Φώτης Φωτόπουλος Αριστοτέλης Χαραλαµπάκης

Φώτης Φωτόπουλος Αριστοτέλης Χαραλαµπάκης ΓΕΝΙΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΟΡΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΘΗΝΑ 996

Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το τµήµα του µαθήµατος Στατιστική Πιθανότητες που αναφέρεται στις πιθανότητες. Σκοπός των σηµειώσεων αυτών είναι να δοθούν µε σαφήνεια και απλότητα όλες οι έννοιες και οι εφαρµογές που περιέχονται στο µάθηµα των πιθανοτήτων διατηρώντας όµως παράλληλα την επιστηµονική αυστηρότητα και ευκρίνεια που πρέπει να διέπει τέτοιες προσπάθειες. Οι σηµειώσεις αυτές δεν εκδόθηκαν ποτέ από τον εκδοτικό οίκο που είχε αναλάβει την προώθηση των σηµειώσεων για τους φοιτητές ΕΜΠ. Ωστόσο, λόγω των εκτεταµένων δυσκολιών που αντιµετωπίζουν οι φοιτητές στο µάθηµα αυτό αλλά και για την ενδυνάµωση αυτών που επιθυµούν την περαιτέρω εξάσκηση στον τοµέα αυτόν, αποφασίστηκε η έκδοσή τους για πρώτη φορά σε ηλεκτρονική µορφή. Ελπίζουµε η δουλειά αυτή να φανεί χρήσιµη σε όλους τους φοιτητές που ασχολούνται µε τις πιθανότητες. Φ. Φωτόπουλος Α. Χαραλαµπάκης

Πρόλογος... Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες... 5 Άσκηση.... 5 Άσκηση.... 6 Άσκηση.... 6 Άσκηση.4... 7 Άσκηση.5... 7 Άσκηση.6... 8 Άσκηση.7... 9 Άσκηση.8... 9 Άσκηση.9... Άσκηση.... Άσκηση.... Κεφάλαιο ο: Τυχαίες Μεταβλητές Και Κατανοµές Αυτών... Άσκηση.... Άσκηση.... Άσκηση.... 4 Άσκηση.4... 4 Άσκηση.5... 5 Άσκηση.6... 6 Άσκηση.7... 7 Άσκηση.8... 8 Άσκηση.9... 8 Άσκηση.... 9 Άσκηση.... Άσκηση.... Άσκηση.... Άσκηση.4... Άσκηση.5... Άσκηση.6... Άσκηση.7... 4 Κεφάλαιο ο: Μέσες Τιµές Τυχαίων Μεταβλητών... 5 Άσκηση.... 5 Άσκηση.... 5

4 Άσκηση.... 7 Άσκηση.4... 8 Άσκηση.5... 9 Άσκηση.6... Άσκηση.7... Άσκηση.8... Κεφάλαιο 4ο: Ειδικές Κατανοµές Πιθανότητας... 4 Άσκηση 4.... 4 Άσκηση 4.... 4 Άσκηση 4.... 5 Άσκηση 4.4... 5 Άσκηση 4.5... 7 Άσκηση 4.6... 7 Άσκηση 4.7... 8 Άσκηση 4.8... 9 Άσκηση 4.9... 4 Άσκηση 4.... 4 Άσκηση 4.... 4 Άσκηση 4.... 4 Άσκηση 4.... 4 Άσκηση 4.4... 4 Άσκηση 4.5... 4 Άσκηση 4.6... 44 Άσκηση 4.7... 44 Κεφάλαιο 5ο: Οριακά Θεωρήµατα... 46 Άσκηση 5.... 46 Άσκηση 5.... 46 Άσκηση 5.... 47 Άσκηση 5.4... 47

5 Κεφάλαιο ο: Πιθανότητες Άσκηση. Αν είναι P(A )=,, P(B)=,4 και P(A B )=5% τότε να βρείτε: - την πιθανότητα P(A) - την πιθανότητα P(A B) - την πιθανότητα P(A B). Ω A B A B Σε τέτοιες ασκήσεις, είναι εν γένει χρήσιµο να κάνουµε ένα διάγραµµα Venn. α) Είναι Α=Ω-Α P(A)=P(Ω)-P(A ) P(A)=-P(A )=-, P(A)=,7. β) Από το διπλανό διάγραµµα Venn προκύπτει ότι: A=A B A B P(A) = P(A B ) + P(A B),7 =,5+ P(A B) P(A B) =,. γ) Επίσης, από τον προσθετικό νόµο έχουµε: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) =,7 +,4 -, P(A B) =,9.

6 Άσκηση. Αν P(A)=, P(B)=y και P(AB)=z και ορίσουµε ως C={ακριβώς ένα από τα Α και Β}, να βρεθεί η P(C)=; Καταρχήν πρέπει να θυµίσουµε ότι οι συµβολισµοί P(AB) και P(A B) είναι το ίδιο και το αυτό. Έπειτα είναι χρήσιµο το διάγραµµα του Venn. Η έκφραση ακριβώς ένα από τα Α και Β σηµαίνει την ένωση των Α και Β από την οποία έχουµε αφαιρέσει την τοµή των. Με άλλα λόγια, έχουµε C= P(A B) - P(AB). Με τη βοήθεια του προσθετικού νόµου αυτό γράφεται ως εξής: C= P(A) + P(B) -P(AB) - P(AB) = P(A) + P(B) -P(AB) P(C) = +y-z που είναι και η ζητούµενη πιθανότητα. Ένας άλλος τρόπος σκέψης θα ήταν να σκεφτούµε ότι C = AB + A B. Όµως εκ του διαγράµµατος Venn προκύπτει ότι A=AB AB και B=AB A B. Συνεπώς θα έχουµε και P(A)= P(AB) + P(AB ) P(AB ) = -z και οµοίως P(B)=(AB) + P(AB ) P(AB ) = y-z. Τότε από την αρχική σχέση θα παίρναµε C = P(AB ) + P(A B) = -z+y-z P(C)= +y-z, δηλαδή καταλήξαµε στο ίδιο αποτέλεσµα. Άσκηση. Αν Α,Β,Γ είναι τρία οποιαδήποτε ενδεχόµενα, να δείξετε ότι P(A\B) P(A\ΒΓ)*P(Γ\Β) Θα αρχίσουµε από το δεύτερο µέλος της προς απόδειξη σχέσης: P( ABΓ) P( ΓB) P( ABΓ) P( AB) P( A\ BΓ)* P( Γ\ B) = = = P( A\ B) PB ( Γ) PB ( ) PB ( ) PB ( ) και τούτο ισχύει γιατί η τοµή τριών συνόλων Α,Β,Γ είναι εν γένει µικρότερη (ή ίση στην περίπτωση που το Γ είναι ξένο µε τα Α,Β) από την τοµή δυο εξ αυτών.

