Κεφ. 5: Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή 5. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 5.. Κανόνας τραπεζίου 5.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Smpso 5.. Παραδείγματα (απλά και πολλαπλά ολοκληρώματα) 5. Ολοκλήρωση Gauss 5.. Πολυώνυμα Legedre, Chebyshev, Hermte, Laguerre 5.. Ολοκλήρωση Gauss-Legedre, Gauss-Chebyshev, Gauss-Laguerre και Gauss-Hermte 5.. Παραδείγματα
5. Εισαγωγή Γενικά ο αναλυτικός υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων είναι επίπονος και σε πολλές περιπτώσεις αδύνατος. Η εναλλακτική λύση είναι ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων με αριθμητικές μεθόδους. Οι πλέον συνηθισμένες μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι: Εξισώσεις Newto-Cotes Ολοκλήρωση Gauss Και στις δύο μεθοδολογίες το ολοκλήρωμα προσεγγίζεται με άθροισμα σύμφωνα με τη σχέση b a N f d wf f στα σημεία όπου f οι τιμές της a,b και w οι συντελεστές βαρύτητας που προκύπτουν ανάλογα με τη μέθοδο ολοκλήρωσης.
5. Αριθμητική ολοκλήρωση Newto Cotes Γενική εξίσωση: Πρόδρομη έκφραση παρεμβολής Newto a aa ( ) aa ( )( a f ( ) f( ah) f( ) ) f( ) af( ) f( ) f( )!! όπου aa ( )( a)( a) aa ( )...( a) f ( )... f( ) Oh 4!! 4 f ( ) f h f f( ) f f h f f h f... f ( ) f ( h) f ( ) f h f h f h f f f f
Κανόνας Τραπεζίου: h, a I f ( ) d h f ( ah) da h [ f ( ) af ( ) O h ] da a h haf f f f h f f O h h Κανόνας Τραπεζίου για διαστήματα: f f... f f I 4
ος Κανόνας Smpso: h, a I f ( d ) h f( ahda ) aa ( ) aa ( )( a) 4 h [ f ( ) af ( ) f ( ) f ( ) Oh ] da!! 4 a a a a a a 5 ( ) ( ) ( ) haf f f f Oh 6 4 4 6 6 5 h 4 h f f f f f f f 9 h f f f O h 5 4 ος Κανόνας Smpso για διαστήματα: I 4 4... 4 h f f f f f f f f 4 5
ος Κανόνας Smpso ή Κανόνας /8: h, a I aa ( )! f ( d ) h f ( ah) dah [ f ( ) af ( ) f ( ) aa ( )( a) 4 f ( ) Oh ] da! 4 a a a a a a 5 ( ) ( ) ( ) haf f f f Oh 6 4 4 6 6 9 9 h[ f( ) [ f( ) f( )] [ f( ) f( ) f( )] 4 5 h 4 [ f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( )] f 8 8 9 9 h f( ) f( ) f( ) f( ) Oh 8 8 8 8 ος Κανόνας Smpso : h f f f f O h 8 5 I 5 6
a 4: I4 4 4 4 aa ( )! f ( ) dh f( ah) dah [ f( ) af( ) f( ) aa ( )( a) aa ( )( a)( a) 4 f ( ) f( )] da! 4! 4 a a a a a a h[ af( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) 6 4 4 6 6 5 4 a a a a 4 4 ( ) f( )] 6 7 8 h[4 f( ) 8[ f( ) f( )] [ f( ) f( ) f( )] 8 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] f f f f f f 4 [ ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 45 f f f f f f f f f f f f I4 h (7 f f f f 7 f4 ) Oh 45 7 7
Εναλλακτική διατύπωση εξισώσεων Newto-Cotes Απόδειξη του ου κανόνα ολοκλήρωσης Smpso f ( d ) ( f 4 f f), αντικαθιστώντας τη συνάρτηση f ( ) με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage ης τάξης. j P( ) L( ) f L( ) f L( ) fl( ) f, όπου L ( ). b a h j j j Το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage ης τάξης υπολογίζεται από τη σχέση P( ) f f f Με δεδομένο ότι τα f, f, f είναι σταθερές ως προς την ολοκλήρωση γράφουμε f d f d f d f d ( ) 8
