Το Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & Τελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών

Σχετικά έγγραφα
Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (

Συστήματα Ελέγχου με Μικροϋπολογιστές (h9p://courseware.mech.ntua.gr/ml23259/)

Συστήματα Ελέγχου με Μικροϋπολογιστές (h9p://courseware.mech.ntua.gr/ml23259/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των. Μεταβολών ( )

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

ΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017

(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w :

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

55 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

) ( ) Μάθηµα 3 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 4.18). είναι ορθοκανονικά

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Η έννοια του συναρτησιακού (functional).

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

A = x x 1 + 2x 2 + 4

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

a 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

x 2 = x x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Transcript:

ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Θεωρούμε το πρόβλημα της εύρεσης ακροτάτων του t συναρτησιακού f F = F(z) = f ( z( t), z ( t),t) dt Θεωρούμε την «γενική» περίπτωση όπου τόσοι οι χρόνοι, όσο και οι οριακές συνθήκες z i = z( ), z f = z( t ) f της συνάρτησης z(t), ΔΕΝ ειναι καθορισμένοι. Θα δούμε βέβαια πως οι συνθήκες ακροτάτου που θα εξαχθούν θα εξειδικεύονται κατάλληλα, αν κάποια από τα παραπάνω είναι καθορισμένα (μικτές συνθήκες) Ο τρόπος προσέγγισης θα είναι παρόμοιoς αλλα όχι ταυτόσημος με αυτόν που χρησιμοποιήθηκε προηγουμένως: Θα είναι απλούστερος (δηλ. χωρίς χρήση Διαφορικών Gateaux) μεν, Αλλά δεν θα επιτρέπει την εύκολη απόδειξη για το τι είδους ακρότατο είναι. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 45

ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Αλήθεια ΓΙΑΙ μας ενδιαφέρει κάτι τέτοιο?,x Ντετερμινιστικά Καθορισμένη ροχιά Σελήνης,x ΓΗ Μετάβαση από Γή στη Σελήνη με Ελάχιστη Ενέργεια min P( x( t), x ( t),t) dt Ισχύς Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 46

ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Υπενθυμίζουμε την σχέση μεταξύ «ολικής μεταβολής» και «πρώτης μεταβολής» ΔF( z,δ z) = δ F( z,δ z) + g( z,δ z) δ z +δ Προφανώς οπότε δ F = ΔF = f ( z( t), z ( t),t) + δ z + δ z z dt + f ( z( t), z ( t),t) + z δ z + δ z dt + +δ +δ + f ( z( t), z ( t),t) + δ z + δ z z dt f ( z( t), z ( t),t) dt = +δ = f ( z( t), z ( t),t) + δ z + δ z z dt + δ z + δ z z dt + +δ + f ( z( t), z ( t),t) + δ z + δ z z dt = = f z( t), z ( t),t + + f z( t), z ( t),t f ( z( t) + δ z( t), z ( t) + δ z ( t),t) dt f ( z( t), z ( t),t) dt +δ + z z δ z + δ z + δ z δ + δ z + δ z z dt + δ z δ Όροι 2 ας τάξεως. Αμελούνται Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 47

ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Οπότε δ F = και επειδή f z( t), z ( t),t δ z dt = δt ti i + δ z + δ z z dt + f z( t), z ( t),t δ z d dt δ z dt δ παίρνουμε δ F = z d dt δ z dt + f z( t), z ( t),t Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι για το τελικό σημείο- χρόνο δ + δ z f z( t), z ( t),t δt ti i + δ z δ z f = δ z + z δ δ z( ) = δ z f z δ Οπότε η συνθήκη ακροτάτου γίνεται δ z i = δ z + z δ δ z( ) = δ z i z δ δ F = 0 = z d dt δ z dt + f z( t), z ( t),t f z( t), z ( t),t z δ + t= δ z i t= z Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 48 t= δ + t= δ z f

Euler: ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών z d dt = 0 Ανάλυση για τις ΕΛΙΚΕΣ οριακές συνθήκες, z f : ανεξάρτητα μεταξύ τους Ελεύθερο Καθορισμένο z Ελεύθερο Καθορισμένο f z( t), z ( t),t f z( t), z ( t),t z = 0 t= z = 0 t= = 0 z( ) = z f t= = 0 t= z( ) = z f, z f : εξαρτημένα μεταξύ τους z = m( t) δ z = m( t) δt z( ) = m( ) f z( t), z ( t),t H ίδια ανάλυση γίνεται και για τα, z i (ΑΡΧΙΚΕΣ οριακές συνθήκες) z + m t = 0 t= Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 49

