Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα

ΘΕΜΑ 501 (sokratis lyras) Να βρείτε όλα τα διαδοχικά ζεύγη a,a της ακολουθίας a 49, N 1 έτσι ώστε a pq, a rs με p,q,r,s P,p q,r s και q p s r όπου 1 P το σύνολο των πρώτων αριθμών. ΘΕΜΑ 50 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση φυσικών αριθμών, όταν ο y είναι πρώτος. x z 1 (x) 1 y, δεν έχει λύση στο σύνολο των ΘΕΜΑ 503 (vzf) Να λύσετε την εξίσωση ΘΕΜΑ 504 (x 5x 3) 3(x 5x 3) 3(x 1). (vzf) x x Να λύσετε την εξίσωση 5 4 5 4 10. ΘΕΜΑ 505 3 3 3 3 a b c (a b c), Δείξτε ότι για όλους τους 1 9b ac 1 9c ab 1 9a bc 18 θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c για τους οποίους ab bc ca 1. ΘΕΜΑ 506 Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει a b c a b c r r r a b c. r r r 3r a b c ΘΕΜΑ 507 Οι θετικοί ακέραιοι m, είναι τέτοιοι ώστε ότι 4 / 1. 3 3 3 3 ( 1) ( ) m. Δείξτε Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

ΘΕΜΑ 508 Να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης N*. 4 4 a b a b 3a b 0, όπου ΘΕΜΑ 509 Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους m,,p όπου p πρώτος, τέτοιους ώστε ο αριθμός m 5 p m 5 p να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. ΘΕΜΑ 510 Αν οι πραγματικοί αριθμοί x,y,α είναι τέτοιοι ώστε x y αx αy α 4, να δείξετε ότι x y. ΘΕΜΑ 511 Αν σε τρίγωνο ABC οι αριθμοί R,S,r αποτελούν με αυτή τη σειρά διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, όπου S το εμβαδόν του τριγώνου, R και r είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα, να 9 δείξετε ότι m m m. a b c 4 ΘΕΜΑ 51 Να δείξετε ότι 1 1 1 (abc 1)( ) 3 a b c για κάθε a,b,c 1. a b c ΘΕΜΑ 513 Αν x,y ακέραιοι, x,y 1 τέτοιοι ώστε 4 44 x 1 x y 1. 4 4 x 1 y 1 Z y 1 x 1, να δείξετε ότι Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

ΘΕΜΑ 514 α) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της σταθερής C έτσι ώστε για κάθε x,y R. β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της σταθερής C έτσι ώστε x y xy 1 C(x y), για κάθε x,y R. x y 1 C(x y), ΘΕΜΑ 515 Βρείτε όλους τους πρώτους pγια τους οποίους οι αριθμοί p,p 1,3p 4 είναι επίσης πρώτοι. ΘΕΜΑ 516 Έστω 0 ένας ακέραιος. Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα βαθμού με πραγματικούς συντελεστές και μη αρνητικές ρίζες, της μορφής P(X) X ( 10)X a X... a X ( 10)X 1. 1 ΘΕΜΑ 517 Να λυθεί η εξίσωση x 6x [x] 7 0. ΘΕΜΑ 518 Να λυθεί το σύστημα ΘΕΜΑ 519 3 x 3xy 49 x 8xy y 8y 17x. Έστω m, θετικοί ακέραιοι. Αν ο αριθμός δείξετε ότι p 1(mod 8). p m m είναι πρώτος, να Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

