Nekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi 1. Izpeljite Binomsko porazdelitev in pokažite kako pridemo iz nje do Poissonove porazdelitve? 2. Kako opišemo naključne lastnosti dvodimenzionalnih naključnih vektorjev? Kako so opredeljene kumulativna porazdelitvena funkcija, njena gostota in gostota pogojne verjetnosti? Kako je opredeljene robna porazdelitvena funkcija? Kako so opredeljene povprečna vrednost vektorja, korelacija in kovarianca med obema komponentama? 3. Kako je zasnovan test za preverjanje enakosti dveh normalnih pojavov? 4. Kaj veste o parametričnih cenilkah funkcij? Kdaj je cenilka optimalna? Izpeljite izraz za regresijsko premico in pojasnite, kdaj ga je primerno uporabljati. 5. Kaj veste o analizi variance? Izpeljite ustrezne formule in podajte primer uporabe analize variance v strojništvu? 6. Kako opišemo povezano in pogojno verjetnost dogodkov A in B? Kdaj sta dogodka A in B statistično povezana in kdaj neodvisna? Kaj je popolna verjetnost dogodka B? Kaj opisuje Bayesov teorem? Navedite primer uporabe Bayesovega teorema. 7. Kaj veste o parametričnih cenilkah funkcij? Kdaj je parametrična cenilka funkcije optimalna? Izpeljite izraz za regresijsko premico in pojasnite, kdaj ga je primerno uporabljati. Kako je opredeljen korelacijski koeficient in kaj podaja? 8. Opišite, čemu je namenjen χ 2 prilagoditveni test. Opredelite statistiko χ 2 prilagoditvenega testa in njeno porazdelitev verjetnosti ter pojasnite, kako test poteka in kakšen je sklep. Kako je pri tem testu opredeljena napaka prve vrste? 9. Kako sta povezana vhodni in izhodni signal pri linearnem sistemu? Kako sta definirani impulzna in frekvenčna odzivna funkcija linearnega sistema? Opredeli koherenčno funkcijo in razloži njen pomen. 10. Opredelite cenilko srednje vrednosti in cenilko variance populacije X ter njune lastnosti. Opišite potek določanja cenilk z metodo maksimalne zanesljivosti vzorca. 11. Kako je opredeljena kumulativna porazdelitvena funkcija in gostota porazdelitve verjetnosti dvodimezionale naključne spremenljivke Z=(X,Y)? Kako določimo gostoto porazdelitve verjetnosti vsote naključnih spremenljivk f X+Y, če poznamo f X in f Y statistično neodvisnih naključnih spremenljivk X in Y. Opredelite statistično povprečje in varianco funkcije Z=aX+bY naključnih spremenljivk X in Y. 12. Kako je zasnovan in kako poteka statistični test preverjanja enakosti dveh normalnih pojavov?
13. Pojasnite, kdaj je naključni proces stacionaren v ožjem in kdaj v širšem smislu? Kaj je značilno za ergodične procese in kaj to pomeni za obravnavo naključnih procesov? Kako sta definirani avtokorelacijska funkcija in spektralna gostota naključnega procesa. Grafično prikažite avtokorelacijsko funkcijo in spektralno gostoto nekoreliranega naključnega procesa. 14. Kaj je osnovna naloga statistike? Kako je opredeljeno vzorčno povprečje <X> n in kakšne so lastnosti te cenilke? Izpeljite izraza za statistično povprečje E[<X> n ] in varianco vzorčnega povprečja Var(<X> n ). 15. Kako sta povezana vhodni in izhodni signal pri linearnem časovno neodvisnem sistemu? Kako sta definirani impulzna in frekvenčna odzivna funkcija linearnega sistema? Kako je opredeljena spektralna gostota stacionarnega procesa X in kakšen je njen fizikalni pomen? Kako je opredeljena spektralna gostota izhoda Y linearnega sistema, če poznamo spektralno gostoto stacionarnega vhoda X? 16. Opredelite binomski proces in navedite primer binomskega procesa v praksi? Kolikšno je statistično povprečje binomskega procesa in kaj to pomeni v vašem praktičnem primeru? 17. Kako je zasnovan statistični test o enakosti dveh normalnih pojavov? Opredelite napako prve in druge vrste, ki jo pri tem lahko storimo v primeru testiranja enakosti srednjih vrednosti dveh normalnih pojavov. 18. Opišite, čemu je namenjen χ 2 prilagoditveni test. Opredelite statistiko χ 2 prilagoditvenega testa in njeno porazdelitev verjetnosti ter pojasnite, kako test poteka in kakšen je sklep. Kako je pri tem testu opredeljena napaka prve vrste? 19. Kako sta povezana vhodni in izhodni signal pri linearnem sistemu? Kako sta definirani impulzna in frekvenčna odzivna funkcija linearnega sistema? Opredeli koherenčno funkcijo in razloži njen pomen. 