Παράδειγμα late x d dt x = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 50

Παράδειγμα late x t= =2 = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 51

Παράδειγμα late f x( t), x ( t),t x x t= = 0 x( ) = z f = 5 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 52

Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Έστω ότι θελήσουµε να βρούµε την συνάρτηση z*(t) που προκύπτει από την ελαχιστοποίση: 1 min x C 1 0,1 [ ] 0 ( x 2 + u 2 ) dt = 0 x( 1) = 1 x = u x 0 Δηλαδή, στα προβλήµατα βελτιστοποίησης συναρτησιακών F(z) που θεωρήσαµε προηγουµένως (µε ελεύθερες/περιορισµένες αρχικές/τελικές συνθήκες). Μπορούν να συµπεριληφθούν και n ισοτικοί περιορισµοί της µορφής g i (z,z,t)=0 i=1,,n, οπότε το σχετικό µαθηµατικό πρόβληµα βελτιστοποίησης γίνεται: min F( z) = f 1 t, z( t), z( t) dt z C t t st. 0, f t 0 Οριακές συνθήκες σε t 0 ή/και g1 t, z( t), z ( t) g t, z( t), z( t) G( t z z) " gn t, z( t), z( t) 2,, = = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 53

Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Έχοντας το πρόβληµα : min,, 1 0, f t0 z C t t st. F z = f t z t z t dt Οριακές συνθήκες σε t 0 ή/και g1 t, z( t), z ( t) g t, z( t), z( t) G( t z z) " gn t, z( t), z( t) 2,, = = 0 1 Εισάγουµε διάνυσµα πολ/στών Lagrange = n διαστάσεως n, ίδιας µε του G(t,z,z), του διανύσµατος ισοτικών περιορισµών. λ t λ t λ t λ t C t t, 1 2 0 f Σχηµατίζουµε την επαυξηµένη συνάρτηση ολοκλήρωσης (augmented integrand function) (,, ) = (,, ) + λ (,, ) = (,, ) + λ (,, ) + # λ (,, ) f t z z " f t z z " G t z z " f t z z " g t z z " g t z z " 1 1 n n Και θεωρούµε ένα νέο πρόβληµα ελαχιστοποίησης, της µορφής που έχουµε ήδη θεωρήσει: z ( t) = arg min F ( z) = f t, z( t), z( t) dt 1 " z C t0, tf ορ.συνθ. t0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 54

Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Ένεκα ελαχιστοποιήσης, αν z ( t) = arg min F ( z) = f t, z( t), z( t) dt 1 z C t0, tf ορ.συνθ. " ότε t ( ) F z > F z z z 0 Αν z(t) τέτοιο ώστε : Gt, z t, z t = G t, z t, z t t t, τότε 0 = = Αν η συνάρτηση z* ελαχιστοποιεί την F z, τότε ελαχιστοποιεί και την F z από όλες τις 1 συναρτήσεις z C t, 0 t f που: (1) ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες και (2) ανήκουν στο σύνολο των συναρτήσεων z(t) όπου ισχύει Gt, z( t), z ( t) = G t, z ( t), z ( t) t t0,. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 55

Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Από προηγουµένως γνωρίζουµε ότι αναγκαία συνθήκη για να ελαχιστοποιεί η z * (t) C 1 [t 0, ] την σε σχέση µε ολες τις z(t) C 1 [t 0, ] που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες είναι, για όλα τα αποδεκτά υ(t), να ισχύει δf z ( υ) ; = 0 ο αντίστροφο (αν δηλ. τότε το z* ελαχιστοποιεί την ) ισχύει μόνο άν είναι η κυρτή, κάτι που εξαρτάται από το λ(t). Με βάση σκεπτικό ανάλογο των προηγουµένων παραγραφών, οι συνθήκες λύσης του προβήµατος εύρεσης ακροτάτων γι αυτή τη περίπτωση: Είναι παρόµοια µε αυτές που έχουν ήδη παρουσιασθεί, αναφέρεται όµως στις F ( z), f z Συµπεριλαµβάνει και την ικανοποίηση της συνάρτησης ισοτικών περιορισµών G t,z, z Δηλαδη... = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 56

ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Ανάλυση για τις ΕΛΙΚΕΣ οριακές συνθήκες f d f Euler: = 0 z dt z tf tf, zf : ανεξάρτητα μεταξύ τους z(tf) Ελεύθερο f f ( z ( t ), z" ( t ),t ) z" =0 Ελεύθερο " z t=t f f Καθορισμένο f ( z ( t ), z" ( t ),t ) z" z" = 0 t=t Καθορισμένο z" =0 tf t= z = zf tf z" =0 t= z = zf tf, zf : εξαρτημένα μεταξύ τους z = m ( t ) δ z = m ( t ) δ t f z tf = m tf f f f ( z ( t ), z" ( t ),t ) z" + m ( t ) =0 " " z z t=t f H ίδια ανάλυση γίνεται και για τα ti, zi (ΑΡΧΙΚΕΣ οριακές συνθήκες) Όπως και προηγουμένως αλλά τώρα έχουμε f. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 57

Συνθήκες για το Πρόβλημα Ισοτικών Περιορισμών: Παράδειγμα Να ευρεθούν τα ακρότατα της 1 J ( z ) = ( x 2 + u 2 ) dt 0 x ( 0 ) = 0 x (1) = 1 x = u Θεωρούμε τη συνάρτηση- διάνυσμα z = x u και γραφουμε την επαυξημένη συνάρτηση 1 f ( z, z",t ) = ( x 2 + u 2 ) + λ ( x" u ) 2 Άρα πρέπει να ικανοποιούνται οι εξισώσεις Ισοτικών περιορισμών G ( t, z, z ) = x u = 0 και Euler x ( t ) = c1et + c2 e t x x = 0 x u = 0 x λ = 0 d =0 z dt z" " d " =0 x λ =0 x dt x " " f d f =0 u λ =0 u dt u Παρατηρούμε ότι t i = 0, t f = 1 (καθορισμένοι αρχικοί και τελικοί χρόνοι) και. z 1 ( 0 ) = x ( 0 ) = 0 z 1 ( 1 ) = x ( 1 ) = 1 x ( t ) = et e t e e 1 t t e + e. z 2 ( 0 ) = u ( 0 ) = z 2 ( 1 ) = u ( 1 ) = free άρα u t = x t = ( =0 " u Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ t=ti =0 )( u" ) =0 t= =1 () () e e 1 58

Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Πώς οµως µπορούµε να είµαστε σίγουροι ότι το ακρότατο (z*(t), λ * (t)) ελαχιστοποιεί και την F(z) σε σχέση µε ολες τις z(t) C 1 [t 0, ] που ικανοποιούν τόσο τις οριακές συνθήκες όσο και τον ισοτικό περιορισµό??? Αυτό ισχύει µόνο αν η είναι αυστηρά κυρτή. Πως ελέγχεται όµως η αυστηρή κυρτότητα της? ο βασικό εργαλείο είναι η χρήση παραγώγων 2 ης τάξης (Hessian). Όµως σε κάποιες περιπτώσεις µπορούµε να δείξουµε απ ευθείας π.χ. Αν οι ισοτικοί περιορισµοί είναι γραµµικοί... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 59

Ισοτικοί Περιορισμοί: Κυρτότητα Η Γραμμική Περίπτωση Αν οι ισοτικοί περιορισµοί είναι γραµµικοί δηλ.: Gtzz,, Gtzz,, Gt, z( t), z ( t) = C( t) z( t) + e( t) D( t) z ( t) = 0 = C( t) = D t z z Για να θεωρήσουµε την µεταβολή Gateaux του συναρτησιακού F(z) z G tzz t z (,, ) λ C ( t) λ ( t) G tzz t (,, ) λ Dt λ D t t λ Προηγουμένως f = f +λ G Υπενθύμιση G = G λ λ D ( t) Dt λ ( t) C t t Dt Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 60

Ισοτικοί Περιορισμοί: Κυρτότητα Η Γραμμική Περίπτωση Αναλύοντας την «κυρτότητα» της : Dt Ισότητα µόνο όταν υ(t)=0 t [t 0, ] Dt Dt Προηγουµ. Διαφάνεια Dt Για την περίπτωση γραµµικών ισοτικών περιορισµών η (αυστηρή) κυρτότητα της F(z) συνεπάγεται την (αυστηρή) κυρτότητα της κάθε διάνυσµα πολλαπλασιαστή Lagrange λ(t). Μέχρι στιγµής... Πεπερασμένες Μη- Περιορισμένο Διαστάσεις Ισοτικοί Περιορισμοί ΒΕΛΙΣΟΠΟΙΗΣΗ Μη- Περιορισμένο Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Άπειρες Διαστάσεις για Ισοτικοί Περιορισμοί 61