2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε μορφής, περιοδικής ή όχι, μπορεί να περιγραφεί θεωρητικά ως το άθροισμα μιας απειροστής σειράς ημιτονικών και συνημιτονικών κυματομορφών (οι οποίες λέγονται αρμονικές).

Οι αρμονικές έχουν συγκεκριμένη συχνότητα και πλάτος και όλες μαζί, συναποτελούν την αρχική κυματομορφή. Όσο μεγαλύτερος αριθμός αρμονικών συναθροίζεται, τόσο πιο ακριβής γίνεται η ανασύσταση της αρχικής κυματομορφής

Τριγωνομετρική μορφή της σειράς Fourier Κάθε περιοδική κυματομορφή που περιγράφεται με την συνάρτηση: f t = f t + T μπορεί να αναπτυχθεί σε μια σειρά Fourier εφόσον πληροί τις συνθήκες του Dirichlet, οι οποίες συνοψίζονται ως εξής:

Τριγωνομετρική μορφή της σειράς Fourier Η συνάρτηση πρέπει να είναι συνεχής, στο διάστημα μιας περιόδου, ή να έχει πεπερασμένο πλήθος σημείων ασυνέχειας. Να έχει πεπερασμένη μέση τιμή στο διάστημα μιας περιόδου. Να έχει πεπερασμένο πλήθος μέγιστων και ελάχιστων.

Υπό τις προϋποθέσεις αυτές, η κυματομορφή μπορεί να γραφεί υπό την γενική μορφή μιας τριγωνομετρικής σειράς (που ονομάζεται και σειρά Fourier): f t = 1 2 a 0 + a 1 cos ωt + a 2 cos 2ωt + a 3 cos 3ωt + + b 1 sin ωt + b 2 sin 2ωt + b 3 sin 3ωt + Οι συντελεστές α n και b n λέγονται συντελεστές Fourier και μπορούν να υπολογιστούν από την κυματομορφή (από την συνάρτησή της).

Η περίοδος Τ = ω είναι η περίοδος της τριγωνομετρικής σειράς. Λέγεται και περίοδος της θεμελιώδους αρμονικής. Όλοι οι όροι της σειράς (οι αρμονικές της κυματομορφής δηλαδή) έχουν συχνότητες που είναι ακέραια πολλαπλάσια της συχνότητας ω της θεμελιώδους. Για τον υπολογισμό των συντελεστών α n πολλαπλασιάζουμε με cos nωt και ολοκληρώνουμε κατά μέλη για την διάρκεια μιας περιόδου, αμφότερα τα μέρη της συνάρτησης f t :

0 ω f t = 1 2 a 0 + a 1 cos ωt + a 2 cos 2ωt + a 3 cos 3ωt + f t cos nωt dt = + b 1 sin ωt + b 2 sin 2ωt + b 3 sin 3ωt + ω = 1 2 a 0 cos nωt dt + 0 ω + a 2 cos nωt 0 ω + a n cos 2 nωt 0 ω + b 2 cos nωt 0 a 1 0 ω cos 2ωt dt + a 3 dt + + b 1 cos nωt 0 sin 2ωt dt + b 3 ω 0 ω cos ωt dt cos nωt cos nωt 0 ω cos nωt cos 3ωt dt + sin ωt dt sin 3ωt dt +

Όλα τα ορισμένα ολοκληρώματα είναι 0, εκτός από το: α n 0 ω cos 2 nωt dt α = n x = ωt α n 0 ω =T cos 2 nωt dt = α n ωt Τ = α n 2 + sin2nτ 4n 0 2 sin2n0 4n = α n Τ 2 + 0 0 0 = α n Τ 2 = α n Τ 2 + sin2nωt 4n 0 ω 2 = α n π ω

Αφού: α n 0 ω cos 2 nωt dt = π ω α n Άρα: a n = ω π 0 0 ω f t cos nωt dt = αn π ω f t cos nωt dt = 2 Τ 0 T ω f t cos nωt dt

Ο συντελεστής α 0 προκύπτει από τον συντελεστή α n για n=0. a 0 = ω π 0 Καθώς η τιμή ω f t cos 0ωt dt = 2 Τ 0 T f t dt 1 2 a 0 είναι η μέση τιμή της κυματομορφής στην διάρκεια μιας περιόδου, η τιμή του a 0 μπορεί να υπολογισθεί σχετικά εύκολα από την μορφή της κυματομορφής.