ΘΕΜΑ 50 Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει r r r a b c 4(R 3r) r r r r r r r r r A B C B A C C A B. ΘΕΜΑ 51 Να βρεθούν όλοι οι άρτιοι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε 1 1 1 160 όπου d d d... d οι διαιρέτες του. 1 3 k d d d 1003 1 k Λύση: Γράφω λίγα περισσότερα από ότι χρειάζονται για την λύση για να δούμε και την σχετική θεωρία. Αν ο d είναι διαιρέτης του τότε και ο d πρέπει να είναι διαιρέτης του. Άρα οι d,, d 1 k είναι επίσης διαιρέτες του. Επίσης είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και άρα πρέπει να είναι όλοι οι διαιρέτες του. Επομένως η συνθήκη d d 160 1 k μετασχηματίζεται σε ή ισοδύναμα σε 160 1003σ(), 1003 όπου με () συμβολίζουμε το άθροισμα των διαιρετών του. Ας μελετήσουμε λοιπόν λίγο περισσότερο αυτήν την συνάρτηση. r1 r rk Έστω ότι p p p η παράσταση του σε γινόμενο διαφορετικών πρώτων 1 k παραγόντων. Τότε κάθε διαιρέτης του πρέπει να είναι της μορφής όπου 0 s r για κάθε i. i i p p p s 1 t 1 s st Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

Άρα για να βρούμε το () πρέπει να προσθέσουμε όλους αυτούς τους αριθμούς. Γνωρίζοντας ήδη το αποτέλεσμα ισχυρίζομαι πως r1 r1 r () (1 p p p )(1 p p p ) (1 p p p t ). 1 1 1 t t t Για την απόδειξη του ισχυρισμού παρατηρούμε ότι αν κάνουμε όλους τους πολλαπλασιασμούς στο πιο πάνω γινόμενο θα πάρουμε άθροισμα αριθμών της 1 st μορφής s s p p p με 0 s r για κάθε i. Επιπλέον κάθε τέτοιος αριθμός 1 t i i εμφανίζεται στο άθροισμα ακριβώς μία φορά οπότε το άθροισμα πράγματι ισούται με (). Επομένως ισχύει ότι () 1 1 1 1 1 1 1 r 1 1 r p p p p p p t. 1 1 1 t t t Από εδώ παρατηρούμε άμεσα ότι αν ο m είναι πολλαπλάσιο του με m τότε σ(m) σ(). m Αυτό γιατί στο αντίστοιχο γινόμενο για το σ(m) κάθε ένας από τους m παράγοντες είτε θα είναι ο ίδιος είτε θα έχει επιπλέον όρους στο άθροισμά του. Επιπλέον το αντίστοιχο γινόμενο για το σ(m) μπορεί να έχει και άλλους m παράγοντες που αντιστοιχούν σε πρώτους που δεν διαιρούν m αλλά όχι τον. Τέλος επειδή m δεν μπορεί να είναι όλοι οι παράγοντες των δύο γινομένων ακριβώς οι ίδιοι. Πάμε τώρα πίσω στο πρόβλημα. Ξέρουμε ότι 160 1003σ() επομένως ο είναι πολλαπλάσιο του 003. (Αφού οι 160 και 003 δεν έχουν κοινούς παράγοντες.) Επειδή ο είναι άρτιος, πρέπει να είναι και πολλαπλάσιο του 006 17 59. 160 σ() σ(006) 3 18 60 160 Άρα. 1003 006 17 59 1003 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

Όπως έχουμε δείξει πιο πάνω η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν 006. ΘΕΜΑ 5 Nα λυθεί η εξίσωση: ΘΕΜΑ 53 x 4x 3 x 4x 3 x 6x 8 x 6x 8 x 4x 3 x 4x 3 x 6x 8 x 6x 8. Αν ο αριθμός 9 9 4 1 A 9, όπου N, είναι θετικός ρητός, να αποδείξετε ότι και ο αριθμός ΘΕΜΑ 54 A, είναι επίσης θετικός ρητός. Αποδείξτε ότι ο αριθμός: A 111...111...5,όπου οι άσσοι έχουν πλήθος 1997 και τα δυάρια έχουν πλήθος 1998, είναι τέλειο τετράγωνο. (Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα για "Μικρούς") ΘΕΜΑ 55 11 abc a b c 1 abc 7. Αν a,b,c 0, a b c 1, να δειχθεί ότι: (Από το περιοδικό "ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" της Ε.Μ.Ε) ΘΕΜΑ 56 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 3 7 k. ΘΕΜΑ 57 Να αποδείξετε ότι με a b c 3. (abc) (a b c)(b c a)(c a b) για κάθε x,y,z 0 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

