Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
|
|
- Ναζωραῖος Δελή
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ). Osobine operacije : 1. zatvorenost: ( a, b A) a b A ; 2. asocijativnost: ( a, b, c A) (a b) c = a (b c) ; 3. komutativnost: ( a, b A) a b = b a ; 4. postojanje neutralnog elementa: ( e A)( a A) a e = e a = a; 5. postojanje inverznog elementa: ( a A)( a A) a a = a a = e. Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa (semigrupa). Ako operacija ima osobine: zatvorenost, asocijativnost, postoji neutralni i inverzni element, onda je (A, ) grupa. Grupa (A, ) u kojoj važi komutativnost zove se Abelova grupa ili komutativna grupa. Algebarske strukture sa dve operacije (A,, ): (A,, ) je prsten ako je (A, ) Abelova grupa, (A, ) polugrupa i važi distributivnost operacije prema operaciji : ( a, b, c A) a (b c) = (a b) (a c), (b c) a = (b a) (c a). 1
2 2 (A,, ) je telo ako je (A, ) Abelova grupa, (A \ {e}, ) grupa (e je neutralni element za operaciju ) i važi distributivnost operacije prema operaciji. Telo (A,, ) je polje ako je (A \ {e}, ) Abelova grupa. Skup B, B A sa operacijom je podgrupa grupe (A, ) ako važi: ( a, b B) a b B, ( a B) inverzni element a B. Zadaci: 1. Na skupu R definisana je operacija sa x y = x + y + k, x, y R, gde je + operacija sabiranja, a k R data konstanta. Ispitati algebarsku strukturu (R, ). Rešenje: Zatvorenost : Za svako x, y R važi x y = x + y + k R, pa je operacija zatvorena. Asocijativnost : ( x, y, z R) (x y) z = (x + y + k) z = (x + y + k) + z + k = x + y + k + z + k, x (y z) = x (y + z + k) = x + (y + z + k) + k = x + y + z + k + k. Zagrade smo mogli da sklonimo jer je sabiranje asocijativna operacija u R, a kako je i komutativna to imamo Komutativnost : ( x, y R) (x y) z = x + y + z + 2k = x (y z). x y = x + y + k = y + x + k = y x, gde smo iskoristili komutativnost operacije +. Neutralni element: Pokazali smo da je komutativna operacija pa je dovoljno naći element e R za koji važi x e = x (ili e x = x). Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo x e = x + e + k = x. Iz poslednje jednakosti dobijamo da je neutralni element e = k.
3 Inverzni element: Za svako x R inverzni element, ako postoji, mora da zadovoljava uslov x x = e i x x = e (dovoljno je proveriti da važi jedna jednakost, a onda će važiti i druga zbog komutativnosti). Imamo x x = e x + x + k = e e = k x = x 2k R. Ovim smo pokazali da svaki element iz R ima inverzni element x = x 2k R. Na osnovu utvrd enih osobina operacije imamo da je (R, ) Abelova grupa. Napomenimo da za različite vrednosti konstante k R dobijamo različite definicije operacije, na primer: x y = x + y + 5, x y = x + y + 7, x y = x + y 3. Takod e, postupak utvrd ivanja osobina operacije bio bi analogan i u slučaju da je definisana na skupu kompleksnih brojeva, na primer z w = z + w + i ili z w = z + w i Na skupu R \ {0} definisana je operacija sa x y = xyk, x, y R \ {0}, gde je k R \ {0} data konstanta. Ispitati