Για τον υπολογισμό των συντελεστών b n πολλαπλασιάζουμε αντίστοιχα με sin nωt και ολοκληρώνουμε κατά μέλη για την διάρκεια μιας περιόδου. Δηλαδή οι συντελεστέςb n θα είναι αντίστοιχα: b n = ω π 0 ω f t sin nωt dt = 2 Τ 0 T f t sin nωt dt

Μια άλλη μορφή των συντελεστών α n και b n με μεταβλητή ωt είναι η: α n = 1 π 0 f t cos nωt d ωt b n = 1 π 0 f t sin nωt d ωt

Στους ανωτέρω υπολογισμούς των συντελεστών η ολοκλήρωση για την διάρκεια μιας περιόδου, δεν είναι απαραίτητο να γίνεται από 0 έως Τ ή από 0 έως. Τα ίδια αποτελέσματα θα πάρουμε αν η ολοκλήρωση γίνει από Τ/2 έως 2/Τ, π έως π, ή σε οποιοδήποτε άλλο χρονικό διάστημα που αντιστοιχεί σε μια περίοδο.

Ή σειρά Fourier συγκλίνει ομοιόμορφα στη συνάρτηση, σε όλα τα σημεία συνέχειας, ενώ στα σημεία ασυνέχειας συγκλίνει στο ημιάθροισμα των τιμών της συνάρτησης από δεξιά και αριστερά.

Καθώς οι ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς κυματομορφές με την ίδια συχνότητα, στην ουσία είναι ίδιες (έχοντας μια διαφορά φάσης), μπορούν να συνδυαστούν σε μία κυματομορφή (ημιτονοειδή ή συνημιτονοειδή) με μία διαφορά φάσης. Έτσι η σειρά Fourier, μπορεί να εκφρασθεί και με δύο άλλες μορφές, δηλαδή ως έκφραση μόνον ημιτονοειδών ή μόνον συνημιτονοειδών κυματομορφών:

f t = 1 2 a 0 + c n cos nωt θ n με όρους συνημιτονικούς f t = 1 2 a 0 + c n sin nωt + φ n με όρους ημιτονικούς Όπου: c n = a 2 n + b 2 n είναι το πλάτος της κυματομορφής θ n = tan 1 b n /a n είναι η φάση της αρμονικής φ n = tan 1 α n /b n είναι η φάση της αρμονικής

Εκθετική μορφή της σειράς Fourier Καθώς το ημίτονο και το συνημίτονο μπορούν να εκφρασθούν και σε εκθετική μορφή σύμφωνα μετους τύπους: cosωt = ejωt + e jωt 2 sinωt = ejωt e jωt 2j

Αντικαθιστώντας, μπορούμε να εκφράσουμε και κάθε όρο της σειράς Fourier σε εκθετική μορφή: f t = = a 0 2 + a e jωt + e jωt 1 2 e jωt e jωt + b 1 2j f t = + a 2 2 b 2 2j + a 2 e j2ωt + e j2ωt 2 + b 2 e j2ωt e j2ωt 2j e j2ωt + α 1 2 b 1 2j + + e jωt + α 0 2 + α 1 2 + b 1 2j e jωt + α 2 2 + b 2 2j e j2ωt +

Θέτουμε: ± b n 2j = ± jb n 2jj = jb n 2 Π.χ: a 2 2 b 2 2j = a 2 2 + jb 2 2 = 1 2 a 2 + jb 2 = A 2 a 2 2 + b 2 2j = a 2 2 jb 2 2 = 1 2 a 2 jb 2 = A 2 Α 0 = 1 2 α 0, Α n = 1 2 a n jb n, A n = 1 2 a n + jb n Και η εκθετική μορφή της σειράς Fourier γίνεται: f t = + a 2 2 b 2 2j α 2 e j2ωt + α 1 2 b 1 2j e jωt + α 0 2 + α 1 2 + b 1 e jωt + 2j 2 + b 2 e j2ωt + 2j = + A 2 e j2ωt + A 1 e jωt + A 0 + A 1 e jωt + A 2 e j2ωt +

