ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο τότε το άθροισμ i γ δi γ δ i Mγδ Mγδ πριστάετι με το σημείο M γ δ Επομέως OM OM OM δηλδή: Ο M Η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ i κι γ δi είι η διφορά τω διυσμτικώ κτίω τους Επίσης η διφορά Μ γδ 3 i γ δi γ δ i Μ πριστάετι με το σημείο N γ δ Ο Επομέως ON OM OM δηλδή: Νγδ Μ 3γδ 3 Ν ποδείξετε ότι όπου θετικός κέριος κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4 Απ:Γι τις δυάμεις τω μιγδικώ ριθμώ ισχύου οι ίδιες ιδιότητες που ισχύου κι γι τις δυάμεις τω πργμτικώ ριθμώ Ιδιίτερ γι τις δυάμεις του i έχουμε: Στη συέχει πρτηρούμε ότι είι: i 4 i i i 3 i i i i i i i 5 4 6 4 7 4 3 3 i i i i i i i i i i i i i i 4 δηλδή μετά το i οι τιμές του i επλμάοτι Άρ γι υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύμη του i γράφουμε το εκθέτη στη μορφή 4 ρ υ όπου ρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4 οπότε έχουμε: υ 4 ρ υ 4 ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i υ i i i i i i i i - υ i υ 3 4 Α z i κι z γ δi είι δυο μιγδικοί ριθμοί τότε: z z z z Απ: z z i γ δi γ δ i γ δ i i γ δi z z 5 Α z κι z είι δυο μιγδικοί ριθμοίτότε δο z z z z Απ: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z
ΑΝΑΛΥΣΗ Τι οομάζουμε πργμτική συάρτηση Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί κό με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με Πότε δύο συρτήσεις κι g είι ίσες Δύο συρτήσεις κι g λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει g 3 Τι οομάζουμε σύθεση της με τη g Α g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α Β τιστοίχως τότε οομάζουμε σύθεση της με τη g κι τη συμολίζουμε με go τη συάρτηση με τύπο A A go g A go B g gb g 4 Το πεδίο ορισμού της go ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είι το σύολο A { A } B Είι φερό ότι η go ορίζετι A δηλδή A B 4 Πότε μι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ συάρτηση κι πότε γησίως φθίουσ συάρτηση Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της ότ γι οποιδήποτε Δ με < ισχύει: < Σχ γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της ότ γι οποιδήποτε Δ με < ισχύει: > Σχ 5 Ο 444 3 Δ a 4 44 3 Ο Δ Μι συάρτηση λέγετι πλώς: ύξουσ σ έ διάστημ Δ ότ γι οποιδήποτε Δ με < ισχύει φθίουσ σ έ διάστημ Δ ότ γι οποιδήποτε Δ με < ισχύει 3
5 Τι οομάζουμε μέγιστο ελάχιστο συάρτησης Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο το ότ γι κάθε A Σχ 7 A ολικό ελάχιστο το ότ γι κάθε A Σχ 7 7 C O O a C 6 Πότε μι συάρτηση λέγετι - Μι συάρτηση συεπγωγή: : A λέγετι συάρτηση ότ γι οποιδήποτε A ισχύει η Με πγωγή σε άτοπο ποδεικύετι ότι: Μι συάρτηση A ισχύει η συεπγωγή: τότε : A είι συάρτηση κι μόο γι οποιδήποτε τότε 7 Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις g Α g κοτά στο κι g l τότε l 8 Τι οομάζουμε κολουθί κι πότε θ λέμε ότι έχει όριο το l R Ακολουθί οομάζετι κάθε πργμτική συάρτηση : * Θ λέμε ότι η κολουθί έχει όριο το l R κι θ γράφουμε l ότ γι κάθε ε > υπάρχει l < ε τέτοιο ώστε γι κάθε > ισχύει * 4
9 Πότε λέμε ότι μι συάρτηση είι συεχής στο Εστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο ότ Πότε μι συάρτηση είι συεχής στο Α Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής στο πεδίο ορισμού της ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του Α Πότε μι συάρτηση είι συεχής στο Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του Πότε μι συάρτηση είι συεχής στο [] Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [ ] ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του κι επιπλέο κι 3 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Bolzano Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [ ] Α: η είι συεχής στο [ ] κι επιπλέο ισχύει < τότε υπάρχει έ τουλάχιστο τέτοιο ώστε Δηλδή υπάρχει μι τουλάχιστο ρίζ της εξίσωσης στο οικτό διάστημ 4 Ν εξηγήσετε γεωμετρικά το Θ Bolzano Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης στο [ ] Επειδή τ σημεί A κι B ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο a O a Α 64 B ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημ του Bolzano προκύπτει ότι: Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ ή είι ρητική γι κάθε Δ δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ Σχ 65 5
65 > O a O a < Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της 66 ρ ρ ρ 3 ρ 4 ρ 5 Αυτό μς διευκολύει στο προσδιορισμό του προσήμου της γι τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμέ ο προσδιορισμός υτός γίετι ως εξής: Βρίσκουμε τις ρίζες της Σε κθέ πό τ υποδιστήμτ που ορίζου οι διδοχικές ρίζες επιλέγουμε έ ριθμό κι ρίσκουμε το πρόσημο της στο ριθμό υτό Το πρόσημο υτό είι κι το πρόσημο της στο τίστοιχο διάστημ 5 Ν διτυπώσετε το θεώρημ εδιμέσω τιμώ κι το ποδείξετε Έστω μι συάρτηση η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [ ] Α: η είι συεχής στο [ ] κι τότε γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι υπάρχει ές τουλάχιστο τέτοιος ώστε η Ας υποθέσουμε ότι < Τότε θ ισχύει < η < Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g η [ ] πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [ ] κι g g < 67 φού g η < κι B g η > η Επομέως σύμφω με το θεώρημ του a Bolzano υπάρχει τέτοιο ώστε Α η g η οπότε η O a 6