algebarsku strukturu (R \ {0}, ). Rešenje: Zatvorenost : Za svako x, y R \ {0} važi x y = xyk R \ {0}, jer je proizvod brojeva različitih od nule takod e različit od nule. Asocijativnost : ( x, y, z R \ {0}) (x y) z = (xyk) z = (xyk)zk = xykzk, x (y z) = x (yzk) = x(yzk)k = xyzkk. Zagrade smo mogli da sklonimo jer je množenje asocijativna operacija u R \ {0}, a kako je i komutativna to imamo Komutativnost : ( x, y R \ {0}) (x y) z = xyzk 2 = x (y z). x y = xyk = yxk = y x,
4 4 gde smo iskoristili komutativnost operacije. Neutralni element: Pokazali smo da je komutativna operacija, pa ćemo naći element e R \ {0} za koji važi x e = x. Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo x e = xek = x x(ek 1) = 0 x R \ {0} ek 1 = 0 e = 1 k. Inverzni element: Za svako x R \ {0} inverzni element, ako postoji, mora da ispunjava uslov x x = e. Važi x x = e xx k = e e = 1 k x = 1 xk 2. Ovim smo pokazali da svaki element x R \ {0} ima inverzni element x = 1/(xk 2 ) R \ {0}. Imamo da je (R \ {0}, ) Abelova grupa. Kao i u prethodnom zadatku i ovde možemo za konstantu k uzeti proizvoljnu vrednost iz R \ {0} i dobiti različite definicije operacije. Takod e skup R \ {0} možemo zameniti skupom C \ {0}: ili x y = 2xy, z w = izw, z w = e iπ/4 zw, z w = x y = xy 2, x y = 2xy, x, y R \ {0}, ( cos π 3 +i sin π ) zw, 3 z, w C\{0}. 3. Na skupu R \ {1} definisana je operacija sa x y = xy x y + 2, x, y R \ {1}. Ispitati algebarsku strukturu (R \ {1}, ). Rešenje: Zatvorenost : Treba pokazati da za svako x, y R \ {1} važi x y = xy x y + 2 R \ {1}, što znači da ni za jednu vrednost x, y R \ {1} vrednost x y ne može biti 1. Pretpostavićemo da za neko x, y 1 imamo x y = 1, to jest, što je nemoguće. xy x y + 2 = 1 (x 1)(y 1) = 0,
5 5 Asocijativnost : ( x, y, z R \ {1}) (x y) z = (xy x y + 2) z = (xy x y + 2)z (xy x y + 2) z + 2 = xyz xz yz xy + x + y + z, x (y z) = x (yz y z + 2) = x(yz y z + 2) x (yz y z + 2) + 2 = xyz xz yz xy + x + y + z. U ovom izračunavanju smo koristili osobinu distributivnosti množenja prema sabiranju, asocijativnost i komutativnost sabiranja i množenja u R, pa i na podskupu R \ {1}. Komutativnost : ( x, y R \ {1}) x y = xy x y + 2 = yx y x + 2 = y x, gde smo iskoristili komutativnost operacija i +. Neutralni element: Operacija je komutativna i tražimo element e R \ {1} za koji važi x e = x. Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo x e = xe x e + 2 = x (x 1)(e 2) = 0 x R \ {1} e = 2. Inverzni element: Za svako x R \ {1} inverzni element, ako postoji, mora da ispunjava uslov x x = e. Važi x x = e xx x x + 2 = e e = 2 x = x x 1 R \ {1}. Zbog x 1, imenilac je definisan i svaki element ima inverzni element x 1. Struktura (R \ {1}, ) je Abelova grupa. 4. Na skupu R \ { 2} definisana je operacija sa x y = xy + 2x + 2y + 2, x, y R \ { 2}. Ispitati algebarsku strukturu (R \ { 2}, ). Rezultat: Neutralni element je e = 1, inverzni element elementa x R\{ 2} je x = ( 3 2x)/(x + 2), (R \ { 2}, ) je Abelova grupa.
