ΓΡΑΦΙΚΗ ΜΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ Η/Υ & ΜΗΧ Η\Υ. Εισαγωγή στη Γραφική με Η/Υ 2. Συσκευές Γραφικών και ο Έλεγχος τους 3. Αρχικές Έννοιες Σχεδίασης Εικόνων 4. Σχεδίαση γραμμών - Κύκλων 5. Μετασχηματισμοί Υπεύθυνοι Στέφανος Κόλλιας Βασίλης Λούμος Μάρτιος 24
-- Συσκευές Επίδειξης Γραφικών Εκτυπωτές Σχεδιαστές Πενών (Pen/ Drum Plotters) Οθόνες (Vdeo Montors). Η απεικόνιση γίνεται στους Σωλήνες Καθοδικών Ακτινών (CRTs) με Δέσμες Ηλεκτρονίων Επικάλυψη φωσφόρου Φωτεινότητα Αριθμός Ηλεκτρονίων Θέση στην Οθόνη Απόκλιση Δέσμης Μονόχρωμη Οθόνη Συνδυασμός 3 δεσμών Μάσκα Τριάδες Σημείων / Θέση Έγχρωμη Οθόνη
-2- Οθόνες Χαρακτήρων Υπολογιστικοί Σταθμοί Σχεδίασης Γραμμών Rster (Pels) Stndlone Δικτυωμένοι Εφαρμογές ) Δημιουργία Παρουσιάσεων Sldes 2) Ζωγραφική αποτυπώσεις σε Εικόνες 3) Παρουσίαση Μαθηματικών Σχέσεων 4) Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων 5) Αρχιτεκτονικά Μηχανολογικά Σχέδια 6) Χαρτογραφία 7) Προσομειωτές Πτήσεων 8) Επικοινωνία Ανθρώπου Μηχανής (Snthet Avtrs, Agents) 9) Εικονική/Επαυξημένη Πραγματικότητα
-3- Πρότυπα Συστήματα Γραφικών GKS: Grphl Kernel Sstems 2/3-D PHIGS: Progrmmer s Herrhl Interntonl Grphs Sstem Γλώσσα Postsrpt Περιοδικά ) ACM Sggrph - Computer Grphs 2) ACM Trnstons on Grphs 3) IEEE Computer Grphs&Appltons 4) Computer Grphs&Imge Proessng 5) Eurogrphs 6) Computer Grphs World 7) The Vsul Computer 8) The Computer Grphs Forum
-4- Οθόνες Σχεδίασης Γραμμών Σχεδίαση σημείων στην οθόνη Pen_Up Pen_down Go_To (,) Get_Pen () Οθόνες Ανανέωσης Διανυσμάτων Σχεδίαση Γραμμών και Διανυσμάτων Δέσμη ηλεκτρονίων κινείται σε ευθεία γραμμή Λόγω κίνησης ο φωτισμός (μέσω του φωσφόρου) σβήνει σιγά - σιγά Επανασχεδίαση 5/6 φορές/se
-5- Οθόνες RASTER SCAN Σημεία (Pels) TV-lne Snnng Frme Buffer (Αποθήκευση Μνήμης) Interlng (Επίδειξη 25/3 frmes/se) Μονόχρωμες - Έγχρωμες Εικόνες Μήκος Λέξης Αναπαράστασης Pels (π.χ. 6 t/pel, 2 ανά Χρώμα) Bts Σχετική Ένταση/Χρώμα Πολύ Σκούρο () Ελαφρά Σκούρο (/3) Ελαφρά Ανοικτό (2/3) Ανοικτό () D/A μετατροπή Συνολικά 4 3 64 χρώματα επίδειξης
-6- Look Up Tle Ορίζει το σετ των χρωμάτων (π.χ. 256) που χρησιμοποιούνται ταυτόχρονα. Παλέτα Χρωμάτων Ορίζει το σύνολο των χρωμάτων που μπορούν να επιδειχτούν. Συστήματα Εκτύπωσης (Rster) Lser Prnters (Ανάλυση - resoluton) Κίνηση Δέσμης Ηλεκτρονίων πάνω σε Εσωτερική Επιφάνεια Σχεδίασης Ηλεκτρική φόρτιση της επιφάνειας/ - σκόνη επικολλάται σε σημεία Toner μεταφέρεται στο χαρτί toner Ink-Jet plotters (έκχυση μελάνης) Bt-mpped Συστήματα Επίδειξης Frme Buffer ανήκει στην μνήμη του Η/Υ. Λογικό Κύκλωμα επικοινωνεί με αυτόν και Refreshes Σχεδίαση Γραμμής σε Rster Συστήματα. Δεν είναι συνεχής.
