( ) ( + 30 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ζωδόχυ Πηγς 8 Σαλαμίνα Τηλ 07-7 /000 8. Να υλγιστύν ι τριγωνμετριί αριμί των γωνιών: α) 8 β) 90 γ) Σε τέτιυ είδυς ασσεις ετελύμε διαίρεση όταν έχυμε γωνία : σε μίρες διαίρεση με τ 0 αι μας ενδιαφέρει μόν τ υόλι. σε ατίνια διαίρεση μόν με τ λάσμα χωρίς τ. α) 8 0 800 Άρα 8 0 +.Άρα η γωνία διέγραψε λρεις εριστρφές αι αόμα. Για να υλγίσυμε τυς τριγωνμετριύς αριμύς χρειαζόμαστε μόν την γωνία. Έτσι έχυμε: ημ( 8 ) ημ( 0 + ) ημ( ) συν( 8 ) συν( 0 + ) συν( ) ( ) ( ) εφ 8 εφ 0 + εφ σφ 8 σφ 0 + σφ β) Εργαζόμαστε όως αραάνω αι έχυμε : 90 8 0 + 0. Άρα η γωνία διέγραψε 8 λρεις εριστρφές αι 0 αόμα. Για να υλγίσυμε τυς τριγωνμετριύς αριμύς χρειαζόμαστε μόν την γωνία 0. Έτσι έχυμε: ημ( 90 ) ημ( 8 0 + 0 ) ημ( 0 ) συν( 90 ) συν( 8 0 + 0 ) συν( 0 ) εφ( 90 ) εφ( 8 0 + 0 ) εφ( 0 ) ( + 0 ) σφ 90 σφ 8 0 σφ 0 Αεί Θεός Μέγας γεωμετρεί, τ ύλυ μς ίνα ρίση διαμέτρω, αργαγεν αριμόν αέραντν, αί όν, φεύ, υδέτε όλν νητί α εύρωσι Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς

8 γ) Για τη γωνία α ετελέσυμε την διαίρεση 8: 8 8 Άρα τ 8 +. άρτις 8 ( + ) + Δηλαδ : + + 7 + Άρα η γωνία διέγραψε 7 λρεις εριστρφές αι 0 αόμα. Για να υλγίσυμε τυς τριγωνμετριύς αριμύς χρειαζόμαστε μόν την γωνία 0. ρέει να είναι Έτσι έχυμε: 8 ημ ημ7 + ημ 8 συν συν7 + συν 8 εφ εφ7 + εφ 8 σφ σφ7 + σφ. Αν ισχύει, να δείξετε ότι : εφσυν ημ+ ημ > Πρώτα ελέγχυμε σε ι τεταρτημόρι ινείται τ. Aφύ, αταλαβαίνυμε ότι βρισόμαστε στ τεταρτημόρι. 0 i, τεταρτημόρι Η i, τεταρτημόρι Ε i, τεταρτημόρι Σ i 0, τεταρτημόρι[ Ο] [ ] [ ] [ ] Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς

Στ τεταρτημόρι μόν η εφατμένηαι η συνεφατμένη είναι ετιί αριμί. Άρα α ισχύει : εφ> 0 εφ> 0 συν 0 συν> 0 Τις ατά μέλη μόν όταν έχυν την ίδια φρά 0 > 0 0 > 0 ρσέτυμε Άρα : εφσυν + > 0.Συνεώς αφύ είναι ετιός α είναι αι μεγαλύτερς τυ. Άρα + > εφ συν Aν 0 να δείξετε ότι δεν υάρχει γωνία ω με ημω+ ς τρός Ξέρυμε ότι ι τιμές τυ ημω αι τυ συνω δεν μρύν να υερβύν ατά αλυτη τιμ την ατίνα τυ τριγωνμετριύ ύλυ, υ είναι ίση με. Δηλαδ ισχύει : συνω αι ω συνω αι ω Θα χρησιμισυμε την μέδ της '' εις άτν ααγωγς''. Δηλαδ α υέσυμε ότι :Έστω υάρχει γωνία σε άτι τ ί είναι άτ.. ημω+ αι α αταλξυμε Ξέρυμε ότι : ω + + + + + + + + + +,υ είναι άτ γιατί τ + > 0 ς τρός Αό τις ιδιότητες των αλύτων γνωρίζυμε ότι: ω+ ω, υ είναι άτ αφύ ω. ω Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς

Αν εφ αι, να βρεύν ι άλλι τριγωνμετριί αριμί της γωνίας Ξέρυμε ότι : εφ σφ σφ σφ εφ Είσης γνωρίζυμε ότι : εφ συν συν συν Αό τν τύ της τριγωνμετρις μνάδας έχυμε: + συν συν + συν συν + συν συν Άρα συν± ± ±. Ειλέγυμε τ αρνητιό συνημίτν: συν αι αυτό γιατί η γωνία ινείται στ τεταρτημόρι. Αό την σχέση βρίσυμε τ + Να δείξετε ότι τα σημεία Μ,y τυ ειέδυ για τα ία +ημ+συν αι yημ συν βρίσνται σε αραβλ της ίας να ρσδιρίσετε τις συντεταγμένες της ρυφς της. Έχυμε : + + συν + συν + συν + + + + + + συν συν συν συν y [ ] + + συν + + y y α, β, γ 0 Άρα τ είναι της μρφς : α y + β + γ δηλαδ αριστάνει μια αραβλ β με έντρ τ Κ, α α β + α Άρα Κ, β αγ 0 α α Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς

συν + συν Αν να αδείξετε ότι : + συν συν εφ ( συν)( συν) ( + συν)( + συν) συν + συν συν + συν + συν συν + συν συν + συν συν ( συν) ( + συν) ( + συν)( συν) + **** συν συν συν συν συν συν **** Εειδ η γωνία ινείται στ τεταρτημόρι τ 0. Άρα με βάση την ιδιότητα των αλύτων : αν 0 τότε Άρα : ημ ημ συν συνχ + συν + εφ σφ 7 Να δείξετε ότι : ημ ωσυν ω ημ ω συν ω + ( ) + + + ω ω ω συν ω + ω ( ω) + + ω συν ω ω ω συν ω συν ω ω συν ω ω συν ω ω ω ω συν ω ω ω ω ω συν ω ημ ω συν ω ω συν ω ω συν ω ω συν ω + συν συν 8 Nα δείξετε ότι η αράσταση Α είναι ανεξάρτητη τυ + + + Α συν συν συν συν + συν Κινός όρς Διαφρά Τετραγώνων Κινός Όρς Κινός Όρς + συν + ( ) ( ) συν ( + συν ) + ( συν )( + συν ) + συν συν ( + συν )( + συν ) ( + συν ) ( συν ) συν ( συν ) συν + Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς

9 Nα βρεύν ιτριγωνμετριί αριμί των αραάτω γωνιών: i)70 ii) i) Ετελύμε την διαίρεση με τις 0. Θα έχυμε: 70 0 0 00 Άρα : 70 0 + 00. Μας ενδιαφέρει μόν η γωνία 00. Θα χωρίσυμε με τρόυς την γωνία σε γωνίες. ( 70 ) ( 0 + 00 ) ( 00 ) ς ς τρός: 00 70 + 0 τρός: 00 0 0 ( ) i 00 70 + 0 συν0 00 0 + 0 0 0 iσυν( 00 ) συν( 70 + 0 ) 0 συν( 00 ) συν( 0 + ( 0 )) συν( 0 ) συν0 ( ) iεφ 00 εφ 70 + 0 σφ0 εφ 00 εφ 0 + 0 εφ 0 εφ0 ( ) i σφ 00 σφ 70 + 0 εφ0 σφ 00 σφ 0 + 0 σφ 0 σφ0 ****** Σε τέτιες ασσεις ρέει να φέρυμε την τελι γωνία,αν δεν είναι άια γνωστ 0,,0,90,80,70,0 σε μια αό τις αόλυες μρφές: 90 ± ω, 80 ± ω, 70 ± ω Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς

ii) Ετελύμε την διαίρεσητυ λάσματς χωρίς τ. Θα έχυμε: 7 ( 7 ) + 7 Άρα : 7 +. Δηλαδ: + 7 + [ ] ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!! Θέλυμε τ αέραι λλαλάσι τυ να είναι άρτις αριμός. Αν δεν είναι τότε αλά τ γράφυμε σαν διαφρά τυ : ρηγύμενυ+ Στη ερίτωσ μας : 7 70 + τελι γωνία άρτις Θα έχυμε : 7 + 70 + + + +.Η τελι γωνία μας ενδιαφέρει μόν. Δημιυργύμε άντα την μρφ : + ω Τελιά α έχυμε : 7 + 70 + + + + συν συν συν7 + συν70 + + συν + συν 0 εφ εφ εφ7 + εφ 70 + + εφ + εφ δεν ρίζεται σφ σφ σφ7 + σφ70 + + σφ + σφ 0 ( ) + + 0 Να αλιηεί η αράσταση Α 7 7 εφ + σφ συν + Βρίσυμε άε τριγωνμετριό αριμό χωριστά: 0 i + + + + + + + + + + + συν i ( +) + + ( + χ) ημ i + + συν Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς 7

εφ εφ εφ εφ i + + + + + + σφ 7 σφ σφ σφ σφ σφ i + + + + εφ 8 7 συν συν συν συν i + + + + + + ημ Άρα Α ( συν) ( ) ( συν) ( σφ) εφ ( ) Να εφράσετε σε rad τις γωνίες: i) 0 ii) 0 iii) 0 iv) 8 συν + συν σφ εφ α µ Σύµφωνα µε τη σχέση :, α : rad, µ : µρες ί α έχυµε: 80 α 0 α i) 0 0 α 0 α 0 rad 80 α 0 0 0 : 0 ii) 0 α α α rad 80 80 80 : 0 α 0 0 iii) 0 α α 7 rad 80 80 α 8 8 8 : 97 : 9 iv) 8 α α α rad 80 80 80 : : 9 Να εφράσετε σε µίρες τις γωνίες: i) rad ii) rad iii) 700 rad 0 α µ Σύµφωνα µε τη σχέση :, α : rad, µ : µρες ί α έχυµε: 80 i) rad 0 µ µ 80 µ µ 8 0 80 0 80 0 µ µ 80 ii) i rad µ µ 0 80 80 700 µ 80 700 80 700 iii) 700 rad µ µ 007 80,... ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στ ερώτα iii) αντιαιστύµε τ,... Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς 8

Να υλγίσετε την τιµ της αράστασης: 80 συν 780 +συν00 συν 0 Α εφ 7 +εφ00 Αρχιά α διαιρέσυµε άε γωνία µε τ 0 για να δύµε τι υόλι αφνει τ ί α µας εφράσει την τελι γωνία. T υόλι να είναι άντα µιρότερ τυ 0.. 80 0 + 0. µρφ: 0 +ω Άρα 0 + 0 80 0 ( 90 + 0 ) συν 0 0 80 0 0 780 0 + 0 µρφ: 0 +ω Άρα συν 0 + 0 συν780 συν 0 00 0 + 0 µρφ: 0 +ω Άρα συν00 συν 0 + 0 συν 0 συν ( 90 + 0 ) 0 - συν 0 συν( 80 0 ) συν 0 συν( -0 ) συν 0 συν( 80 0 ) συν 0 - συν 0 συν 90 + 0 0 Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς 9

7 0 + µρφ: 0 +ω Άρα ( 7 ) 0 εφ -7 εφ εφ + εφ εφ ( 70 + ) σφ + ( ) [ ] εφ εφ 0 + εφ + µρφ: 0 +ω εφ00 εφ 0 + 0 εφ 0 εφ 90 + 0 σφ 0 - εφ0 εφ 80 0 εφ 0 Τώ ρα είµαστε σε έση να αντιαταστσυµε άε τριγωνµετριό αριµό στη αράσταση. + 80 780 00 ( 0 - - συν +συν συν ) + Άρα : Α εφ 7 +εφ 00 ++ ( ) + + + + Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς 0

Να λυύν ι τριγωνµετριές εξισώσεις i) ii) συν iii) εϕ iv) σϕ 8 Λύ ση i) Για να λύσυµε µια τριγωνµετρι εξίσωση ρέει να έχυµε αι στα µέλη τν ίδι τριγωνµετριό αριµό.στ ερώτά µας ρέει τ να τ αντιαταστσυµε µε τ άιας γωνίας.αλυύµε τα εξς βµατα: βµα Αγνώντας τ βρίσυµε ιας γωνίας τ µας δίνει. Θα µας βησει αν τ τ µετετρέψυµε σε λάσµα µε ρητ ό αρνµαστ. Θα έχυµε:. Αό τν ίναά µας συµεραίνυµε ότι Άρα : βµα Εειδ η συνάρτηση τυ ιτ ό νυ είναι ερι ττ ξέρυµε ότι : Άρα :. Η γωνία υ µας ενδιαφέρει είναι τ βµα Αντιαιστύµε στις λύσεις της τριγωνµετρις εξίσωσης ιτ ό νυ ι ίες είναι: + +, όυ. Τελιά έχυµε : + +, όυ + + + + ΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ!!!! όυ, Z αέραις αριµός [ ] 7 Για + Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς

ii) συν Για να λύσυµε µια τριγωνµετρι εξίσωση ρέει να έχυµε αι στα µέλη τν ίδι τριγωνµετριό αριµό.στ ερώτά µας ρέει τ να τ αντιαταστσυµε µε τ συν άιας γωνίας.αλυύµε τα εξς βµατα: βµα Αγνώντας τ βρίσυµε ιας γωνίας τ συν µας δίνει. Θα µας βησει αν τ τ µετατρέψυµε σε λάσµα µε ρητ ό αρνµαστ. Θα έχυµε: Άρα : συν συν συν. Αό τν ίναά µας συµεραίνυµε ότι συν βµα Εειδ η συνάρτηση τυ συνιτ όνυ είναι άρτια ξέρυµε ότι : συν συν Άρα : συν συν συν συν. Η γωνία υ µας ενδιαφέρει είναι τ βµα Αντιαιστύµε στις λύσεις της τριγωνµετρις εξίσωσης συνιτ όνυ ι ίες είναι: +, όυ. Τελιά έχυµε : συν συν συν συν συν +, όυ + [ αέραις ] ΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ!!!! όυ, Z αριµός 7 7 Για + Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς

iii) εϕ Για να λύσυµε µια τριγωνµετρι εξίσωση ρέει να έχυµε αι στα µέλη τν ίδι τριγωνµετριό αριµό.στ ερώτά µας ρέει τ να τ αντιαταστσυµε µε την εϕ άιας γωνίας.αλυύµε τα εξς βµατα: ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Ξέρυµε ότι : εϕ. Άρα ρέει συν 0 συν συν συν + αι. Αν βρύµε τέτιες µρφές λύσεων η εξίσωσ µας χαρατηρίζεται Α ΥΝΑΤΗ βµα Αγνώντας τ βρίσυµε ιας γωνίας η εϕ µας δίνει. Θα µας βησει αν τ τ µετατρέψυµε σε λάσµα µε ρητ ό αρνµαστ. Θα έχυµε:. Αό τν ίναά µας συµεραίνυµε ότι εϕ Άρα : εϕ εϕ εϕ βµα Εειδ η συνάρτηση της εϕατµ έ νης είναι εριττ ξέρυµε ότι : εϕ εϕ Άρα : εϕ εϕ εϕ εϕ. Η γωνία υ µας ενδιαφέρει είναι τ ς λύσεις της τριγωνµετρις εξίσωσης εϕατµ νης ι ίες είναι: βµα Αντιαιστύµε στι +, όυ. εϕατµ έ νης Τελιά έχυµε : εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ +, όυ. ΕΚΤΗ αφύ δεν είναι της µρφς των ΠΕΡΙΟΡΙΣΜ ΩΝ [ αέραις ] ΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ!!!! όυ, Z αριµός Για Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς

iv) σϕ 8 Για να λύσυµε µια τριγωνµετρι εξίσωση ρέει να έχυµε αι στα µέλη τν ίδι τριγωνµετριό αριµό.στ ερώτά µας ρέει τ να τ αντιαταστσυµε 8 µε την σϕ άιας γωνίας.αλυύµε τα εξς βµατα: συν ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Ξέρυµε ότι : σϕ. Άρα ρέει 0 0 + 0 αι + 0 +. Αν βρύµε τέτιες µρφές λύσεων η εξίσωσ µας χαρατηρίζεται Α ΥΝΑΤΗ µα Αγνώντας τ βρίσυµε ιας γωνίας η σϕ µας δίνει. Θα µας βησει β σϕ αν τ τ µετατρέψυµε σε λάσµα µε ρητ ό αρνµαστ. Θα έχυµε: 8. Αό τν ίναά µας συµεραίνυµε ότι σϕ 8 8 Άρα : σϕ σϕ σϕ 8 βµα Εειδ η συνάρτηση της συνεϕατµ ένης είναι εριττ ξέρυµε ότι : σϕ σϕ Άρα : σϕ σϕ σϕ σϕ. Η γωνία υ µας ενδιαφέρει είναι τ βµα Αντιαιστύµε στις λύσεις της τριγωνµετρις εξίσωσης εϕατµ ένης ι ίες είναι: +, όυ. Τελιά έχυµε : σϕ σϕ σϕ σϕ σϕ 8 +, όυ [ αέραις ] ΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ!!!! όυ, Z αριµός Για Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς

Να λυύν ι τριγωνµετριές εξισώσεις i) + συν 0 ii) εϕ + σϕ iii) εϕ εϕ Λύση i) + συν 0 Σε τέτιες ασσεις χωρίζυµε τυς τριγωνµετριύς αριµύς σε µέλη. Άρα: συν συνα συν ( α ) α συν συν + συν συν + + [ + + ] + + + + + + + + + + ii) εϕ + σϕ 0 Σε τέτιες ασσεις χωρίζυµε τυς τριγωνµετριύς αριµύς σε µέλη. Άρα: εϕ σϕ σϕα σϕ ( α ) α εϕ σϕ σϕ εϕ εϕ σϕ εϕ εϕ εϕ + + Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς [ ]

+ + + + + + + + ΕΚΤΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ : + αι iii) εϕ εϕ Σε τέτιες ασσεις αραγντιύµε ώστε να αταλξυµε στην µρφ: Α Β... Γ 0 Α 0 Β 0... Γ 0, όυ Α, Β,..., Γ τριγωνµετριές αραστάσεις µρεί αιυς αό αυτύς να είναι αριµί άντα 0. Άρα έχυµε: ινός αράγντας ινός αράγντας µαδίηση εϕ εϕ + 0 εϕ + εϕ 0 ( ) ινός αράγντας εϕ + + εϕ 0 + ε ϕ 0 ( εϕ ) ( ) + 0 0 εϕ Η εξίσωση είναι Α ΥΝΑΤΗ για τ λόγω ότι : Άρα α λύσυµε µόν την εξίσωση : εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ ( ) εϕ εϕ [ ] + + ΕΚΤΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ : + αι Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς

Να λυύν ι τριγωνµετριές εξισώσεις i) συν ii), στ [ 0, ). i) συν Σε τέτιες ασσεις χρησιµιύµε την ι βασι ταυτότητα: + συν µε σό να µας δώσει την δυνατότητα να αντιαταστσυµε έναν αό τυς τριγωνµετριύς αριµύς ώστε να αταλξυµε σε εξίσωση δευτέρυ βαµύ. H ισότηττα αυτ µας δηγεί σε βασιές σχέσεις:. συν. συν Συνως ειλέγυµε να αντιαταστσυµε τ µε συν αι αυτό γιατί τ συν µας δίνει συν α ι εύλες εξισώσεις. συν συν + Στη ρειµένη ερίτωση όµως α αντιαταστσυµε τ συν µε αι αυτό τ αταλαβαίνυµε αό τν όρ µε τν µιρότερ εέτη συν. Άρα : όυ συν Tα µεταφέρυµε όλα στ µέλς + ( αλλαγ µέλυς αλλαγ ρσµυ) Ανα γωγ µίων όρων για να αταλξυµε σε + 0 υ εξίσωση βαµύ µε άγνωστ τ [ Πλλαλασιάζυµε άε όρ µε τ ] [,, ] + 0 + + 0 α β γ ΘΥΜΟΜΑΣΤΕ!!!!!! ( ) + 9 α + β + γ 0 β αγ Άρα έχυµε : + 7 ± 9 ± 7 β ± 7,, α εχόµαστε µόν την λύση : εειδ ξέρυµε ότι : αι βραµε ότι : Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς 7

Άρα : α + + + + + + ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Η άσηση δεν τελε ίωσε αι αυτό γιατί µας δίνει εριρισµό για τ [ ) ηλαδ έλει : 0, 0 η ερίτωση: + τότε 0 + [ ιαιρύµε µε τ ] [ ιαιρύµε µε τ ] όυ, αέραις αριµός. Άρα ψάχνυµε να βρύµε έναν αέραι αριµό µεταξύ τυ 0, 8... αι 0,.. Ο µναδιός αέραις είναι τ 0 άρα 0 Για 0 έχυµε : 0 + η ερίτωση: + τότε 0 + [ ιαιρύµε µε τ ] [ ιαιρύµε µε τ ] όυ, αέραις αριµός. Άρα ψάχνυµε να βρύµε έναν αέραι αριµό µεταξύ τυ 0,... αι 0, 8... Ο µναδιός αέραις είναι τ 0 άρα 0 Για 0 έχυµε : + 0 Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς 8

ii), στ [ 0, ) ιαιρύµε µε τ : + + + + + + + + + + + + + + 0 0 + + + + 0 0 0 0 + + 0 0 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Η άσηση δεν τελε ί ωσε αι αυτό γιατί µας δίνει εριρισµό για τ [ ) ηλαδ έλει : 0, 0 η ερίτωση: + τότε 0 + 0 0 0 0 9 9 0 0 0 0 [ ιαιρύµε µε τ ] 9 όυ, αέραις αριµός. 0 0 9 Άρα ψάχνυµε να βρύµε έναν αέραι αριµό µεταξύ τυ 0, 8... αι 0, 8.. 0 0 Ο µναδιός αέραις είναι τ 0 άρα 0. Για 0 έχυµε : 0 + 0 0 η ερίτωση: + τότε 0 + 0 0 0 0 9 0 0 0 9 0 [ ιαιρύµε µε τ ] 9 όυ, αέραις αριµός. 0 0 9 Άρα ψάχνυµε να βρύµε έναν αέραι αριµό µεταξύ τυ 0,... αι 0, 8.. 0 0 Ο µναδιός αέραις είναι τ 0 άρα 0 Για 0 έχυµε : 0 + 0 0 Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς 9

7 Να λυύν ι τριγωνµετριές εξισώσεις [ ) 8 i) συν + ii) + συν στ 0, iii) + συν Ειµλεια έ : Περδιρης ύ Θεµιστλς 0