6 6 5. Na skupu R \ {a}, gde je a zadati realni broj, definisana je operacija sa x y = xy ax ay + a 2 + a, x, y R \ {a}. Ispitati algebarsku strukturu (R \ {a}, ). (Primetimo da su operacije definisane u zadacima 3. i 4. specijalni slučajevi za a = 1 i za a = 2.) Rezultat: Neutralni element je e = a+1, inverzni element elementa x R\{a} je x = (1 a 2 + ax)/(x a), (R \ {a}, ) je Abelova grupa. 6. Ispitati algebarsku strukturu (Z, ), gde je m n = { m + n, m = 2k, m n, m = 2k + 1, m, n, k Z. Rešenje: Operacija je zatvorena jer je rezultat očigledno ceo broj. Asocijativnost: { (m + n) + p, m = 2k, n = 2s, (m + n) p, m = 2k, (m n) p = (m n) p, m = 2k + 1, = (m + n) p, m = 2k, n = 2s + 1, (m n) p, m = 2k + 1, n = 2s, (m n) + p, m = 2k + 1, n = 2s + 1, m (n p) = { m (n + p), n = 2s, m (n p), n = 2s + 1, = m + (n + p), m = 2k, n = 2s, m (n + p), m = 2k + 1, n = 2s, m + (n p), m = 2k, n = 2s + 1, m (n p), m = 2k + 1, n = 2s + 1. Na osnovu dobijenih rezultata za svaki od slučajeva vidimo da važi jednakost i da je operacija asocijativna. Operacija nije komutativna jer se rezultat dobija u zavisnosti od parnosti prvog argumenta. Na primer, imamo 2 3 = = 5 i 3 2 = 3 2 = 1. Neutralni element odred ujemo iz uslova m e = m, koji mora da važi i kada je m parno i kada je neparno. Dakle, imamo m + e = m (m parno) m e = m (m neparno),
7 odakle zaključujemo da je e = 0. Komutativnost ne važi, pa moramo proveriti da li za e = 0 važi e m = m: e m = 0 m = 0 + m = m. Inverzni element m za paran broj m je m = m, a za neparan broj m je m = m. Algebarska struktura (Z, ) je grupa Neka je dat skup S = {f f(x) = x+a, x R, a R} i operacija kompozicija funkcija. Ispitati algebarsku strukturu (S, ). Rešenje: Zatvorenost: Neka su f, g S, f(x) = x + a, g(x) = x + b, a, b R. Tada je (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + b) = x + b + a = x + c, c = b + a R, pa je f g S. Asocijativnost: Operacija je asocijativna operacija u skupu svih funkcija, pa i u skupu ovako definisanih linearnih funkcija. Komutativnost: Operacija je komutativna na skupu S jer za svako x R važi (f g)(x) = f(g(x)) = f(x+b) = x+b+a = x+a+b = g(x+a) = g(f(x)) = (g f)(x). Neutralni element: U skupu S neutralni element bi bila funkcija ε(x) = x + e za koju važi f ε = f, to jest, (f ε)(x) = f(x) x + e + a = x + a, x R. Imamo da je e = 0 i funkcija ε(x) = x (identičko preslikavanje) je neutralni element. Do istog zaključka se može doći iz činjenice da je identičko preslikavanje neutralni element u odnosu na kompoziciju funkcija u skupu svih funkcija, a kako ono pripada i skupu S, iz jedinstvenosti neutralnog elementa imamo da je ε(x) = x traženi neutral u S. Inverzni element: Za funkciju f S, f(x) = x + a, inverzni element bi bila funkcija f 1 (x) = x + a za koju važi (f f 1 )(x) = ε(x) x + a + a = x, x R. Imamo da je a = a i f 1 (x) = x a. Algebarska struktura (S, ) je Abelova grupa.
8 8 8. Neka je dat skup S = {f f(x) = ax, x R, a R \ {0}} i operacija kompozicija funkcija. Ispitati algebarsku strukturu (S, ). Rešenje: Zatvorenost: Neka su f, g S, f(x) = ax, g(x) = bx, a, b R \ {0}. Tada je Funkcija f g S. (f g)(x) = f(g(x)) = f(bx) = abx = cx, c = ab R \ {0}. Asocijativnost: Operacija je asocijativna operacija u skupu svih funkcija, pa i u skupu S ovako definisanih linearnih funkcija. Komutativnost: Operacija je komutativna na skupu S jer važi (f g)(x) = f(g(x)) = f(bx) = abx = bax = g(ax) = g(f(x)) = (g f)(x). Neutralni element: U skupu S neutralni element bi bila funkcija ε(x) = ex, e 0, za koju važi (f ε)(x) = f(x) aex = ax. Sada je e = 1 i funkcija ε(x) = x (identičko preslikavanje) je neutralni element. Drugi način nalaženja neutralnog elementa bi bio da primetimo da identičko preslikavanje (neutralni element u odnosu na operaciju na skupu svih funkcija) pripada skupu S. Inverzni element: Za funkciju f S, f(x) = ax inverzni element bi bila funkcija f 1 (x) = a x za koju važi (f f 1 )(x) = ε(x) aa x = x, x R. Imamo da je a = 1/a i f 1 (x) = x/a. Algebarska struktura (S, ) je Abelova grupa. 9. Dokazati da skup S = {f f(x) = ax + b, a R \ {0}, b R} obrazuje grupu u odnosu na operaciju kompozicije funkcija. Rezultat: Komutativnost ne važi jer za f(x) = ax + b i g(x) = cx + d imamo (f g)(x) = f(g(x)) = f(cx + d) = acx + ad + b, (g f)(x) = g(f(x)) = g(ax + b) = cax + cb + d, što u slučaju kada je ad + b cb + d nije isto.