Εισάγουμε την αλλαγή μεταβλητής ht απ όπου προκύπτει d hdt. Η νέα μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι το t,. Η παραπάνω σχέση παίρνει τη μορφή: f ( d ) ht ht ht ht ht ht f hdt f hdt f hdt h h h h h h h h f t t dt f h t t dt f t t dt t t t ht t t ht t f t f h t f t t t h 4 h f fh f h f 4 f f 9
5.. Παραδείγματα (απλά και πολλαπλά ολοκληρώματα) Παράδειγμα: Αριθμητική επίλυση του ολοκληρώματος e d 4585.. με h.. f e.,. 887 f e., 4. 67 f e., 6. 5488 f e., 8. 449 f e.. 4 679. I f ff f f445. (κανόνας τραπεζίου 4 φορές). I f 4ff 4f f4. 458 ( ος κανόνας Smpso φορές) I? (η διακριτοποίηση με h δεν οδηγεί στον σωστό αριθμό σημείων ώστε να εφαρμοστεί ο ος κανόνας Smpso) 4. I4 7 f f 7 f f f4. 458 45
Αριθμητική ολοκλήρωση σε διαστάσεις (διπλά ολοκληρώματα): J I Παράδειγμα: s s I y ddy y w Κανόνας τραπεζίου με y : j I s j s j s j j, j y y y dy bd J I ac f,y ddy f w j y s ys ys y s y 4s y s y s y s y s y s s s 4s s s s s 4 4 s.5ss.5s4...,j,j
J I Παράδειγμα: s s I y y ddy y y w Κανόνας τραπεζίου με y : j j j, j y y y y y y dy I js j js j js j y y s y y s y y s y y y y y y y s 4 s s ys y y s y ys y s s s 8s 6s s 6s 4s 4 4.84 s s s s 4 5.7.44.7568.
Παράδειγμα: Υπολογίστε αριθμητικά εφαρμόζοντας τον κανόνα του τραπεζίου φορά σε κάθε κατεύθυνση το τριπλό ολοκλήρωμα: ydzdyd 56 Σχολιάστε την ακρίβεια του αριθμητικού αποτελέσματος και εξηγήστε τυχόν σημαντικές αποκλίσεις. h h h ydzdyd y dyd d z y z Αριθμητική λύση: h h y h hhyh z z 9 445 8 Η σημαντική διαφορά ανάμεσα στην αριθμητική και αναλυτική λύση οφείλεται αποκλειστικά στη επίλυση του ολοκληρώματος ως προς και συγκεκριμένα στο γεγονός ότι το πολυώνυμο ου βαθμού που προκύπτει από τον κανόνα του τραπεζίου δεν προσεγγίζει επαρκώς τη συνάρτηση Αντίθετα οι αριθμητικές ολοκληρώσεις στις άλλες δύο κατευθύνσεις y και z είναι απόλυτα ακριβείς..
Άσκηση: Έστω ημιάπειρο χωρίο με συντελεστές θερμικής αγωγής και διάχυσης k και αντίστοιχα που αρχικά ( t ) βρίσκεται σε θερμοκρασία T. Στη συνέχεια, για t η επιφάνεια δέχεται σταθερή θερμορροή q. Αποδεικνύεται ότι η χρονομεταβαλλόμενη θερμοκρασιακή κατανομή στο ημιάπειρο χωρίο δίδεται από τη σχέση: q Tt, T tep erfc k 4t t όπου y erfcs e dy s Για γνωστές τιμές των παραμέτρων k,, q και T υπολογίστε τον απαιτούμενο χρόνο t ώστε σε κάποια γνωστή απόσταση η θερμοκρασία να έχει τη * προδιαγεγραμμένη τιμή T. 4
5. Αριθμητική ολοκλήρωση Gauss: Gauss-Legedre: b f df w Gauss-Laguerre: f e d f w Gauss-Hermtte: f e d f w a Gauss-Chebyshev: f df w d f f w Σε κάθε μία από τις ολοκληρώσεις Gauss τα είναι οι ρίζες του αντίστοιχου πολυωνύμου βαθμού και τα w οι συντελεστές βαρύτητας. 5
Ρίζες πολυωνύμου Legedre ου και 4 ου βαθμού και οι αντίστοιχοι συντελεστές βαρύτητας:.5775698966..9984584856.65455486546.8665945.478548457454 Ρίζες πολυωνύμου Hermtte ου και 4 ου βαθμού και οι αντίστοιχοι συντελεστές βαρύτητας:.77678.8866955.65689.8854.546476.84949 Ρίζες πολυωνύμου Laguerre 4 ου βαθμού και οι αντίστοιχοι συντελεστές βαρύτητας:.54768969.7457658 4.566969 4 9.9579 w.65444 w.57486948 w.8887985 w4.59947556 Ρίζες πολυωνύμου Chebyshev βαθμού και οι αντίστοιχοι συντελεστές βαρύτητας: cos,,..., w 6