Για να βρούμε τους συντελεστές Α n, πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη με e jnωt και ολοκληρώνουμε σε διάστημα μιας περιόδου: f t = + A 2 e j2ωt + A 1 e jωt + A 0 + A 1 e jωt + A 2 e j2ωt + 0 = + + f t e jnωt d ωt = 0 0 0 A 2 e j2nωt e jnωt d ωt + Α 0 e jnωt d ωt Α 1 e jnωt e jnωt d ωt + + 0 0 Α 1 e jnωt e jnωt d ωt Α n e jnωt e jnωt d ωt +

f t = = + + 0 0 0 0 f t e jnωt d ωt = A 2 e j2nωt e jnωt d ωt + Α 0 e jnωt d ωt Α 1 e jnωt e jnωt d ωt + + 0 0 Α 1 e jnωt e jnωt d ωt e 0 = 1 Α n e jnωt e jnωt d ωt + Τα ολοκληρώματα στο δεξιό μέρος είναι 0 εκτός από το Αn d ωt, που είναι = Α n. 0

Άρα: 0 f t e jnωt d ωt = Α n Α n = 1 0 f t e jnωt d ωt ή με μεταβλητή το t Α n = 1 T 0 Tf t e jnωt dt Όπως και για τα α n και b n η ολοκλήρωση μπορεί να γίνει σε διάστημα μιας περιόδου και όχι απαραίτητα από 0 έως ή από 0 έως T.

Οι συντελεστές της τριγωνομετρικής σειράς Fourier μπορούν εύκολα να υπολογιστούν από τους συντελεστές Α n και Α n της εκθετικής μορφής: Α 0 = 1 2 α 0, Α n = 1 2 a n jb n, A n = 1 2 a n + jb n Α n + Α n = 1 2 α n jb n + a n + jb n = α n a n = Α n + Α n Α n Α n = 1 2 α n jb n a n jb n = 1 2 2jb n = jb n b n = j A n A n

Ο ρόλος της συμμετρίας της κυματομορφής στην σειρά Fourier Στην ανάπτυξη της σειράς Fourier, σημαντικό ρόλο παίζει η συμμετρία της κυματομορφής, κατά τρόπο ώστε ανάλογα με την συμμετρία- η σειρά μπορεί να έχει ή να μην έχει κάποιους από του όρους (π.χ. ημιτονικούς ή συνημιτονικούς). Η ιδιότητα αυτή, μιας κυματομορφής, διευκολύνει τον υπολογισμό της σειράς Fourier.

Ο ρόλος της συμμετρίας της κυματομορφής στην σειρά Fourier Τα διάφορα είδη των κυματομορφών ως προς την συμμετρία τους είναι: Άρτιας συμμετρίας Περιττής συμμετρίας Συμμετρίας ημιπεριόδου Συμμετρίας τετάρτου περιόδου

Άρτια συμμετρία Μια συνάρτηση f t καλείται άρτια αν ισχύει: f t = f t. Το συνημίτονο για παράδειγμα είναι άρτια συνάρτηση.

Άρτια συμμετρία To άθροισμα δύο ή περισσότερων άρτιων συναρτήσεων, είναι άρτια συνάρτηση. Με την πρόσθεση μιας σταθεράς συνιστώσας, η συνάρτηση παραμένει άρτια (σχήμα d). Οι άρτιες συναρτήσεις, είναι όλες συμμετρικές ως προς τον κατακόρυφο άξονα.

Κυματομορφές με άρτια συμμετρία

Περιττή συμμετρία Μια συνάρτηση f t είναι περιττή, αν ισχύει: f t = f t. Το ημίτονο για παράδειγμα είναι μια περιττή συνάρτηση.

