Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 3 DiSefano [995]: Chapers 3 & 6 Tewari [5]: Chaper : Secions. -.,.6-.7

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή Με τον όρο περιγραφή ενός Σ.Α.Ε εννοούµε, γενικά, µια µαθηµατική σχέση που συνδέει φυσικές ποσότητες και στοιχεία ενός συστήµατος. Η µαθηµατική αυτή σχέση συνθέτει το µαθηµατικό µοντέλο ή πρότυπο του συστήµατος Μαθηµατικό µοντέλο ενός συστήµατος είναι µια µαθηµατική έκφραση που συσχετίζει την είσοδο, το σύστηµα και την έξοδο µε τέτοιο τρόπο ώστε να µας δίνει τη δυνατότητα υπολογισµού της εξόδου του συστήµατος κάτω από οποιαδήποτε διέγερση Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το µαθηµατικό µοντέλο δεν είναι µια οποιαδήποτε σχέση αλλά εκείνη η σχέση που µας δίνει τη δυνατότητα ανάλυσης του συστήµατος, δηλαδή του προσδιορισµού της απόκρισης του για οποιαδήποτε διέγερση Ο προσδιορισµός του µαθηµατικού µοντέλου µπορεί να αφορά τη(ν): Κατάστρωση των εξισώσεων του συστήµατος, δηλαδή µε γνωστό το σύστηµα (φυσικά στοιχεία που το απαρτίζουν) χρησιµοποιούµε τις επιµέρους µοντελοποιήσεις των στοιχείων για τη δηµιουργία του συνολικού µοντέλου του συστήµατος. Παράδειγµα: Ένα ηλεκτρικό ή ηλεκτρονικό κύκλωµα Αναγνώριση συστήµατος, δηλαδή το σύστηµα είναι άγνωστο (µαύρο κουτί) ή αποτελείται από πολλά φυσικά στοιχεία ώστε να καταστρωθούν οι εξισώσεις περιγραφής του (π.χ το σύστηµα αεροσκάφος) ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Αναγνώριση συστήµατος Το επόµενο σχήµα περιγράφει µια συνηθισµένη διάταξη που χρησιµοποιείται για την αναγνώριση συστηµάτων και τη δηµιουργία προσοµοιωτών (simulaor Τόσο το σύστηµα όσο και το µαθηµατικό µοντέλο διεγείρονται από την ίδια διέγερση και σχηµατίζεται η διαφορά e( των δύο αποκρίσεων y ( και y ( Το µαθηµατικό µοντέλο τροποποιείται διαρκώς µέχρι η ποσότητα J να ελαχιστοποιηθεί e ( d

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Έχουν προταθεί διάφορα είδη µαθηµατικών µοντέλων για την περιγραφή Σ.Α.Ε. Κάθε είδος έχει τα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα του. Τα τέσσερα πιο δηµοφιλή είναι: Ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις (Ο..Ε) υνατότητα περιγραφής κάθε είδους συστήµατος (γραµµικό ή µη, χρονικά αναλλοίωτο ή µη κλπ.) υσκολία ανάλυσης λόγω της δυσκολίας επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων Συναρτήσεις µεταφοράς Εφαρµόζεται σε ΓΧΑ συστήµατα χωρίς αρχικές συνθήκες. Ευκολία ανάλυσης (αλγεβρικές εξισώσεις) -Κλασική µεθοδολογία ανάλυσης Σ.Α.Ε Πόλοι-µηδενικά Εφαρµόζεται σε ΓΧΑ συστήµατα Κατάλληλη µεθοδολογία για απλοποίηση µαθηµατικών µοντέλων συστηµάτων Κλασική µεθοδολογία ανάλυσης Σ.Α.Ε Εξισώσεις κατάστασης Είδη Μαθηµατικών Μοντέλων υνατότητα περιγραφής κάθε είδους συστήµατος υνατότητα περιγραφής Σ.Α.Ε πολλών εισόδων πολλών εξόδων Ευκολία προγραµµατισµού σε Η/Υ Σύγχρονη µεθοδολογία ανάλυσης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Οι ολοκληρωδιαφορικές (Ο..Ε) είναι γραµµικά ανεξάρτητες εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους (η/και διαφορικά) και ολοκληρώµατα: υνατότητα περιγραφής κάθε είδους συστήµατος (γραµµικό ή µη, χρονικά αναλλοίωτο ή µη κλπ.) Οι γραµµικές εξισώσεις καταστρώνονται µε τη βοήθεια κάποιων φυσικών νόµων (π.χ Νόµοι Kirchoff για ηλεκτρικά κυκλώµατα, νόµος δυνάµεων D Alamber για µηχανικά συστήµατα κλπ) Οι γραµµικές διαφορικές εξισώσεις έχουν τη µορφή: n i i i d y( a i d m b j j j d d j 3

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Το ηλεκτρικό κύκλωµα του σχήµατος περιγράφεται από την Ο..Ε: Η κατάστρωση της εξίσωσης προέκυψε από εφαρµογή του νόµου τάσεων του Kirchoff και τα απλά µοντέλα di( L + i( ) d + Ri v( d C τ τ για τον αντιστάτη, V R (i R (*R πηνίο, dil( VL( L d πυκνωτή VC ( ic ( τ ) dτ C ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα (II) Να καταστρωθούν οι Ο..Ε για ηλεκτρικό κύκλωµα του σχήµατος: C Η κατάστρωση των εξισώσεων προέκυψε από εφαρµογή του νόµου τάσεων του Kirchoff στους δύο βρόχους. Ri ( + i( ) d i( ) d v( C τ τ C τ τ di ( i ( τ ) dτ + Ri ( + L + i( τ ) dτ d C 4

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Συναρτήσεις Μεταφοράς Η συνάρτηση µεταφοράς Η( είναι µια µαθηµατική σχέση στο πεδίο της µιγαδικής συχνότητας. Ισχύει για Γ.Χ.Α µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. Η συνάρτηση µεταφοράς ενός Γ.Χ.Α ορίζεται ως λόγος του µετασχηµατισµού Laplace της εξόδου y( προς τον µετασχηµατισµό Laplace της εισόδου. [ y( ] Y ( [ ( ] U( L H ( L u Η συνάρτηση µεταφοράς έχει τη γενική µορφή του λόγου δύο πολυωνύµων m m b( bms + bm s +... + bs + b H ( n n a( s + an s +... + as + a Ισοδύναµη περιγραφή µε τη συνάρτηση µεταφοράς παρέχει η κρουστική απόκριση h( µόνο που η περιγραφή µέσω της κρουστικής απόκρισης είναι στο πεδίο του χρόνου H κρουστική απόκριση ενός Γ.Χ.Α µε µηδενικές αρχικές συνθήκες είναι η έξοδος του συστήµατος όταν η είσοδος είναι η κρουστική συνάρτηση δ(. Ισχύει h( L H ( [ ] ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Το ηλεκτρικό κύκλωµα του σχήµατος περιγράφεται από την Ο..Ε: Η κατάστρωση της εξίσωσης προέκυψε από εφαρµογή του νόµου τάσεων του Kirchoff και τα απλά µοντέλα di( L + i( ) d + Ri v( d C τ τ για τον αντιστάτη, V R (i R (*R πηνίο, dil( VL( L d πυκνωτή VC ( ic ( τ ) dτ C 5

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα (II) Να ευρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς για ηλεκτρικό κύκλωµα του σχήµατος (έξοδος το ρεύµα στο πηνίο): Η κατάστρωση των εξισώσεων προέκυψε από εφαρµογή του νόµου τάσεων του Kirchoff στους δύο βρόχους χρησιµοποιώντας τα µοντέλα στο πεδίο της µιγαδικής συχνότητας. R I( + I( I ( V ( I ( + RI ( + LsI ( + I ( Cs Cs Cs Cs I( H ( V ( R LCs + ( R R C + L) s + R + R ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Πόλοι - Μηδενικά Όπως έχει ήδη αναφερθεί η συνάρτηση µεταφοράς H( ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή του λόγου δύο πολυωνύµων m m b( bms + bm s +... + bs + b H ( n n a( s + an s +... + as + a Οι ρίζες του -p i πολυωνύµου a( ονοµάζονται πόλοι του συστήµατος και οι ρίζες του -z i πολυωνύµου b( ονοµάζονται µηδενικά του συστήµατος. Η θέση των πόλων του συστήµατος µας δίνουν πολύ σηµαντικές πληροφορίες για το σύστηµα (π.χ για την ευστάθεια του) Εκφράζοντας τη συνάρτηση µεταφοράς µε τη µορφή γινοµένου πόλων µηδενικών µπορούµε να έχουµε εικόνα αλληλο-εξουδετέρωσης πόλων m µηδενικών. ( s + z i) m m bms + bm s +... + bs + b i H ( K n n n s + an s +... + as + a ( s + p ) i Με αυτό τον τρόπο µπορούµε να προσεγγίσουµε το σύστηµα µε ένα µαθηµατικό µοντέλο µικρότερης τάξης i 6

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Το ηλεκτρικό κύκλωµα του σχήµατος περιγράφεται από την συνάρτηση µεταφοράς (έξοδος θεωρείται η τάση στα άκρα του πυκνωτή): VC ( H ( V ( LCs + RCs + Αν οι τιµές των στοιχείων είναι: RΩ, CnF, LmH, να βρεθεί το µαθηµατικό µοντέλο του συστήµατος στη µορφή πόλων µηδενικών. ΑΠ. VC ( H ( V ( 9 5 s + s + 4 4 ( s + (.5 + j3.5) )( s + (.5 j3.5) ) 9 Magniude - - ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα (συν.) Η απόκριση συχνότητας του προηγούµενου κυκλώµατος φαίνεται στο διπλανό σχήµα -3 3 4 5 6 Frequency (rad/ Phase (degree -5 - -5-3 4 5 6 Frequency (rad/ 7

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα (συν.).8.6.4 Sep Response Η βηµατική απόκριση του προηγούµενου κυκλώµατος φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Ampliude.8.6.4...4.6 Time (sec).8. x -3.5.5 4 Impulse Response x 3 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα (συν.) Η κρουστική απόκριση του προηγούµενου κυκλώµατος φαίνεται στο διπλανό σχήµα Ampliude.5 -.5 - -.5 -..4.6 Time (sec).8. x -3 8

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εξισώσεις Κατάστασης Οι εξισώσεις κατάστασης είναι µια περιγραφή στο πεδίο του χρόνου ηοποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για µια µεγάλη γκάµα συστηµάτων όπως γραµµικά, µη γραµµικά, χρονικά αναλλοίωτα ή µη, µε ή χωρίς αρχικές συνθήκες Κατάσταση ονοµάζουµε ένα σύνολο εσωτερικών µεταβλητών του συστήµατος η παρακολούθηση των οποίων στον χρόνο µας δίνει περιγράφει το σύστηµα. Ορισµός: Οι µεταβλητές κατάστασης x (, x (,, x n ( ενός συστήµατος ορίζονται ως ένας (ελάχιστος) αριθµός µεταβλητών τέτοιων ώστε αν γνωρίζουµε τις τιµές τους για οποιαδήποτε χρονική στιγµή, τη συνάρτηση εισόδου που εφαρµόζεται στο σύστηµα για, και το µαθηµατικό νόµο που συνδέει την είσοδο, τις µεταβλητές κατάστασης και το σύστηµα, να καθίσταται δυνατός ο προσδιορισµός της κατάστασης του συστήµατος για οποιαδήποτε χρονική στιγµή. ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εξισώσεις Κατάστασης (ΙΙ) Έστω το σύστηµα πολλών εισόδων πολλών εξόδων του σχήµατος. Μπορούµε να εκφράσουµε τις m εισόδους, p εξόδους και n µεταβλητές κατάστασης ως διανύσµατα: y( u ( y ( um( ) y( y p ( x ( x( x( xn( ) ) ) Οι εξισώσεις κατάστασης ενός συστήµατος είναι ένα σύστηµα n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που συνδέει το διάνυσµα εισόδου µε το διάνυσµα κατάστασης x( και έχει τη µορφή: x &( f x(, [ ] όπου f είναι µια στήλη µε n στοιχεία. Η συνάρτηση f είναι γενικά µια πεπλεγµένη µη γραµµική συνάρτηση των x( και Το διάνυσµα εξόδου y( συνδέεται µε τα διανύσµατα εισόδου και κατάστασης x( µε την εξίσωση εξόδου: [ x(, )] y ( g 9

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εξισώσεις Κατάστασης (ΙΙΙ) όπου g είναι µια στήλη µε p στοιχεία. Η συνάρτηση g είναι γενικά µια πεπλεγµένη µη γραµµική συνάρτηση των x( και Οι αρχικές συνθήκες των εξισώσεων κατάστασης είναι οι τιµές του διανύσµατος κατάστασης x( για ( ισούται συνήθως µε ) και συµβολίζονται ως εξής: x( ) x( ) x( ) x xn( ) Οι εξισώσεις κατάστασης, η εξίσωση εισόδου και οι αρχικές συνθήκες συνθέτουν την περιγραφή ενός δυναµικού συστήµατος στο χώρο κατάστασης: [ x(, )] [ x(, )] x &( f y ( g x ( x ) ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή γραµµικών συστηµάτων µε εξισώσεις κατάστασης Αν ένα γραµµικό µη χρονικά µεταβαλλόµενο σύστηµα µπορεί να περιγραφεί από ένα σύστηµα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, τότε οι εξισώσεις κατάστασης παίρνουν την ειδική µορφή: x &( Ax( + B y ( Cx( + D x ( ) x Ο πίνακας Α έχει διαστάσεις nxn και ονοµάζεται πίνακας του συστήµατος, ο πίνακας Β έχει διαστάσεις nxm και ονοµάζεται πίνακας εισόδου, ο πίνακας C έχει διαστάσεις pxn και ονοµάζεται πίνακας εξόδου, ο πίνακας D έχει διαστάσεις pxm και ονοµάζεται απευθείας πίνακας. a a... an b b... b m c c... cn d d... dm a a... an A b b... bm B c c... cn C d d... dm D : : : : : : : : : : : : an an... ann bn bn... bnm c p c p... c pn d p d p... d pm

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή γραµµικών συστηµάτων χρονικά µεταβαλλόµενων Αν ένα γραµµικό χρονικά µεταβαλλόµενο σύστηµα µπορεί να περιγραφεί από ένα σύστηµα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, τότε οι εξισώσεις κατάστασης παίρνουν τη µορφή: x &( A( x( + B( y ( C( x( + D( x ( x ) R x& ( x ( L LC L + v( x& ( x( y( [ R ] x ( x( ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Το ηλεκτρικό κύκλωµα του σχήµατος περιγράφεται από την Ο..Ε (έξοδος η τάση στα άκρα της αντίστασης): x () il() i x() x() CVc () CV di( L + i( ) d + Ri v( d C τ τ Θεωρώντας ως µεταβλητές κατάστασης το ρεύµα στο πηνίο, x (i L ( τo φορτίο του πυκνωτή x ( i C ( τ ) dτ τότε ισχύει x& ( ic ( il( x ( L x& ( + x( + Rx( v( C