7 Άσκηση.4 Αν Α,Β δυο ενδεχόµενα ξένα µεταξύ τους και P(A)=/, P(B)=/4, να βρείτε τα P(A\A B) και P(B\A B). Κατά τα γνωστά έχουµε: PA ( ( A B)) PA ( \ A B) = = PA ( B) PA ( ) PA ( B) = + 4 4 =. 7 καθότι τα Α και Β είναι ξένα µεταξύ τους και έτσι ο προσθετικός νόµος για την ένωσή των είναι P(A Β) = P(A) + P(B) = 4/7. Εντελώς ανάλογα έχουµε: PB ( \ A B) = PBA ( ( B)) P( A B) = PB ( ) P( A B) = 4 7 = 7 Άσκηση.5 ίνονται δυο δοχεία και που στο πρώτο έχουµε άσπρες και µαύρες µπάλες και στο δεύτερο άσπρες και µαύρες µπάλες. Μεταφέρω ένα σφαιρίδιο από το στο και εν συνεχεία παίρνω ένα από το. Ζητούνται: - Ποιά η πιθανότητα το τελευταίο να είναι άσπρο; - Αν το τελευταίο είναι άσπρο, ποιά η πιθανότητα να είναι και το ο άσπρο;

8 Ας υποθέσουµε ότι Α είναι το ενδεχόµενο να πάρω άσπρο σφαιρίδιο από το και Β το ενδεχόµενο να πάρω άσπρο σφαιρίδιο από το. Σε πρώτη φάση ζητούµε το P(Β). Σύµφωνα µε το νόµο ολικής πιθανότητας έχουµε: P(B) = P(B\A)P(A) + P(B\A )P(A ) = (4/6) (/4) + (/6) ( /4) = 7/. ηλαδή, µπορεί να πάρω από το µαύρο σφαιρίδιο και κατόπιν να πάρω άσπρο από το, ή να πάρω άσπρο από το και στη συνέχεια πάλι άσπρο από το. Τώρα, δεδοµένου ότι πήρα άσπρο από το, ποιά η πιθανότητα να έχω πάρει άσπρο και από το ; Όταν ακούµε τη λέξη δεδοµένου σκεφτόµαστε τη δεσµευµένη πιθανότητα. Έτσι χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Bayes έχουµε: P(A\B) = P(B\A) P(A)/P(B), όπου P(B) η πιθανότητα η ολική που βρήκαµε πριν. P(A\B) = (4/6)(/4)/(7/) = 4/7. Άσκηση.6 Ποια η πιθανότητα στο ΛΟΤΤΟ συµπληρώνοντας µια και µόνο εξάδα να έχω τέσσερα σωστά νούµερα; Σε αυτήν την εφαρµογή άµεσου και πρακτικού ενδιαφέροντος, πρέπει να γνωρίζουµε ότι από τα 49 νούµερα, οι δυνατές εξάδες είναι όσες οι συνδυασµοί των ανά 6. Εµείς θέλουµε από τα 6 ευνοϊκά τα τέσσερα χωρίς να µας νοιάζει µε ποια σειρά να τα πετύχουµε (άρα και πάλι θέµα συνδυασµών), και από τα υπόλοιπα 49-6=4 οποιαδήποτε µε οιαδήποτε σειρά. Παρατήρηση: Είναι πολύ σηµαντικό να διαχωρίσουµε την έννοια των διατάξεων από αυτή των συνδυασµών. ιάταξη έχουµε όταν µας ενδιαφέρει η σειρά των αποτελεσµάτων, αλλιώς έχουµε συνδυασµούς. Σύµφωνα µε όσα προαναφέραµε θα είναι:

9 6 4 4 P= 49 6 = 6! 4! 4!( 6 4)! ( 4 4)!! % o 49! ( 49 6)! 6! Άσκηση.7 Έχω 8 φοιτητές εκ των οποίων οι είναι φοιτήτριες. Θα εκλεγούν µόνον οι πέντε. Ποιά η πιθανότητα να υπάρχει ανδροκρατία; (τουλάχιστον φοιτητές) Καταρχήν µπορούν να υπάρχουν άνδρες - γυναίκες, 4 άνδρες - γυναίκα, 5 άνδρες και καµία γυναίκα. Το σύνολο όλων των δυνατών συνδυασµών είναι 8 ανά 5, ενώ οι σκέψεις που γίνονται είναι ανάλογες της προηγούµενης άσκησης. Εποµένως θα πάρουµε: 6 P = 8 5 6 4 + 8 5 6 5 + 8 5 64, Άσκηση.8 Τέσσερα γράµµατα τοποθετούνται τυχαία σε τέσσερις φακέλους. Να υπολογίσετε την πιθανότητα κανένα γράµµα να µην πάει στο σωστό φάκελο. Έστω Α κ = { το ενδεχόµενο το κ γράµµα να πάει στον κ φάκελο }. Αν P(κανένα στο σωστό) είναι το ζητούµενο, τότε θα πάρουµε: P(κανένα στο σωστό) = - P(τουλάχιστο ένα στο σωστό) = - P(A ) - P(A ) - P(A ) - P(A 4 ) + P(A A ) + P(A A ) + P(A A 4 ) + P(A A ) + P(A A 4 ) + P(A A 4 ) - P(A A A ) - P(A A A 4 ) - P(A A A 4 ) - P(A A A 4 ) + P(A A A A 4 ). Επειδή τα ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα έχουµε:

P=- 4P(A ) + 6P(A A ) - 4P(A A A ) + P(A A A A 4 ) () Αρκεί να υπολογίσουµε αυτές τις τέσσερις πιθανότητες. Προφανώς έχουµε να κάνουµε µε µεταθέσεις. Για να είναι συνδυασµοί ή διατάξεις θα έπρεπε το πλήθος των γραµµάτων να ήταν διάφορο (µεγαλύτερο ή µικρότερο) του πλήθους των φακέλων. P(A ) =!/4! = /4. P(A A ) =!/4! = /. P(A A A ) =!/4! = /4. P(A A A A 4 ) =!/4!= /4. Υπενθυµίζουµε ότι!=. Τώρα αντικαθιστώντας στην () εκλαµβάνουµε: P= - + 6/ -4/4 +/4 =9/4. Άσκηση.9 ίδονται τα δυο δοχεία του σχήµατος. Παίρνω δυο σφαιρίδια από το Α και τα τοποθετώ στο Β. Κατόπιν παίρνω ένα σφαιρίδιο από το Β. Να υπολογισθεί α) η πιθανότητα να είναι µαύρο, β) δεδοµένου ότι το τελευταίο είναι µαύρο, ποια η πιθανότητα τα δυο σφαιρίδια που πήρα από το Α να ήταν λευκά; () () 4Λ 5Μ 5Λ 7Μ Α Β α) Aς υποθέσουµε ότι είναι Α το ενδεχόµενο να είναι µαύρο το τελευταίο σφαιρίδιο. Τότε µπορεί να πήρα µαύρο αφού προηγουµένως από το δοχείο (Α) είχα πάρει µαύρα, λευκά, λευκό και ένα µαύρο σφαιρίδιο.