Περιττή συμμετρία Το άθροισμα δύο η περισσότερων περιττών συναρτήσεων είναι περιττή συνάρτηση (b). Με την πρόσθεση μιας σταθεράς συνιστώσας, σε αντίθεση με το ότι συμβαίνει με την άρτια συμμετρία, η συνάρτηση παύει να είναι περιττή, γιατί η f t δεν είναι πλέον ίση με την f t. Το γινόμενο δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.

Κυματομορφές με περιττή συμμετρία

Συμμετρία ημιπεριόδου Μια περιοδική συνάρτηση f t, λέμε ότι έχει συμμετρία ημιπεριόδου εάν ισχύει η σχέση: f t = f t + T/2, όπου Τ είναι η περίοδος. Δηλαδή αν η κυματομορφή μετακινηθεί κατά T/2 πάνω στον άξονα του χρόνου, θα γίνει ίση με το αντίθετο της κυματομορφής.

Κυματομορφές με συμμετρία ημιπεριόδου

Η αναφορά στην συμμετρία των κυματομορφών έχει ιδιαίτερη σημασία στην ανάλυσή τους κατά Fourier. Ανάλογα με την συμμετρία τους οι κυματομορφές έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες: Αν η κυματομορφή είναι άρτια, τότε όλοι οι όροι της αντίστοιχης σειράς θα είναι μόνον συνημιτονοειδείς (α n ) και άρα δεν υπολογίζουμε τους ημιτονοειδείς όρους. Σταθερός όρος θα υπάρχει, αν η κυματομορφή έχει μέση τιμή διάφορη του μηδενός.

Αν η κυματομορφή είναι περιττή η σειρά έχει μόνον ημιτονοειδείς όρους (b n ). Ενδεχομένως μία κυματομορφή μπορεί να είναι περιττή, αν της αφαιρεθεί ο σταθερός όρος. Στην περίπτωση αυτή η σειρά Fourier περιέχει, εκτός από το σταθερό όρο, μόνο ημιτονοειδείς όρους.

Αν η κυματομορφή έχει συμμετρία ημιπεριόδου η σειρά θα έχει μόνον αρμονικές περιττής τάξεως (ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς όρους), εκτός αν η συνάρτηση είναι παράλληλα περιττή η άρτια. Τα α n και b n είναι 0, για n = 2,4,6, για κάθε κυματομορφή με συμμετρία ημιπεριόδου.

Συνοψίζοντας: Άρτια: α n Περιττή: b n Ημιπεριόδου: Μόνο οι περιττές αρμονικές

Μερικές κυματομορφές μπορεί να είναι περιττές ή άρτιες, ανάλογα με την θέση του κατακόρυφου άξονα. Η τετραγωνική κυματομορφή (a) είναι άρτια [f t = f t ]. Η ίδια κυματομορφή μετατοπισμένη στον κατακόρυφο άξονα (b) μετατρέπεται σε περιττή, γιατί τότε θα ισχύει η σχέση: [f t = f t ].

Τετραγωνική κυματομορφή με άρτια και περιττή συμμετρία

Η θέση του οριζόντιου άξονα μπορεί επίσης να απλοποιήσει την σειρά της κυματομορφής. Για παράδειγμα, η κυματομορφή (a) δεν είναι περιττή συνάρτηση. Στην περίπτωση (b) με μετατοπισμένο τον οριζόντιο άξονα, τότε γίνεται περιττή συνάρτηση. Η αρχική δηλαδή θα γίνει περιττή, αφού της αφαιρεθεί η συνεχής συνιστώσα, ή διαφορετικά, θα έχει έναν σταθερό όρο και τους ημιτονοειδείς μόνον.

Όλα τα ανωτέρω που ορίστηκαν για την σειρά Fourier των κυματομορφών, ανάλογα με την συμμετρία τους, ισχύουν και για την εκθετική μορφή της σειράς. Μια άρτια κυματομορφή περιέχει μόνο συνημιτονοειδείς όρους στην τριγωνομετρική της σειρά και άρα οι συντελεστές της εκθετικής σειράς είναι καθαρά πραγματικοί αριθμοί. Μια περιττή συνάρτηση που η τριγωνομετρική της σειρά αποτελείται από ημιτονοειδείς όρους έχει καθαρά φανταστικούς συντελεστές στην εκθετική της σειρά.

Γραμμικό φάσμα κυματομορφής Εάν παραστήσουμε πάνω στους άξονες x,y τα πλάτη των αρμονικών της σειράς Fourier μιας κυματομορφής, τότε η αποτύπωση αυτή λέγεται γραμμικό φάσμα. Γενικώς, οι χαμηλές αρμονικές έχουν μεγαλύτερα πλάτη από τις υψηλότερες, ενώ τα πλάτη μικραίνουν γρήγορα για κυματομορφές, με σειρές που συγκλίνουν γρήγορα.

Γραμμικό φάσμα κυματομορφής Όταν οι κυματομορφές έχουν ασυνέχειες (όπως η πριονωτή, η τετραγωνική, η τριγωνική, κ.λ.π.), τότε τα φάσματά τους έχουν αρμονικές των οποίων τα πλάτη μειώνονται αργά, καθώς οι σειρές τους έχουν αξιόλογες υψηλές αρμονικές. Γενικότερα οι κυματομορφές που έχουν ασυνέχειες, δηλαδή παρουσιάζουν απότομες εναλλαγές, για να περιγραφούν, απαιτούν υψηλές αρμονικές.

Γραμμικό φάσμα κυματομορφής Αντίθετα οι σειρές κυματομορφών χωρίς ασυνέχειες και γενικά χωρίς απότομες μεταβολές, συγκλίνουν γρήγορα και μερικές μόνο αρμονικές είναι αρκετές για να αποδώσουν ικανοποιητικά την κυματομορφή. Αυτή η γρήγορη σύγκλιση φαίνεται από το γραμμικό φάσμα, όταν τα πλάτη των αρμονικών ελαττώνονται γρήγορα ώστε πέρα από την 5 η και 6 η αρμονική να είναι ασήμαντα. Οι διαπιστώσεις αυτές θα γίνουν πιο εμφανείς και κατανοητές στα παραδείγματα που θα ακολουθήσουν.

Παραδείγματα υπολογισμού της σειράς Fourier σε κυματομορφές f t = 10 ωt ή ακόμα f t = 10 Τ t = 5t με Τ = 2 sec ή ω = Τ = π = 3, 14 r/sec Η κυματομορφή είναι περιττή αν αφαιρεθεί η συνεχής συνιστώσα DC=5 v

Για 0 < ωt < ή κυματομορφή είναι συνεχής και δίνεται από την f t = 10 ωt. Σε ένα μεγαλύτερο διάστημα έχει σημεία ασυνέχειας στα ωt = n, όπου n = 0,1,2, Οι συνθήκες Dirichlet ικανοποιούνται.

a n = 2 Τ 0 T f t cos nωt dt = 2 Τ 0 T5t cos nωt dt a 0 = 10 2 2 0 t cos 0ωt dt = 5 2t dt = 5 t2 2 0 2 0 = 10 Δηλαδή η μέση τιμή της κυματομορφής θα είναι: a 0 2 = 5

Οι συντελεστές α n : = 10 2 0 a n = 1 10 ωt cos nωt dωt = π 0 ωt cos nωt dωt = 10 ωt 2 n 0 sin nωt + 1 1 Δηλαδή η σειρά δεν θα έχει όρους συνημιτόνων (αφού είναι περιττή).

