VI. VECTORES NO ESPAZO

VI. VECTORES NO ESPAZO.- Vectores no espazo. Operacións Sexa E o espazo de pntos ordinario o intitio da xeometría elemental. Un segmento orientado AB con orixe no pnto A e extremo no pnto B recibe o nome de ector fixo e se representa por AB. Se a orixe e o extremo coinciden, reslta o ector fixo nlo. O conxnto dos ectores fixos do espazo designarémolo por F. Características do ector AB: Módlo: a lonxitde do segmento AB e represéntase por AB Dirección: a recta qe pasa polos pntos A e B, o calqera paralela á mesma. Sentido: o do percorrido da recta dirección desde a orixe A ata o extremo B. Un ector fixo non nlo qeda perfectamente determinado no espazo cando se coñecen a súa orixe e o se extremo, o cando se coñece a súa orixe e o se módlo, dirección e sentido. Os ectores fixos nlos teñen módlo igal a cero e se admite qe teñen todos a mesma dirección e sentido. Eqipolencia de ectores fixos: Dos ectores fixos teñen o mesmo módlo cando son igais as lonxitdes dos segmentos qe determinan. Dos ectores fixos non nlos teñen a mesma dirección cando están na mesma recta o sobre rectas paralelas. Dos ectores fixos non nlos AB e CD teñen o mesmo sentido se : - estando sobre rectas paralelas, os extremos B e D pertencen ao mesmo semiplano dos qe determina a recta qe ne as orixes A e C. - estando sobre a mesma recta, teñen o mesmo sentido qe otro non sitado na recta qe os contén. Dos ectores fixos non nlos son eqipolentes, AB ~ CD, cando teñen o mesmo módlo, dirección e sentido. Interpretación xeométrica: Se consideramos dos ectores fixos AB e CD non nlos, non aliñados e eqipolentes e nimos as orixes A e C e os extremos B e D, a figra qe se obtén é n paralelogramo. Se collemos n ector fixo AB e tódolos ses eqipolentes, formamos n conxnto o clase determinada por AB. Cada nha das clases en qe qeda diidido o conxnto F mediante a relación de eqipolencia recibe o nome de ector libre. O conxnto dos ectores libres do espazo representámolo por V VI /

Representación e características dn ector libre: Calqera ector fixo AB sere como representante de toda a clase de eqialencia á qe pertence e qe designaremos por [AB], a o a. A clase formada polos ectores fixos nlos é o ector libre nlo. Este ector libre nlo representámolo por 0. Chámase módlo, dirección e sentido dn ector libre non nlo ao módlo, dirección e sentido dn calqera dos ses representantes. O módlo do ector libre a represéntase por a. O ector libre 0 ten por módlo 0 e non ten dirección nin sentido. Propiedade fndamental: Dados n ector libre a e n pnto arbitrario P do espazo, sempre é posible considerar n representante de a con orixe en P. Ademais, este representante é único. Operacións con ectores libres:. Dados dos ectores libres a e b e o pnto O do espazo, elixidos os representantes OA e AB de a e b, respectiamente, defínese o ector sma e se escribe a+b como o ector libre de representante OB. Tamén se pode obter a sma como a diagonal do paralelogramo qe ten por lados os ectores a e b A sma así definida non depende do pnto O elixido coma orixe dos representantes dos ectores smandos.. Sendo a n ector libre de representante AB e n número real distinto de cero, defínese.a como o ector qe ten : a dirección de AB o sentido de AB se 0 e o de BA se 0 o se módlo coincide co alor de. a Polo tanto, se e teñen a mesma dirección (ectores paralelos), entón existe n número R de modo qe =.- Dependencia e independencia linear de ectores Sexan, e tres ectores libres de V. O ector é combinación linear dos tres anteriores se pode escribirse = a + a + a. Tamén se di qe depende linearmente de, e. Se n ector non depende linearmente de otros, é linearmente independente deles. Vector coplanario con otros dos é aqel qe depende linearmente deles. Os ectores,,..., n son linearmente independentes se ningún deles se pode escribir como combinación linear dos demais. Se algún dos ectores se pode escribir como combinación linear do resto, dise qe os ectores son linearmente dependentes En xeral para determinar a dependencia o independencia linear dn sistema de ectores, igalase ao ector nlo nha combinación linear de ditos ectores, obténdose así n sistema de ecacións lineais homoxéneo. Se o sistema é determinado (solción única, a triial), non é posible despexar ningún ector en fnción dos demais e polo tanto os ectores son independentes. Se o sistema é indeterminado, existen combinacións lineais con coeficientes distintos de cero qe dan como resltado o ector nlo. Entón si qe se pode despexar algún ector como combinación linear dos demais: os ectores son linearmente dependente. VI / Matemáticas II XEOMETRÍA

