ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντηση σς.. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [,], πργωγίσιμη στο (,) κι ( ) γι όλ τ (,), τότε ( ) (). Αιτιολόγηση: Αν () (), τότε πό το θεώρημ Rolle, θ υπήρχε έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ( ) κι θ είχμε ΑΤΟΠΟ, φού ( ),,.. Αν η συνάρτηση πργωγίζετι στο [, β] με ( β) ( ), τότε υπάρχει (, β) τέτοιο, ώστε ( ). Αιτιολόγηση: Γι την, πό το θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.), υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ) κι επειδή ενώ, θ έχουμε ( ). Σχόλιο: Γι ν δείξουμε, ότι γνωρίζουμε τις «ελάχιστες πιτήσεις» που θέτει το Θ.Μ.Τ. «γι ν μς επιτρέψει» ν βγάλουμε τ συμπεράσμτά του, θ έπρεπε ν πούμε: Αφού η είνι πργωγίσιμη στο [, ] επομένως είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιμη στο, κι επομένως πό το Θ.Μ.Τ. προκύπτει ότι.. Αν οι, g είνι συνρτήσεις πργωγίσιμες στο [, β], με ( ) g( ) κι ( β) g( β), τότε υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε στ σημεί A, ( )) κι β [] ( B (, g( )) οι εφπτόμενες ν είνι πράλληλες. Αιτιολόγηση: Η συνάρτηση h g είνι προφνώς συνεχής στο [, ] συνεχών συνρτήσεων), πργωγίσιμη στο, (ως άθροισμ πργωγίσιμων συνρτήσεων), κι επειδή * (ως άθροισμ h h, πό το θεώρημ Rolle, υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) τέτοιο, ώστε h. Όμως, h g επομένως g κι συνεπώς οι εφπτόμενες στ σημεί A (, ( )) κι B, g( )) θ είνι πράλληλες, φού θ έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. * ( ( ) g( ) h ( ) g( ) κι ( ) g( ) h ( ) g( ) 4. Αν ( ) ( ) ( ) γι κάθε Â, τότε: ) το () είνι τοπικό μέγιστο της Ó Ó.. Ò

Αιτιολόγηση: Προφνώς η είνι πργωγίσιμη στο διάστημ διτηρεί πρόσημο στο,, κι συνεπώς το [], κι η δεν είνι τοπικό κρόττο. β) το () είνι τοπικό ελάχιστο της Αιτιολόγηση: Προφνώς η είνι πργωγίσιμη στο διάστημ,, στο, κι στο, κι συνεπώς το () είνι τοπικό ελάχιστο της. 5. ) Η γρφική πράστση μις πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου βθμού έχει πάντοτε οριζόντι εφπτομένη. Αιτιολόγηση: Η πράγωγός της, θ είνι πολυωνυμική περιττού βθμού, επομένως θ έχει μί τουλάχιστον πργμτική ρίζ * κι συνεπώς θ υπάρχει οριζόντι εφπτομένη. ν+ * () Αν..., ν Á (πολυωνυμική περιττού βθμού), τότε ν+ ν+ ν+ lim lim... lim, ν κι ν+ ν+ ν+ τέτοιο, ώστε επομένως θ υπάρχει «κοντά στο», επίσης επειδή ν+ ν+ lim lim... lim, ν θ ν+ ν+ ν+ τέτοιο, ώστε υπάρχει «κοντά στο», υπάρχουν οι πιτήσεις του θεωρήμτος Bolzano, κι συνεπώς θ υπάρχει τουλάχιστον έν, με. (Ομοίως γι ν+ ) () Υπάρχει επιχείρημ «εκτός ύλης»: Στις πολυωνυμικές εξισώσεις με πργμτικούς συντελεστές, το πλήθος των ριζών στο À είνι όσο κι ο βθμός τους κι οι μη πργμτικές ρίζες είνι συζυγείς νά δύο κι συνεπώς στις περιττού βθμού πάντ υπάρχει μί τουλάχιστον πργμτική.. Έτσι όμως γι την στο β) Η γρφική πράστση μις πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βθμού έχει πάντοτε οριζόντι εφπτομένη. έχει, Â. Αιτιολόγηση: () Γι πράδειγμ η () Η πράγωγός της, θ είνι άρτιου βθμού, επομένως δεν θ έχει πάντοτε πργμτική ρίζ κι συνεπώς δεν θ υπάρχει πάντοτε οριζόντι εφπτομένη. 6. Η συνάρτηση ) β γ δ ( με,β,γ,δ Â κι έχει πάντ έν σημείο κμπής. Αιτιολόγηση: Η δεύτερη πράγωγος ( ) 6+β, είνι πρώτου βθμού, επομένως έχει μί κριβώς πργμτική ρίζ κι επειδή λλάζει πρόσημο εκτέρωθεν υτής της ρίζς, θ υπάρχει πάντ έν σημείο κμπής. 7. Αν οι συνρτήσεις, g έχουν στο σημείο κμπής, τότε κι η h g έχει στο σημείο κμπής. Αιτιολόγηση: Αν g, Â τότε έχουμε σημείο κμπής στο. 6 Η h g δεν έχει σημείο κμπής στο. Σχόλιο: Η εμπειρί μς πό πολυωνυμικές συνρτήσεις όπως,, όπου με περιττό εκθέτη έχουμε σημείο κμπής στο, ενώ με άρτιο εκθέτη έχουμε κρόττο, μς βοήθησε ν ντιληφθούμε εύκολ, ότι υπάρχει άπειρο πλήθος «ντιπρδειγμάτων» που μς δίνει το δικίωμ ν χρκτηρίσουμε ψευδή τον ισχυρισμό.

Το κοινό χρκτηριστικό στ άπειρ «ντιπρδείγμτά μς», είνι το κοινό σημείο κμπής Ο(.), με συνρτήσεις που λλάζουν πρόσημο στο κι δίνουν συνρτήσεις γινόμενο που δεν λλάζουν πρόσημο στο. Έτσι, έχουμε άπειρες εκδοχές «του ίδιου ντιπρδείγμτος» κι η πρδοχή υτή μπορεί ν μς γλυτώσει πό την επιπολιότητ ν πούμε «ποτέ», μέσω της «τελούς επγωγής» των άπειρων ντιπρδειγμάτων. Πιο κίνδυνο, θ ήτν ν διερευνήσουμε το θέμ, μέσ πό τη μεγάλη οικογένει των δυο φορές πργωγίσιμων συνρτήσεων, όπου θ βλέπμε ότι δεν ρκεί ν μηδενίζοντι οι δεύτερες πράγωγοι των, g γι ν μηδενιστεί η g. g g g g g g Τέλος, γι ν μη κάνουμε την επιπολιότητ ρνούμενοι το «πάντ» ν πούμε «ποτέ»: Â έχουν σημείο κμπής στο. κι g, Οι έχει επίσης σημείο κμπής στο. Η h g 8. Δίνετι ότι η συνάρτηση πργωγίζετι στο Â κι ότι η γρφική της πράστση είνι πάνω πό τον άξον. Αν υπάρχει κάποιο σημείο A (, ( )) της C του οποίου η πόστση πό τον άξον είνι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε υτό το σημείο η εφπτομένη της C είνι οριζόντι. Αιτιολόγηση: Στην περίπτωσή μς, η πόστση πό τον άξον μέγιστο (ή ελάχιστο) είνι το, συνεπώς σημείο η εφπτομένη της C είνι οριζόντι. [] είνι το άρ, κι επομένως σε υτό το 9. Η ευθεί είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης: ) ( ) Αιτιολόγηση: ( ) κι επομένως lim lim. β) g ( ) ( ) Αιτιολόγηση: g ( ) κι επομένως ( ) ( ) lim g lim lim Σχόλιο: Κάνμε επίδειξη κλής γνώσης της θεωρίς, θεωρώντς ότι ρκεί που το lim g γι ν είνι η ευθεί, κτκόρυφη σύμπτωτη της C. «Γι την ιστορί»: lim g lim lim g

.Αν γρφική πράστση της συνάρτησης δίνετι πό το πρκάτω σχήμ, τότε: y O 4 i) το πεδίο ορισμού της (, 4 ) ii) το πεδίο ορισμού της [, 4 ] iii) ( ) γι κάθε (, 4) iv) υπάρχει, 4) : ( ). ( Αιτιολόγηση: Η γρφική πράστση της, πρπέμπει σε συνάρτηση συνεχή στο, 4, πργωγίσιμη στο, 4 κι με θεώρημ Rolle, υπάρχει, 4) : ( ). 4. Γι μι τέτοι συνάρτηση, πό το (. Η συνάρτηση ( ) έχει: ) μι, τουλάχιστον, ρίζ στο (,) β) μι, κριβώς, ρίζ στο (, ) γ) τρεις πργμτικές ρίζες ( ), Â. Έτσι η είνι γνησίως ύξουσ, Αιτιολόγηση:, προκύπτει ότι η έχει κριβώς μί πργμτική ρίζ, που βρίσκετι στο,. κι σε συνδυσμό με το θεώρημ Bolzano, φού. Αν γι τις πργωγίσιμες στο Â συνρτήσεις, g ισχύουν ( ) 4, ( ), ( 5) 6, g ( ) 5, g ( ), g ( 4), τότε g () ( g ) () Αιτιολόγηση: g () g g 5 66 κι ( g )() g g 4 6. ΙI. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε τη σωστή πάντηση. Το Α) π π εφ h εφ 6 6 lim h h B) 4 ισούτι με: Γ) Δ) Ε) 4. [4]

Αιτιολόγηση: Γι, έχουμε: π εφ hεφ 6 6 4 lim. h h 6 6 4. Το lim h ισούτι με: h h Α) Β) Γ) Δ) Ε) Αιτιολόγηση: Γι, έχουμε: lim h h h. Αν Α) Δ) ( ) 5 τότε η () 5 Β) ισούτι με: 5 Γ) ln 5 5 Ε) 5 ln5 5 Αιτιολόγηση: ( ) 5 5 ln 5 5 ln 5 5 ln 5 5 ln5. 4. Αν ( ) συν ( ) τότε η (π) ισούτι με: Α) συν ( π )ημ( π ) Β) συν ( π ) Γ) συν ( π )ημ( π ) Δ) πσυν ( π ) Αιτιολόγηση: ( ) συν ( ) συν ( ) συν( ) συν ( ) ημ( ) ( ) συν ( ) ημ( ) συν ( ) ημ( ) 5. Αν ( ) ( ) τότε η έβδομη πράγωγος υτής στο ισούτι με: Α) Β) Γ) Δ) 7 Ε) δεν υπάρχει. Αιτιολόγηση: Η είνι πολυωνυμική έκτου βθμού, επομένως η έκτη πράγωγος είνι πολυωνυμική μηδενικού βθμού, δηλδή στθερή, κι επομένως η έβδομη πράγωγος είνι το μηδενικό πολυώνυμο. 6. Αν οι εφπτόμενες των συνρτήσεων ( ) ln κι g( ) στ σημεί με τετμημένη είνι πράλληλες, τότε το είνι: Α) Β) 4 Αιτιολόγηση: Γ) [5] Δ) Ε). ( ) ln κι g ( ) 4.

Έτσι στο, : g 4 ( ) ( ) 4. 7. Αν β ( ) e, g( ) e κι ισούτι με: Α) Δ) Αιτιολόγηση: Προφνώς ( ) ( ) g( ), τότε το β ως συνάρτηση του g( ) Β) Γ) Ε)., γιτί λλιώς g g κι. ( ) ( ) e e e e e e g ( ) g( ) e e e * *, φού, κι ν τότε. (ΑΤΟΠΟ) 8. Αν ( ) γι κάθε [,] κι ( ), τότε: Α) ( ) Β) ( ) Γ) ( ) Δ) ( ). Αιτιολόγηση: Προφνώς γνησίως ύξουσ στο, κι επομένως. ΙΙΙ.. Ν ντιστοιχίσετε κθεμιά πό τις συνρτήσεις, β, γ, δ σε εκείνη πό τις συνρτήσεις Α, Β, Γ, Δ, Ε, Z που νομίζετε ότι είνι η πράγωγός της. y (a) y (β) O [6]

y (γ) y (δ) O O y (Α) y (Β) y (Γ ) O O O - y (Δ) y (Ε) y (Ζ) O O O Αιτιολόγηση: Ε: Η, προυσιάζετι ως κυρτή κι συνεπώς η πράγωγός της είνι γνησίως ύξουσ β Α: Η β, προυσιάζετι ως συνάρτηση που δεν πργωγίζετι στο. γ Β: Η γ, προυσιάζετι ως συνάρτηση με τρί τοπικά κρόττ σε εσωτερικά σημεί του πεδίου ορισμού της κι κτά συνέπει η πράγωγός της θ πρέπει ν έχει τρεις τουλάχιστον ρίζες. δ Δ : () Η δ, προυσιάζετι ως γνησίως ύξουσ κι επομένως η πράγωγός της δε μπορεί ν είνι ρνητική. () Η δ, προυσιάζετι ως «γρμμική» κι επομένως η πράγωγός της θ πρέπει ν είνι στθερή. Σχόλιο: Προσπθήσμε ν περιορίσουμε στο «ελάχιστο» την προσέγγιση που στηρίζετι στο «φίνετι». Έτσι φού η άσκηση «δήλωνε» ότι η λύση ήτν νάμεσ στις προτεινόμενες, διλέξμε την πλέον νώδυνη προσέγγιση, της εύρεσης λύσης μέσω του ποκλεισμού των πράδεκτων περιπτώσεων, στηριζόμενοι στ «κρυγλέ» χρκτηριστικά του σχήμτος. Έτσι δε χρειάστηκε ν μπούμε στον πειρσμό ν πούμε, ότι η () είνι η, με, η (β) η g, με g, ν, ν, 4 η (γ) η h 4, με h 4 8 κι η (δ) η, με. [7]

. Κθεμιά πό τις πρκάτω συνρτήσεις ν ντιστοιχίσετε στην ευθεί που είνι σύμπτωτη της γρφικής της πράστσης στο. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ. ( ) Α. y.. ( ) e Β. y ( ) Γ. y Δ. y [8] Ε. y Αιτιολόγηση: Δ : ( ) ( ) lim ( ) lim Γ : ( ) ( ) lim ( ) lim e e e Α : ( ) ( ) lim ( ) lim. Σχόλι: ()Στηριχθήκμε στο δεδομένο, πως ν υπάρχει σύμπτωτη στο Â ή στο ή στο, τότε υτή σε κάθε περίπτωση είνι μονδική, φού ότν υπάρχει έν όριο στο Â ή στο ή στο, τότε υτό σε κάθε περίπτωση είνι μονδικό. Έτσι, πρτηρήσμε τις συνρτήσεις, νζητώντς θροίσμτ μις «γρμμικής» κι μις συνάρτησης με όριο, στο. Ο ορισμός μς έδινε τη σιγουριά ν προχωρήσουμε κι οι πρτιθέμενες πιθνές λύσεις, την επιβεβίωση. () Στ σχόλι του σχολικού βιβλίου πρέπει ν διορθώσουμε: «Οι ρητές συνρτήσεις P Q, με βθμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστον κτά δύο του βθμού του προνομστή, δεν έχουν σύμπτωτες της μορφής y.» () Υπάρχουν «εκφυλισμένες» περιπτώσεις σύμπτωτων. π.χ.: Κάθε συνάρτηση,, Â έχει σύμπτωτη της γρφικής της πράστσης την ευθεί y. Η C g, με g, έχει σύμπτωτη στο κι, την y. Οι κτκόρυφες σύμπτωτες, φντάζουν σν οι πιο συνεπείς με το όνομ περιπτώσεις. Η γνώση υτή, δεν πρέπει «ν ξεστρτίσει» τη σκέψη μς πό τη σκοπιμότητ μελέτης των σύμπτωτων, που δεν είνι άλλη, πό την οριοθέτηση των γρφικών πρστάσεων γι κλύτερο σχεδισμό. Πρόσθετη ερώτηση: Ν χρκτηρίσετε Α ή Ψ τον πρκάτω ισχυρισμό. «Αν μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στ διστήμτ,β κι β, γ, τότε είνι πργωγίσιμη κι στο, γ» Αιτιολόγηση: Η είνι πργωγίσιμη στ, κι,,. Δεν υπάρχει η, λλά όχι στο, φού τ πλευρικά όρι είνι στο Â, λλά διφορετικά.