Οι συντελεστές b n : b n = 1 10 ωt sin nωt dωt π 0 = 10 2 ωt sin nωt dωt 0 = 10 2 ωt n cos nωt + 1 sin nωt n2 0 = 10 10 [ + 0] = 2nπ2 πn 0

Δηλαδή η σειρά Fourier θα έχει σταθερό και ημιτονικούς όρους: f t = 5 10 π 10 4π sinωt 10 sin4ωt = 5 10 π n=1 10 sin2ωt 3π sin3ωt sin nωt Στο ίδιο αποτέλεσμα θα οδηγηθούμε αν αναπτύξουμε την εκθετική σειρά Fourier της κυματομορφής. n

x = ωt a = jn Α n = 1 0 = 10 2 = 10 2 10 ωt e jnωt d ωt = ωt. e jnωt jn e jnωt jn 2 e jnωt jn 2 0 jnωt 1 0 10 = 10 2 2 0 = 10 n 2 ωt e jnωt d ωt jn ωt. e jnωt e jnωt jn 2 j 2 jnωt 1 e jnωt jn 2 0 = 10 n 2 e jnωt jnωt + 1 0 = 10 n 2 e jn jn + 1 1 = 10 n 2 jn + 1 1 = 10 n 2 10 jn = j n 0 e ±jn = cos n ± jsin n = 1 ± j0 = 1 1

Η εκθετική μορφή της f(t) θα είναι, σύμφωνα με την σχέση που υπολογίστηκε: f t = + A 2 e j2ωt + A 1 e jωt + A 0 + A 1 e jωt f t = j 10 4π e j2ωt j 10 e jωt + 5 +j 10 ejωt + j 10 4π ej2ωt + Α n = j 10 n Μπορούμε από τα A n και A n να υπολογίσουμε την τριγωνομετρική μορφή της σειράς:

Οι συντελεστές των συνημιτινοειδών όρων της τριγωνομετρικής σειράς είναι: α n = A n + A n = j 10 n + j 10 n = 0 Άρα η τριγωνομετρική σειρά δεν έχει συνημιτονοειδείς όρους, αφού α n = 0 για κάθε n. Οι συντελεστές των ημιτονοειδών όρων: b n = j A n A n = j j 10 n j 10 n = 10 πn

Α 0 = 1 10 0 10 ωt 2 2 2 0 ωt e j0ωt d ωt = 10 2 0 ωt d ωt = = 10 2 2 2 0 =5 Η μέση τιμή είναι 5 και η σειρά είναι: f t = 5 10 π 10 4π sinωt 10 sin4ωt = 5 10 π n=1 10 sin2ωt 3π sin3ωt sin nωt Όπως υπολογίστηκε και με την άλλη μέθοδο n

Γραμμικό φάσμα κυματομορφής Η αποτύπωση, πάνω στους άξονες, των αρμονικών με τα πλάτη τους, καλείται γραμμικό φάσμα. Πλάτη 0 1 2 3 4 5 6 7 Αρμονικές

Γραμμικό φάσμα πριονωτής κυματομορφής

Εάν επιλέξουμε την εκθετική μορφή της σειράς Fourier, τότε οι όροι θα έχουν συχνότητες +nω και nω και το πλάτος της αρμονικής τάξεως n θα είναι το άθροισμα των δύο πλατών για + nω και για nω.

Στο φάσμα βρίσκουμε γραμμές πλάτους 10 για n = 2 και n = +2. 4π Αν τις προσθέσουμε, βρίσκουμε το πραγματικό πλάτος της αρμονικής 2, που είναι το ίδιο με το πλάτος που βρήκαμε πριν: 10 Α n = j 10 n

Γραμμικό φάσμα πριονωτής κυματομορφής

Ανασύσταση της πριονωτής κυματομορφής με 5 αρμονικές+dc

Είναι προφανές πως όσο περισσότερες αρμονικές συνεισφέρουν στην ανασύσταση της κυματομορφής, τόσο βελτιώνεται και προσεγγίζει στην αρχική. Στα σημεία ασυνέχειας η σειρά συγκλίνει στο ημιάθροισμα των ορίων της συναρτήσεως από δεξιά και αριστερά. Στην περίπτωσή μας, στο 0 και στο, η σειρά έχει τιμή 5 (όσο ο σταθερός όρος δηλαδή), γιατί εκεί, όλοι οι ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς όροι είναι 0. Αυτά είναι τα σημεία ασυνέχειας και η τιμή της συνάρτησης σ αυτά είναι 10, όταν πλησιάζουμε από αριστερά, και 0 όταν πλησιάζουμε από δεξιά, με μέση τιμή 5.