O conxnto B={,, } é nha base de V se os ectores son linearmente independentes e ademais, calqera ector se pode expresar como combinación linear deles. Tres ectores libres,, non nlos e non coplanarios forman nha base de V. x x y z Coordenadas dn ector: Se x = x + y + z dise qe (x,y,z) son as compoñentes o coordenadas cartesianas do ector x respecto da base B. Pódese demostrar qe as coordenadas dn ector respecto dnha base son únicas. Entón a cada ector x se lle pode facer corresponder de maneira única nha terna (x,y,z) e reciprocamente. Sistema de referencia: Un sistema de referencia é o conxnto {O,,, } formado por n pnto O, qe é a orixe do sistema e nha base de V. Mediante n sistema de referencia, a cada pnto do espazo X se lle asocia n ector OX ector de posición do pnto X. As coordenadas deste pnto X son as coordenadas do ector OX respecto da base B={,, }. E fixado O V fixada nha base R X OX= x + y + z (x, y, z) As rectas qe determinan os ectores da base chámanse eixes de coordenadas e os planos determinados por eles, planos coordenados. Traballaremos no sistema de referencia ortonormal: aqel no qe os ectores son perpendiclares dos a dos e ademais de módlo a nidade, {O, e, e, e }={O, i, j, k }. As operacións en R : (x, y,z ) + (x, y, z ) = (x +x, y +y, z +z ) k (x, y, z) = (kx, ky, kz) son a tradcción alxébrica do qe ocorre en V ( Espazo afín asociado ao espazo ectorial V : e k ) Chámase espazo afín asociado ao espazo V dos ectores libres, e se representa por E ao espazo ordinario de pntos, E, dotado dnha aplicación p, de ExE en V qe a cada par de pntos (A, B) de ExE lle corresponde n ector a=[ab] tal qe: ) A E, a V, existe n único pnto B E tal qe [AB]=a ) A,B,C E, se cmpre [AB]+[BC]+[CA]=0 (relación de Chasles) VECTORES NO ESPAZO Matemáticas II VI /

.- Prodto escalar Sexan e dos ectores libres de V. Dos representantes dos ectores coa mesma orixe, determinan dos ánglos; ao menor deles chamaremos ánglo dos ectores e. Este ánglo é independente da orixe O e a súa medida está comprendida entre 0 e radiáns. Prodto escalar dos ectores e de V é o número real:.=..cos (, ) Se algún dos ectores é nlo, o se prodto escalar é cero. O prodto escalar pódese considerar como nha aplicación de V x V en R. (O espazo ectorial V dotado do prodto escalar recibe o nome de espazo ectorial eclídeo (V,.)) Nnha base ortonormal, e e 0 i j se se i j i j e, ademais, e,0, 0), e (0,, 0) ( e e (0, 0,) Interpretación xeométrica: O alor absolto do prodto escalar de dos ectores é igal ao módlo dn deles pola proxección do otro sobre el. Ánglo agdo: cos OH cos OH Ánglo obtso: cos( 80º OH cos ) En calqera caso OH Propiedades:,, w V. Conmtatia:. =. Ánglos opostos teñen o mesmo coseno cos(, ) cos(, ). O prodto escalar é distribtio respecto da sma de ectores:.(+w)=.+.w ( w) s' ' w' ' w' w VI / 4 Matemáticas II XEOMETRÍA