P(A)= P(A\ΛΛ)P(ΛΛ) + P(A\MM) P(MM) + P(A\ΛΜ)P(ΛΜ). Είναι P( ΛΛ ) = 4 5 9, PMM ( )= 5 4 9 5 4 και P( Λ M) = 9. Τότε P(A\ΛΛ) = 7/4, P(A\MM) = 9/4 και P(A\ΛΜ) = 8/4. Βρίσκουµε µε αντικατάσταση P(A)=,579. β) P(ΛΛ\Α) = P(A\ΛΛ) P(ΛΛ) / P(A) =,44 (θεώρηµα Bayes). Άσκηση. Είσοδος δυαδικού συστήµατος επικοινωνίας δηλώνεται από µεταβλητή Χ που παίρνει τιµή ή µε πιθανότητες /4 και /4 αντίστοιχα. Λόγω των σφαλµάτων που προκαλεί ο θόρυβος του συστήµατος, η έξοδος Υ διαφέρει από την είσοδο Χ. ίνονται ότι P(Y=\X=)= /4 και P(Y=/X=)=7 /8. Ζητούνται α) P(Y=), P(Y=),β) P(X=\Y=). α) Θα έχουµε Y= όταν X= (σφάλµα εκποµπής) αλλά και όταν η έξοδος γίνει κανονικά δηλαδή Χ=. Άρα: P(Y=) = P(Y=\X=) P(X=) + P(Y=\X=) P(X=) P(Y=) = (/4) ( /4) + (-7/8) (/4) = 9/. Το µόνο δύσκολο σηµείο είναι ο καθορισµός του P(Y=\X=) καθόσον τα υπόλοιπα δίδονται. Σκεφτόµαστε ως εξής. Όταν το Χ είναι, το Y θα είναι είτε (σωστή µετάδοση) είτε (σφάλµα εκποµπής). Τα δυο αυτά ενδεχόµενα είναι συµπληρωµατικά καθώς άλλη περίπτωση δεν υπάρχει. Άρα θα είναι P(Y=\X=)=-P(Y=\X=)=-7/8 = /8. Ανάλογα: P(Y=) = P(Y=\X=) P(X=) + P(Y=\X=)P(X=) P(Y=) = (7/8) (/4) + (-/4)(/4) = /.

β) Θα χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα του Bayes. P( X = \ Y = ) = PY ( = \ X= ) P( X= ) = 4 4 6 = =. PY ( = ) 9 9 Άσκηση. Σε µια συγκεκριµένη διαδροµή η πιθανότητα ένα φανάρι να είναι του ιδίου χρώµατος µε το προηγούµενο είναι p. Αν το πρώτο είναι πράσινο µε πιθανότητα α και το δεύτερο κόκκινο µε πιθανότητα -α, να υπολογίσετε την πιθανότητα το τρίτο να είναι πράσινο. Θα ονοµάσουµε Α Κ το ενδεχόµενο το κ φανάρι να είναι πράσινο. Τότε: P(A ) = P(A \A ) P(A ) + P(A \A )P(A ). Από την παραπάνω σχέση ξέρουµε ότι P(A )=-α και P(A \A ) = p. Οµοίως για το πρώτο και δεύτερο φανάρι παίρνουµε: P(A ) = P(A \A ) P(A ) + P(A \A ) P(A ) P(A ) = p α + (-p) ( -α). Άρα παίρνουµε από την αρχική σχέση ότι: P(A ) = p [ pα + (-p)(-α)] + (-p)[-αp - (-p)(-α)] P(A ) = α + (-α) p (-p). Βλέπουµε ότι το όλο πρόβληµα έγκειται στον προσδιορισµό του P(A ) γιατί τότε θα είναι P(A ) = -P(A ). Αυτό συµβαίνει γιατί το δεύτερο φανάρι είναι εξαρτηµένο από το χρώµα που θα έχει το πρώτο, ενώ το πρώτο είναι εντελώς ανεξάρτητο από τα άλλα δυο. Όµοια το τρίτο είναι εξαρτηµένο από το χρώµα που θα έχει το προηγούµενό του, δηλαδή το δεύτερο, που µε τη σειρά του είναι εξαρτηµένο από το χρώµα του πρώτου.

Κεφάλαιο ο: Τυχαίες Μεταβλητές Και Κατανοµές Αυτών Άσκηση. Ζητώ το α ώστε να είναι η P συνάρτηση πιθανότητας., PX ( ) a =,,..., = k, α>., αλλου Γνωρίζουµε ότι οι δυο συνθήκες που πρέπει να ισχύουν είναι: P(X)> και Σ P(X) =. Η πρώτη σαφώς ισχύει (α,>). Για τη δεύτερη έχω διαδοχικά: k k kk ( + ) kk ( + ) P( X) = = ( + +... + k) = = a a a a n= n= = a = k( k + ). Άσκηση. Ζητώ το α για να είναι η P(X) συνάρτηση πιθανότητας (α>). a, =,,... k PX ( ) =, αλλου O µαθηµατικός λογισµός είναι όµοιος µε την προηγούµενη άσκηση. Έτσι: k a a k a kk k ( + )( + ) = ( + +... + ) = = a = 6 n= 6 kk ( + )( k+ ).

4 Άσκηση. Για την παρακάτω συνάρτηση να δείξετε ότι είναι σ.π.π. Ποια η P(>) και ποια η P( >/)=;, < f ( ) = a >, αλλου Εδώ, η µια συνθήκη ότι f() παραµένει ως έχει, και προστίθεται η συνθήκη το ολοκλήρωµα της f από - ως να είναι µονάδα. Η πρώτη σαφώς ικανοποιείται. Για τη δεύτερη συνθήκη παίρνουµε: + f ( ) d = ( ) d = ( + ) d + ( ) d = Άρα η συνάρτηση f() είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. P ( > ) = ( d ) = = = / P( > ) = ( + ) d+ ( ) d = / 8+ / 8= / 4. / οι ζητούµενες πιθανότητες. Άσκηση.4 Μια µεταβλητή έχει πυκνότητα (εποµένως καταλαβαίνουµε ότι είναι συνεχής) θ θ e, > f ( ) =,. Να προσδιορισθεί το θ όταν P(X )=P(X>). Επίσης να βρείτε την, < πιθανότητα P(X>\X>). Αφού η f είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα ικανοποιεί τις δυο γνωστές συνθήκες. Από την πρώτη προκύπτει θ>. Από τη δεύτερη έχουµε:

5 + - θ θ θ F( ) = f ( ) d = d = e d( = e = θ θe θ) e +, > Βρήκαµε την F(). Αφού P(X )=P(X>)=- P(X ) P(X )= P(X )=/. Άρα F()-F()=/ -e -θ + +- =/ -e -θ =-/ -θ =-Ln θ = Ln. Μας συµφέρει να πάµε µέσω της F(). ηλαδή, αντί για τη διαδικασία αυτή, θα µπορούσαµε κάλλιστα να είχαµε πάρει το ολοκλήρωµα της f() από ως για να βρούµε το θ. Όµως αργότερα θα έπρεπε να πάρουµε και άλλα ολοκληρώµατα για τον προσδιορισµό της πιθανότητας P(X>\X>) πράγµα επίπονο και χρονοβόρο. Τώρα έχουµε: P( X > \ X > ) = P( X > X > ) P( X > ) = P( X > ) P( X > ) P( X ) F( ) = = = P( X ) F() Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι είναι πολύ χρήσιµη η σχέση P(A)=-P(A ) γιατί η πιθανότητα P(X a) ισούται µε F(a), ενώ η P(X>a) δεν βρίσκεται απλά χωρίς τη χρήση του παραπάνω τύπου. Άσκηση.5 Η τυχαία µεταβλητή Χ παριστάνει ποσότητα βενζίνης σε χιλιάδες lt. µε συνάρτηση πυκνότητας - πιθανότητας: c, c, f ( ) = c( ),, α) Να υπολογιστεί η σταθερά c. β) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες P(X /4), P(/ X 5/), P(>9/4). Για να είναι η f() σππ πρέπει το παρακάτω ολοκλήρωµα να είναι ίσο µε τη µονάδα:

6 f d cd cd c d c c c c c c c ( ) = + + ( ) = + + = + c+ c + = 9 4 = c= c=. Προχωρούµε στην εύρεση των ζητούµενων πιθανοτήτων. Έχουµε διαδοχικά: 4 / / 4 9 P( X / 4) = d = = 4 64 5 / 5 P X = d + d + d = + + 4 / P( X > 9/ 4) = 94 / / 9 9 8 d = = + = 9/ 4 4 9/ 4 8 4 64 9 64 5/ = 7 8 Άσκηση.6 Η τυχαία µεταβλητή Χ δείχνει το µηνιαίο εισόδηµα ενός υπαλλήλου µε πυκνότητα c f ( )= θ +, α (α,θ>). Ζητούνται α) να βρεθεί η σταθερά c, β) Ποιά η F();, γ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P(β< Χ < λβ) όπου β>α και λ>. α) Το θέµα µας λέει πως η τµ Χ δείχνει το µηνιαίο εισόδηµα µε πυκνότητα, και άρα είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και θα ικανοποιεί τις δυο συνθήκες που πρέπει οι συναρτήσεις αυτού του είδους να πληρούν. Από την πρώτη c> ενώ από τη δεύτερη: a c c f d d a ca ( ) = = c θ θ = ( θ θ + ) = = c = θ a θ a θ θ a - -θ β) Για να βρούµε την F(), αρκεί να ολοκληρώσουµε από µείον άπειρο ως. a a F( ) = f ( ) d = d = θ θ θ + που είναι η ζητούµενη συνάρτηση. θ

7 γ) Έχω διαδοχικά µε λογική όµοια µε της προηγούµενης άσκησης: a P( β λ β) = P( λ β) P( β ) = F( λ β) F( β ) = θ β λ θ Άσκηση.7 Αν η τυχαία µεταβλητή έχει πυκνότητα, < f ( ) =, αλλου, και συνάρτηση κατανοµής F ( ), < =, <,, να βρεθεί η κατανοµή g(y) της Y=- lnx. Σε τέτοιες ασκήσεις, η διαδικασία είναι πανοµοιότυπη. Αρχίζουµε από το G(y) και προσπαθούµε να λύσουµε ως προς. Έτσι έχουµε: G(y) = P(Y y) = P(-Ln y) = P(Ln -y) = P( e - y ) = - P( <e - y )= - F(e - y ). όταν ln > -ln < y <, F (e -y ) = όταν < δεν ορίζεται λογάριθµος όταν < ln < -ln > y >, F(e -y ) =e -y. y e, y > Μετά τα παραπάνω προκύπτει: Gy ( ) =., y < Στη συνέχεια παραγωγίζουµε και βρίσκουµε την κατανοµή g(y) της Y=-lnX. y e, y> gy ( ) =, y <

8 Άσκηση.8 Αν Χ µια συνεχής τυχαία µεταβλητή σε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f ( ) = e, < < π, να βρεθεί η κατανοµή g(y) της Υ=Χ. Ακολουθούµε ακριβώς τη διαδικασία που εφαρµόσαµε κατά την επίλυση της.7. Εδώ η άσκηση δεν χωρίζει σε πεδία της f() συνεπώς είναι απλούστερη. Έχουµε: G(y) = P(Y y) = P(X y) = P ( X y) = P( - y X y) = F( y) - F(- y). Γνωρίζουµε όµως ότι g(y)=g (y). Επειδή επίσης είναι F( ) = f ( ) d F ( ) = f ( ) έπεται ότι η παραπάνω σχέση θα δώσει: gy G y [ ] y F y y F y ( ) = ( ) = ( ) ( ) y f ( y ) f ( y = + ) = y e π y οπότε έχουµε τελικά gy ( ) = e yπ y. Άσκηση.9 Η τυχαία µεταβλητή Χ έχει πυκνότητα f ( ) = ( + ), π - < < + (Cauchy). Να βρεθεί η κατανοµή g(y) της Y=/X.

9 Κατά τη γνωστή µεθοδολογία που έχουµε ακολουθήσει ως τώρα σε ασκήσεις αυτού του είδους, έχουµε: G(y) = P(Y y) = P(/X y) = P(X /y) = - P(X < /y) = -F(/y). Όµως τότε θα είναι gy ( ) = G ( y) = F ( / y) f ( / y) = = y y y π ( + ) y gy ( ) = π ( + y ) που είναι η ζητούµενη κατανοµή. Άσκηση. Η διακύµανση του ηλεκτρικού ρεύµατος µπορεί να θεωρηθεί συνεχής τυχαία µεταβλητή Χ που κατανέµεται οµοιόµορφα στο διάστηµα [,]. Είναι στο διάστηµα αυτό f()=/ όπου [,] και αλλού. Αν το ρεύµα αυτό διέρχεται από αντίσταση Ω, να προσδιορισθεί η συνάρτηση κατανοµής της ισχύος Y=X. Θα την επιλύσουµε µε δυο τρόπους. Αρχίζουµε µε τη γνωστή µεθοδολογία που έχουµε αναφέρει για ασκήσεις αυτού του είδους. y y y y y Gy ( ) = PY ( y) = P( X y) = PX ( ) = P( < X < ) = F( ) F( ) οπότε η σχέση αυτή δίνει κατά τα γνωστά: gy G y y F y y F y ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( + ) = 4 y/ 8 y/. (επειδή f(y)= αν y< και f(y)=/ αν y [,]) O άλλος τρόπος στηρίζεται στο εξής θεώρηµα:

Αν Χ µια τυχαία µεταβλητή και y=h() αυστηρά µονότονη, τότε η πυκνότητα δίδεται εκ του τύπου gy ( ) = d f ( h ( y )) dy h ( y). Εποµένως θα είναι στο παράδειγµα αυτό: = d h y = y dy h y = gy f d y = dy h y = ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) * / 8 y / Άσκηση. Ζητείται να δειχθεί αν υπάρχει συνάρτηση πιθανότητας µεταξύ των Χ,Υ. Υ\Χ 4 -,,5,5,,,4, Ας πάρουµε το ζεύγος (Χ,Υ)=(,). Είναι P(X=\Y=)=,. Αλλά P(X=)=+,+, =,. Επίσης P(Y=)= +,++, =,. Βλέπουµε τώρα ότι P(X=)P(Y=) =,6, = P(X=\Y=) άρα συµπεραίνουµε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση πυκνότητας - πιθανότητας. Άσκηση. Να εξετάσετε αν οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες. Υ i \X i 5,,5,5 4,,5, 6,5,,

X 5 Y 4 6 P (),5,,45 P y (y),,5,5 Θεωρούµε το (Χ,Υ)=(,). Θα είναι P ()P y ()=,5 *, =,75. Επίσης από τον πρώτο πίνακα τιµών έχουµε P,y (,) =,. Βλέπουµε ότι P ()P y () P,y (,) που όµως σηµαίνει ότι οι µεταβλητές Χ,Υ δεν είναι ανεξάρτητες. Άσκηση. Οι τυχαίες µεταβλητές Χ,Υ έχουν από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) : f 8y,, y, (, y) =, αλλου y Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις και οι δεσµευµένες f (), f y (y), f \ y (\y) και f y\ (y\). Για να βρούµε τις ζητούµενες περιθώριες και δεσµευµένες πιθανότητες, εφαρµόζουµε διαδοχικά τα γνωστά από τη θεωρία ολοκληρώµατα που µας τις παρέχουν. f ydy ydy y ( ) = 8 = 8 = 8 = 4 f y yd yd y y ( ) = 8 = 8 = 8 = 4y( y ) y f f \ y y\ fy, (, y) 8y ( \ y) = = = f ( y) 4y( y ) y y fy, (, y) 8y y ( y\ ) = = = f ( ) 4 y Σηµειώνουµε ότι για τα όρια των ολοκληρώσεων θα είναι & y µας δίνουν συµπτυσσόµενες το διάστηµα y και εποµένως y [,] - [y,]. Επίσης αξίζει να αναφέρουµε ότι για την f () το [,] για την f y (y) το y [,], για

τις δε δεσµευµένες πιθανότητες τα αντίστοιχα διαστήµατα θα είναι τα [y,] και y [,]. Άσκηση.4 Η διδιάστατη συνεχής µεταβλητή (Χ,Υ) έχει την πυκνότητα: f,y (,y) = όταν y. Ζητούνται: α) Να βρεθούν οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας f (), f y (y) β) να βρεθούν οι πιθανότητες P(X>/), P(Y /), P(X>/ \Υ /) γ) είναι οι Χ,Υ ανεξάρτητες; α) Θα χρησιµοποιήσουµε για την εύρεση των περιθωρίων συναρτήσεων πυκνότητας τα γνωστά µας από τη θεωρία ολοκληρώµατα. f ( ) = dy = dy = ( ), [, ] f ( y) = d = d = y, y [,] y y β) Για να υπολογίσουµε τις ζητούµενες πιθανότητες, θα χρησιµοποιήσουµε ολοκληρώµατα, λαµβάνοντας υπόψη µας για τον ορισµό των ορίων των ολοκληρωµάτων ότι αυτά θα ορίζονται από τα εκάστοτε διαστήµατα που αφορούν τα,y καθώς και από τις τιµές των πιθανοτήτων που µας δίνει η εκφώνηση. Έτσι έχουµε: P ( > ) = ( d ) = = + = / 4 / / / Py ( ) = ydy= y = = 9 9 P ( > I y ) P ( > \ y ) = = Py ( ) 4 γ) α τρόπος: δεν είναι ανεξάρτητες γιατί βλέπουµε ότι f,y (,y) f () f y (y).

β τρόπος: Λόγω του ότι η πιθανότητα >/ όταν y / είναι διάφορη του P(>/) οι,y είναι εξαρτηµένες. Άσκηση.5 ίνεται η fy, (, y) = c( y), < <, < y<. Αν η f,y (,y) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) να βρεθεί η σταθερά c. Σύµφωνα µε τη θεωρία, αφού η f,y (,y) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, θα πρέπει το διπλό ολοκλήρωµα αυτής να ισούται µε τη µονάδα. Έτσι έχουµε: c( y) ddy = d c( y) dy = d c( y) dy = c d = c 4 = c 8 Πρέπει τώρα 8c= ή c=/8 η ζητούµενη τιµή της σταθεράς c. Άσκηση.6 ίνεται η συνάρτηση f εκτελώντας το µετασχηµατισµό z=y και w=/y., (, y) =, >,y >. Να βρείτε την f z,w (z,w) y y Σε τέτοιου είδους θέµατα, το πρώτο που κάνουµε είναι να επιλύσουµε τους δοσµένους µετασχηµατισµούς ως προς,y: z= y = ( wy) y = wy y = z / w και z= y = z / w = zw Κατόπιν υπολογίζουµε την παρακάτω ορίζουσα:

4 w z z w zw zw w -z/w z / w J = = = = = y y / w -z/w zw z / w zw z / w 4w 4w w z w z / w z / w Τώρα η ζητούµενη f z,w (z,w) θα προκύψει από τον πολλαπλασιασµό µε το απόλυτο της ορίζουσας που βρήκαµε, της f,y (,y). ηλαδή: fzw, (, z w)= = wz wz. Άσκηση.7 ίδεται η συνάρτηση f,y (,y) = λ e - λ(+y). Εκτελώντας το µετασχηµατισµό z=+y και w = -y, να βρείτε την f z,w (z,w). Οµοίως το πρώτο βήµα είναι να λύσουµε ως προς,y τους µετασχηµατισµούς: z w z w z w z= + y= w+ y + y = w+ y y =, z= + y = + = + Υπολογίζουµε την ορίζουσα J: z w J = = = = yz yw - 4 4 οπότε τώρα γράφουµε τη ζητούµενη συνάρτηση: λ fzw, (, z w)= e λ z.

5 Κεφάλαιο ο: Μέσες Τιµές Τυχαίων Μεταβλητών Άσκηση. Για την f()=c e -, > να βρεθεί η c αν η f() είναι συνάρτηση πυκνότητας, η µέση τιµή της Ε(Χ) και η διασπορά Var(X). Αρχικά θα βρούµε την άγνωστη σταθερά c: c e d = c e d( ) = c e + c e d = c e d( ) = = ce + c e d ce c c c c = = ( ) = = = Για τη µέση τιµή επιλύουµε το παρακάτω ολοκλήρωµα: E X f d ( ) = ( ) = e d = e d =... =. Κατόπιν για τη διασπορά θα έχουµε: Var X [ E X ] f d e ( ) = ( ) ( ) = ( ) d. Η λύση του ολοκληρώµατος αυτού µας παρέχει τη ζητούµενη διασπορά. Άσκηση. Για την f()=e - KX όπου και k>, να βρεθούν: η σταθερά k, η µέση τιµή της E(X), η διασπορά Var (X) και η λοξότητα β. Είναι γνωστό ότι η f() είναι σππ.

6 Η άσκηση αυτή είναι βασική. Για τη σταθερά k θα έχω: k k k e k e d e d k e d k k k k e k = = ( ) + = = k k = k = ± k =, αφού το k είναι θετική σταθερά. Υπολογίζω εν συνεχεία τη µέση τιµή Ε(Χ): E( X) = f ( ) d = e d =... =, καθόσον έχουµε ασχοληθεί πρωτύτερα µε το ολοκλήρωµα αυτό. Θα βρούµε κατά τα γνωστά και τη ζητούµενη διασπορά Var(X): [ ] Var( X ) = E( X ) f ( ) d = ( ) e d = ( 4 + 4) e d = = e d 4 e d + 4 e d = 6 8+ 4= Παρατήρηση η: Είναι πολύ χρήσιµο να γνωρίζοµε εξαρχής την τιµή του k ολοκληρώµατος e d = k!. Αυτό το ολοκλήρωµα λύνεται εν γένει µε τη µέθοδο που δείξαµε, αλλά λόγω της µεγάλης συχνότητας εµφανίσεώς του, πρέπει να το γνωρίζοµε. Παρατήρηση η: Πολλές φορές είναι δύσκολο να υπολογίζοµε τη διασπορά Var(X) µε τη χρήση του παραπάνω ολοκληρώµατος. Συνίσταται να υπολογίζεται αντ αυτού µε τη χρήση του ισοδύναµου τύπου: Var(X)=E(X )-[E(X)]

7 Όπου Ε(Χ ) είναι το ολοκλήρωµα f ( ) d που υπολογίζεται απλά. Στο παράδειγµα αυτό θα έχουµε E(X )=6,άρα Var(X) = 6- =. Η λοξότητα β δίδεται εκ του τύπου: β=µ /σ. To σ προκύπτει απλά αν θυµηθούµε ότι Var(X)=σ, άρα σ =. Εποµένως θα είναι σ = ( ) =. Το µ προκύπτει από τον τύπο: µ =Ε[(Χ-Ε(Χ)) ] = Ε(Χ )+Ε(Χ )Ε(Ε(Χ)) -Ε(Χ) Ε[Ε(Χ) ] - Ε(Ε(Χ) ) = Ε(Χ ) - Ε(Χ )Ε(Χ) + Ε(Χ)Ε(Χ) -Ε(Χ), αφού ισχύει Ε(Ε(Χ))=Ε(Χ). Έτσι προκύπτει και ο παραπάνω τύπος του πλαισίου. Για να βρούµε το µ αρκεί να υπολογίσουµε το Ε(Χ ) καθόσον τα λοιπά τα ξέροµε. Είναι εποµένως Ε(Χ 4 )= f ( ) d = e d = 4! = 4. 4 Άρα µ = 4 - *6* + **4 - = 4, άρα β = =. Άσκηση. Σε ένα τυχερό παιχνίδι ρίχνουµε ένα ζάρι έτσι ώστε να κερδίζουµε 9 χρηµατικές µονάδες (πχ δεκαχίλιαρα) για ή, να χάνουµε 8 αν φέρουµε,4,5 και για 6. Αν η τυχαία µεταβλητή Χ δίνει το κέρδος µετά από κάθε ρίψη, να βρεθεί η µέση τιµή Ε(Χ) και η διασπορά Var(X). Θα βρούµε τις επιµέρους πιθανότητες: Χ 9-8 p(x) /6 /6 /6 Σύµφωνα µε τον ορισµό της µέσης τιµής θα έχουµε:

8 E( X) = ip( i) = 9 8 + =- δηλαδή θα χάσουµε στο τέλος. 6 6 6 i= Παρατηρούµε ότι ενώ πριν για την εύρεση της µέσης τιµής Ε(Χ) χρησιµοποιούσαµε ολοκλήρωµα, τώρα χρησιµοποιούµε άθροισµα. Αυτό συµβαίνει για τον εξής απλό λόγο: πριν είχαµε συνάρτηση f() που θα µπορούσε να πάρει άπειρες τιµές σε οιοδήποτε διάστηµα. Εδώ έχουµε διακριτές και πάνω απ όλα πεπερασµένες τιµές που µπορεί να πάρει η Χ που δίνει το κέρδος µετά από κάθε ρίψη. Όµοια θα εφαρµόσουµε τον τύπο Var(X)= E(X ) - (E(X)) E(X ) θα υπολογισθεί µε τη βοήθεια του παρακάτω αθροίσµατος: για τη διασπορά, όπου E( X ) = i pi( ) = 8 + 6 64 + 6 =59. 6 i= Αξίζει τέλος να παρατηρήσουµε ότι το δεδοµένο πως αν φέρουµε 6 δεν κερδίζουµε ούτε χάνουµε, δεν επηρέασε καθόλου τη µέση τιµή και τη διασπορά, κάτι που εξάλλου ήταν αναµενόµενο. Άσκηση.4 Ρίχνουµε ένα νόµισµα 5 φορές. Αν η τυχαία µεταβλητή Χ δηλώνει πόσες φορές εµφανίζεται το διατεταγµένο ζεύγος (Κ,Γ) να βρεθούν η κατανοµή της Χ, η µέση της τιµή Ε(Χ), η διασπορά της Var(X). Τα δυνατά αποτελέσµατα (δηλαδή το σύνολο των δυνατών διατεταγµένων πεντάδων που µπορούµε να πάροµε) είναι διάταξη µε επανάληψη των ανά 5 : 5 =. Έχουµε τον παρακάτω πίνακα όπου το Χ δηλώνει πόσες φορές εµφανίζεται το διατεταγµένο ζεύγος (Κ,Γ): Χ p(x) 6/ / 6/

9 Κατά τα γνωστά έχουµε: Ε(Χ)=(6/)+(/)+(6/)= και Var(X)=Ε(Χ )-(Ε(Χ)) =(/)+4(6/)-=,75 υπενθυµίζοντας ότι λόγω του διακριτού και πεπερασµένου του πλήθους των τιµών που παίρνει η Χ πρέπει να χρησιµοποιήσουµε άθροισµα και όχι ολοκλήρωµα. Άσκηση.5 Ρίχνοµε ένα νόµισµα πολλές φορές και σταµατάµε όταν εµφανιστεί η όψις Κ. Αν η τυχαία µεταβλητή Χ µετρά τον αριθµό των ρίψεων που απαιτούνται, να βρεθεί η κατανοµή της και η µέση τιµή της. Η άσκηση αυτή παρουσιάζει µια ιδιοµορφία. Ναι µεν οι τιµές που µπορεί να πάρει η Χ είναι διακριτές και πεπερασµένες, δεν µπορούµε όµως να τις καταγράψουµε. Αν υποθέσουµε ότι επιχειρούµε κάτι τέτοιο, θα έπρεπε να χρησιµοποιήσουµε ν-διάστατο πίνακα. Παρόλα αυτά µπορούµε να σκεφτούµε ως εξής: P(X=)=P(K)=/ P(X=)=P(ΓΚ)=/4 P(X=)=P(ΓΓΚ)=/8... P(X=ν)=P(ΓΓ...ΓΚ)=/ ν. Επειδή οι τιµές που µπορεί να πάρει η Χ είναι πεπερασµένες, όπως είπαµε παραπάνω θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε άθροισµα και όχι ολοκλήρωµα. Άρα: E( X) = + + +... + n 4 8 n. Το άθροισµα αυτό επιλύεται µε τέχνασµα. Θέτω a=/: E( X) = a+ a + a +... + na n. Όµως ξέρουµε ότι a + a a + n a +... + a =, όταν α<. a Αν παραγωγίσουµε ως προς α την τελευταία σχέση παίρνουµε:

n + a+ a +... + na = ( a) n a a+ a + a +... + na = ( a) και άρα βρίσκουµε Ε(Χ)= αν αντικαταστήσουµε το α=/. Το αποτέλεσµα σηµαίνει ότι κατά µέσο όρο στη δεύτερη ρίψη θα έλθει η όψη κορώνα, κάτι που αναµενόταν. Άσκηση.6 (Εφαρµογή Τεχνικής Υδρολογίας) Κατά τις µέρες που βρέχει το ηµερήσιο ύψος της βροχής µετρηµένο σε ένα σταθµό σε mm βρέθηκε ότι ακολουθεί την εκθετική κατανοµή F ()=-e -k, όπου, κ=,5mm -. Να βρεθούν: α) η µέση τιµή Ε(Χ) και η διασπορά Var(X) β) η λοξότητα β και η κύρτωση γ γ) η κορυφή και η διάµεσος δ) ο συντελεστής µεταβλητότητας CV. α) Πρέπει να προσέξουµε ότι f()=f ()=ke -k. Κατά τα γνωστά έχουµε: m = f d = k ke d = k k e e d k e k + = ( ) = =. k Επειδή δε Ε(Χ)=µ Ε(Χ)=. Είναι γνωστό ότι Var(X)=E(X ) - [E(X) ]. Έτσι: k! m = f ( ) d = ke = = 8 Var(X)=8-4 Var(X)=4 mm. k β) Θα υπολογίσουµε τα m και m 4 µε τη βοήθεια παρατήρησης προηγούµενης άσκησης ή µε τη βοήθεια ολοκληρωµάτων. Βρίσκουµε ότι:! 4! m = = 48., m4 = 4 = 84.. k k λοξότητα β και την κύρτωση γ. οπότε τώρα µπορούµε να υπολογίσουµε τη

µ = Ε[(Χ-Ε(Χ)) ] = Ε(Χ ) - Ε(Χ )Ε(Ε(Χ)) + Ε(Χ)Ε(Ε(Χ) ) - Ε(Ε(Χ)) µ = Ε(Χ ) - Ε(Χ )Ε(Χ) + Ε(Χ)Ε(Χ) - Ε(Χ) µ = 6. Εποµένως β = 6 4 4 =. µ 4 = Ε[(Χ-Ε(Χ)) 4 ] = Ε[(Χ-) 4 ] = Ε[(Χ -4Χ+4)(Χ -4Χ+4)] = = Ε(Χ 4-4Χ +4Χ -4Χ +6Χ -6Χ +4Χ -6Χ-6)= = Ε(Χ 4 ) - 8Ε(Χ ) +4Ε(Χ ) -76 Ε(Χ) -6 = =.84. - 8*48. + 4*4-76* - 6. = 448. 448. Εποµένως γ = = 8,.Θυµίζουµε ότι Var(X) = σ σ = 4. 4 f(),5 γ) Το διπλανό σχήµα µας δίνει το γράφηµα της f() το οποίο τείνει ασυµπτωτικά στον άξονα των, καθώς. Από τον ορισµό της διχοτόµου (διάµεσος) έχουµε: P(X X.5) = / (εξ ορισµού). Είναι F(X.5 )=/ -e -k,5 = / e -k,5 =/.5 =,9 περίπου η διάµεσος. Από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι επικρατούσα τιµή ή κορυφή ονοµάζεται η τιµή που µεγιστοποιεί την f() σ.π.π. ή έχει τη µεγαλύτερη πιθανότητα (για διακριτή µεταβλητή). Η κορυφή εποµένως για την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι το,5. δ) Για το συντελεστή µεταβλητότητας CV έχουµε:

CV σ 4 = = = m Άσκηση.7 Να δειχθεί η ανισότητα Cauchy - Schwarz [Ε(Χ,Υ)] Ε(Χ )Ε(Υ ). Έχουµε: [Ε(αΧ+Υ) ] Ε(α Χ + αχυ + Υ ) Ε(α Χ ) + Ε(αΧΥ) + Ε(Υ ) α Ε(Χ ) + αε(χ,υ) +Ε(Υ ) () Για να είναι η () πάντα θετική, αρκεί. Έτσι θα είναι: 4[Ε(Χ,Υ)] -4Ε(Χ )Ε(Υ ) [Ε(Χ,Υ)] Ε(Χ )Ε(Υ ) όπερ εδείχθη. Άσκηση.8 ίδονται οι διδιάστατες µεταβλητές Χ,Υ µε αντίστοιχες πιθανότητες: Υ\Χ 6 8,,,,, Ζητείται να βρείτε τα Ε(Χ),Ε(Υ) και Ε(Χ,Υ). Είναι οι Χ,Υ ανεξάρτητες ; Επειδή έχουµε διακριτές και πεπερασµένες τιµές για τη µεταβλητή Χ, είναι σαφές ότι θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε άθροισµα και όχι ολοκλήρωµα. Έτσι: E( X) = p(, y ) = 6*, + 6* + 6*, + 8* + 8*, + 8* + * *, + * = 8 i= j= i i j

EY ( ) = yp (, y) = *, + * + *, + * +... + *, = 4 i= j= i i j E( X, Y) = y p(, y ) = 6* *, + 8* * +... + * *, = 6 i= j= i j i j Για να ελέγξουµε αν οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες, θα πάρουµε το ζεύγος (8,) από το δοσµένο πίνακα. Αν υποθέσουµε ότι οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες, τότε θα πρέπει να ισχύει ο παρακάτω τύπος: p( i,y i ) = p( i ) p(y i ) Για το ζεύγος (8,) έχουµε p(x=8)=+,+ =,. Επίσης p(y=) =,++, =,4. Εξάλλου θα είναι p(x=8,y=)=,8 = p(x=8)*p(y=). Συµπεραίνοµε δηλαδή ότι οι Χ,Υ δεν είναι ανεξάρτητες.

4 Κεφάλαιο 4ο: Ειδικές Κατανοµές Πιθανότητας Άσκηση 4. Σε ένα πείραµα η πιθανότητας επιτυχίας είναι 5%. Ποια η πιθανότητα σε πειράµατα να έχω επιτυχίες; Τουλάχιστον ; Το δύσκολο στο προβλήµατα αυτά είναι να καταλάβουµε ποιά εκ των κατανοµών θα χρησιµοποιήσουµε. Η επίλυση µετά το σηµείο αυτό είναι απλή αριθµητική αντικατάσταση. Όταν έχουµε σταθερό ποσοστό (εδώ 5%) επιτυχιών ή αποτυχιών πρόκειται για διωνυµική κατανοµή. Αυτό ισχύει γενικά. PX ( = ) =,, 5 95 7 =,475 P(τουλάχιστον ) = -P(καµία) - P(µια) = - P(X=) - P(X=). Αλλά PX ( = ) =,,,, PX ( ),,, = = = = 5 95 599 9 5 95 5 PX ( ) =, 599, 5 PX ( ) =, 86 Άσκηση 4. Σε βιβλίο σελίδων υπάρχουν τυπογραφικά λάθη. Ποια η πιθανότητα σε µια σελίδα να βρούµε τουλάχιστον ; Όταν έχουµε πρόβληµα που έχουµε κάποια τιµή ανά ένα µέγεθος (συνήθως χρόνος) τότε έχουµε κατανοµή Poisson. ηλαδή η έκφραση 8 ατυχήµατα ανά εβδοµάδα, µας δίνει

5 την πληροφορία ότι έχουµε κατανοµή Poisson. Εδώ έχουµε λάθη σε σελίδες 5 λάθη ανά σελίδα. Άρα λ=5. f ( ) = e λ f ( ) = e 5 λ 5.!! P(X )=-P(X<)=-P(X=)-P(X=)-P(X=) 5 5 5 5 5 5 P( X ) = e e e =, 87547.!!! Άσκηση 4. Σε ένα δοχείο έχω άσπρα και µαύρα σφαιρίδια (πλήθος Ν=). Παίρνω χωρίς επανάθεση σφαιρίδια. Ποια η πιθανότητα να έχω 4 άσπρα και 6 µαύρα σφαιρίδια. Να βρεθεί επίσης η µέση τιµή και η διασπορά της κατανοµής που θα χρησιµοποιήσετε για το παράδειγµα αυτό. Η Υπεργεωµετρική κατανοµή εµφανίζεται κατά τη δειγµατοληψία χωρίς επανάθεση από πληθυσµό µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. 4 6 P( X = 4) = =, 79 7% Θα έχουµε µ=ε(χ)=*(/)=, και σ =Var(X)=,5. Άσκηση 4.4 Μια εταιρία πούλησε µηχανές προς χρηµατικές µονάδες την καθεµία. Αν η µηχανή πάθει βλάβη µέσα στο χρόνο εγγύησης, ο αγοραστής παίρνει χρηµατικές µονάδες αποζηµίωσης. Η πιθανότητα η µηχανή να πάθει βλάβη εντός εγγύησης είναι Ρ. Ζητούνται να βρεθούν: α) η πιθανότητα κέρδους και η πιθανότητα ζηµίας της εταιρίας για Ρ=,