20. Opredelite pojem naključne spremenljivke. Kako lahko opišemo lastnosti skalarne zvezne naključne spremenjivke? Opredelite pojem funkcije skalarne naključne spremenljivke. Kako se izraža porazdelitvena funkcija in gosta porazdelitve za primer monotono naraščajoče funkcije skalarne naključne spremenljivke? 21. Za primer enostranskega statističnega testa opredelite napako prve in drug vrste in ju grafično prikažite. Opišite čemu je namenjen χ 2 prilagoditveni test. Opredelite statistiko χ 2 prilagoditvenega testa in pojasnite kako test poteka. 22. Kako sta povezani vhodna in izhodna spremenljivka pri časovno neodvisnem linearnem sistemu? Kako je opredeljena spektralna gostota naključnega procesa in čemu služi? Opredelite koherenčno funkcijo in razložite njen pomen. 23. Podan je vzorec X=(x 1, x 2,.., x i,... x n ). Kako je opredeljeno vzorčno povprečje <X> n in kaj predstavlja? Izpeljite izraza za statistično povprečje E[<X> n ] in varianco Var(<X> n )
vzorčnega povprečja <X> n. S pomočjo statističnega povprečja in neenačbe Čebiševa opredelite lastnosti cenilke povprečja m. 24. Naštejte katere lastnosti vzorcev lahko testiramo z χ 2 testom. Opišite, čemu je namenjen χ 2 prilagoditveni test. Opredelite statistiko χ 2 prilagoditvenega testa in njeno porazdelitev verjetnosti ter pojasnite, kako test poteka in kakšen je sklep. Z grafom in matematično opredelite, kako je pri tem testu opredeljena napaka druge vrste.. 25. Kako je opredeljena spektralna gostota stacionarnega procesa X in kakšen je njen fizikalni pomen? Kako je opredeljena spektralna gostota izhoda Y linearnega časovno neodvisnega sistema, če poznamo spektralno gostoto stacionarnega vhoda X? Opredelite koherenčno funkcijo in razložite njen pomen. 26. Kdaj je statistika z cenilka parametra q? Kdaj je cenilka dosledna in kdaj pristranska? Kako je definirano vzorčno povprečje naključne spremenljivke in kolikšna je njegova pričakovana vrednost ter varianca? Kako uporabimo neenačbo Čebiševa pri opisu lastnosti cenilke vzorčnega povprečja naključne spremenljivke? 27. Kako je zasnovan test za preverjanje enakosti dveh normalnih pojavov? Opredelite napako prve in druge vrste pri statističnem testiranju hipotez. 28. Kako sta povezana vhodni in izhodni signal pri stacionarnem linearnem sistemu? Kako sta definirani impulzna in frekvenčna odzivna funkcija stacionarnega linearnega sistema? Kako je opredeljena spektralna gostota procesa in kako sta povezani spektralni gostoti vhodnega in izhodnega signala stacionarnega linearnega sistema? 29. Kako je opredeljena kumulativna porazdelitvena funkcija in gostota porazdelitve verjetnosti dvodimezionale naključne spremenljivke? Kako določimo gostoto porazdelitve verjetnosti vsote naključnih spremenljivk f X+Y, če poznamo f X in f Y statistično neodvisnih naključnih spremenljivk X in Y. Opredelite statistično povprečje in varianco funkcie Z=aX+bY naključnih spremenljivk X in Y. 30. Opredelite funkcijo porazdelitve verjetnosti F(x) naključne spremenljivke X. Kaj opisuje in kakšne so lastnosti funkcije F(x). Opredelite gostoto verjetnosti naključne spremenljivke X. Kako bi v praktičnem primeru ocenili gostoto verjetnosti naključne spremenljivek X. 31. Opišite čemu je namenjen χ 2 prilagoditveni test. Opredelite statistiko χ 2 prilagoditvenega testa, pojasnite kako test poteka in kakšen je sklep., Katere lastnosti naključnih spremenljivk lahko poleg prilagoditvenega tasta preverjamo z χ 2 testom? 32. Kako bi preverili stacionarnost procesa v širšem smislu. Kako sta definirani in zakaj uporabljamo avtokorelacijsko funkcijo ter spektralna gostoto naključnega procesa. Grafično prikažite avtokorelacisjko funkcijo in spektralno gostoto za primer periodičnega in za primer nekoreliranega naključnega procesa. 33. Kdaj je statistiko z smiselno uporabiti kot cenilko parametra q populacije X? Opredelite vzorčno povprečje naključne spremenljivke X in povejte čemu služi. Opredelite in z uporabo statističnega povprečja in neenčbe Čebiševa pokažite kakšne lastnosti ima vzorčno povprečje kot cenilka.
34. Kako je zasnovan in kako poteka statistični test preverjanja enakosti dveh normalno porazdeljenih naključnih spremenljivk X 1 in X 2? 35. Kako sta povezani vhodna in izhodna spremenljivka pri časovno neodvisnem linearnem sistemu? Kako je opredeljena povezava med povprečno vrednostjo vhodega in izhodnega procesa ter povezava med korelacijsko finkcijo vhodnega in izhodnega procesa za primer časovno neodvisnega linearnega sistema. Kako je opredeljena spektralna gostota naključnega procesa in čemu služi? 36. Kako je opredeljena kumulativna porazdelitvena funkcija in gostota porazdelitve verjetnosti dvodimezionalne naključne spremenljivke in kakšne so njune lastnosti? Kako se imenujeta in čemu služita prvi povezani in prvi povezani centralni moment dvodimenzionalne naključne spremenljivke. 37. Kaj veste o parametričnih cenilkah funkcij? Kdaj je parametrična cenilka funkcije optimalna? Kdaj je smiselno uporabiti parametrične in kdaj neparametrične cenilke funkcij. Izpeljite izraz za regresijsko premico in pojasnite, kdaj ga je primerno uporabljati. 38. Kako je zasnovan in kako poteka statistični test homogenosti skupin? 39. Kako je zasnovan in kako poteka test neodvisnosti dveh naključnih spremenljivk? 40. Kako sta povezana vhodni in izhodni signal pri linearnem sistemu? Kako sta definirani impulzna in frekvenčna odzivna funkcija linearnega sistema? Opredelite koherenčno funkcijo in razložite njen pomen. 41. Kako sta povezana vhodni in izhodni signal pri linearnem sistemu? Kako sta definirani impulzna in frekvenčna odzivna funkcija linearnega sistema? Kako je opredeljena spektralna gostota procesa. Kaj je potreben pogoj za kaotičnost sistema in kaj je osnovna lastnost kaotičnih sistemov. 42. Opredelite porazdelitev verjetnosti za nastop x slabih izdelkov v vzorcu razsežnosti n. Pokažite kakšno porazdelitev dobimo v primeru, če razsežnost povečujemo če z vse meje verjetnost p za nastop dogodka x pa se pri tem manjša tako, da je produkt p.n=θ 1. Navedite primer uporabe dobljene porazdelitve. 43. Kako je opredeljeno vzorčno povprečje <X> n in zakaj ga uporabljamo. Izpeljite izraza za statistično povprečje E[<X> n ] in varianco vzorčnega povprečja Var(<X> n ) ter opredelite lastnosti vzorčnega povprečja kot cenilke. Čemu služi poznavanje variance cenilke? 44. Kakšni sta ničelna in alternativna hipoteza statističnega testa za preverjanje enakosti dveh normalnih pojavov. Opredelite statistiko in potek testa za testiranje enakosti srednjih vrednosti za primer, ko imamo na razpolago vzorčni varianci. Opredelite napako prve vrste, ki jo pri tem testu lahko storite in jo grafično ponazorite. 45. Gdaj je naključni proces stacionaren v ožjem oziroma strogem pomenu definicije stacionarnosti. Kako se stacionarnost procesa odraža v statističnem povprečju in avtokorelacijski funkcij procesa. Opredelite in opišite lastnosti koherenčne funkcije med vhodnim X(t) in izhodnim signalom Y(t).