9 9 10. Date su funkcije f(x) = x, g(x) = x, h(x) = 1 x, u(x) = 1 x. Ispitati algebarsku strukturu (S, ), gde je S = {f, g, h, u}, a slaganje funkcija. Rezultat: Tabela za operaciju glasi f g h u f f g h u g g f u h. h h u f g u u h g f 11. Na skupu G = {(a, b) a, b Q, b 0} definisana je operacija sa (a, b) (c, d) = (ad d + c, bd), (a, b), (c, d) G. Ispitati algebarsku strukturu (G, ). Rezultat: Skup G čine ured eni parovi koji za koordinate imaju racionalne brojeve i druga koordinata nije nula. Operacija je zatvorena, asocijativna ((a, b) (c, d)) (g, h) = (adh dh + ch h + g, bdh) = (a, b) ((c, d)) (g, h)), nije komutativna (a, b) (c, d) (c, d) (a, b). Neutralni element je (1, 1), a inverzni element za (a, b) je (a, b ), gde su a = (1 a + b)/b i b = 1/b. Algebarska struktura (G, ) je grupa. 12. Ispitati algebarsku strukturu (X, +), gde je + operacija sabiranja, a X: a) skup prirodnih brojeva N; b) skup celih brojeva Z. Rezultat: U skupu prirodnih brojeva sabiranje je zatvorena, asocijativna i komutativna operacija. Neutralni element i inverzni element u odnosu na sabiranje ne postoje u N. Skup celih brojeva sa operacijom + čini Abelovu grupu.
10 Ispitati da li je neka od struktura (N, +, ) i (Z, +, ), gde su + i sabiranje i množenje brojeva, prsten, telo ili polje. Rezultat: (N, +) nije Abelova grupa (polugrupa je), pa (N, +, ) nije prsten, telo ili polje. (Z, +) jeste Abelova grupa, (Z, ) je komutativna polugrupa sa jedinicom (jedinični element, odnosno neutral, je 1). (Z \ {0}, ) nije grupa, jer 1/a / Z \ {0}, što znači da inverzni element za a ne postoji u skupu Z \ {0}. Važi distributivnost prema +: a (b + c) = a b + a c. Algebarska struktura (Z, +, ) je komutativni prsten sa jedinicom. 14. Neka je S = {a + b 2 a, b Q}. Ispitati algebarsku strukturu (S, +, ), gde su operacije + i sabiranje i množenje brojeva. Rezultat: (S, +) je Abelova grupa, (S \ {0}, ) je Abelova grupa i važi distributivnost množenja prema sabiranju. Znači, (S, +, ) je polje. 15*. Na skupu X = {1, 1, i, i} definisana je operacija sa a b = a b i, a, b X, gde je operacija množenje kompleksnih brojeva. Ispitati algebarsku strukturu (X, ). Rešenje: Operacija je zatvorena što se najlakše može videti iz tabele. Sve vrednosti a b, a, b X su iz skupa X: Asocijativnost važi jer je 1 1 i i 1 i i i i 1 1 i 1 1 i i i 1 1 i i
11 11 (a b) c = (abi) c = abici = abc, a (b c) = a (bci) = abcii = abc. Komutativnost takod e važi jer je a b = abi = bai = b a. Osobina komutativnosti se može utvrditi i iz tabele ako se uoči da se vrednosti a b i b a nalaze simetrično u odnosu na glavnu dijagonalu tabele. Ukoliko utvrdimo da je tabela simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, tada komutativnost važi. Napomenimo da smo kod ispitivanja asocijativnosti i komutativnosti operacije koristili te iste osobine za koje znamo da važe za operaciju množenja na skupu C, pa i na X C. Neutralni element odred ujemo iz uslova a e = a aei = a e = i. I u ovom slučaju smo mogli da koristimo tabelu: prepoznamo vrstu u tabeli koja je identična sa prvom vrstom (ili kolonu koja je identična sa prvom kolonom) i neutralni element je argument kome odgovara nad ena vrsta (kolona). Inverzni element se odred uje iz a a = e aa i = i a = 1 a, što za svaki od elemenata skupa X znači: 1 i 1 su med usobno inverzni, inverzni za i je i, inverzni za i je i. Takod e, inverzne elemente možemo odrediti ako u svakoj vrsti uočimo neutralni element i onda pogledamo koja dva elementa kao rezultat operacije daju uočeni neutral. Struktura (X, ) je Abelova grupa. 16*. Neka je X = {r(1 + i) r R}. Ispitati algebarsku strukturu (X, +), gde je + sabiranje kompleksnih brojeva. Rezultat: Ovako definisan skup X je skup svih kompleksnih brojeva kod kojih je realni i imaginarni deo jednak. Neutralni element je 0, a inverzni element za r(1 + i) je r(1 + i).
12 12 17*. Na skupu C \ {i} definisana je operacija sa z 1 z 2 = z 1 z 2 i + z 1 + z 2, z 1, z 2 C \ {i}. Ispitati algebarsku strukturu (C \ {i}, ). Rešenje: Zatvorenost : Treba pokazati da za svako z 1, z 2 C\{i} važi z 1 z 2 = z 1 z 2 i + z 1 + z 2 i. Pretpostavimo da za z 1, z 2 i važi što je nemoguće. z 1 z 2 i + z 1 + z 2 = i (z 1 i + 1)(z 2 i) = 0 z 1 = 1 i Asocijativnost : ( z 1, z 2, z 3 C \ {i}) = i, (z 1 z 2 ) z 3 = (z 1 z 2 i + z 1 + z 2 ) z 3 = (z 1 z 2 i + z 1 + z 2 )z 3 i + (z 1 z 2 i + z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 z 2 z 3 + i(z 1 z 3 + z 2 z 3 + z 1 z 2 ) + z 1 + z 2 + z 3, z 1 (z 2 z 3 ) = z 1 (z 2 z 3 i + z 2 + z 3 ) = z 1 (z 2 z 3 i + z 2 + z 3 )i + z 1 + (z 2 z 3 i + z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 z 3 + i(z 1 z 3 + z 2 z 3 + z 1 z 2 ) + z 1 + z 2 + z 3. Komutativnost : ( z 1, z 2 C \ {i}) z 1 z 2 = z 1 z 2 i + z 1 + z 2 = z 2 z 1 i + z 2 + z 1 = z 2 z 1. Neutralni element: Operacija je komutativna pa neutralni element odred ujemo iz uslova z e = z, z C \ {i}. Po definiciji operacije i neutralnog elementa imamo z e = zei + z + e = z ei(z i) = 0 z i e = 0. Inverzni element: Za svako z C \ {i} inverzni element, ako postoji, mora da ispunjava uslov z z = e. Važi z z = e zz i + z + z = 0 z = z i(z i) C \ {i}. Imenilac je definisan jer je z i i svaki element ima inverzni z i. Struktura (C \ {i}, ) je Abelova grupa.
13 13 18*. Neka je M = {M(a, α) a > 0, α R}, gde je a 0 0 M(a, α) = 0 1 α Ispitati algebarsku strukturu (M, ), gde označava množenje matrica. Rešenje: Zatvorenost: Treba pokazati da M(a, α) M(b, β) M: a 0 0 b 0 0 ab 0 0 M(a, α) M(b, β) = 0 1 α 0 1 β = 0 1 α + β M, jer važi ab > 0, α + β R. Asocijativnost važi jer je operacija množenja matrica asocijativna na skupu kvadratnih matrica, pa je ona asocijativna i na njegovom podskupu. Komutativnost: Naći ćemo čemu je jednako M(b, β) M(a, α) i uporedićemo sa već odred enim M(a, α) M(b, β): b 0 0 a 0 0 ba 0 0 M(b, β) M(a, α) = 0 1 β 0 1 α = 0 1 β + α Jednakost M(a, α) M(b, β) = M(b, β) M(a, α) važi jer je ab = ba i α +β = β +α. Neutralni element: U skupu M neutralni element, ako postoji, bila bi matrica oblika e 0 0 M(e, ϕ) = 0 1 ϕ za koju važi M(a, α) M(e, ϕ) = M(a, α). Kako je za a, e > 0 imamo a 0 0 e 0 0 ae 0 0 M(a, α) M(e, ϕ) = 0 1 α 0 1 ϕ = 0 1 α + ϕ, ae = a α + ϕ = α e = 1 ϕ = 0.
