MATEMATIKA 1 Prvi pismeni kolokvijum, 28.11.2015 Grupa 2 Rexea zadataka i rezultati Prof Dragan ori
MATEMATIKA 1 1. Kolokvijum, novembar 2015 - Grupa 2 Dragan ori 1. Neka je M = x 0 y 0 x + y 0 x, y R y 0 x i operacija mnoee matrica. Ispitati da li je operacija zatvorena u M. Da li je (M, ) grupa? Da li je (M, ) Abelova grupa? Rexee. Ako je M x.y = x 0 y 0 x + y 0 y 0 x, tada je xa + yb 0 ay + bx M x,y M a,b = M x,y M a,b = 0 (x + y)(a + b) 0 = M. ya + xb 0 yb + xa Kako je M(1, 1) = M(3, 3), M(1, 3) = M(3, 1) i M(2, 2) = M(1, 1) + M(1, 3), to je M x,y M a,b = M u,v, u = xa + yb, v = xb + ya. Iz pretpostavke x, y, a, b R sledi u, v R. Prema tome, M u,v M, odnosno operacija je zatvorena u M. Poxto je M 1,0 jediniqna matrica reda tri, struktura (M, ) ima jediniqni element. Iz M 0,0 M x,y = M 0,0 M 1,0 sledi da element M 0,0 nema inverzni element. Prema tome, struktura (M, ) NIJE grupa. S obzirom na to da (M, ) nije grupa, poslede pitae je deplasirano. 2. U zavisnosti od vrednosti parametara a i b odrediti rang matrice K, gde je 1 3 2 1 0 K = 2 11 b 4 1 7 5 30 3b 10 3 23. 2 1 a b 3 3 ab 12 Rexee: Ako je r rang date matrice, tada je r 4 jer je K matrica tipa 4 5 i r 3 jer je M 1,4,5 1,2,3 = 1 (oznaka za navedeni minor je kao u vaeem ubeniku, str.50). Elementarnim transformacijama matrice K dobijamo da je 1 3 1 2 0 K 0 5 1 b 7 0 0 1 0 2. 0 0 0 a + 1 ab 5 Za a = 1 i b = 5 je r = 3 jer su svi minori reda 4 jednaki nuli. Za a 1 je r = 4 jer je M 1,2,3,4 1,2,3,4 0. Za a = 1 i b 5 je r = 4 jer je M 1,2,3,5 1,2,3,4 0. Prema tome, r = 3 za (a, b) = ( 1, 5) i r = 4 za (a, b) ( 1, 5).
3. Date su prave p : x 3 = y 2 = z + 7 12, q : x 5 = y 3 = z 10 2 1 5 i taqka S(1, 1, 0). a) Ispitati meusobni poloaj pravih p i q. Ukoliko se seku odrediti ihovu preseqnu taqku, u suprotnom odrediti rastojae izmeu ih. b) Odrediti jednaqinu ravni π koja sadri taqku S, koordinatni poqetak i paralelna je pravoj p, a zatim odrediti ortogonalnu projekciju prave p na ravan π. Rexee: Sistem a) Parametarske jednaqine pravih p i q su p : x = 3t, y = 2t, z = 12t 7, q : x = 2s + 5, y = s + 3, z = 5s + 10. 3t = 2s + 5, 2t = s + 3, 12t 7 = 5s + 10 ima jedinstveno rexee (t, s) = (1, 1) koje odreuje taqku A(3, 2, 5). Prema tome, prave p i q su komplanarne i seku se u taqki A. b) Ako je n π vektor normale ravni π, a n p vektor pravca prave p, tada je 4n π = n p OS = (3, 2, 12) (1, 2, 0) = i j k 3 2 12 = 24i + 12j 8k, 1 2 0 pa je n π = (6, 3, 2). Prema tome, jednaqina ravni π je 6x + 3y 2z = 0. Prava r koja sadri taqku P (0, 0, 7) p i koja je normalna na ravan π ima jednaqinu x 6 = y 3 = z + 7 2. Prodor prave r kroz ravan π je taqka P ( 12/7, 6/7, 45/7). Kako projekcija p prave p sadri taqku P i ima pravac n p, jednaqina projekcije prave p na ravan π je p : x + 12/7 3 = y + 6/7 2 = z + 45/7. 12 Uvid u radove Uvid u radove bie u kab. C 202 u sledeim terminima: Za studente sa vixe od 9 poena - 8.12.2015 u 12:20 Za studente sa mae od 10 poena - 10.12.2015 u 12:20 Pre dolaska na uvid treba deta no prouqiti priloena rexea zadataka i pripremiti eventualna pitaa.
Р Е З У Л Т А Т И Презиме Име Индекс Поени 1 Докић Милица 36/15 20 2 Бијелић Сара 122/15 20 3 Гошић Бојана 115/15 19 4 Радивојевић Јана 117/15 19 5 Недељковић Мина 241/15 19 6 Шокић Тијана 514/15 19 7 Јовчић Јована 353/14 18 8 Пековић Милена 357/15 18 9 Митровић Оливера 101/15 18 10 Челиковић Петар 525/15 18 11 Војводић Стефан 28/15 18 12 Митровић Јована 51/15 17 13 Роглић Лидија 38/15 17 14 Исаков Барбара 127/15 17 15 Вратоњић Наташа 157/15 17 16 Јокић Никола 109/15 17 17 Иванчевић Ивана 238/14 16 18 Станић Ивана 18/15 16 19 Пејчић Јелена 42/15 16 20 Ђолић Лука 27/15 16 21 Паравиња Ненад 181/15 16 22 Раковић Андријана 43/15 15 23 Пејчић Бојана 203/15 15 24 Сапсај Јелисавета 400/15 15 25 Станојевић Јелица 34/15 15 26 Савић Милица 355/15 15 27 Ристић Никола 131/15 15 28 Чаровић Никола 154/15 15 29 Јанковић Тијана 518/15 15 30 Анђелковић Урош 20/15 15 31 Поповић Анамарија 412/15 14 32 Јовановић Звездана 163/15 14 33 Ивановић Ивана 177/15 14 34 Стојановић Катарина 221/15 14 35 Станојчић Лука 246/15 14 36 Нешовић Никола 162/15 14 37 Клобучар Николина 13/15 14
38 Ђокић Петар 451/15 14 39 Ташин Филип 213/13 14 40 Тодоровић Божидар 255/10 13 41 Јовановић Бојана 220/15 13 42 Драгићевић Јелена 48/15 13 43 Косанић Дејана 474/13 12 44 Петровић Јован 198/15 12 45 Маринковић Љубица 660/14 12 46 Веселиновић Никола 108/15 12 47 Стојковић Никола 118/15 12 48 Тадић Слободан 10/15 12 49 Љубичић Јана 168/14 11 50 Новаковић Марко 537/15 11 51 Милићевић Никола 219/14 11 52 Конатаревић Анђелика 7/15 10 53 Лакићевић Бранка 153/15 10 54 Јанковић Вујадин 278/15 10 55 Милановић Драган 178/12 10 56 Николић Исидора 188/15 10 57 Арсенијевић Јелена 257/11 10 58 Милић Јована 233/15 10 59 Милановић Катарина 247/15 10 60 Ранковић Марко 411/15 10 61 Стевановић Матеја 258/15 10 62 Крстић Стефан 523/15 10 63 Понорац Лола 143/15 9 64 Дамјановић Маја 402/15 9 65 Милинковић Ада 428/14 8 66 Копривица Ања 866/13 8 67 Мемеди Аријан 422/15 8 68 Пилчевић Владимир 123/15 8 69 Јеремић Дијана 377/14 8 70 Маројевић Иван 52/15 8 71 Зубић Исидора 402/13 8 72 Јовановић Марко 209/15 8 73 Панић Милица 439/15 8 74 Паројчић Реља 394/15 8 75 Алексић Синиша 525/14 8 76 Несторов Филип 193/15 8 77 Марић Милица 382/15 7 78 Ђурђевић Александар 372/15 6
79 Милетић Вук 373/09 6 80 Марковић Иван 405/15 6 81 Драговић Милош 424/13 6 82 Илић Немања 404/10 6 83 Шијан Петар 272/12 6 84 Божић Александра 459/15 5 85 Ивичић Дуња 427/11 5 86 Раичевић Душан 462/12 5 87 Лазић Ђорђе 501/15 5 88 Крчмар Ива 420/12 5 89 Шпикић Сава 434/15 5 90 Николић Срећко 455/14 5 91 Костић Александра 509/12 4 92 Марјановић Велимир 410/13 4 93 Ивановић Марко 406/15 4 94 Симић Младен 132/15 4 95 Милићевић Тијана 413/13 4 96 Стојадиновић Милица 450/15 3 97 Милошевић Нина 365/11 3 98 Маринковић Огњен 369/15 3 99 Стефановић Петар 236/12 3 100 Милинковић Александар 262/11 2 101 Кондић Јелена 403/15 2 102 Ивановић Огњен 268/15 2 103 Павићевић Петар 397/15 2 104 Бурић Бранко 234/15 1 105 Ивезић Никола 389/15 1 106 Бркић Предраг 458/15 1 107 Ступар Ана 456/14 0 108 Радовић Дарко 203/13 0 109 Радојковић Јелена 452/13 0 110 Лазић Милица 419/11 0 111 Јањић Милош 407/15 0 112 Радовић Сашка 416/15 0 113 Кофилески Славко 450/14 0 114 Радосављевић Стефан 263/15 0 115 Ђуровић Тамара 384/13 0