ΘΕΜΑ 58 Αν a,b,c 0 να δείξετε την ισοδυναμία a b 1 a c 1 a d 1 3 a bcd. b 1 cd c 1 bd d 1 cb ΘΕΜΑ 59 Θεωρούμε την ακολουθία a,a 5, a ( )a ( )a, 1. 1 1 Υπάρχουν p,q,r ώστε a a a ; p q r ΘΕΜΑ 530 Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a b c 1, να δείξετε ότι a b c 8 1 3 3 3 a b c c b b c a a c c a b b a 7abc. ΘΕΜΑ 531 Υπάρχουν ακέραιοι x,y,z,t ώστε 5 5 5 5 x y z t 93; ΘΕΜΑ 53 Να λυθεί η εξίσωση [x] {x} 005x. ΘΕΜΑ 533 Στο επίπεδο, θεωρούμε σημεία A,A,,A και αυθαίρετο κύκλο (C) 1 010 ακτίνας 1.Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο Sτου κύκλου τέτοιο ώστε SA SA... SA 010. 1 010 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9

ΘΕΜΑ 534 (Freyia) * Να λυθεί στους φυσικούς αριθμούς ( N ), η εξίσωση: (7x 3y 16)(17y 15) 3. (Να αποφύγετε να πάρετε περιπτώσεις). ΘΕΜΑ 535 Βρείτε τους πρώτους p,q αν 3 p q q p. ΘΕΜΑ 536 Βρείτε τους πρώτους p,q αν p q q 145p (1). ΘΕΜΑ 537 Βρείτε τους θετικούς ακεραίους x,y για τους οποίους ο αριθμός πρώτος. xy x y είναι ΘΕΜΑ 538 Να βρείτε τους φυσικούς a,b,c αν ισχύουν 8 9 11 [ab,c],[bc,a],[ca,b]. ΘΕΜΑ 539 Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς, για τους οποίους ο αριθμός ( 1)(3 ) διαιρείται από τον 5. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Υπενθυμίζουμε ότι: α) Αν ένας αριθμός λήγει σε 0,1,5,6 τότε οποιαδήποτε δύναμη με βάση αυτόν τον αριθμό, θα λήγει επίσης σε 0,1,5,6. β) Αν ένας αριθμός λήγει σε 4,9 τότε για να βρούμε που θα λήγει μια δύναμη με βάση αυτόν τον αριθμό, παίρνουμε δύο περιπτώσεις για τον εκθέτη : Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 10

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : k η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : k 1 γ) Αν ένας αριθμός λήγει σε,3,7,8 τότε για να βρούμε που θα λήγει μια δύναμη με βάση αυτόν τον αριθμό, παίρνουμε τέσσερις περιπτώσεις για τον εκθέτη : 1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : 4k η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : 4k 1 3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : 4k 4η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : 4k 3 Επανερχόμενοι τώρα στο πρόβλημά μας, έχουμε: Τότε 1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : 4k. 4k k 1 1 16 1 και άρα λήγει σε 7, που δεν μας κάνει. η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : 4k 1. 4k k Τότε 1 1 16 1 και άρα λήγει σε 3, που επίσης δεν μας κάνει 3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : 4k. 4k k Τότε 1 1 16 4 1, και άρα λήγει 5. Αυτό ίσως μας κάνει, 4k k αλλά όμως: 3 3 81 9, που λήγει σε 1 και άρα ούτε η περίπτωση αυτή μας ενδιαφέρει. 4η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : 4k 3. Τότε k 1 16 8 1, που λήγει σε 9. Συνεπώς, μόνο για 1, έχουμε το ζητούμενο. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 11

ΘΕΜΑ 540 Να συγκριθούν οι αριθμοί p q q p και p p q q. ΘΕΜΑ 541 Να υπολογίσετε το άθροισμα ΘΕΜΑ 54 3 1 5 4013 006 S... 1 3 007 006 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3. Για ποιους ακέραιους είναι ο αριθμός 4 3 9 πρώτος; ΘΕΜΑ 543 Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c,d είναι τέτοιοι ώστε a b b c c d 1. Να δείξετε ότι ab ac ad bc bd cd 3. ΘΕΜΑ 544 Αν x,y,z θετικοί αριθμοί με συνάρτησης: x y z 1, τότε να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της x x y y z z f(x,y,z). y z x z x y (Από το περιοδικό της ΕΜΕ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ) ΘΕΜΑ 545 Να δείξετε ότι 1 1 1... 1.... 85 853 554 * 3* 4 5* 6* 7 55* 553* 554 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

ΘΕΜΑ 546 Να λυθεί το σύστημα ΘΕΜΑ 547 x y z 1 y z x 1 z x y 1. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού N 1 3 5... 549 4 6... 550 με το 551. ΘΕΜΑ 548 Να λυθεί το σύστημα x y z y z x z x y. ΘΕΜΑ 549 Να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της a 4 4a 4 b. ΘΕΜΑ 550 Αν x,y,z θετικοί αριθμοί να δείξετε ότι ένας, τουλάχιστον από τους αριθμούς x y z xyz και xy yz zx 3 είναι θετικός. Βρείτε παράδειγμα τέτοιων αριθμών για τους οποίους οι αριθμοί x y z xyz και xy yz zx 3 είναι ετερόσημοι (μη μηδενικοί). ΘΕΜΑ 551 Αν η εξίσωση (x m)(x ) x m έχει ακέραια ρίζα να δείξετε ότι 1 m. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 13

ΘΕΜΑ 55 Αν a,b,c [0,1] τότε 1 a b c (ab bc ca) 3(1 a)(1 b)(1 c) 9. Πότε έχουμε ισότητα; ΘΕΜΑ 553 Να βρεθούν οι ρητοί x,y αν x 5 y 5 6 5 10. ΘΕΜΑ 554 Να λυθεί το σύστημα ΘΕΜΑ 555 Να λυθεί το σύστημα ΘΕΜΑ 556 x y z 1 y z x 1 z x y 1 x y z 1 y z x 1 z x y 1.. Ένα ημικυκλικό κομμάτι χαρτί, ακτίνας 10, διπλώνεται ώστε να σχηματιστεί κώνος. Να βρεθεί το ύψος του. ΘΕΜΑ 557 Οι πρώτοι αριθμοί p,q είναι τέτοιοι ώστε Δείξτε ότι ο αριθμός p q 1 είναι σύνθετος. q / p 1 και p / q 1. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 14

ΘΕΜΑ 558 Να αποδείξετε ότι: Αν : 1 3... 50 a, τότε: 1 3... 100 101 8a. Και μάλιστα ισχύει ΘΕΜΑ 559 (k k) 8 k, για κάθε θετικό ακέραιο. k1 k1 Δίνεται η εξίσωση ax bx c 0, όπου a,b,c R και a 0. Αν είναι μια ac b πραγματική ρίζα της εξίσωσης, δείξτε ότι:. ab Δίνεται μια ιδιότητα των απολύτων τιμών: a b a b, a b a b. ΘΕΜΑ 560 Θεωρούμε δύο ομόκεντρους κύκλους (O,R) και (O,R). Φέρνουμε την χορδή AB του μεγαλύτερου κύκλου, ώστε να είναι εφαπτόμενη στον μικρότερο κύκλο, και ονομάζουμε M, το σημείο επαφής. Από το σημείο A φέρνουμε την εφαπτομένη AN στον μικρό κύκλο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περικλείεται από τα "ελάσσονα" τόξα AB, και NM, και από τα ευθύγραμμα τμήματα AN και MB, είναι ίσο με το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου. ΘΕΜΑ 561 Η πράξη *: RR R είναι τέτοια ώστε x 1 * x 1 και (x * y)z (xz)* (yz) για κάθε x,y,z R Βρείτε τον αριθμό 3* 4 και παράδειγμα τέτοιας πράξης. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 15

ΘΕΜΑ 56 Αν x,x είναι ρίζες των εξισώσεων 1 όπου * N και b 0, τότε: x ax b 0 και (x x ) x x. 1 1 x a x b 0, ΘΕΜΑ 563 (ΘΑΝΑΣΗΣ KARKAR) Η πάνω και η κάτω πλευρές είναι παράλληλες. Βρείτε το E. ΘΕΜΑ 564 Ένα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθύ δρόμο με μία λωρίδα κυκλοφορίας ανά κατεύθυνση, θέλει να προσπεράσει ένα φορτηγό που βρίσκεται 5m μπροστά του. Μπαίνει στο αντίθετο ρεύμα κυκλοφορίας και μόλις το προσπεράσει κατά 5m επανέρχεται στο ρεύμα κυκλοφορίας του. Αν το αυτοκίνητο κινείται με Km 100 h και το φορτηγό με Km 90 h βρείτε το διάστημα που θα διανύσει το αυτοκίνητο στο αντίθετο ρεύμα κυκλοφορίας. Δίνεται ότι το μήκος του φορτηγού είναι 15m. ΘΕΜΑ 565 Στον πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός 1000. Δύο μαθητές παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Εναλλάξ, επιλέγουν ένα γνήσιο διαιρέτη (διάφορο του ίδιου του αριθμού) του αριθμού που υπάρχει στον πίνακα και αντικαθιστούν τον αριθμό που είναι γραμμένος στον πίνακα με τη (θετική) διαφορά του αριθμού αυτού από τον διαιρέτη που επέλεξαν. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 16

Χάνει όποιος δεν μπορεί να παίξει. Ποιος έχει στρατηγική νίκης; ΘΕΜΑ 566 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: πολλαπλάσιο του 7, για κάθε 3 3 3 3 A 6 13 0... (7 1), είναι * N. ΘΕΜΑ 567 Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης: A 5x 4xy y 6x 6y 33 με x,y R. ΘΕΜΑ 568 (ΘΑΝΟΣ ΜΑΓΚΟΣ) Έστω a Z. Να εξετάσετε αν υπάρχουν ακέραιοι x,y για τους οποίους 45x 78y a 1. ΘΕΜΑ 569 Να αποδειχθεί ότι: 0 0 0 0 30 30 30 30 11. ΘΕΜΑ 570 Αν a,a,a,...,a, είναι φυσικοί αριθμοί διάφοροι ανά δύο και όλοι τους 1 3 μεγαλύτεροι ή ίσοι του, να αποδείξετε ότι: a a a a... a a a a 4 1 3 1 1, για κάθε N, με. ΘΕΜΑ 571 Να βρεθούν οι θετικές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης a! b! c!. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 17

ΘΕΜΑ 57 Αν ο πρώτος αριθμός p γράφεται στη μορφή δείξετε ότι 4p 1 v 1 x y όπου x,y ακέραιοι, να 5 5 για κάποιον περιττό v. 5 ΘΕΜΑ 573 Να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης 4 3 y y x 0x 104x 40x 003. ΘΕΜΑ 574 Βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (p,q,) όπου p,q πρώτοι ώστε p(p 3) q(q 3) ( 3). ΘΕΜΑ 575 Να λυθεί η εξίσωση (x 1)(x )(x 3)(x 4)(x 5)(x 6) 70. ΘΕΜΑ 576 Προσδιορίστε τα ζεύγη πρώτων αριθμών (p,q)με p,q 100 ώστε οι αριθμοί p 6,p 10,q 4,q 10 και p q 1 να είναι επίσης πρώτοι. ΘΕΜΑ 577 005 Δείξτε ότι ο αριθμός 005 γράφεται ως άθροισμα δύο τετραγώνων ακεραίων αλλά όχι ως άθροισμα δύο κύβων ακεραίων. ΘΕΜΑ 578 Να λυθεί το σύστημα y (x 8)(x ) y (8 4x)y 5x 16x 16. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 18

ΘΕΜΑ 579 Υπάρχουν ακέραιοι x,y και z ώστε (α) 006 (β) 007 ; z (x 1)(y 1) αν ΘΕΜΑ 580 Βρείτε τους πρώτους p και q ώστε ο p να διαιρεί τον q 6 και ο q τον p 7. ΘΕΜΑ 581 Σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός 007!; Ποιο το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του; ΘΕΜΑ 58 Έστω p,p,p και p πρώτοι, διαφορετικοί ανά δύο, τέτοιοι ώστε 1 3 4 p 3p 5p 7p 16 1 3 4 11p 7p 5p 4p 16 1 3 4 Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του γινομένου p p p p. 1 3 4 ΘΕΜΑ 583 Βρείτε τον ελάχιστο k για τον οποίο ο αριθμός 010 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα k τετραγώνων ακεραίων. ΘΕΜΑ 584 Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της σταθερής k ώστε κάθε x,y. 4 4 4 x x y y k(x y) για Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 19

ΘΕΜΑ 585 Για ποιους θετικούς ακεραίους είναι ο αριθμός 3 8 1 3 πρώτος ; ΘΕΜΑ 586 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 1 x y x xy x y. ΘΕΜΑ 587 α) Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί x,y,z τέτοιοι ώστε x y z 0 και xy yz zx 3. β) Αν οι πραγματικοί x,y,z είναι τέτοιοι ώστε x y z 0 και xy yz zx 3 να βρείτε την τιμή της παράστασης 3 3 3 x y y z z x. ΘΕΜΑ 588 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) Δείξτε ότι: 5 6 7 104 1 1 1 1....... 13 4 35 100 10 3 4 340 ΘΕΜΑ 589 Να δείξετε ότι η παράσταση 0 1... 1 0 1... 1 είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του θετικού ακεραίου. ΘΕΜΑ 590 Βρείτε όλες τις τριάδες (x,y,p) όπου x,y ακέραιοι και pπρώτος τέτοιες ώστε Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 0

x 3xy p y 1p. ΘΕΜΑ 591 Να λυθεί η εξίσωση 6 3 x [x] 1 0. ΘΕΜΑ 59 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος a a a 1 1 1 a a a 1 3.... a a a 1 1 ΘΕΜΑ 593 Βρείτε όλους τους πρώτους p ώστε ο αριθμός p(p 17) να γράφεται ως γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων. ΘΕΜΑ 594 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) 1 1 1 1 x.... Δείξτε ότι: 3 4 100 Έστω x 0, 0,3. 11 ΘΕΜΑ 595 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) Αν a,b,c είναι πρώτοι αριθμοί και a 7 b c 3, να βρεθούν οι a,b,c. ΘΕΜΑ 596 Δείξτε ότι ο αριθμός ΘΕΜΑ 597 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) 009 009 009 009... 1 3 3 5 5 7 007 009 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) είναι φυσικός. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

* Αν N,a N, με a, τότε ο αριθμός φυσικός. 1 a A 1 a 1 δεν μπορεί να είναι ΘΕΜΑ 598 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) Δείξτε ότι: 01 013 01 013 01 013 013. ΘΕΜΑ 599 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) Αν a,b,c Q και ab bc ca 013, δείξτε ότι ο αριθμός: A (013 a )(013 b )(013 c ) είναι ρητός. ΘΕΜΑ 600 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) Αν a,bn,a,b και αν επί πλέον είναι a b, δείξτε ότι: ab a b 1. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα