Định lý Pascal guyễn Văn Linh ăm 2014 1 Giới thiệu. ăm 16 tuổi, Pascal công bố một công trình toán học : Về thiết diện của đường cônic, trong đó ông đã chứng minh một định lí nổi tiếng và gọi là Định lí về lục giác thần kì. Ông rút ra 400 hệ quả từ định lí này. hà toán học và triết học vĩ đại lúc bấy giờ là escartes cho rằng công trình của Pascal đã bao hàm được bốn cuốn sách đầu của pollonius. Ông đánh giá rất cao công trình toán học này và nói : "Tôi không thể tưởng tượng nổi một người đang ở tuổi thiếu niên mà lại có thể viết được một tác phẩm lớn như thế". Định lý Pascal tổng quát phát biểu cho các đường conic tuy nhiên ở đây chúng ta chỉ xem xét trong trường hợp đường tròn, phát biểu như sau: ho sáu điểm bất kì,,,,, cùng thuộc một đường tròn. hi đó giao điểm của các cặp đường thẳng (, ), (, ), (, ) thẳng hàng. Đường thẳng đi qua 3 giao điểm trên được gọi là đường thẳng Pascal. ó thể thấy vai trò của,,,,, như nhau nên chúng ta hoàn toàn có thể hoán vị các điểm này. Từ đó thu được rất nhiều đường thẳng Pascal khác nhau. ụ thể là 60 đường thẳng. ột số tính chất của đường thẳng Pascal xem tại [2]. Để dễ quan sát các cặp đường ( thẳng và không ) bị ngộ nhận hay nhầm lẫn, đôi khi người ta sử dụng cách kí hiệu 6 điểm như sau:. Trong trường hợp có hai điểm trùng nhau, chẳng hạn, ta có thể coi đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tại. Từ đó thu được định lý Pascal cho lục giác suy biến thành ngũ giác, tứ giác, tam giác nội tiếp. 2 hứng minh. ó rất nhiều cách chứng minh định lý Pascal tuy nhiên ở đây xin giới thiệu tới bạn đọc hai cách chứng minh sau. ách 1 (an van zeren). 1
Z ' ' ' Gọi,, Z lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (, ), (, ), (, )., giao ( ) lần thứ hai tại,. Ta có = = nên Z. hứng minh tương tự ta suy ra hai tam giác và Z có cạnh tương ứng song song. Từ đó Z,, đồng quy hay,, Z thẳng hàng. ách 2. Z ' ' ' Gọi, lần lượt là giao của và, và. Ta có ( ) = ( ) nên ( Z) = ( ). Điều đó nghĩa là,, Z đồng quy hay,, Z thẳng hàng. 3 Ứng dụng. ài 1. (ổ đề Sawayama-Thebault). ho tam giác nội tiếp đường tròn (), ngoại tiếp đường tròn (). Đường tròn ω tiếp xúc trong với () và tiếp xúc với, lần lượt tại b, c. hứng minh rằng là trung điểm của b c. 2
b c a hứng minh. Gọi là tiếp điểm của ω và (),, lần lượt là giao điểm của c, b với (). ễ thấy, lần lượt là điểm chính giữa cung,. Suy ra giao tại. Áp dụng định lý Pascal cho lục giác ta có ( ), ( ), ( ) thẳng hàng hay b,, c thẳng hàng. ặt khác tam giác b c cân tại có là phân giác b c nên là trung điểm b c. ài 2. ho tứ giác nội tiếp đường tròn (). giao tại P, giao tại Q. Đường thẳng qua Q vuông góc với cắt P tại. hứng minh rằng = 90 o. P Q hứng minh. Gọi, lần lượt là điểm đối xứng với, qua. cắt tại. Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm,,,,, ta có = {}, = { }, = {P } thẳng hàng. Điều còn lại là chứng minh Q. Thật vậy, gọi là giao của và Q. o tứ giác Q nội tiếp nên Q + Q = + = + = 90. Vậy. Ta có đpcm. ài 3. (Định lý ollings) ho tam giác nội tiếp đường tròn (), trực tâm H. ột đường thẳng d bất kì đi qua H. hứng minh rằng các đường thẳng đối xứng với d qua ba cạnh tam giác đồng quy tại một điểm nằm trên (). Điểm này gọi là điểm nti-steiner của d ứng với tam giác. 3