6 Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [ ] τότε η πίρει στο [ ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή υπάρχου [ ] τέτοι ώστε m κι M ισχύει ΣΧΟΛΙΟ m M γι κάθε [ ] Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [ ] είι το κλειστό διάστημ [ m M] όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος ποδεικύετι ότι: A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α Β όπου Α κι B Α όμως η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B A 7
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι ορίζουμε ως εφπτομέη της στο σημείο της Α; Έστω μι συάρτηση κι A έ σημείο της C Α υπάρχει το κι είι ές πργμτικός ριθμός λ τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C στο σημείο της Α τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ Επομέως η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A είι λ Πότε λέμε ότι μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της υπάρχει το κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με Δηλδή: 3 Ν ποδείξετε ότι Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σ έ σημείο τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό Γι έχουμε οπότε [ ] φού η είι πργωγίσιμη στο Επομέως δηλδή η είι συεχής στο 4 Πότε μι συάρτηση είι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α ; H είι πργωγίσιμη στο Α ή πλά πργωγίσιμη ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A 5 Πότε μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ ; Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ του πεδίου ορισμού της ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο 8
ΘΕΩΡΙΑ 9 6 Πότε μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ ] [ ; Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ ] [ του πεδίου ορισμού της ότ είι πργωγίσιμη στο κι επιπλέο ισχύει κι 7 Εστω η στθερή συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει δηλδή c Πράγμτι είι έ σημείο του R τότε γι ισχύει: c c Επομέως δηλδή c 8 Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει δηλδή Πράγμτι είι έ σημείο του R τότε γι ισχύει: Επομέως δηλδή 9 Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει δηλδή Πράγμτι είι έ σημείο του R τότε γι ισχύει: L L οπότε L L δηλδή
Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει δηλδή Πράγμτι είι έ σημείο του τότε γι ισχύει: Οπότε δηλδή Όπως είδμε στη πράγρφο 3 η δε είι πργωγίσιμη στο Έστω συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει δηλδή ημ συ Πράγμτι γι κάθε R κι ισχύει ημ ημ ημ συ συ ημ ημ συ ημ ημ συ ημ συ Επειδή κι έχουμε ημ συ συ Δηλδή ημ συ Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει δηλδή συ ημ Πράγμτι γι κάθε R κι ισχύει: συ συ συ συ ημ ημ συ Οπότε Δηλδή συ ημ συ ημ συ ημ συ ημ συ ημ ημ συ ημ
3 Α οι συρτήσεις g είι πργωγίσιμες στο τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: g g Γι ισχύει: g g g g g g Επειδή οι συρτήσεις g είι πργωγίσιμες στο έχουμε: g g g g g δηλδή g g 4 Έστω η συάρτηση Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει δηλδή * Πράγμτι γι κάθε R έχουμε: 5 Έστω η συάρτήση εφ R R { συ } κι ισχύει Πράγμτι γι κάθε Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο έχουμε: δηλδή συ εφ συ ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ εφ συ συ συ συ ημ συ συ 6 Η συάρτηση R Z δηλδή είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει Πράγμτι ln e κι θέσουμε u ln τότε έχουμε u u ln e e u e u e Επομέως
7 Η συάρτηση δηλδή > ln είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ln Πράγμτι ln e κι θέσουμε u ln τότε έχουμε u e Επομέως u u ln e e u e ln ln 8 Η συάρτηση ln Πράγμτι > τότε < * R είι πργωγίσιμη στο * R κι ισχύει ln ln ln εώ τότε ln ln οπότε θέσουμε ln κι u έχουμε ln u Επομέως ln u u u κι άρ ln 9 Α δύο μετλητά μεγέθη συδέοτι με τη σχέση τι οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο Α δύο μετλητά μεγέθη συδέοτι με τη σχέση ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Rolle κι το εξηγήσετε γεωμετρικά Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [ ] πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ κι τότε υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε: ξ Γεωμετρικά υτό σημίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ ξ είι πράλληλη στο άξο τω 8 Μξξ Β Α O ξ ξ Ν διτυπώσετε το θεώρημ Μέσης Τιμής κι το εξηγήσετε γεωμετρικά Α μι συάρτηση είι:
συεχής στο κλειστό διάστημ [ ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ τότε υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε: ξ Γεωμετρικά υτό σημίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M ξ ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Mξξ Aaa Β Ο a ξ ξ Ν ποδείξετε ότι: Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Α τότε προφώς Δ ισχύει Πράγμτι Α < τότε στο διάστημ [ ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως υπάρχει ξ τέτοιο ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει ξ οπότε λόγω της είι Α < τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες λοιπό τις περιπτώσεις είι 3 Ν ποδείξετε ότι: Έστω δυο συρτήσεις g ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι g είι συεχείς στο Δ κι g γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ τότε υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε ισχύει: Η συάρτηση εσωτερικό σημείο g c g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε Δ ισχύει g g Επομέως σύμφω με το πρπάω θεώρημ η συάρτηση g είι στθερή στο Δ Άρ υπάρχει στθερά C τέτοι ώστε γι κάθε Δ ισχύει g c οπότε g c gc g O 4 Έστω μι συάρτηση η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστημ Δ 3
Α > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Α < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το Δ Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι > Έστω Δ με < Θ δείξουμε ότι < Πράγμτι στο διάστημ ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως υπάρχει ξ τέτοιο [ ώστε ξ οπότε έχουμε ξ Επειδή ξ > κι > έχουμε > οπότε < Στη περίπτωση που είι < εργζόμστε λόγως 5 Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Fermat κι το ποδείξετε: Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό τότε: Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο υπάρχει δ > τέτοιο ώστε δ δ Δ κι γι κάθε δ δ Επειδή επιπλέο η είι πργωγίσιμη στο ισχύει Επομέως δ τότε λόγω της θ είι οπότε θ έχουμε O δ δ 33 δ τότε λόγω της θ είι οπότε θ έχουμε 3 Έτσι πό τις κι 3 έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη 4
ΣΧΟΛΙΟ Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η είι διφορετική πό το μηδέ δε είι θέσεις τοπικώ κροτάτω Επομέως όπως φίετι κι στ σχήμτ 9 κι 3 οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ κ ρ ο τ ά τ ω μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της Τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 6 Έστω μι συάρτηση συεχής σε έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ πότε θ λέμε ότι η στρέφει τ κοίλ προς τ άω κι πότε προς τ κάτω; Έστω μί συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι π ρ γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ η είι γησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ η είι γησίως φθίουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ 7 Πότε το σημείο οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο κι κοίλη στο ή τιστρόφως κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A τότε το σημείο A οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 8 Πότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της Α έ τουλάχιστο πό τ όρι λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της είι ή τότε η ευθεί 9 Πότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τίστοιχ στο Α l τιστοίχως l τότε η ευθεί l λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο 3 Πότε η ευθεί λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τίστοιχ στο Η ευθεί λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο [ λ ] 5
τιστοίχως [ λ ] 3 Ν διτυπώσετε τους κόες de l Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α g R { } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο τότε: g g g ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α g R { } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο τότε: g g g 6
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έστω μι ορισμέη συάρτηση σε έ διάστημ Δ τι οομάζετι ρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F γι κάθε Δ Ν ποδείξετε ότι: Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η F είι μι πράγουσ της στο Δ τότε Όλες οι συρτησεις της μορφής GFc είι πράγουσες της στο Δ κι Κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή GFc Κάθε συάρτηση της μορφής G F c όπου c R είι μι πράγουσ της στο Δ φού G F c F γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε G οπότε G F γι κάθε Δ Δ ισχύου F κι Άρ σύμφω με το πόρισμ της 6 υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε G F c γι κάθε Δ 3 Ν διτυπώσετε το θεώρημ ολοκλήρωτικού λογισμού κι το ποδείξετε Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [ ] Α G είι μι πράγουσ της στο [ ] τότε t dt G G Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ η συάρτηση F t dt είι μι πράγουσ της στο [ ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [ ] θ υπάρχει c R τέτοιο ώστε G F c Από τη γι Επομέως έχουμε G F c t dt c c οπότε c G G F G οπότε γι έχουμε κι άρ G F G t dt G t dt G G Αποδεικύετι ότι κάθε συεχής συάρτηση σε διάστημ Δ έχει πράγουσ στο διάστημ υτό 7
8