14 14 Neutralni element, matrica M(1, 0) je jedinična matrica. Do istog zaključka smo mogli doći i ako se setimo da je jedinična matrica neutralni element u odnosu na operaciju množenja matrica u skupu kvadratnih matrica. Treba samo proveriti da li jedinična matrica po obliku pripada skupu matrica M i, ako pripada, onda je ona neutralni element i u skupu M. Inverzni element: Za matricu M(a, α) odredićemo matricu M(a, α ) tako da važi M(a, α) M(a, α ) = I. Iz uslova a 0 0 a 0 0 aa M(a, α) M(a, α ) = 0 1 α 0 1 α = 0 1 α + α = imamo aa = 1 α + α = 0 a = 1 a > 0 α = α. Algebarska struktura (M, ) je na osnovu utvrd enih osobina Abelova grupa. 19*. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je {[ ] } a b X = a R \ {0}, b R, b a i operacija množenje matrica. Rezultat: Operacija nije zatvorena. Na primer, za matrice A i B [ ] [ ] A =, B =, imamo AB = [ ] 0 5 / X *. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je { a 0 b } X = 0 a 0 a R \ {0}, b R, 0 0 a i operacija množenje matrica.
15 Rezultat: Neutralni element je jedinična matrica I, a inverzni element matrice a 0 b A = 0 a a 15 je matrica a 0 b A = 0 a 0, 0 0 a gde su a = 1/a i b = b/a 2. Struktura (X, ) je Abelova grupa. 21*. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je i operacija množenje matrica. { a a a } X = a a a a R \ {0}, a a a Rezultat: Operacija je zatvorena. Za A, B X imamo a a a b b b 3ab 3ab 3ab AB = a a a b b b = 3ab 3ab 3ab X, ab 0. a a a b b b 3ab 3ab 3ab Asocijativna je jer je operacija množenja matrica asocijativna na skupu svih kvadratnih matrica, pa i na uzetom podskupu X. Komutativnost sledi iz jednakosti ab = ba, pa imamo AB = BA. Neutralni element, označimo ga sa F, je matrica oblika f f f F = f f f. f f f Iz uslova AF = A imamo 3af 3af 3af a a a 3af 3af 3af = a a a, 3af 3af 3af a a a
16 16 odakle je f = 1/3. Dobijamo da je neutralni element matrica 1/3 1/3 1/3 F = 1/3 1/3 1/3. 1/3 1/3 1/3 Napomena: neutralni element u ovom slučaju ne može biti jedinična matrica jer jedinična matrica ne pripada skupu X! Inverzni element matrice A je matrica A čiji su svi elementi a odred eni iz uslova 3aa = 1/3. Imamo da je a = 1/(9a) (pri čemu je za postojanje inverznog elementa a 0 vrlo važan uslov). Data algebarska struktura (X, ) je Abelova grupa. 22*. Ispitati algebarsku strukturu (X, ), gde je {[ ] } 1 a X = a R, 0 1 i operacija množenje matrica. Rezultat: Neutralni element je jedinična matrica I, inverzni element matrice A je matrica [ ] A 1 a =. 0 1 (X, ) je Abelova grupa. 23*.Neka je X = {[ ] } a b a, b R. 0 a Ako su + i operacije sabiranja i množenja matrica, ispitati algebarsku strukturu (X, +, ). Rezultat: (X, +) je Abelova grupa, (X, ) je komutativna polugrupa sa jedinicom, ali (X \ {O}, ), gde je O nula matrica, nije grupa jer nema svaki element inverzni. Na primer, matrica [ ] 0 5 X \ {O} 0 0
17 17 nema inverznu matricu. Distributivnost važi. (X, +, ) je komutativni prsten sa jedinicom.
18
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...
Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραKURS IZ MATEMATIKE I
UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima
Διαβάστε περισσότερα1. Pojam fazi skupa. 2. Pojam fazi skupa. 3. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici. 4. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici
Meko računarstvo Student: Indeks:. Poja fazi skupa. Vrednost fazi funkcije pripadnosti je iz skupa/opsega: a) {0, b) R c) N d) N 0 e) [0, ] f) [-, ] 2. Poja fazi skupa 2. Na slici je prikazan grafik: a)
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότερα3.1. Granične vrednosti funkcija
98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραU raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Διαβάστε περισσότεραf n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).
Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραBulove jednačine i metodi za njihovo
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότερα