ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι ονομάζετι κολουθί πργμτικών ριθμών ή συνοπτικά Μι κολουθί πργμτικών ριθμών ονομάζετι: Αν E τότε η κολουθί Στθερή ν γι κάθε Αριθμητική πρόοδος ν υπάρχει λ θ είνι λ λ γι κάθε Στην περίπτωση υτή Γεωτρική πρόοδος ν 0 γι κάθε Στην περίπτωση υτή θ είνι κι υπάρχει ω ω 4 Αύξουσ (ντ φθίνουσ) ν (ντ ) γι κάθε 5 Γνήσι ύξουσ (ντ γνήσι φθίνουσ) ν (ντ ) γι κάθε ω γι κάθε 6 Μονότονη (ντ γνήσι μονότονη) ν είνι ύξουσ ή φθίνουσ (ντ γνήσι ύξουσ ή γνήσι φθίνουσ) 7 Άνω (ντ κάτω) φργμένη ν υπάρχει φ φ (ντ φ) γι κάθε Στην περίπτωση υτή ο ριθμός φ ονομάζετι άνω (ντ κάτω) φράγμ της κολουθίς Το ελάχιστο άνω φράγμ (ντ μέγιστο κάτω φράγμ) της κολουθίς ονομάζετι supremum (ντ ifimum) της κι σηιώνετι sup (ντ if ) 8 Φργμένη ν είνι άνω κι κάτω φργμένη 9 Απόλυτ φργμένη ν υπάρχει θ 0 Αποδεικνύετι ότι μι κολουθί Αν θετικών κερίων τότε η κολουθί Ουσιστικά η υποκολουθί θ γι κάθε είνι μι κολουθί πργμτικών ριθμών κι είνι πόλυτ φργμένη ν κι μόνο ν είνι φργμένη κ κ είνι μι γνήσι ύξουσ κολουθί ονομάζετι υποκολουθί της προκύπτει πό τη σύνθεση των κολουθιών κ κι Ειδικά
ν κ (ντ κ της κολουθίς Γι πράδειγμ ν ) τότε προκύπτει η υποκολουθί των άρτιων (ντ περιττών) δεικτών είνι μι κολουθί ν είνι άρτιος ν είνι περιττός τότε οι υποκολουθίες των άρτιων κι περιττών δεικτών της 4 4 είνι ντίστοιχ 6 κι Μί κολουθί ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ συγκλίνει στο ε (που εξρτάτι πό το ε) 0 0 ε ν κι μόνο ν γι κάθε ε 0 γι κάθε 0 Ο ριθμός είνι μονδικός κι ονομάζετι όριο της κολουθίς κολουθίς τότε σηιώνετι lim ή υπάρχει έν τουλάχιστον Ότν υπάρχει το όριο μις κι η κολουθί ονομάζετι συγκλίνουσ Ειδικά ν το όριο μις κολουθίς είνι το μηδέν τότε η κολουθί ονομάζετι μηδενική Πρδείγμτ Το όριο της κολουθίς είνι το μηδέν γιτί γι κάθε ε 0 υπάρχει 0 ε τέτοιο ώστε ότν 0 ν ισχύει 0 ε ε ε 5 Το όριο της κολουθίς είνι το γιτί γι κάθε υπάρχει 5 0 ε τέτοιο ώστε ότν 0 ν ισχύει 5 5 5 5 ε 5 5 ε ε Ιδιότητες κ η είνι φργμένη 4 κι λ λ λ ε 0
5 κι 6 Αν γ γι κάθε 7 8 9 0 κι κι κι κι 0 γι κάθε 0 κι lim γ lim τότε 0 lim Ο προσδιορισμός του ορίου μις συγκλίνουσς κολουθίς συνήθως επιτυγχάνετι τη οήθει των πρπάνω ιδιοτήτων της σύγκλισης σε συνδυσμό τη γνώση ορισμένων σικών ορίων Πρότση Αν μι κολουθί διρίζετι σε δύο υποκολουθίες που έχουν κοινό όριο τότε κι υτή θ έχει το ίδιο όριο Πρότση Κάθε φργμένη κι μονότονη κολουθί (ντ φθίνουσ) τότε lim sup (ντ if ΚΑΤ ΕΚΔΟΧΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ είνι συγκλίνουσ Επιπλέον ν είνι ύξουσ Μι κολουθί συγκλίνει κτ εκδοχή προς το (ντ ) ν κι μόνο ν γι κάθε υπάρχει έν τουλάχιστον 0 0 ε (ντ ) γι κάθε 0 Στην ε ε περίπτωση υτή σηιώνετι lim ή (ντ lim ή ) ε 0 Γι πράδειγμ οι κολουθίες κι 5 συγκλίνουν κτ εκδοχή στο κι ντίστοιχ Υπάρχουν κολουθίες που δεν συγκλίνουν στο λλά ούτε συγκλίνουν κτ εκδοχή στο ή Στην περίπτωση υτή λέγετι ότι οι κολουθίες υτές δεν συγκλίνουν στο Έτσι η κολουθί δεν συγκλίνει στο Όπως φίνετι στο πρκάτω σχήμ η κολουθί τλντεύετι τξύ των ριθμών κι - ) Η ιδιότητ υτή είνι γνωστή ως κριτήριο πρεμολής των κολουθιών
4 Ιδιότητες (ντ (ντ ) κι (ντ ) κι ) κ (ντ ) (ντ όπου 4 (ντ ) κι όπου (ντ ) ν 0 5 (ντ ) κι (ντ 6 κι (ντ ) ) (ντ ) ) (ντ ) ν 7 όπου κι (ή ) 0 Στην κτ εκδοχή σύγκλιση υπάρχουν περιπτώσεις που δεν ορίζοντι άσ τ ποτελέσμτ όπως γι πράδειγμ ότν κι δεν ορίζετι το όριο του θροίσμτος ή ότν κι 0 δεν ορίζετι το όριο του γινομένου 0 κι Πρότση Κάθε ύξουσ (ντ φθίνουσ) κι μη άνω (ντ κάτω) φργμένη κολουθί συγκλίνει κτ εκδοχή στο (ντ ) Η κολουθί όπου 4 ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Αποδεικνύετι ότι η κολουθί υτή είνι συγκλίνουσ στο ν κι μόνο ν 0 ν ν lim ν
5 Η κολουθί όπου > 0 Αποδεικνύετι ότι Η κολουθί Αποδεικνύετι ότι lim lim 4 Οι κολουθίες = + κι Οι κολουθίες υτές είνι γνήσι ύξουσες κι φργμένες οπότε συγκλίνουν Αποδεικνύετι επιπλέον ότι είνι ισοσυγκλίνουσες Το κοινό τους όριο συμολίζετι κι είνι ο γνωστός ριθμός του Euler που ποτελεί τη άση των λογρίθμων του Neper = κ=0 κ! e Σηίο συσσωρεύσεως μις κολουθίς Γι κάθε ε 0 ε κι 5 ΣΗΜΕΙΑ ΣΥΣΣΩΡΕΥΣΕΩΣ υπάρχει m ονομάζετι κάθε ριθμός m γι άπειρο πλήθος όρων της κολουθίς κι ε Γι τ σηί συσσωρεύσεως ισχύουν οι πρκάτω πρτηρήσεις m γι τον οποίο ισχύει: δηλδή γι κάθε ε 0 ισχύει Μι κολουθί μπορεί ν έχει περισσότερ πό έν σηί συσσωρεύσεως Έτσι η κολουθί έχει δύο σηί συσσωρεύσεως τους ριθμούς κι Το όριο κάθε συγκλίνουσς κολουθίς είνι το μονδικό σηίο συσσωρεύσεώς της Υπάρχουν κολουθίες που δεν έχουν σηί συσσωρεύσεως Έτσι η κολουθί δεν έχει σηί συσσωρεύσεως Πρότση 5 Γι κάθε κολουθί μόνο ν υπάρχει υποκολουθί της κι ισχύει ότι το είνι σηίο συσσωρεύσεως της που συγκλίνει στο ν κι Πρότση 5 Αν μι κολουθί διρίζετι σε κ συγκλίνουσες υποκολουθίες τότε τ όριά τους είνι τ μονδικά σηί συσσωρεύσεως της Πρότση 5 (Bolzao-Weierstrass) Κάθε φργμένη κολουθί έχει έν τουλάχιστον σηίο συσσωρεύσεως Πρκάτω δίδετι μι νλυτική κτσκευή ενός τουλάχιστον σηίου συσσωρεύσεως μις φργμένης κολουθίς : Αρχικά ορίζοντι οι κολουθίες γ γενικούς όρους κι sup κι γ if m m m m
Προφνώς ισχύει γ γι κάθε Εύκολ ποδεικνύετι ότι οι κολουθίες κι είνι μονότονες (συγκεκριμέν η φθίνουσ κι η γ Επιπλέον θ ισχύει ότι Το όριο της κολουθίς limsup γ είνι ύξουσ) κι φργμένες Κτόπιν τούτου θ είνι κι συγκλίνουσες lim if κι lim γ Αντίστοιχ το όριο της κολουθίς κι σηιώνετι sup γ ονομάζετι limes superior (άνω πέρς) της limif Έτσι προκύπτουν τελικά οι σχέσεις limsup if sup κι limif m Τ limes superior κι limes iferior μις κολουθίς m γ 6 είνι κι σηιώνετι ονομάζετι limes iferior (κάτω πέρς) της supif m m όχι κτ νάγκη φργμένης ορίζοντι επίσης πό τους πρπάνω τύπους λλά στη γενική περίπτωση δεν είνι κτ νάγκη πργμτικοί ριθμοί (όπως στην περίπτωση της φργμένης κολουθίς) λλά νήκουν στο Πράδειγμ Δίνετι η κολουθί γ Τότε είνι sup m m sup : m περιττός m m ν περιττός ν άρτιος Επειδή lim lim έπετι ότι Επιπλέον είνι if m m if : m άρτιος m m 0 οπότε ν περιττός ν άρτιος limsup lim limif lim γ 0
7 Πρότση 54 Το limes superior (ντ limes iferior) μις φργμένης κολουθίς ελάχιστο) σηίο συσσωρεύσεώς της είνι το μέγιστο (ντ Πρότση 55 Αν μι κολουθί limsup limif είνι φργμένη κι τότε lim ν κι μόνο ν Από τις προηγούνες δύο προτάσεις προκύπτει ότι ν μι κολουθί συσσωρρεύσεως το τότε Πρότση 56 Γι κάθε κολουθί (i) limsup limsup (ii) lim if lim if θετικών ριθμών ισχύουν οι σχέσεις έχει μονδικό σηίο 6 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ Γι τον υπολογισμό του ορίου μις κολουθίς εκτός πό τις ιδιότητες συχνά χρησιμοποιούντι ορισμέν κριτήρι τ κυριότερ των οποίων δίδοντι σ υτή την πράγρφο Το πρώτο κριτήριο στηρίζετι στην έννοι της σικής κολουθίς Μι κολουθί 0 0 ε ονομάζετι σική ν κι μόνο ν γι κάθε ε γι κάθε m 0 m ε 0 υπάρχει έν τουλάχιστον ο Κριτήριο (Cauchy) Κάθε κολουθί είνι συγκλίνουσ ν κι μόνο ν είνι σική Το κριτήριο του Cauchy είνι πολύ χρήσιμο διότι μς επιτρέπει ν συμπερίνου ν μι κολουθί συγκλίνει χωρίς ν γνωρίζου το όριό της ο Κριτήριο (Μηδενικής κολουθίς) Αν γι μι κολουθί μη μηδενικούς όρους ισχύει ότι κολουθί υτή είνι μηδενική lim λ λ τότε η ο Κριτήριο Αν γι μι κολουθί θετικών όρων υπάρχει στο το lim τότε θ υπάρχει στο
8 κι το lim κι μάλιστ lim lim 4 ο Κριτήριο (Stolz) Αν γι μι κολουθί κι μι γνήσι ύξουσ κι μη φργμένη κολουθί θετικών ριθμών A υπάρχει στο το lim τότε θ υπάρχει στο κι το lim A A A μάλιστ lim lim A A A κι
9 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Ν ποδειχθεί ότι ο γενικός όρος της κολουθίς δίδετι πό τη σχέση κι Εφρμόζοντς φορές την νδρομική σχέση προκύπτει ότι: Προσθέτοντς κτά μέλη τις πρπάνω ισότητες πίρνου ότι οπότε ΑΣΚΗΣΗ Ν λετηθούν ως προς τη μονοτονί οι κολουθίες ) ) γ) 4 γ γ 5 ) Θεωρού το πηλίκο Εφρμόζοντς την νισότητ του Beroulli προκύπτει ότι
0 Άρ γι κάθε είνι γνήσι ύξουσ κι η κολουθί ) Θεωρού τη διφορά 4 4 9 4 0 Άρ γι κάθε κι η κολουθί είνι γνήσι φθίνουσ γ) Θεωρού τη διφορά γ γ 5 5 όπου δ Επειδή γ δ 5 5 γ κι δ 0 γι κάθε κάθε δ ν είνι άρτιος δ ν είνι περιττός προκύπτει ότι η διφορά γ γ δεν δι-τηρεί στθερό πρόσημο γι δεν είνι μονότονη οπότε η κολουθί γ ΑΣΚΗΣΗ Ν ποδειχθεί ότι οι κολουθίες ) cos ) si γ) γ γ είνι φργμένες: ) Είνι cos γι κάθε δηλδή η δοσμένη κολουθί φράσσετι πόλυτ πό το ) Από την νισότητ του Beroulli προκύπτει ότι
οπότε γι κάθε φράσσετι πόλυτ πό το δηλδή η γ) Είνι si si γ γι κάθε δηλδή η δοσμένη κολουθί γ φράσσετι πόλυτ πό το ΑΣΚΗΣΗ 4 Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών ) γ) γ 8 4 5 7 4 0 6 ) 5 6 4 6 4 7 5 Χρησιμοποιώντς τις ιδιότητες της σύγκλισης προκύπτει ότι: 8 4 5 7 lim 8 4 5 7 ) lim lim 4 0 6 lim 4 0 6 8 4lim 5lim 7 lim 8 4 0 50 7 0 4 0 lim 6 lim lim 4 0 0 6 0 0 γ ) lim 5 6 lim 4 5 6 4 lim 6 4 lim 6 4 lim 5lim 6lim lim 4 lim 6 lim lim 4 0 50 60 0 0 0 6 0 0
γ) lim γ 4 7 lim 4 7 lim 5 lim 5 lim 4 7 lim lim 4 0 0 5lim lim 0 0 Πρτήρηση Χρησιμοποιώντς τη μέθοδο της πρπάνω άσκησης προκύπτει ότι το όριο κάθε κολουθίς που ο γενικός της όρος είνι ρητή συνάρτηση του δηλδή P Q όπου πολυώνυμ του είνι p ν θμός P θμός Q q lim 0 ν θμός P θμός Q p ν θμός P θμός Q q όπου p q είνι οι συντελεστές των γιστοάθμιων όρων των πολυωνύμων ντίστοιχ P P Q κι είνι Q ΑΣΚΗΣΗ 5 Ν ποδειχθεί ότι η κολουθί 8 7 γι συγκλίνει κι στη συνέχει ν ευρεθεί (υπολογιστικά κι γρφικά) το όριό της Θ ποδείξου ότι η κολουθί είνι άνω φργμένη κι γνήσι ύξουσ Αρχικά θ ποδείξου επγωγικά ότι ισχύει η νισότητ 9 γι κάθε Ισχύει ότι 9 Υποτίθετι ότι η νισότητ ισχύει γι κ δηλδή κ 9 κι θ ποδειχθεί ότι ισχύει κι γι κ δηλδή κ 9 Πργμτικά είνι κ 9 8 7 κ 9 8 7 8 9 κ κ
Άρ η κολουθί είνι άνω φργμένη πό το 9 Θεωρού τη διφορά 7 8 8 7 8 7 Επειδή το τριώνυμο φx x 7x 8 έχει θετική δικρίνουσ κι ρίζες τους ριθμούς είνι φx 0 γι κάθε x 9 κι συνε-πώς φ 0 γι κάθε σχέση () προκύπτει ότι δηλδή η κολουθί Επειδή η κολουθί Έστω x lim Τότε είνι γνήσι ύξουσ γι κάθε () 9 θ Τότε όμως πό τη είνι άνω φργμένη κι γνήσι ύξουσ θ είνι κι συγκλίνουσ x lim οπότε x lim 8 7 lim 8 7x Από την τελευτί σχέση προκύπτει ότι το όριο της δηλδή x 9 ή x Η τελευτί ρίζ πορρίπτετι διότι η κολουθί όρων οπότε lim 9 θ είνι ρίζ της εξίσωσης x 7x 8 0 είνι μη ρνητικών Στο επόνο σχήμ περιγράφετι μι επνληπτική διδικσί γι τον υπολογισμό του ορίου γρφικά Γρφική πράστση του ορίου: ΑΣΚΗΣΗ 6 Ν ποδειχθεί ότι η κολουθί 4 κι γι συγκλίνει κι στη συνέχει ν ευρεθεί (υπολογιστικά κι γρφικά) το όριό της
4 Θ ποδείξου ότι η κολουθί Αρχικά θ ποδείξου επγωγικά ότι ισχύει η νισότητ γι κάθε Είνι 4 Υποτίθετι ότι η νισότητ ισχύει γι δηλδή Πργμτικά είνι κ δηλδή κ Άρ η κολουθί κ είνι κάτω φργμένη κι γνήσι φθίνουσ κ κ δηλδή κ κ κ κ κ κ κ είνι κάτω φργμένη πό το 0 κι θ ποδειχθεί ότι ισχύει κι γι κ Θεωρού τη διφορά 0 οπότε η κολουθί είνι γνήσι φθίνουσ Επειδή η κολουθί είνι κάτω φργμένη κι γνήσι φθίνουσ θ είνι κι συγκλίνουσ Έστω x lim Τότε lim x οπότε lim x x lim lim x Από την τελευτί σχέση προκύπτει ότι το όριο της δηλδή x ή x ρνητικών όρων οπότε Γρφική πράστση του ορίου: θ είνι ρίζ της εξίσωσης Η τελευτί ρίζ πορρίπτετι διότι η κολουθί lim x 0 είνι μη
5 ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίδετι η κολουθί κι Ν ποδειχθεί ότι: ) γι κάθε ) 0 γι κάθε 4 4 γι ) Θ ποδείξου επγωγικά ότι 5 Γι έχου Έστω ότι Θ ποδείξου ότι Πργμτικά έχου ότι δηλδή κ ) Θεωρού τη διφορά 4 κ κ γι κάθε 4 κ κ κ κ κ 0 4 () Από τη σχέση () κι το ) προκύπτει ότι 0 Επιπλέον είνι 4 4 4 4 4 () 4 Επομένως πό τις σχέσεις () () κι το ) προκύπτει τελικά ότι 0 4 ΑΣΚΗΣΗ 8 Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών γ