46. Naključni spremenljivki X 1 in X 2 sta normalno poradeljeni z N(m 1,σ 1 ) in N(m 2,σ 2 ). Kako je poradeljena vsota X 1 in X 2. Kakšno porazdelitev gostote verjetnosti imajo spremenljivke: (X 1 ) 2, (X 2 ) 2, (X 1 ) 2 + (X 2 ) 2 in (X 1 ) 2 /(X 2 ) 2. Navedite primere statističnih testov pri katerih se srečujemo z omenjenimi porazdelitvami gostote verjetnosti. 47. Pri poskusi ste izmerili podatke X=(x 1,..x i,...x n ). Opišite postopek in ustrezne formule za določitev porazdelitve verjetnosti izmerjenih podatkov X. Z formulo in grafično opredelite napako prve vrste, ki jo pri tem lahko storite. 48. Pojasnite kdaj je proces stacionaren v ožjem in kdaj v širšem smislu? Kaj je značilno za ergodične procese in kaj to pomeni za obravnavo naključnih procesov? Kako sta definirani avtokorelacijska funkcija in spektralna gostota stacionarnega naključnega procesa in pojasnite fizikalni pomen spektralne gostote. 49. Opredelite funkcijo porazdelitve verjetnosti F(x) naključne spremenljivke X. Kaj opisuje in kakšne so lastnosti funkcije F(x). Opredelite gostoto verjetnosti naključne spremenljivke X. Kako bi v praktičnem primeru ocenili gostoto verjetnosti naključne spremenljivek X. 50. Z izrazom opredelite in grafično predstavite napaki prve in druge vrste pri dvostranskem 51. Z izrazom opredelite in grafično predstavite napaki prve in druge vrste pri enostranskem 52. Kako sta povezana vhodni X(t) in izhodni signal Y(t) pri linearnem sistemu? Kako je opredeljena frekvenčna odzivna funkcija linearnega sistema? Kako je opredeljena spektralna gostota procesa in kako sta povezani spektralni gostoti vhodnega in izhodnega signala linearnega sistema? 53. Kako sta opredejeni in kaj opisujeta povezana in pogojna verjetnost dogodkov A in B? Kdaj sta dogodka A in B statistično povezana in kdaj neodvisna? Kako je opredeljena popolna verjetnost dogodka A? Opredelite primer dvonivojskega poizkusa in formulo, ki jo uporabimo pri opisu aposteriorne verjetosti dvonivojskega poizkusa? 54. Kako je opredeljeno vzorčno povprečje naključne spremenljivke X in zakaj ga uporabljamo. Kašno porazdelitev verjetnosti ima vzorčno povprečje. Opredelite intervalno oceno parametra srednje vrednosti populacije. 55. Opišite postopek statističnega testa in statistiko, ki jo uporabimo pri analizi variance. Z izrazom opredelite in grafično predstavite napaki prve in druge vrste pri enostranskem
56. Opredelite spektralno gostoto stacionarnega procesa X(t) in pokažite fizikalni pomen spektralne gostote. Opredelite koherenčno funkcijo med vhodnim X(t) in zhodnim signalom Y(t) in lastnosti koherenčne funkcije. 57. Kako je opredeljeno vzorčno povprečje naključne spremenljivke X in zakaj ga uporabljamo. Kašno porazdelitev vejetnosti ima vzorčno povprečje. Opredelite intervalno oceno parametra srednje vrednosti populacije. 58. Opišite postopek statističnega testa in statistiko, ki jo uporabimo pri analizi variance. Z izrazom opredelite in grafično predstavite napaki prve in druge vrste pri ensostranskem 59. Opredelite spektralno gostoto stacionarnega procesa X(t) in pokažite fizikalni pomen spektralne gostote. Opredelite koherenčno funkcijo med vhodnim X(t) in zhodnim signalom Y(t) in lastnosti koherenčne funkcije. 60. Kdaj je cenilka z nepristranska in dosledna cenilka parametra populacije q? Kako je opredeljeno vzorčno povprečje naključne spremenljivke X in zakaj ga uporabljamo. Poleg vzorčnega povprečja lahko kot cenilko parametra q uporabimo tudi naključno spremenljivko X. Katera je boljša cenilka parametra q in zakaj. 61. V kakšno skupino testov sodi in čemu je namenjen χ 2 prilagoditveni test? Vpeljite ustrezne formule za χ 2 test in pojasnite, kako test poteka ter kakšen je sklep. Katere lastnosti populacije oziroma skupin še lahko preverjamo s χ 2 testom. 62. Kako je opredeljeno vzorčno povprečje <X> n in zakaj ga uporabljamo. Izpeljite izraza za statistično povprečje E[<X> n ] in varianco vzorčnega povprečja Var(<X> n ) ter opredelite lastnosti vzorčnega povprečja kot cenilke. Čemu služi poznavanje variance cenilke? 63. Kdaj je naključni proces stacionaren v širšem oziroma oziroma blagem pomenu definicije stacionarnosti. Kdaj pravimo, da je naključni proces ergodičen. Opredelite spektralno gostoto stacionarnega procesa, matematično opredelite njen fizikalni pomen in navedite primer uporabe. 64. Opredelite spektralno gostoto stacionarnega procesa X(t) in pokažite fizikalni pomen spektralne gostote. Opredelite koherenčno funkcijo med vhodnim X(t) in zhodnim signalom Y(t) in lastnosti koherenčne funkcije. 65. Kako je definirana kumulativna porazdelitvena funkcija verjetnosti zvezne naključne spremenljivke X, kaj opisuje in kakšne so njene lastnosti? Kako je opredeljena gostota porazdelitve verjetnosti X? Kako določimo gostoto porazdelitve verjetnosti vsote naključnih spremenljivk f X+Y, če poznamo f X in f Y statistično neodvisnih naključnih spremenljivk X in Y. 66. Naključni spremenljivki X 1 in X 2 sta normalno poradeljeni z N(m 1,σ 1 ) in N(m 2,σ 2 ). Kako je poradeljena vsota X 1 in X 2. Kakšno porazdelitev gostote verjetnosti imajo spremenljivke: (X 1 ) 2, (X 2 ) 2, (X 1 ) 2 + (X 2 ) 2. Navedite primere statističnih testov oziroma statistik pri katerih se srečujemo z omenjenima porazdelitvama gostote verjetnosti.
67. Kaj predstavljata in kako opišemo povezano in pogojno verjetnost dogodkov A in B? Kdaj sta dva dogodka statistično povezana in kdaj neodvisna? Poskus poteka v dveh korakih. V prvem koraku sta mogoča dogodka H 1 in H 2 in v drugem koraku dogodka A in B. Opredelite popolno verjetnost dogodka A in verjetnost dogodka A, če se je v prvem koraku zgodil dogodek H 1.. 68. V kakšno skupino testov sodi in čemu je namenjen χ 2 prilagoditveni test? Vpeljite ustrezne formule za χ 2 prilagoditveni test in pojasnite, kako test poteka ter kakšen je sklep. 69. Izpeljite porazdelitev verjetnosti za nastop x slabih izdelkov v vzorcu razsežnosti n. Pokažite kakšno porazdelitev dobimo v primeru, če razsežnost povečujemo če z vse meje verjetnost p za nastop dogodka x pa se pri tem manjša tako, da je produkt p.n=θ 1. Navedite primer uporabe dobljene porazdelitve. 70. Kakšni sta ničelna in alternativna hipoteza statističnega testa za preverjanje enakosti dveh normalnih pojavov. Opredelite statistiko in potek testa za testiranje enakosti srednjih vrednosti za primer, ko imamo na razpolago vzorčni varianci. Opredelite napako prve vrste, ki jo pri tem testu lahko storite in jo grafično ponazorite. 71. Kako sta definirani avtokorelacijska funkcija in spektralna gostota stacionarnega naključnega procesa? Z formulami opredelite in grafično ponazorite avtokorelacijsko funkcijo in pripadajočo spektralno gostoto nekoreliranega stacionarnega procesa. Kako imenujemo tak naključni proces. 72. Kaj je naključni proces in kako opišemo njegove naključne lastnosti? Pojasnite, kdaj je proces stacionaren v ožjem in kdaj v širšem smislu? Kaj je značilno za ergodične procese in kaj to pomeni za obravnavo naključnih procesov? Kako sta definirani avtokorelacijska funkcija in spektralna gostota naključnega procesa? Kako se lahko uporabljata v strojništvu?