-9- ΟΔΗΓΟΙ ΣΥΣΚΕΥΩΝ Πρόγραμμα Εφαρμογής Ανεξάρτητης Συσκευής Εισαγωγή εντολών (π.χ. drw, lne) για συγκεκριμένες συσκευές Κανονικοποιημένες Συντεταγμένες Συσκευής (NDC) NDC Μέγιστο Τετράγωνο P d Q d + d + d d έστω m 23 767 m d d 28 28 d 895 767 767 d d d 767 767 28 895 23
R Aspet Rto -- Ύψος Π λάτος TV : R HDTV 4 3 : R 6 9 d R NDC D d R dev d m R m / m d m Πρωτογενείς Συνιστώσες του GSK (Εξόδου) Pollnes Ακολουθίες Ευθυγράμμων Τμημάτων (Λίστα από Κορυφές) Polmrkers Tet Mέγεθος (Πάχος) Χρώμα Γραμμής d Είδος Γραμμής Μέγεθος Font Χρώμα Απόσταση justf
-- Λογικές Συναρτήσεις Εισόδου - Διάβασμα Ακολουθιών Χαρακτήρων - Επιλογή (Από ένα Set of Buttons ) - Vlutor (Διάβασμα Τιμή π.χ. Μεγέθους Γραμμής) - Lotor (Θέσης Ορισμός) Με ποντίκι Grphs Cursor - Πληκτρολόγιο - Ποντίκι - Κουμπιά - Ταμπλέτα + Στυλό - Jostk- Trkll - Knos - Thumwheels Φυσικές Συσκευές Εισόδου
-2- Σχεδίαση Απλών Γραμμών Σχημάτων 4. Το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων (World Coordnte Sstem ) Αναγκαίες Διαδικασίες - Κλιμάκωση διαστάσεων (Slng) - Μοντελοποίηση (Modelng) Γεωμετρικα Μοντέλα Αντικειμένων - Παρατήρηση (Vewng) Παρατηρούμενη όψη του αντικειμένου στην οθόνη Μοντελοποίηση σε Παγκόσμιο Σύστημα Συντεταγμένων Παράθυρα 2-D επίπεδο Επιδεικνυόμενες Όψεις Wndows Vew ports
-3- Διαδικασία σχεδίασης γραμμών - Αποκοπή (lppng) γραμμών έξω από τα όρια των παραθύρων - Αντιστοίχηση περιεχομένων του παραθύρου με το vew port - Σχεδίαση του αντικειμένου σε κανονικές Συντεταγμένες W d V w V w V w w d V V d d - d + X w d v }v w + X w d d v d }v d w d + d +d v w v d d w w d d v w wv w d όμοια d v w v v w w w vw w
-4- Αποκοπή Γραμμής Παράθυρο Αλγόριθμος Cohen- Sutherlnd Λ Ο Λ Ο Ο Ρ 2 Λ d e Ρ W Διατήρηση Γραμμής Αν 4 συγκρίσεις των ακραίων σημείων (ΑΝD) ΛΑΘΟΣ πχ. P P + ( W P ) m P m P 2 2 P P
-5 α - D B C A 4 συγκρίσεις για αποκοπή της γραμμής -5β- Λόγος Παρατήρησης (Χρυσό Ορθογώνιο) /Φ + 5 φ + φ.6833989... φ 2 Φ
-5γ- - Γραμμές να φαίνονται ίσιες - Γραμμές να τερματίζουν ακριβώς - Σταθερή Πυκνότητα - Πυκνότητα Γραμμής να είναι ανεξάρτητη μήκους και γωνίας - Γρήγορη Σχεδίαση - Απλός γραμμικός μεταβολή κάθε συντεταγμένης - Αλγόριθμος Bresenhm κατά (μίας την φορά) ± pel. υπολογίζει το σφάλμα (απόσταση κάθετα στον άξονα μεγαλύτερης μετακίνησης) ανάμεσα στην ακριβή διαδρομή και τα σημεία πραγματικά σημεία
-6- Σχεδίαση Γραμμών Αλγόριθμος Bresenhm - - S Τ Ιδανική γραμμή (, ) ( ) m( ) + m Παραδοχές m Επιλογή T αν και μόνο αν, e ( T ) e( S ) (4) e * e( T e I ) ( ) * * ( S ) ( + ) m + ()Μεταβολή + (2)Υπολογισμός + (3) { e( T) e( S) } ( )( ) + ( )( ) 2 (,2,3,4) 2 (5) ή αν e + αλλιώς Αναδρομικός Υπολογισμός e + e + 2( ) 2( ) { }
Υλοποίηση -7- - Έλεγχος πρόσημου e - Απόφαση για + - Υπολογισμός e+ e e + 2( ) + 2( ) αρχικοποίηση e 2(Δ )-(Δ) Επεκτάσεις - m - m - - m
-8- ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΥΚΛΩΝ (-,) (-,) (,) B (,) Y 2 R 2-2 Χρήση Συμμετριών σε /8 Κύκλου (-,-) (-,-) (,-) (,-) Αλγόριθμος Bresenhm (2) () P - S (3) S T T X - Υπόθεση Έστω (, ) P S, ) Ορισμός e(p) 2 + 2 R 2 Κριτήριο e e(s )+e(t ) e < επιλογή S αλλιώς επιλογή T () (2) (3) T ( + ( +, Επαλήθευση )
-9- Αναδρομικός Υπολογισμός (Αλγοριθμοι Mhenen) ( ) ( ) 2 2 2 2 6 4 + + + + e e Έλεγχος e Υπολογισμός ) (? ) (? ) 4( 6 4 + + + + + + e e e e Αρχικοποίηση { } R e R T R S 2 3 ) (, ) (, R
-2- ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Περιστροφή- Μεταφορά Κλιμάκωση Στρέβλωση - Rotton Trnslton Sle Sher 2-Δ Μετασχηματισμοί AFFINE (Γραμμικό + Μετατοπίσεις) ' d + θ θ 2 S P P + P S P θ θ2 osθ snθ snθ + osθ os θ sn θ Ρ sn θ os θ P Μετατόπιση Κλιμάκωση Περιστροφή Q(/,/) P(,) θ R φ πχ. +h ' + h γενικότερα ' g + R os(θ+φ) R sn(θ+φ) Sherng (Itls Regulr γράμματα) h Ρ g Ρ
-2- Ιδιότητες AFFINE Μετασχηματισμών. Διατήρηση Γραμμών (Τριγώνου, Πολυγώνου κ.λ.π.) 2. Διατήρηση Παραλληλίας Γραμμών (Παραλληλόγραμμα) 3. Αντιστοίχιση Μετατροπή Συστημάτων Συντεταγμένων 4. Αναλογίες Αποστάσεων Διατηρoύνται (Μέσα Γραμμών / Τμημάτων ) Εµβαδό // πολυγώνου 5. Εµβαδό // πολυγώνου det M det M d Συνδυασμός Μετασχηματισμών AFFINE Μετασχηματισμός Wndows Vew port d d S S d + d SCALE TRANSLATION.Μεταφορά κέντρου παραθύρου αρχή αξόνων.κλιμάκωση με τον λόγο των διαστάσεων vewport παραθύρου.μεταφορά από αρχή αξόνων κέντρο vewport
-22- ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Μετατροπή τύπων Affne μετασχηματισμών σε ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ( ) ( ) d ' ' ( ) ( ) d Μεταφορά ( ) ( ) 2 θ θ d PM T Q Κλιμάκωση S S S M Περιστροφή s s M R Sherng h q M SH Συνδυασμοί π.χ. ( )( ) PM R M S Q
-23- Παράδειγμα: Περιστροφή γύρω από τυχαίο σημείο I. Mεταφορά P κατά ( ) X V Y V, II. Στροφή γύρω από αρχή αξόνων (θ) III. Μεταφορά Q κατά ( ) X V Y V, ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) t t s s p p v v s s v v p p q q + + + +,,,, όπου θ os v t ( ) s v + snθ s v s v t + ( ) Μέσω Ομογενών Συντεταγμένων ( ) ( ) + + * * v s v s v v s s v v s s v v M Θ Q Q P Θ V V v P
Συνεχόμενες Μεταφορές -24- M ' T θ + θ 2 θ 2 + θ 22 Συνεχόμενες Κλιμακώσεις ' M S SS 2 S S 2 Συνεχόμενες Περιστροφές ' M R os( θ + θ ) sn( θ + θ ) sn( θ + θ ) os( θ + θ ) s Απόδειξη s ' * s' s' ' ' ss' s' + s' ( s' + s' ) ' + ss' M' R osθ ' osθ' s snθ s ' snθ' Γενικευμένες Ομογενείς Συντεταγμένες (, ) (,,) ( w, w, w) παριστάνουν το P ( ) άρα,, z (,, z z ) ( z z ΠΡΟΒΟΛΕΣ 3-Δ σε 2-Δ, )
-25-3-Δ (Affne) Μετασχηματισμός Q P * M + Ιδιότητες: T Διατήρηση γραμμών Διατήρηση Παραλληλίας γραμμών Αναλογίες μηκών Ο όγκος 3Δ-αντικειμένου κλιμακώνεται ως εξής V det + M M V Μεταφορά Κλιμάκωση M περί την αρχή των αξόνων M I S S Sz 3-Δ sher M h h z h h z h h z z
Ρ Q Ρ z α φ ω Q Ρ P θ u Q -26- ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ Περιστροφή (γύρω από z) z (γύρω από ) z (γύρω από ) )Γύρω από κάποιον τους άξονες,,z, R ( θ) s s s R ( θ) s s R z ( θ) s. Γύρω από τυχαίο άξονα u που περνάει από αρχή αξόνων φ ( z, u) [,π ] ω (,( z, u) ) [,2π ] επίπεδο.περιστροφή u ώστε να συμπέσει με z.περιστροφή περί z κατά γωνία θ.αντίστροφες περιστροφές για το u
Διατήρηση Επιπέδων v P ( u, ) + u + v -27- : διάνυσμα συντεταγμένων σημείου, : 2 διανύσματα διευθύνσεων P ( u, v) ( C + u+ v) + ( C + u+ v) j+ ( C + u v)k z z + z διότι q ( u, v) ( + u + v) M + t ( M + t) + ( M) u + ( M) v Επίπεδο
-28- ) Περιστροφή περί το z κατά ω u' {επίπεδο,z} Περιστροφή περί το κατά φ u '' z διεύθυνση R Z ( ω ) R ( φ ) Y ) Περιστροφή περί το z κατά θ R Z ( θ ) ) Αντίστροφες περιστροφές του () R Y ( φ) R ( ω) Z Συνολικά RU ( θ ) RZ ( ω) RY ( φ ) RZ ( θ ) RY ( φ ) RZ ( ω) ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΣΥΝΤΕΝΤΑΓΜΕΝΕΣ ( Q, Q, Q,) ( P, P, P, ) M X Y Z X Y Z m ^ m2 M m3 θ m m m θ 2 22 32 2 m m m θ 3 23 33 3 Γενικότερα ( Q, Q, Q W ) X Y Z,
-29- Παραμετρικές Παραστάσεις Καμπυλών. Γραμμές Ακτίνες Τμήματα ( t) + ( )t A (, ) ( t) + ( ) t : B (, ) Ευθ. Τμήματα t Ακτίνες t< Γραμμές - <t< Κλίση Γραμμή κάθετη στο μέσο ευθ. Τμήματος Μέσο + 2 2 + m, ( m, m ) Κλίση Άρα ( t) m ( )t ( t) m + ( )t
Κ: (t)ros(2π) (t)rsn(2π) E: (t) α os(2π) -3- Κύκλοι. Ελλείψεις (t) sn(2π) 2 2 Εκκεντρότητα e,όπου 2 + Σούπερ ελλείψεις Σούπερ κύκλοι (ΑΒ) (t) Α os (t) 2/n 2 2 2 2 για α (t) Β sn (t) 2/n -π< t < π Polr Συντεταγμένες f r f(θ) f(θ) osθ f(θ) snθ r θ πχ. Λογάριθμοι Sprl αν f(θ) κ f(θ) κe θ κύκλος