6 ) γ) γ π si 5 ) ) Επειδή η κολουθί π si έπετι ότι θ είνι μηδενική είνι γινόνο της μηδενικής κολουθίς ) Είνι 6 6 οπότε lim lim 6 6 6 κι της φργμένης γ) Από την τυτότητ έχου ή ισοδύνμ οπότε κ κ κ κ γι κάθε κ γ 5 γ lim γ lim ΑΣΚΗΣΗ 9 Ν ευρεθεί το όριο της κολουθίς 9 5 4γ γ όπου γ 0
7 Δικρίνου τις πρκάτω περιπτώσεις: Αν γ τότε προκύπτει ότι 9 5 4 9 γι κάθε 6 9 οπότε lim 6 Αν γ τότε επειδή κι γ 95 4γ γ 4 γ lim 0 (κθώς γ 0 χρησιμοποιώντς τις ιδιότητες της σύγκλισης προκύπτει ότι Ανάλογ ντιτωπίζοντι οι περιπτώσεις: 9 4 Αν γ τότε lim 5 4 Αν γ τότε lim max γ τότε επειδή 5 Αν κι γ 95 4γ γ ) lim 9 5 4 γ γ lim lim 0 (κθώς 0 ) χρησιμοποιώντς τις ιδιότητες της σύγκλισης προκύπτει ότι lim Ανάλογ ντιτωπίζοντι οι περιπτώσεις: max γ τότε lim 5 6 Αν 7 Αν γ max τότε lim γ ΑΣΚΗΣΗ 0 (διάσε πό περιέργει κι μόνο!) Ν ποδειχθεί ότι lim γι κάθε 0 ος Τρόπος Επειδή το ποτέλεσμ προφνώς ισχύει γι μπορού ν υποθέσου ότι Αν
θέτου οπότε x Κτόπιν τούτου οπότε κι lim Τότε x 0 lim x 0 κι 8 κι x Από την νισότητ του Beroulli προκύπτει ότι x x x 0x lim γι κάθε Αν 0 τότε ος Τρόπος Χρησιμοποιώντς την νισότητ του Cauchy γι τους ριθμούς γι κάθε ότι οπότε θ είνι lim ( φορές) προκύπτει Επειδή lim lim έπετι ότι lim ΑΣΚΗΣΗ (διάσε πό περιέργει κι μόνο!) Αν η κολουθί ποδειχθεί ότι lim είνι μι κολουθί μη ρνητικών ριθμών lim όπου 0 ν Εφρμόζοντς την άσκηση 0 προκύπτει ότι υπάρχει ) γι κάθε 0 Συνεπώς θ είνι γι κάθε 0 Επειδή lim lim έπετι ότι lim 0 (όπου 0 ΑΣΚΗΣΗ (διάσε πό περιέργει κι μόνο!) Ν ποδειχθεί ότι lim ος Τρόπος Γι κάθε επειδή θ υπάρχει νισότητ του Beroulli προκύπτει ότι θ 0 θ Τότε χρησιμοποιώντς την
9 Άρ οπότε lim θ 0 Είνι όμως θ θ θ 0 θ γι κάθε θ θ θ οπότε προκύπτει ότι lim ος Τρόπος Χρησιμοποιώντς την νισότητ του Cauchy γι τους ριθμούς ( φορές) προκύπτει ότι Άρ γι κάθε όπου Επειδή lim προκύπτει ότι lim ΑΣΚΗΣΗ Ν ευρεθεί το όριο lim 4 5 κι Επειδή lim 4 5 5 lim 5 lim 5 lim προκύπτει ότι lim 4 5 ΑΣΚΗΣΗ 4 Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών x 5 Αν τεθεί 5 5 5 5 x 5 τότε είνι x y y κι z z
0 y κι z Επομένως επειδή 5 5 5 lim x lim e lim e προκύπτει ότι lim y lim lim lim lim lim e e e κι e lim z lim lim lim e e e ΑΣΚΗΣΗ 5 Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών y z x y κι z x Αν τεθεί τότε είνι
x y xx x κι z x x Συνεπώς προκύπτει ότι lim x lim lim e e lim y lim x lim x lim x lim lim κι e e e e lim z lim x lim x lim e e e Πρτήρηση Χρησιμοποιώντς την τεχνική που χρησιμοποιήθηκε στη λύση των προηγούνων δύο σκήσεων μπορεί ν ποδειχθεί ότι κ κ lim e γι κάθε κ Γενικότερ χρησιμοποιώντς τ όρι των συνρτήσεων ποδεικνύετι ότι η πρπάνω σχέση ισχύει γι κάθε κ ΑΣΚΗΣΗ 6 Ν ευρεθούν τ σηί συσσωρεύσεως των κολουθιών
) 4 5 ) ν περιττός 4 ν άρτιος ) Επειδή προκύπτει εύκολ ότι Ανάλογ ποδεικνύετι ότι 4 5 lim lim 5 οπότε σύμφων την προηγούνη άσκηση προκύπτει ότι τ μονδικά σηί συσσωρεύσεως της ) Επειδή είνι οι ριθμοί 5 κι 5 5 lim lim κι 4 lim lim 0 τ σηί συσσωρεύσεως της κολουθίς είνι οι ριθμοί κι 0 ΑΣΚΗΣΗ 7 Ν ευρεθούν τ σηί συσσωρεύσεως της κολουθίς ν ρ ρ ν ρ ρ ν ρ ρ κι στη συνέχει ν ευρεθούν τ limsup κι limif Η κολουθί διρίζετι στις τρεις υποκολουθίες x y κι y z x κι z οι οποίες συγκλίνουν ντίστοιχ στους ριθμούς e κι
Άρ σύμφων την πρότση 5 τ σηί συσσωρεύσεως της κο-λουθίς e κι Τέλος σύμφων την πρότση 54 προκύπτει ότι limsup e κι limif θ είνι οι ριθμοί ΑΣΚΗΣΗ 8 Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών κι ) γ) 4! γ! γ ) ) Είνι 4! 4! 4 4 lim lim 0 Επομένως σύμφων το δεύτερο κριτήριο της σύγκλισης των κολουθιών 0 ) Είνι Επομένως γ) Είνι Επομένως lim lim 0! γ γ γ! lim lim γ e γ 0
4 ΑΣΚΗΣΗ 9 Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών κι ) γ) 5 6 7 γ ) 5 γ! ) Θέτου οπότε x 5 6 7 x 5 6 7 lim lim x 5 6 7 Αλλά τότε πό το τρίτο κριτήριο της σύγκλισης των κολουθιών προκύπτει ότι x lim lim x lim x ) Θέτου οπότε κι συνεπώς Αλλά τότε η κολουθί γ) Θέτου κι συνεπώς x! x! x! x lim lim e x x θ συγκλίνει κι μάλιστ θ ισχύει ότι x lim lim x lim e x x 5 x 5 x 5
5 Αλλά τότε η κολουθί x x lim x θ συγκλίνει κι μάλιστ θ ισχύει ότι x lim γ lim x lim x ΑΣΚΗΣΗ 0 Ν ποδειχθεί ότι Θέτου κι σχημτίζου το λόγο lim A A A Σύμφων το κριτήριο του Stolz ισχύει ότι lim lim A A A οπότε lim lim ΑΣΚΗΣΗ Ν ποδειχθεί ότι lim Θέτου κι σχημτίζου το λόγο A
6 A A Σύμφων το κριτήριο του Stolz ισχύει ότι lim lim A A A lim lim 0 e οπότε lim ΑΣΚΗΣΗ Ν ποδειχθεί ότι ότν x x x x lim lim x x Θέτου x x x A κι σχημτίζου το λόγο x x x x x x A A x Σύμφων το κριτήριο του Stolz ισχύει ότι
7 οπότε lim lim A A A x x x x x lim lim
8 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Ν λετηθούν ως προς τη μονοτονί οι κολουθίες κι ) ) γ 5 γ) π γ si ΑΣΚΗΣΗ Ν ποδειχθεί ότι οι κολουθίες ) ) cos si 5 γ) γι κάθε γ είνι φργμένες ΑΣΚΗΣΗ! γι κάθε κι γ γι κάθε Ν ποδειχθεί ότι η κολουθί 4 si 7 δεν είνι φργμένη ΑΣΚΗΣΗ 4 Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθίων ) 4 κι γ 5 7 ) 4 5 7 γ) ΑΣΚΗΣΗ 5 Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών γ) γ ) κι γ ) ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίδετι η κολουθί 5 κι 4 γι κάθε
9 Ν ποδειχθεί ότι είνι συγκλίνουσ κι στη συνέχει ν ευρεθεί το όριό της ΑΣΚΗΣΗ 7 Ν λετηθεί ως προς τη μονοτονί κι τη σύγκλιση η κολουθί ΑΣΚΗΣΗ 8 4 κι γι κάθε Ν λετηθεί ως προς τη μονοτονί κι τη σύγκλιση η κολουθί ότν 0 γι κάθε ΑΣΚΗΣΗ 9 Ν ποδειχθεί ότι η κολουθί είνι συγκλίνουσ si x ΑΣΚΗΣΗ 0 Ν λετηθεί ως προς τη σύγκλιση η κολουθί όπου λ λ 0 λ λ ΑΣΚΗΣΗ Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών ) ) x x x x x x 7 x 7 x x όπου x όπου x κι ΑΣΚΗΣΗ Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών ) x x x 5 x 5 5 όπου x κι
0 ) x x x 7 όπου 0 x ΑΣΚΗΣΗ Ν ευρεθεί το όριο της κολουθίς ΑΣΚΗΣΗ 4 Ν ευρεθεί το όριο της κολουθίς 4 5 ) Χρησιμοποιώντς το δεύτερο κι το τρίτο όριο της πργράφου 4 ) Εφρμόζοντς το τρίτο κριτήριο της σύγκλισης των κολουθιών ΑΣΚΗΣΗ 5 Χρησιμοποιώντς το lim ) x 4 ) e ν υπολογισθούν τ όρι των κολουθιών κι y γ) x y z z ΑΣΚΗΣΗ 6 Ν υπολογισθούν τ όρι: ) 4 lim 4 ) lim γ) lim ΑΣΚΗΣΗ 7 Έστω η κολουθί των πργμτικών ριθμών όπου είνι η τάξη της ορίζουσς Ν ποδειχθεί ότι ΑΣΚΗΣΗ 8 x Ν ευρεθούν τη οήθει του ορισμού τ x x lim x limsup κι x limif ότν
ν είνι περιττός ν είνι άρτιος ΑΣΚΗΣΗ 9 Ν ευρεθούν τ σηί συσσωρεύσεως της κολουθίς ΑΣΚΗΣΗ 0 7 ν ρ ρ 5 6 ν ρ ρ 5 ν ρ ρ Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών κι ) γ) γ 5 7 ) ΑΣΚΗΣΗ 5! Ν ευρεθεί το όριο της κολουθίς κι ΑΣΚΗΣΗ Ν ευρεθεί το όριο της κολουθίς ΑΣΚΗΣΗ Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών ) x x όπου x 0 ) 4 5 γ 5 46 κι! γι κάθε
ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίδετι η κολουθί κ κ όπου 4 κ κι κ 0 Ν υπολογισθεί το όριό της ΑΣΚΗΣΗ 5 Ν ευρεθούν τ όρι των κολουθιών ) ) κ 4 κ 0 κ e x όπου x si x κι ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίδετι η κολουθί όπου κ x lim x x Ν ποδειχθεί ότι κ κ x x x x lim κ κ