' ' H T hứng minh. Gọi d a, d b, d c là các đường thẳng đối xứng với d qua,,. d cắt, lần lượt tại,. H, H giao () lần thứ hai tại,. giao () tại T. T giao tại. Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm,,, T,, suy ra, H, thẳng hàng. Suy ra. o và H đối xứng nhau qua nên d c, tương tự d b. Vậy d b cắt d c tại T nằm trên (). hứng minh tương tự suy ra d a, d b, d c đồng quy tại T. ài 4. (ài toán con bướm trong đường tròn). ho đường tròn () và một dây cung. là trung điểm. Hai dây cung và bất kì đi qua., lần lượt tại,. hứng minh rằng =. L hứng minh. Gọi L, lần lượt là điểm đối xứng với, qua. L giao tại. Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm,,, L,, suy ra,, thẳng hàng. o = = 90, = = 90 nên các tứ giác, nội tiếp. Suy ra = = =. Vậy =. ài 5. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). ột đường thẳng d bất kì đi qua cắt, tại, Z. Gọi,, P lần lượt là trung điểm, Z, Z. hứng minh rằng,,, P cùng thuộc một đường tròn. 4
Z P L hứng minh. Gọi, lần lượt là điểm đối xứng với, qua. Z cắt () tại L, L cắt tại. Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm,,, L,, suy ra,, Z thẳng hàng hay. Ta thu được đường tròn đường kính và Z giao nhau tại L nằm trên (). Suy ra L, L. Từ đó = 180 L = = P (do P, P ). Vậy,,, P cùng thuộc một đường tròn. hận xét. ếu gọi là giao của d với thì chúng ta có (), ( ), (Z) đồng trục. ài 6. ho tam giác nội tiếp (), ngoại tiếp (). R là điểm bất kì nằm trên cung không chứa. ẻ tiếp tuyến R, R tới () và tiếp tuyến RZ, RT tới (). hứng minh rằng trung điểm, ZT và thẳng hàng. Z L T hứng minh. Gọi, lần lượt là điểm chính giữa cung,. R cắt tại L, R cắt tại. Ta có 2 = 2 = L.R nên L chính là trung điểm. Tương tự là trung điểm ZT. Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm,,, R,, ta có R = {L}, = {}, R = {} thẳng hàng. Ta có đpcm. R 5
ài 7. ho tam giác, trực tâm H., là hai điểm nằm trên,, P nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa sao cho các tam giác H, P là tam giác đều. hứng minh rằng P = P. P G L H hứng minh. Gọi L là trung điểm., lần lượt là hình chiếu của, trên,. L giao P tại G, L giao P tại. Ta có tứ giác LH nội tiếp nên G H = LH = 60 = G. Suy ra,, G, cùng thuộc một đường tròn hay G nằm trên (). Tương tự nằm trên (). Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm,, G,,,, hay viết lại {H}, G = {P }, G = {L} thẳng hàng. Điều này nghĩa là P nằm trên trung trực của hay P = P. ( G ), ta có = ài 8. ho tam giác tại nội tiếp đường tròn (). ẻ đường kính. S chuyển động trên (). S giao tại, S giao tại. hứng minh rằng luôn đi qua một điểm cố định. S hứng minh. Gọi là giao điểm thứ hai của với (). o, S lần lượt là phân giác các góc, S nên S S = hay S là tứ giác điều hoà. Điều này nghĩa là S đi qua giao điểm của tiếp tuyến tại và. 6
( S Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm,,,,, S,hay viết lại {}, = {}, S = {} thẳng hàng. Vậy luôn đi qua cố định. ), ta có S = ài 9. ho tứ giác ngoại tiếp (). Gọi,, P, Q lần lượt là tiếp điểm của () với,,,. hứng minh rằng,, P, Q đồng quy. Q P hứng minh. Gọi là giao của và P Q, là giao của P và Q. ( ) Q Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm Q, Q,,,, P, hay viết lại, suy ra P Q P Q = {}, QQ = {}, P Q = {} thẳng hàng hay. hứng minh tương tự hay, P, Q đồng quy tại. Tương tự suy ra,, P, Q đồng quy. ài 10. (Sharygin Geometry lympiad 2012). ho đường tròn (), dây cung. Gọi () là đường tròn tiếp xúc trong với () và tiếp xúc với. Gọi, lần lượt là điểm chính giữa cung chứa () và không chứa (). ẻ tiếp tuyến, tới (). giao tại, giao tại. hứng minh rằng,,, thẳng hàng. hứng minh. Gọi, lần lượt là tiếp điểm của () với, (). Suy ra,, thẳng hàng. Ta có 2 = 2 =. = 2 = 2 nên,,, cùng nằm trên đường tròn (, ). 7
hú ý rằng tiếp tuyến tại, của () giao nhau tại, tiếp tuyến tại, của () giao nhau tại. Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm,,,,, ta có = {}, = {}, = { } thẳng hàng. Lại áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm,,,,, ta có = {}, = {}, = { } thẳng hàng. Vậy,,, thẳng hàng. 4 ài tập áp dụng. ài 11. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). là điểm bất kì nằm trong tam giác. Gọi,, là giao của,, với (), cạnh của tam giác cắt cạnh tam giác theo thứ tự tại,, Z, T, U, V. hứng minh rằng T, U, ZV đồng quy. ài 12. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). Gọi,, P lần lượt là trung điểm,,. hứng minh rằng các đường tròn (), (), (P ) đồng trục. ài 13. ho đường tròn () đường kính. Gọi là điểm nằm ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến,. giao tại sao cho nằm trong (). hứng minh rằng. ài 14. (P 2013). ho tứ giác nội tiếp đường tròn (). P nằm trên tia sao cho P, P tiếp xúc với (). Tiếp tuyến của () tại cắt P tại Q, tại R. là giao điểm thứ hai của Q và (). hứng minh rằng,, R thẳng hàng. ài 15. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). P là điểm bất kì trên mặt phẳng. P, P, P cắt () lần thứ hai tại 1, 1, 1. Đường tròn đường kính P, P, P giao () lần thứ hai tại 2, 2, 2. hứng minh rằng 1 2, 1 2, 1 2, P đồng quy. ài 16. ho tam giác, đường cao, giao nhau tại trực tâm H. Gọi S, R là trung điểm H, H. S giao R tại Q, S giao R tại G. hứng minh rằng, Q, G thẳng hàng. ài 17. ho tam giác nội tiếp đường tròn (), trực tâm H. là trung điểm. Tia H cắt () tại. Đường thẳng qua qua song song với cắt () tại. giao H tại T. hứng minh rằng T tiếp xúc với (). ài 18. ho tứ giác nội tiếp đường tròn (). giao tại. P là điểm nằm trong tứ giác sao cho P + P = P + P = 90 o. hứng minh rằng, P, thẳng hàng. ài 19. (THTT). ho tứ giác vừa nội tiếp đường tròn () vừa ngoại tiếp đường tròn (). giao tại P. hứng minh rằng,, P thẳng hàng. ài 20. (Romania TST 3 2010). ho tam giác không cân. Phân giác 0, 0 cắt () lần thứ hai tại 1, 1. Gọi là tâm nội tiếp tam giác. 0 0 giao 1 1 tại P. hứng minh rằng P. ài 21. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). giao () lần thứ hai tại 1. Tiếp tuyến của () tại 1 giao tại. giao, lần lượt tại P, Q. hứng minh rằng P = Q. ài 22. ( Shortlist 2007). ho tam giác nội tiếp (), 1, 1, 1 lần lượt là trung điểm,,. P là điểm chuyển động trên (). P 1, P 1, P 1 cắt () lần thứ hai tại,,. hứng minh rằng diện tích tam giác tạo bởi giao điểm các đường thẳng,, không phụ thuộc vào vị trí của P. ài 23. (ulgaria TST 2003). ho tứ giác ngoại tiếp đường tròn (). Hạ P. hứng minh rằng P = P. ài 24. (hina 2005). ột đường tròn cắt các cạnh của tam giác theo thứ tự tại 1, 2, 1, 2, 1, 2. Gọi L,, lần lượt là giao điểm của 1 1 và 2 2, 1 1 và 2 2, 1 1 và 2 2. hứng minh rằng L,, đồng quy. 8
Tài liệu [1] Pascal s theorem, ut-the-knot. http://www.cut-the-knot.org/urriculum/geometry/hasles.shtml [2] Pascal lines, from Wolfram athworld http://mathworld.wolfram.com/pascallines.html [3] Hoàng Quốc hánh, âu chuyện nhỏ về một định lý lớn, Tạp chí Toán học athvn, Số 2 năm 2009. [4] ops orum. http://www.artofproblemsolving.com/orum mail: Lovemathforever@gmail.com 9