. Homoxénea: R, (.). =.(.) =.(.) a) Se 0, e teñen o mesmo sentido (, )=(, ) ( ).=..cos (,)=..cos (,)= (.) b) Se <0, e teñen sentidos opostos (, ), (, ) son splementarios ( ).=..cos (,)=... (-cos (,))= = -..(-cos(.))=...cos (,)= (.) 4. O prodto escalar dn ector por se mesmo é n número positio o nlo..=..cos (,)=.cos 0= 0. = 0 = 0 = 0 Expresión analítica: Se referidos á base ortonormal (e, e, e ) temos os ectores = ( e + e + e ) ( e + e + e ) e e e e e e e e +e e +e e + ( )ee ( )ee + ( )e e de onde = + + expresión analítica do prodto escalar dos ectores e. 4. Módlo dn ector: Das propiedades do prodto escalar sabemos qe é dicir, o módlo dn ector é igal á raíz cadrada positia do prodto escalar do ector por se mesmo. Na base ortonormal qe estamos considerando se = e + e + e teremos: = + + Verificándose:. 0 e = 0 0. En efecto xa qe = + + 0. = R, V ; = ( ) ( ) ( ). Propiedade trianglar ( ).( )....cos.. Un ector dise nitario se o se módlo é a nidade = VECTORES NO ESPAZO Matemáticas II VI / 5

Dado n ector non nlo sempre se poden obter dos ectores nitarios coa mesma dirección e sentidos opostos,, qe claramente son nitarios: ( ) Da definición de prodto escalar e das expresións analíticas do prodto escalar de dos ectores e do módlo dn ector podemos calclar o ánglo qe determinan dos ectores: cos(, ) = (, ) = arc cos. A condición necesaria e sficiente para qe dos ectores non nlos sexan perpendiclares o ortogonais é qe o se prodto escalar sexa cero. Aínda qe etimoloxicamente ortogonal é o mesmo qe perpendiclar, en ectores, o termo ortogonal tilizarase para indicar qe o prodto escalar é cero. Como o ector nlo é ortogonal a calqera otro ector pero non se pode dicir qe sexa perpendiclar a ningún, diremos qe dos ectores poden ser ortogonais sen ser perpendiclares; é o caso de qe n deles sexa o ector nlo. Exercicio: Demostra qe se é o ánglo qe forman e, cos 4 5.- Prodto ectorial Chámase prodto ectorial de dos ectores libres e de V, a otro ector qe se representa por e qe se obtén do seginte modo: módlo: =..sen (,) dirección: sentido: w w perpendiclar ós ectores e o de aance dn sacarrollas o n parafso qe xira do primeiro ao segndo polo camiño máis crto Da definición se dedce qe o prodto ectorial de dos ectores pódese considerar como nha aplicación de V x V en V. Propiedades:. Homoxénea: ( )= ()=( ). Anticonmtatia: =-(). Distribtia do prodto ectorial respecto da sma: (+w)=()+(w) VI / 6 Matemáticas II XEOMETRÍA

Interpretación xeométrica: O módlo do prodto ectorial dos ectores e é igal á área do paralelogramo qe ten por lados os módlos dos ectores e. sen área do h h paralelogramo Como consecencia, a área dn triánglo é a metade da área do paralelogramo: A t AB AC Expresión analítica: Se =(,, ) e =(,, ) son dos ectores libres de V expresados nnha base ortonormal, o ector prodto ectorial en dado por: = e e (Este determinante non ten sentido por ser os ses elementos números reais e ectores; é lícito tilizalo se se conén en qe é só nha notación simbólica do prodto ectorial) Con esta expresión analítica do prodto ectorial, as propiedades anteriormente expostas son nha consecencia inmediata das propiedades dos determinantes. Pódese demostrar qe o prodto ectorial definido desta maneira é o mesmo qe o definido anteriormente. e e e e 6.- Prodto mixto Prodto mixto de tres ectores libres do espazo,, w é n número real qe se representa por [,,w] e qe se obtén : [,,w]=.(w); é polo tanto nha aplicación de V x V x V en R. Expresión analítica: Se =(,, ), =(,, ) e w=( w,w, w ) son tres ectores libres de V expresados nnha base ortonormal, o prodto mixto en dado por:,,w ( w) (,, ),,... det (,, w) w w w w w w w w w VECTORES NO ESPAZO Matemáticas II VI / 7

Propiedades qe se dedcen das propiedades dos determinantes:. [,,w] = [,w,] = [w,,]= - [,w,] = - [w,,] = - [,,w]. [,,w] = 0 se, e so se,,, w son linearmente dependentes. [a,b,cw] = abc[,,w] 4. [+',,w] = [,,w] + [',,w] Interpretación xeométrica: O alor absolto do prodto mixto de tres ectores é igal ao olme do paralelepípedo qe ten por arestas ós tres ectores.,, w w w cos α h w Volme do paralelepípedo Volme do prisma olme do paralelepípedo ; Volme do tetraedro = olme do paralelepípedo 6 Exercicio: B4. A. Pode ocorrer qe o prodto mixto de tres ectores sexa cero sen ser ningún dos ectores o ector nlo? Razoe a resposta. B. Para,, w, tres ectores no espazo tales qe, e w 5, ache os alores mínimo e máximo do alor absolto de se prodto mixto. VI / 8 Matemáticas II XEOMETRÍA

EXERCICIOS. Propoñer n exemplo dn ector qe sexa ortogonal ao ector c de coordenadas (, -, ) e teña módlo dobre qe o de c.. Sendo A(,, ), B(4,, ), C(4, 4, ), D(4, 4, ) értices dn paralelepípedo de arestas AB, AC e AD, calclar as coordenadas dos restantes értices e o se olme.. Dados os ectores (, 0, 0), (0,, ), determinar otro tal qe B={,, } sexa nha base ortonormal 4. Calclar algún alor do parámetro a para qe o prodto ectorial de (,, a) e (, a, 0) teña a dirección do eixe OZ 5. Dnha matriz cadrada, A, de orde, sábese o seginte:. A(, 0, 0) t =(, 0, ) t, A(,, 0) t =(0,, -) t.. A primeira fila de A é o prodto ectorial (,, ) (,, 0).. O sistema AX=(6, 0, ) t é compatible indeterminado. 4. A(0, 0, ) t é ortogonal ao ector (,, -) t. a) Achar a matriz A b) Cal das condicións anteriores asegra por se mesma qe o determinante de A ale cero? 6. Resoler a seginte ecación ectorial x (,, ) (,,5 ) sabendo qe x 6 7. Achar dos ectores linearmente independentes qe sexan ortogonais a e (,, ) 8. Dados os ectores (,, 0) e (, 0,), acha n ector nitario w qe sexa coplanario con e e ortogonal a. 9. Sexan os ectores (0,, 0), (,, ) e (,, ) a) Son os ectores, e linearmente dependentes? b) Para qe alores de a o ector ( 4, a, ) pode expresarse como combinación linear dos ectores, e? c) Calcla n ector nitario e perpendiclar a, e ( a,,, (,,) 0. a) Estdar se os ectores ) a a e (,, ) independentes en fnción do alor do parámetro a b) Cando sexan linearmente dependentes, escribir, se é posible, de e. Dados os ectores de encontrar nha base de R son linearmente como combinación linear e (,, ), e (, 5, ), e (0,, ) e e (-,, 0), R e escribir o otro como combinación linear de dita base. B0. a) En R, definir o prodto escalar de dos ectores. Poñer n exemplo de dos ectores non nitarios qe sexan ortogonais. b) Dados os ectores =(, -, ) e =(,, -), achar o conxnto de ectores qe, sendo perpendiclares a, pertenzan ao plano xerado por e. B. Calcle para qe os pntos A(,,), B(,0,), C(5,-,) e D(,, ) sexan coplanarios. Calcle a área do polígono ABCD B7. A. Sexan e dos ectores. Comprobe qe se ( )( ) 0 entón. B. Calcle os ectores nitarios qe sexan perpendiclares a (, 4,) e (,, 0). B. Dados os ectores (,0,4) e (,0, ) para qe alores de o módlo do ector ( ) ( ) ale 4? 4 VECTORES NO ESPAZO Matemáticas II VI / 9