-3- Τροχοειδείς Κύκλοι που κυλούν επάνω σε κύκλους - εξωτερικά ή εσωτερικά Ανομοιόμορφος Κβαντισμος του (χρόνου) t t n,, N πυκνότητα μεγαλώνει για μεγάλα 2 ( N ) t ( ) 2 δείγματα λιγοστεύουν για μεγάλα I Έλεγχος τομής ευθυγράμμων Τμημάτων η ( t) + ( ) t () ( t) + ( ) t ( u) + ( d ) u (2) ( t) + ( d u 2 2 )
-32- Οι γραμμές που φαίνονται στα () κ (2) τέμνονται? Αν ναι, τότε + ( ) t o ( d ) ) t d ) u + ( o ( )( d ) ( + u + ( )( d t o ( )( d ) ( )( d ) D t [.] αν o u o ) [.] όχι τοµ ή αν D παράλληλες γραμμές ταυτίζονται { (,)} ; υπολογισμός ταυτίζονται και τα τμήματα ; t, t d από την πρώτη γραμμή t, t d [.] ;
-33- ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - πρόσθεση / αφαίρεση / μέτρο 2 w w + + 2... wn - κανονικοποίηση u - Γραμμικοί συνδυασμοί W u + u +... + u 2 2 m m Κυρτοί συνδυασμοί, Σα Διανυσματικές συναρτήσεις P ( t) ( t) + ( t) t t t.5 t Εσωτερικό Γινόμενο Σα u u osθ osθ
Καθετότητα -34- α β α β θ 9 αν α β θ 9 n Εξίσωση καθετότητας σημείου μιας γραμμής ( r) n A ( A X A Y ) C ( C X, C Y ) κατεύθυνση Κάθετη n Διεύθυνση Για ένα άλλο σημείο της γραμμής R ( r ) n r n D A R C n r n s ενός επιπέδου D S ( s, s, sz ) n ( n, n, n z ) Έλεγχος Αριστερού / Δεξιού Ημιεπιπέδου για Σημείο
-35- A ΜΕΣΑ n θ Q ΕΞΩ Έλεγχος γωνίας θ μεταξύ καθέτου και σημείου Q διανύσματα q ( A) n Q? ισοδύναμα E : n p D Έλεγχος Q: > D έξω q n > µ έσα ; ή 3-Δ Διανύσματα Δεξιόστροφο Αριστερόστροφο z z Μοναδικά Διανύσματα, j, k
-36- Εξωτερικό γινόμενο ( ) k j + +,, ( ) ( ) ( )k j z z z z + + z z k j α j k k j k j ( ) S z z z μέτρο όγκου Κάθετος σε επίπεδο 3 2 Ρ Ρ Ρ Ρ 2 P P P 2 P 3
-37- Στροφή αριστερά / δεξιά ενός πολυγώνου P, P 2, P 3 κορυφές P 2 P p 3 p 2 φ φ αν T K ( ) Τ< έστω δεξιόστροφο + σχήμα Κ (προς τα έξω)
-38- ΠΡΟΒΟΛΕΣ Ορθογραφικές Ακτίνες κάθετες στο επίπεδο προβολής Παράλληλες Ακτίνες παράλληλες μεταξύ τους Προοπτικές Ακτίνα μάτι Ρ r(t)(e,, ) (-t) + (,, z)t Τομή με επίπεδο z z E E t Ε διατήρηση ευθειών / τμημάτων ` έστω < E
-39- ΨΑΛΙΔΙΣΜΑ Επιλογή Ορατών Περιοχών Εικόνων Τμήματα Γραμμών Φαινόμενα αναδίπλωσης Εφαρμογή σε Σημεία Γραμμές Καμπύλες Χαρακτήρες Πολύγωνα Ψαλίδισμα Γραμμών(Αλγόριθμoς Sutherlnd Cohen) Oρατό Τμήμα : Σύγκριση με Άκρα Απόρριψη Γρήγορη Αοράτων Γραμμών Κριτήρια: ) Γραμμή όλη μέσα στην οθόνη? 2) Αν όχι μπορεί να απορριφθεί ως Αόρατη?
-4- Όχι? Διαίρεση σε 2 τμήματα Επανάληψη σε κάθε τμήμα α β γ δ Οθόνη ε z η θ 4 3 2 α: β: γ: δ: ε: z: η: θ: {α,δ,z} 2{γ,ε,θ} 3{z,η,θ} 4{α,β,γ} Ακρα Τμήματος : (,,,) OΡΑΤΟ: ( ) ( ) { A B } AΟΡΑΤΗ
-4- A C D Β Εύρεση Τομών Απόρριψη Αοράτων Τμημάτων
-4- Αλγόριθμος Υποδιαίρεσης στο Μέσο του Τμήματος Μη υπολογισμός σημείων τομής Υπολογισμός ορατού σημείου στη γραμμή ΑΒ που είναι μακρύτερα από το ) A και )Β. Επαναληπτική υποδιαίρεση στο μέσο τμήματος που περιλαμβάνει ορατό υποτμήμα ΨΑΛΙΔΙΣΜΑ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ I. Αλγόριθμος Sutherlnd Hodgmn Ψαλίδισμα του πολυγώνου ως προς ένα κυρτό πολύγωνο (πχ το ορθογώνιο) Ορίζει εσωτερικό-εξωτερικό ως προς κάθε γραμμή του κυρτού πολυγώνου Σχήμα Α.6.-3
-42- II. Aλγόριθμος Weler Atherton Aφαίρεση Κρυμμένων Επιφανειών Ψαλίδισμα κοίλων κ κυρτών πολυγώνων ως προς άλλα κοίλα και κυρτά Βήματα Ορισμός φοράς κίνησης πάνω στις ακμές των πολυγώνων Ψαλιδισμός καθορισμός κίνησης πάνω στο σύνολο των ακμών των 2 πολυγώνων με μεταφορά από το στο άλλο στις τομές (κίνηση κατά την καθορισθείσα φορά π.χ. δεξιόστροφα) Σχήμα Α6.4-5 (Τομή Πολυγώνων Ένωση Πολυγώνων Διαφορά Πολυγώνων) Εξωτερικός Ψαλιδισμός Σχήμα Α.6.7
-43- ΨΑΛΙΔΙΣΜΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΩΝ Η διαγώνιος του τετραπλεύρου που περικλείει τον χαρακτήρα είναι Ορατή? Αν ναι Επίδειξη χαρακτήρα όχι Παράλειψη χαρακτήρα Χωρισμός Χαρακτήρα σε μικρά ευθύγραμμα τμήματα Χρήση αλγορίθμων ψαλιδίσματος
-44- ΓΕΜΙΣΜΑ ΣΥΜΠΑΓΩΝ ΠΕΡΙΟΧΩΝ Γέμισμα Πολυγώνων Τεχνικές Sn Converson γραμμή σάρωσης Έλεγχος σημείων γραμμής (διαδικασία μέσα στο μικρότερο ορθογώνιο γύρω από το πολύγωνο) Προτεραιότητα Seed Fll Δεδομένο ένα S seed στο εσωτερικό Έλεγχος γειτονικών σημείων t S t? Επαναληπτικός αλγόριθμος (περίγραμμα πολυγώνων) διατεταγμένη λίστα κορυφών του Αλγόριθμός Ζωγράφου Ταξινόμηση κατά προτεραιότητα Γέμισμα Πολυγώνου με ταξινόμηση κατά σειρά σάρωσης