Ρίζες πολυωνύμου Hermtte βαθμού 6 και συντελεστές βαρύτητας:.46887899588e+.654874748e-9.8694479486e+.98844865e-6.769996979956e+.78695788e-4.5465784748e+.98486485e-.95787999654e+.88555997e-.858599888e+.884989858e-.895449446559e+.86474585857e+.74846855e+.5799479667e+ 7
Ρίζες πολυωνύμου Legedre βαθμού 8 και συντελεστές βαρύτητας:.95856799976545d-.97865666548844d- 5.85447546686899D-.89589596769598655D- 9.748984458459967845D-.8896559596897748D-.6648948865594D-.8667597747646777D-.7479864685599D-.84499695948544D-.994585766657885D-.89744776844679D-.595589749588D-.77766469748977498D-.88585488458599D-.7654987496758D-.56647747794699D-.68977468768895D-.64754994875694D-.677499585978496499D-.989458896974796D-.5794995465468659D- 4.8757875696867D-.565944747594955659D- 4.686966575444776784D-.44745759879464D- 5.8488878498759678D-.7498465866756D- 5.645989799857D-.94999764548868D- 5.68676879784754858D-.4986748777485649D- 6.689757454746D-.748847644487D- 6.7577468796647984D-.77595579866D- 6.68598989869875967D-.9886958678476976759D- 6.89676444767776D-.859865776869675D- 7.76585699885468D-.788754868674487D- 7.44975859776545D-.67557675657996874D- 7.695454786566D-.49557645495785D- 7.9877546544994869D-.7888659995D- 8.6954868464775D-.55946469659D- 8.8847585575666D-.446578688774D- 8.5944666969779D-.9956878499898899D- 8.78756767888777D-.8668489948754D- 8.96675579487768944D-.774655669658584D- 9.6577576546477D-.5896858756884499D- 9.845987774457959546D-.44958459766967D- 9.44769876747566D-.6876594997868D- 9.54597664649549485D-.644797869646677D- 9.654858947995457D-.67664645885D- 9.74994585777985645D- 8.68945696858464945D- 9.884857786974888D- 7.99476877567557D- 9.899499755565D- 5.69945498649697D- 9.94754965688778965D- 4.846948956794D- 9.97649864987688899494D-.665589568669956D- 9.99558656698885D-.44958694545447D- 8
Απόδειξη της έκφρασης Gauss-Legedre: Θέτουμε f p R, όπου, L p L f j,,,..., j j j f df w, j R! f! f f d p d R d L f d d Εάν η f L d q d f w q d f είναι ένα πολυώνυμο βαθμού και αφού το πολυώνυμο βαθμού τότε το είναι ένα q θα πρέπει να είναι πολυώνυμο βαθμού. 9
Γράφουμε τα αναπτύγματα με βάση τα πολυώνυμα Legedre: bp... bp b P και... Αντικαθιστούμε και εφαρμόζοντας ορθογωνιότητα έχουμε q c P c P q d b c PP d b c P P d b c P d j j j j j j Για να είναι το σφάλμα μηδενικό θέτουμε b b... b, ενώ ο συντελεστής b προκύπτει από τη σχέση b P. b P Επιπλέον το αποτέλεσμα αυτό δηλώνει ότι το πολυώνυμο έχουν τις ίδιες ρίζες που θα είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Legedre βαθμού. Επειδή όμως πολυώνυμο, δηλαδή είναι σε μορφή γινομένου παραγόντων οι ρίζες του είναι τα που πρέπει να είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Legedre βαθμού.
5... Παραδείγματα Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα t erf e dt με Gauss-Legedre. Νέα μεταβλητή ολοκλήρωσης: t a b t s s t t sdt ds b a N t erf e dt ep s ds ep s w 4 4 erf s w s w 4 4 Έκφραση σημείων: ep ep : Για.5 ep.5775 ep.5775 4 4 erf.5.55
Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Ι= y dyd με Gauss-Legedre. Νέα μεταβλητή ολοκλήρωσης: y a b y s s y s dy ds b a I J y dyd s dsd s j ww j j Έκφραση σημείων: Ι s ww s ww s w w s w w...