + et () Dx () t f 3 ò Dxi () t - x () t P () t L f f Σχήμα 5.8. Σύστημα κλειστού βρόχου ελέγχου ταχύτητας υδραυλικού ενεργοποιητή Υπολογισμός και υλοποίηση του ελεγκτή στο λογισμικό MATLAB Κώδικας % Ορισμός τιμών των παραμέτρων του υδραυλικού ενεργοποιητή V=486/^3 Sp=633/^ KL= KC= Bm= M= Kq=. be=689*^6 % Ορισμός του χώρου κατάστασης A=[-Bm/M Sp/M;-Sp*be/V -(KL+KC)*be/V] B=[;Kq*be/V] DD=[-/M;] C=[,] % Κατασκευή επαυξημένων πινάκων Ae=[A,[;];-C,] Be=[B;] % Έλεγχος ελεγξιμότητας επαυξημένου συστήματος Ue=ctrb(Ae,Be) det(ue) % Υπολογισμός ελεγκτή K=acker(Ae,Be,[- - -]) K=[K() K()] K=K(3) % Προσομοίωση figure() plot(simout) figure() plot(simout) figure(3) Plot(simout) 7

Υλοποίηση του συστήματος κλειστού βρόχου σε Simulink Σήμα αναφοράς : σταθερό σήμα πλάτους. Σήμα διαταραχών: σταθερό σήμα πλάτους. N σφάλμα μετατοπιση βαλβίδας ελέγχου simout To Workspace simout To Workspace. σήμα αναφοράς αθροιστής -K κέρδος s ολοκληρωτικός όρος αθροιστης x' = Ax+Bu y = Cx+Du υδραυλικός ενεργοποιητής simout To Workspace ταχύτητα. πίεση διαταραχή K* uvec ανατροφοδότηση κατάσταση Σχήμα 5.9. Σχηματικό διάγραμμα συστήματος κλειστού βρόχου Αποτελέσματα προσομοίωσης για μηδενικές αρχικές συνθήκες. Ταχύτητα εμβόλου.5. m/sec.5 -.5 4 6 8 4 6 8 Time (sec) 8

3 Πίεση 5 Pa 5 5 4 6 8 4 6 8 Time (sec) x -3 Μετατόπιση βαλβίδας ελέγχου 8 6 m 4-4 6 8 4 6 8 Time (sec) Σχήμα 5.. Αποκρίσεις ταχύτητας εμβόλου, πίεσης και μετατόπισης βαλβίδας ελέγχου συστήματος κλειστού βρόχου για μηδενικές αρχικές συνθήκες 9

Αποτελέσματα προσομοίωσης για αρχικές συνθήκες x ( ). x( ) P ( ) L.5 Ταχύτητα εμβόλου..5 m/sec..5 4 6 8 4 6 8 Time (sec) 35 Πίεση 3 5 Pa 5 5 4 6 8 4 6 8 Time (sec)

.4 Μετατόπιση βαλβίδας ελέγχου...8 m.6.4. 4 6 8 4 6 8 Time (sec) Σχήμα 5.. Αποκρίσεις ταχύτητας εμβόλου, πίεσης και μετατόπισης βαλβίδας ελέγχου συστήματος κλειστού βρόχου για μη μηδενικές αρχικές συνθήκες

5... Σχεδιασμός ελεγκτή ασυμπτωτικής ακολούθησης αρμονικών σημάτων Έστω ο υδραυλικός ενεργοποιητής του Σχήματος 5.7. Έστω επίσης το ακόλουθο σύστημα παραγωγής αυθαίρετων σημάτων x () t A x () t ; y () t c x () t (5.7) όπου yr () t, xr () t και r, r r r r r r x είναι αυθαίρετο διάνυσμα αρχικών συνθηκών και όπου Για το παραπάνω σύστημα ισχύει A r, cr d d (5.7) () () yr () t dyr () t dyr() t (5.7) Μετασχηματίζοντας κατά Laplace την σχέση (5.7) προκύπτει ότι sy () y () Y s r r r () s ds d όπου Yr () s είναι ο μετασχηματισμός Laplace του σήματος yr () t και όπου yr(), y r() xr, αρχικές συνθήκες του συστήματος (5.7). (5.73) yr () yr () Για παράδειγμα επιλέγοντας yr (), y r (), d και d όπου η φυσική ιδιοσυχνότητα του παραγόμενου σήματος αναφοράς, η σχέση (5.73) λαμβάνει τη μορφή Yr () s (5.74) s ή ισοδύναμα στο πεδίο του χρόνου το σήμα αναφοράς είναι yr () t sin () t (5.75) Για τον υπολογισμό του ελεγκτή υπολογίζονται οι επαυξημένοι πίνακες q e p e L c e V V V d d B S m p A, b (5.76) M M K S K K Στο επαυξημένο σύστημα εφαρμόζεται στατικός ελεγκτής της μορφής K f f f3 f4 (5.77) Υπολογίζεται το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του επαυξημένου συστήματος κλειστού βρόχου οι

( ( ) ) 3 s B 4 mv MdV M KC KL f4kq e pc l () s s MV s BmdV MdV Bm KC KL f4kq e Md KC KL f4kq e S p f3kq S p e ( ( ) ( ) ( ) ) MV smv ( BdV m Bd m ( KC KL fk 4 q) e Md( KC KL fk 4 q) e fks q pe ds p( fk 3 q Sp) e ) MV M( KC KL fk 4 q) e Bd m ( KC KL fk 4 q) e fks q pe ds p( fk 3 q Sp) e MV (5.78) Έστω το επιθυμητό πολυώνυμο έχει τη μορφή 4 3 pd ( s) s ks ks k3s k4 (5.79) Οι παράμετροι του ελεγκτή υπολογίζονται ως ακολούθως ( Bm M( dd d k d( dk) dk k4)) V f KS q pe 3 M( d dk dk d( d k) k3) V f KS q pe (5.8) ( Bm MBm( d k) M ( d d dk k)) V MSpe f3 MKqS pe ( Bm M( d k)) V M( KC KL) e f4 MK q e 3

Υπολογισμός και Υλοποίηση του ελεγκτή στο λογισμικό MATLAB Κώδικας % Ορισμός τιμών των παραμέτρων του υδραυλικού ενεργοποιητή V=486/^3 Sp=633/^ KL= KC= Bm= M= Kq=. be=689*^6 d= d=4 % Ορισμός του χώρου κατάστασης A=[-Bm/M Sp/M;-Sp*be/V -(KL+KC)*be/V] B=[;Kq*be/V] DD=[-/M;] C=[,] % Κατασκευή επαυξημένων πινάκων Ae=[ ;-d -d ; -Bm/M Sp/M; -Sp*be/V -(KL+KC)*be/V] Be=[;;;Kq*be/V] % Έλεγχος ελεγξιμότητας επαυξημένου συστήματος Ue=ctrb(Ae,Be) det(ue) % Υπολογισμός τιμών ελεγκτή K=acker(Ae,Be,[- - -3-4]) % Υλοποίηση ελεγκτή στο χώρο κατάστασης Ac=[-d ;-d ] bc=[k();k()] cc=[ ] K=[K(3) K(4)] % Προσομοίωση figure() plot(simout) figure() plot(simout) figure(3) plot(simout) figure(4) plot(simout3) figure(5) plot(simout4) 4

Υλοποίηση του συστήματος κλειστού βρόχου σε Simulink Σήμα αναφοράς :.sin( t ) Σήμα διαταραχών:.sin( t) N Σχήμα 5.. Σχηματικό διάγραμμα συστήματος κλειστού βρόχου Αποτελέσματα προσομοίωσης. Ταχύτητα εμβόλου.5..5 m/sec -.5 -. -.5 4 6 8 4 6 8 Time (seconds) 5

3 Πίεση 5 5 Pa 5-5 - -5-4 6 8 4 6 8 Time (seconds) Σχήμα 5.3. Αποκρίσεις ταχύτητας και πίεσης εμβόλου x -4 Μετατόπιση βαλβίδας ελέγχου 8 6 4 m - -4-6 -8 4 6 8 4 6 8 Time (seconds) 6

. Σύγκριση σημάτων αναφοράς και εξόδου.5..5 m/sec -.5 -. -.5 4 6 8 4 6 8 Time (seconds) 4 x -3 Σφάλμα - m/sec -4-6 -8 - - 4 6 8 4 6 8 Time (seconds) Σχήμα 5.4. Αποκρίσεις της μετατόπιση βαλβίδας ελέγχου, του σήματος αναφοράς με την έξοδο και του σφάλματος 7

5...3. Σχεδιασμός ελεγκτή τριών όρων Στο σύστημα που εκφράζεται από τις εξισώσεις (5.57)-(5.59) εφαρμόζεται ο ελεγκτής τριών όρων (5.4). Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι BV ( ) ( ) ( ) 3 m M KC KL KDKqSpe B m KC KL Sp KPKq Sp e KKS I q pe pcl () s s s s MV MV MV (5.8) ή ισοδύναμα pc l s f s s s 3, BV M( K K ) KS m C L e q p e MV MV K D Sp Bm( KC KL) e KS q p e K P MV MV K I (5.8) KS q p e MV Έστω το επιθυμητό πολυώνυμο έχει τη μορφή d 3 3 pd () s s ds dsd3 s s s (5.83) d d3 Από τη σχέση (5.8) και (5.83) οι παράμετροι του ελεγκτή τριών όρων προσδιορίζονται από την ακόλουθη σχέση BV m M( KC K ) KS q p L e e MV MV K D d Sp Bm( KC KL) e KS q pe K P d MV MV K I d3 KS q p e MV (5.84) ή ισοδύναμα από τη σχέση BV m M( KC K ) KS q p L e e MV MV K D d Sp Bm( KC KL) e KS q pe K P d MV MV K I d3 KS q p e MV Από τη σχέση (5.85) υπολογίζονται οι βαθμοί ελευθερίας του ελεγκτή ως ακολούθως (5.85) 8

K K K D P I ( Bm Md) V M( KC KL) e KS q p e MdV B ( K K ) S KS q pe Md3V KS q p e m C L p e (5.86) Χρησιμοποιώντας τις τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή που προσδιορίστηκαν στη σχέση (5.86) η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου λαμβάνει την μορφή Hcl () s = éh y, u () s H y, x () s ù ê ë ú û (5.87) όπου {- sbm+ Mssd [ ( + d) + d3] } V - sé( Ms Bm)( KC K L) S ù ê + + + pú be H yu, = ë û MV { s[ ss ( + d) + d] + d3} ssv [ + ( KC + KL) be] Hy, x () s =- MV s[ ss ( + d) + d] + d { } 3 Tο πρόβλημα μπορεί να λυθεί επίσης θέτοντας τους όρους KP και KD. Με αυτήν την επιλογή η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου λαμβάνει τη μορφή όπου H H Hcl () s = éh y, u () s H y, x () s ù ê ë ú û KKS I q p e yu, = s ( Ms+ Bm ) V + ésms ( + Bm)( KC + KL) + KKS I q p + ssp () s =- êë b [ + ( + ) b ] ssv K K C L e y, x s ( Ms+ Bm ) V + ésms ( + Bm)( KC + KL) + KKS I q p + ssp êë ù úû b e ù úû b e (5.88) εφαρμόζοντας το κριτήριο Ruth στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου η ευστάθεια εξασφαλίζεται εάν Bm( KC KL) S p ( M e( KC KL) BmV ) K I (5.89) MKqS pv Αντικαθιστώντας τις τιμές του υδραυλικού ενεργοποιητή η παράμετρος K I περιορίζεται ως ακολούθως K 5.75686745979 (5.9) I 9

Υπολογισμός και Υλοποίηση ελεγκτή στο πρόγραμμα MATLAB Κώδικας % Ορισμός τιμών των παραμέτρων του υδραυλικού ενεργοποιητή V=486/^3 Sp=633/^ KL= KC= Bm= M= Kq=. be=689*^6 % Ορισμός του χώρου κατάστασης A=[-Bm/M Sp/M;-Sp*be/V -(KL+KC)*be/V] B=[;Kq*be/V] DD=[-/M;] C=[,] % Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του συστήματος κλειστού βρόχου syms s Kp Kd Ki Gpid=(Kp+s*Kd+Ki/s) Hcl=C*inv(s*eye()-A+B*C*Gpid)*B*Gpid Hcld=C*inv(s*eye()-A+B*C*Gpid)*DD [num,pcl]=numden(hcl) % Υπολογισμός τιμών ελεγκτή Kd= Kp= Ki=.553 % Έλεγχος χαρακτηριστικού πολυωνύμου κλειστού βρόχου solve(vpa(subs(pcl)))

Υλοποίηση συστήματος κλειστού βρόχου σε Simulink Σήμα αναφοράς : βηματική πλάτους. Σήμα διαταραχών: sin( t) N Σχήμα 5.5. Σχηματικό διάγραμμα συστήματος κλειστού βρόχου Αποτελέσματα προσομοίωσης x -3 Ταχύτητα εμβόλου 8 6 m/sec 4-4 6 8 4 6 8 Time (seconds)

35 Πίεση 3 5 Pa 5 5-5 4 6 8 4 6 8 Time (seconds) Σχήμα 5.6. Αποκρίσεις ταχύτητας και πίεσης εμβόλου 8 x -4 Μετατόπιση βαλβίδας ελέγχου 7 6 5 m/sec 4 3 4 6 8 4 6 8 Time (seconds)

x -3 Σύγκριση σημάτων αναφοράς και εξόδου Σήμα αναφοράς Σήμα εξόδου 8 6 m/sec 4-4 6 8 4 6 8 Time (seconds) x -3 Σφάλμα σήματος αναφοράς και σήματος εξόδου 8 6 m/sec 4-4 6 8 4 6 8 Time (seconds) Σχήμα 5.7. Αποκρίσεις της μετατόπιση βαλβίδας ελέγχου, του σήματος αναφοράς με την έξοδο και του σφάλματος 3

5... Έλεγχος θέσης υδραυλικού ενεργοποιητή Για τον έλεγχο της θέσης του υδραυλικού ενεργοποιητή που παρουσιάστηκε στο Σχήμα 5.7 το διάνυσμα κατάστασης και αρχικών συνθηκών, το διάνυσμα εξόδου και οι πίνακες του χώρου κατάστασης (5.57)-(5.59) τροποποιούνται ως ακολούθως x () t x() t x( ) x() t x() t x() t, y() t x() t x() t, x( ) x( ) (5.9) x3 () t PL() t PL( ) S Bm p A M M, B,, K C D (5.9) qe M S p e ( KL KC) e V V V Για τον υπολογισμό του ελεγκτή αρχικά προσδιορίζονται οι επαυξημένοι πίνακες S Bm p A 3 M M A C es, B K p e( KC KL) q e V V V Στο επαυξημένο σύστημα εφαρμόζεται στατικός ελεγκτής της μορφής K f f f3 f4 (5.93) Υπολογίζεται το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του επαυξημένου συστήματος κλειστού βρόχου 3 s( BV 4 m MKCe MKLe MfK 3 qe) s( BK m Ce BK m Le Bm fk 3 qe fks q pe Spe) pcl ( s) s MV MV sfkqs pe f4kqs pe MV MV (5.94) Έστω ότι το επιθυμητό πολυώνυμο έχει τη μορφή 4 3 pd ( s) s ds ds d3s d4 (5.95) Ταυτοποιώντας τα πολυώνυμα (5.94) και (5.95) υπολογίζονται οι παράμετροι του ελεγκτή Md3V f KS q pe ( Bm MBmdM d) V S p M e f KS q p (5.96) ( Bm Md) V M( KC KL) e f3 MKqe Md4V f4 KS q p e Σύμφωνα με τη σχέση (5.7) η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι 4

d sb 4 m Ms ( d) H, (), () cl () s Hcl u s Hcl s ssss ((( d) d) d3) d4 M (((( ssssd) d) d3) d4) (5.97) Η μόνιμη κατάσταση του συστήματος κλειστού βρόχου για βηματική είσοδο πλάτους r και διαταραχή βηματική πλάτους είναι r yss lim sh lim, (), () r s cl u sh s cl (5.98) s s Η κυκλωματική υλοποίηση του συστήματος κλειστού βρόχου παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.8 FL () t rt () + et () Υδραυλικός Dx () t Σ f 4 ò Σ Dxi () t ενεργοποιητής - x () t x () t PL () t f f f 3 Νόμος Ελέγχου Σχήμα 5.8. Σύστημα κλειστού βρόχου ελέγχου θέσης υδραυλικού ενεργοποιητή 5.3. Ασκήσεις 5. Για τον υδραυλικό ενεργοποιητή του Σχήματος 5.8 να σχεδιαστούν οι ακόλουθοι ελεγκτές I. Ελεγκτής ασυμπτωτικής ακολούθησης βηματικής εντολής για τη θέση του εμβόλου II. Ελεγκτής ασυμπτωτικής ακολούθησης εντολής για σήμα rref.cos( t) και για σήμα διαταραχής FL cos( t) III. Ελεγκτής τριών όρων για σήμα αναφοράς rref.cos( t) και για σήμα διαταραχής FL cos( t) Ο σχεδιασμός να περιλαμβάνει κώδικα σε MATLAB και υλοποίηση του διαγράμματος κλειστού βρόχου στο Simulink 6. Για τον ενεργοποιητή του σχήματος 5.9 να σχεδιαστούν οι ακόλουθοι ελεγκτές I. Ελεγκτής ασυμπτωτικής ακολούθησης βηματικής εντολής για τη θέση του εμβόλου II. Ελεγκτής ασυμπτωτικής ακολούθησης εντολής για σήμα rref.cos( t) και για σήμα διαταραχής FL cos( t) III. Ελεγκτής τριών όρων για σήμα αναφοράς rref.cos( t) και για σήμα διαταραχής cos( t) FL 5

x i x F L DQ L Bm M DP L k Σχήμα 5.9. Βαλβίδα Έμβολο συνδεδεμένο με μάζα- ελατήριο αποσβεστήρα και εξωτερική διαταραχή Ο σχεδιασμός να περιλαμβάνει κώδικα σε MATLAB και υλοποίηση του διαγράμματος κλειστού βρόχου στο Simulink 7. Για τον υδραυλικό κινητήρα του σχήματος 5. να σχεδιαστούν οι ακόλουθοι ελεγκτές I. Ελεγκτής ασυμπτωτικής ακολούθησης βηματικής εντολής για τη θέση του εμβόλου II. Ελεγκτής ασυμπτωτικής ακολούθησης εντολής για σήμα rref.cos( t) και για σήμα διαταραχής FL cos( t) III. Ελεγκτής τριών όρων για σήμα αναφοράς rref.cos( t) και για σήμα διαταραχής cos( t) FL x i P s Q, P, V qm TL J m B m Q, P, V k Σχήμα 5.. Βαλβίδα Υδραυλικός κινητήρας με εξωτερική διαταραχή Ο σχεδιασμός να περιλαμβάνει κώδικα σε MATLAB και υλοποίηση του διαγράμματος κλειστού βρόχου στο Simulink 8. Έστω το μοντέλο της υδραυλικής αντλίας που παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.. Οι εξισώσεις που περιγράφουν την πίεση της αντλίας, τη μετατόπιση της ηλεκτροβαλβίδας σε σχέση με το ρεύμα εισόδου και τις διαταραχές εκφράζονται στο χώρο κατάστασης με τις ακόλουθες εξισώσεις: é K K ù () LE Qx d éps t ù - éps() t ù é ù é-/ C ù hyd C isv () t QL() t () hyd C x hyd dt p t = xp() t + + KSV / A p êë úû êë úû êë úû êë úû êë úû όπου ps () t η πίεση της αντλίας, xp() t η μετατόπιση της ηλεκτρο - βαλβίδας ελέγχου, isv () t είναι το ρεύμα ελέγχου της ηλεκτροβαλβίδας και QL() t είναι η ροή φορτίου ροή που καταναλώνεται. Στον παρακάτω πίνακα επεξηγούνται οι παράμετροι K LE, C hyd, K Qx, K SV και A p και παρουσιάζεται η ονομαστική τους τιμής Παράμετρος Επεξήγηση Τιμή 6

K Κέρδος διαρροής [.6,.668] LE C Υδραυλική χωρητικότητα (.3/.86) hyd K Κέρδος πίεσης μετατόπισης. Qx K SV Κέρδος ηλεκτροβαλβίδας.5 A Επιφάνεια εμβόλου / p Για την παραπάνω υδραυλική αντλία να σχεδιαστούν οι ακόλουθοι ελεγκτές I. Ελεγκτής ασυμπτωτικής ακολούθησης βηματικής εντολής για τη θέση του εμβόλου II. Ελεγκτής ασυμπτωτικής ακολούθησης εντολής για σήμα rref.cos( t) και για σήμα διαταραχής TL cos( t) III. Ελεγκτής τριών όρων για σήμα αναφοράς rref.cos( t) και για σήμα διαταραχής TL cos( t) w M L Υδραυλική αντλία Q P Q M x p Ηλεκτροβαλβίδα i SV p s p R p s p R p s Σχήμα 5.. Αντλία μεταβλητής δομής 7

Βιβλιογραφία/Αναφορές [] Φ.Ν. Κουμπουλής, Βιομηχανικός έλεγχος, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, Αθήνα, 999. [] Dorf-Bishop, Σύγχρονα Συστήματα Αυτομάτου Έλεγχου, 9η Έκδοση, Εκδ. ΤΖΙΟΛΑ [3] Π.Ν. Παρασκευόπουλος, Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, θεωρία & Εφαρμογές, Τόμος Α ΣΑΕ Συνεχούς Χρόνου, 7 [4] K. Wei, and R. Barmish, Making a polynomial Hurwitz invariant by choice of feedback gain, Int. J. Contr., Vol 5, pp 5-38,989 [5] F.N. Koumboulis, and M.G. Skarpetis, Robust Triangular Decoupling with Application to 4WS Cars, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, pp. 344-35,. [6] F.N. Koumboulis, and M.G. Skarpetis, Input -Output decoupling for linear systems with non-linear uncertain structure, J. of the Franklin Institute, vol. 333(B), pp. 593-64, 996. [7] M. G. Skarpetis, F. N. Koumboulis and A.S. Ntellis, A Heuristic Control Algorithm for Robust Internal Model Control with Arbitrary Reference Model, J.-L. Ferrier et al. (eds.), Informatics in Control, Automation and Robotics, Lecture Notes in Electrical Engineering 83, 3 [8] M. G. Skarpetis, F. N. Koumboulis, and A. S. Ntellis, Robust Control Algorithms for a Hydraulic Actuator with Variable Displacement Vane Pump, 7th Conference on Emerging Technologies & Factory Automation (ETFA), September 7-,, Kraków, Poland [9] M. G. Skarpetis, F. N. Koumboulis, and A. S. Ntellis, Robust Arbitrary Reference Command Tracking with Application to Hydraulic Actuators, 9th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics Rome, Italy 8 3 July, [] M. G. Skarpetis, F. N. Koumboulis, Robust PID Controller for Electro - Hydraulic Actuators, 8th IEEE International Conference on Emerging Technologies and Factory Automation (ETFA3) September -3, 3, Cagliari, Italy [] M. G. Skarpetis, F. N. Koumboulis and A. S. Ntellis, Robust Position Tracking for a Hydraulic Servo System, th Mediterranean Conference on Control and Automation MED 4, June 6-9, 4. University of Palermo, Palermo, Italy [] F. N. Koumboulis, M. G. Skarpetis and B. G. Mertzios, Robust Regional Stabilization of an Electropneumatic Actuator, IEE Proceedings, Part D, Control Theory and Applications, vol. 45, pp. 6-3, 998. [3] M. G. Skarpetis, and F. N. Koumboulis, Solving Robust Control Problems using Robust Pole Placement in a Disk, 4th IEEE International Conference on Emerging Technologies and Factory Automation (ETFA 9), Sept. -6, Mallorca, Spain. 8